Методы вычисления определителей. Вычислить определители


Определитель матрицы, онлайн калькулятор с решением

Наш онлайн калькулятор помогает найти определитель матрицы всего в несколько кликов. Для вычисления определителя матрицы выберите ее размер (матрица обязательно должна быть квадратной), заполните все элементы матрицы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Заполните элементы матрицы   Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Как найти определитель матрицы онлайн

Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор. Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.

Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.

Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить. Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты. Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.

ru.solverbook.com

Определитель матрицы онлайн

www.matcabi.net позволяет найти определитель матрицы онлайн. Сайт производит вычисление определителя матрицы онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Определителем матрицы будет являться числовое или символьное значение, найденное по правилу вычисления определителя матрицы - как сумма произведений соответствующих элементов матрицы. При вычислении определителя матрицы онлайн, каждый элемент матрицы будет перермножаться с соответствующими другими элементами матрицы. Найти определитель матрицы в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы. Операция нахождения определителя матрицы онлайн сводится к вычислению алгебраической суммы произведения элементов матрицы, это результат от определения определителя матрицы онлайн. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать линейные уравнения методом Крамера. Задача по нахождению определителя матрицы онлайн заключается в перемножении элементов матрицы с последующим суммированием этих произведений по определенному правилу. www.matcabi.net находит определитель матрицы заданной размерности в режиме онлайн. Вычисление определителя матрицы онлайн при заданной её размерности - это нахождение числового или символьного значения, найденного по правилу вычисления определителя матрицы, находится как сумма произведений соответствующих элементов матрицы. Нахождение определителя матрицы онлайн широко распространено в теории матриц. Значение определителя матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений методом Крамера. Помимо этого, определитель матрицы используется для нахождения обратной матрицы. При этом, если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы, для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить определитель матрицы или найти сразу для нескольких матриц определители, необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет определитель матрицы онлайн. При этом ответ по нахождению определителя матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении определителя матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть определитель матрицы онлайн может быть представлен в общем символьном виде при вычислении определителя матрицы онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению определителя матрицы онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции вычисления определителя матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему определитель матрицы онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении определителя матрицы онлайн.

www.matcabi.net

Определитель матрицы онлайн

Определителем называется число, которое по определённому правилу можно поставить в соответствие любой квадратной матрице.

Существует большое количество способов вычисления определителя квадратной матрицы. Наш онлайн калькулятор вычисляет определитель с использованием метода Гаусса или путем разложения определителя по элементам любой строки или столбца.

Для вычмсления определителя методом Гаусса исходную матрицу путем элементарных преобразований приводят к верхнетреугольному виду, при этом определитель исходной матрицы не меняется и равен произведению элементов на главной диагонали верхнетреугольной матрицы.

Определитель матрицы A вычисляется по формуле:

| A | = a11 ∙ a22 ∙ ... ∙ an−1 n−1 ∙ ann

Для вычисления определителя путем его разложения по элементам строки или столбца, сначала выбирают строку или столбец по которой будут осуществлять разложение определителя. Наиболее удобно, раскладывать определитель по строке (или столбцу) с максимальным количеством нулевых элементов. Если таких строк (или столбцов) в исходной матрице нет, тогда можно выбрать любую строку (или столбец).

Реклама

Ниже представлено вычисление определителя матрицы B, при помощи его разложения по элементам первой строки:

Полученное разложение представляет собой линейную комбинацию определителей, порядок которых на единицу меньше исходного. Каждый из таких определителей вычисляется снова, путем разложения по выбранной строке или столбцу. Таким образом, рассматриваемый метод вычисления определителя представляет собой рекурсивный процесс.

www.mathforyou.net

Методы вычисления определителей

При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.

I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.

Метод приведения определителя к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка

[cbm]\det{A}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix},[/cbm] приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент [cbm]a_{11}=1[/cbm] первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):

[cbm]\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\ 4&1&2&3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.[/cbm]

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.

Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на [cbm](-1)\cdot0,\!5=-0,\!5[/cbm] , т.е. умножить на (-2):

[cbm]\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&-1&-2&-7\\ 0&-2&-8&-10\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}.[/cbm]

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы [cbm]a_{32}=-1[/cbm] и [cbm]a_{42}=-7[/cbm] второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента [cbm]a_{22}=1[/cbm] и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:

[cbm]-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&-1&-4&-5\\ 0&-7&-10&-13\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}[/cbm]

Осталось сделать равным нулю элемент [cbm]a_{43}[/cbm] . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):

[cbm]-2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&4&36\end{vmatrix}= -2\cdot\!\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}.[/cbm]

Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали:

[cbm]\det{A}= -2\cdot\begin{vmatrix}1&2&3&4\\ 0&1&2&7\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&0&40\end{vmatrix}= -2\cdot1\cdot1\cdot(-2)\cdot40=160.[/cbm]

Метод понижения порядка определителя

Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.

1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.

2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.

Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка.

[cbm]\det{A}= \begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}[/cbm]

Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем [cbm]a_{24}=1[/cbm] , а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3):

[cbm]\begin{vmatrix}1&0&3&4\\ 0&3&0&1\\ 3&0&1&2\\ 4&1&2&3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}.[/cbm]

2. Разложим определитель по второй строке

[cbm]\begin{vmatrix}1&-12&3&4\\ 0&0&0&1\\ 3&-6&1&2\\ 4&-8&2&3\end{vmatrix}= 1\cdot(-1)^{2+4}\cdot \begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}.[/cbm]

Получили определитель третьего порядка.

Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):

[cbm]\begin{vmatrix}1&-12&3\\3&-6&1\\4&-8&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}.[/cbm]

Прибавим ко второму столбцу первый

[cbm]2\cdot \begin{vmatrix}1&-6&3\\ 3&-3&1\\ 4&-4&2\end{vmatrix}= 2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}.[/cbm]

Полученный определитель разложим по второму столбцу

[cbm]2\cdot \begin{vmatrix}1&-5&3\\ 3&0&1\\ 4&0&2\end{vmatrix}= 2\cdot(-5)\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}.[/cbm]

Получили определитель 2-го порядка.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2)

[cbm]10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}= 10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}.[/cbm]

Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом

[cbm]10\cdot \begin{vmatrix}3&1\\-2&0 \end{vmatrix}= 10\cdot(-2)\cdot(-1)^{2+1}\cdot1=20.[/cbm]

Результат совпадает с полученным в примере 2.7.

Метод изменения всех элементов определителя

При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.

Пусть дана квадратная матрица [cbm]A[/cbm] n-го порядка. Из свойства 6 следует, что при умножении всех элементов определителя n-го порядка на число [cbm]\lambda\ne0[/cbm] определитель умножается на число [cbm]\lambda^n\colon\,\det(\lambda A)=\lambda^n\det{A}[/cbm] .

Рассмотрим теперь определитель матрицы [cbm]B[/cbm] , элементы которой [cbm]b_{ij}=a_{ij}+x[/cbm] получены из соответствующих элементов матрицы [cbm]A[/cbm] прибавлением числа [cbm]x:[/cbm]

[cbm]\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x& a_{12}+x& \cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1}+x& a_{n2}+x& \cdots& a_{nn}+x \end{vmatrix}.[/cbm]

Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей

[cbm]\det{B}= \begin{vmatrix} a_{11}+x&a_{12}+ x&\cdots& a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&a_{n2}+ x&\cdots& a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}x&a_{12}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&a_{n2}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}.[/cbm]

То же свойство применяем к каждому определителю ("раскладывая" второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму [cbm]2^n[/cbm] определителей n-го порядка, причем определители, имеющие по два и более столбцов из элементов, равных [cbm]x[/cbm] , равны нулю (по свойству 4). Поэтому в сумме остаются только [cbm](n+1)[/cbm] слагаемых: определитель матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]n[/cbm] определителей вида

[cbm]D_{j}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1\,j-1}&x& a_{1\,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots& \vdots&\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n\,j-1}&x&a_{n\,j+1}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix},[/cbm]

отличающихся от определителя матрицы [cbm]A[/cbm] только j-м столбцом. Раскладывая этот определитель по j-му столбцу, получаем сумму алгебраических дополнений элементов этого столбца, умноженную на [cbm]x:[/cbm]

[cbm]D_{j}= x\cdot\sum_{i=1}^{n}A_{ij}.[/cbm]

Следовательно, сумма всех таких определителей [cbm]D_{j}\,(j=1,2,\ldots,n)[/cbm] равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы [cbm]A[/cbm] , умноженной на [cbm]x:[/cbm]

[cbm]\sum_{j=1}^{n}D_{j}= x\cdot\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij}\,.[/cbm]

Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число [cbm]x[/cbm] , определитель увеличивается на сумму всех алгебраических дополнений, умноженную на число [cbm]x:[/cbm]

[cbm]\begin{vmatrix}a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+ x\cdot\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.[/cbm]

Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка

[cbm]D_n= \begin{vmatrix}a_1&x&x&\cdots&x\\ x&a_2&x&\cdots&x\\ x&x&a_3&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}.[/cbm]

Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы [cbm]A[/cbm]

[cbm]\det{A}= \begin{vmatrix}a_1-x&0&0&\cdots&0\\ 0&a_2-x&0&\cdots&0\\ 0&0&a_3-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}.[/cbm]

Искомый определитель [cbm]D_n[/cbm] получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы [cbm]A[/cbm] числа [cbm]x[/cbm] . Поэтому

[cbm]D_n=\det{A}+x\cdot \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\,.[/cbm]

Определитель диагональной матрицы [cbm]A[/cbm] равен произведению диагональных элементов:

[cbm]\det{A}= (a_1-x)\cdot(a_2-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x)=\prod_{i=1}^{n}(a_i-x).[/cbm]

Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы [cbm]A[/cbm] . Заметим, что алгебраическое дополнение недиагонального элемента равно нулю ( [cbm]A_{ij}[/cbm] при [cbm]i\ne j[/cbm] , так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.

[cbm]A_{ij}= (a_1-x)\cdot\ldots\cdot(a_{i-1}-x)\cdot(a_{i+1}-x)\cdot\ldots\cdot(a_n-x).[/cbm]

Поэтому

[cbm]D_{n}= \prod_{i=1}^{n}(a_i-x)+x\cdot\sum_{k=1}^{n}\prod_{i=1}^{k}(a_i-x).[/cbm]

Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений

Этот метод заключается в том, что исходный определитель [cbm]\Delta_n[/cbm] n-го порядка выражается через определители [cbm]\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}[/cbm] того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение

[cbm]\Delta_n= f(\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_{n-m}).[/cbm]

Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель [cbm]\Delta_n[/cbm] через определители [cbm]\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m[/cbm] и порядок [cbm]n:[/cbm]

[cbm]\Delta_n= F(\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m).[/cbm]

В последнюю формулу подставляем определители [cbm]\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_m[/cbm] невысокого [cbm](m<n)[/cbm] порядка, которые нетрудно вычислить каким-либо другим способом.

Замечание 2.6. Рекуррентным уравнением называется равенство вида [cbm]x_n=f(n,x_{n-1},\ldots,x_{n-m})=0[/cbm] , выражающее n-й член [cbm]x_n[/cbm] искомой числовой последовательности [cbm]\{x_n\}[/cbm] через [cbm]m[/cbm] её предыдущих членов [cbm]x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{n-m}[/cbm] . Методы решения таких уравнений рассматриваются в разд.

Пример 2.15. Вычислить определитель n-го порядка

[cbm]\Delta_n= \begin{vmatrix}3&2&0&\cdots&0&0\\ -2&3&2&\cdots&0&0\\ 0&-2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.[/cbm]

Решение. Разложим определитель по первой строке

[cbm]\Delta_n= 3\cdot(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0&0\\ -2&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}+ 2\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}-2&2&\cdots&0&0\\ 0&3&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3&2\\ 0&0&\cdots&-2&3\end{vmatrix}.[/cbm]

Первый из полученных определителей (n-l)-ro порядка обозначим [cbm]\Delta_{n-1}[/cbm] , так как он имеет такой же вид, что и [cbm]\Delta_n[/cbm] . Разложив последний определитель по первому столбцу, получим определитель того же вида, что и [cbm]\Delta_n[/cbm] , но (n-2)-го порядка

[cbm]\Delta_n= 3\Delta_{n-1}- 2\begin{vmatrix}-2&2&0&\cdots&0\\ 0&3&2&\cdots&0\\ 0&-2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&3\end{vmatrix}= 3\Delta_{n-1}-2(-2)(-1)^{1+1} \begin{vmatrix}3&2&\cdots&0\\ -2&3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&3\end{vmatrix}.[/cbm]

Следовательно, искомый определитель удовлетворяет рекуррентному уравнению

[cbm]\Delta_n= 3\cdot\Delta_{n-1}+4\cdot\Delta_{n-2}.[/cbm]

Решение этого уравнения будем искать в виде [cbm]\Delta_n= a(-1)^n+b4^n[/cbm] , где [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] — неизвестные коэффициенты. Заметим, что эта формула дает решение рекуррентного уравнения при любых коэффициентах [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] . В самом деле, подставляя [cbm]\Delta_n= a(-1)^n+b4^n[/cbm] в уравнение, получаем тождество

[cbm]\begin{gathered} a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= 3\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-1}+b\cdot4^{n-1} \Bigr] + 4\cdot\Bigl[a\cdot(-1)^{n-2}+b\cdot4^{n-2}\Bigr]~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= -3a\cdot(-1)^n+\frac{3}{4}b\cdot4^n+4a\cdot(-1)^n+\frac{b}{4}\cdot4^n~~\Leftrightarrow\\[2pt] \Leftrightarrow~~ a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n.\end{gathered}[/cbm]

Подберем теперь коэффициенты [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] в формуле [cbm]\Delta_n= a\cdot(-1)^n+b\cdot4^n[/cbm] так, чтобы при [cbm]n=1[/cbm] и [cbm]n=2[/cbm] она давала правильные результаты, т.е.

[cbm]\Delta_1= a\cdot(-1)^1+b\cdot4^1=3;\quad \Delta_2= a\cdot(-1)^2+b\cdot4^2= \begin{vmatrix}3&2\\-2&3\end{vmatrix}=13.[/cbm]

Решая систему уравнений [cbm]\begin{cases}-a+4b=3,\\ a+16b=13,\end{cases}[/cbm] получаем [cbm]a=\frac{1}{5},\,b=\frac{4}{5}[/cbm] . Следовательно, искомый определитель равен

[cbm]\Delta_n= \frac{1}{5}\cdot(-1)^n+\frac{4}{5}\cdot4^n= \frac{1}{5}\Bigl[(-1)^n+4^{n+1}\Bigr].[/cbm]

Пример 2.16. Вычислить определитель Вандермонда

[cbm]\Delta_n= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x_n^{n-1}\end{vmatrix}.[/cbm] где [cbm]x_1,x_2,\ldots,x_n[/cbm] — действительные числа.

Решение. Рассмотрим определитель

[cbm]\Delta_n(x)= \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_{n-1}^2&x^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-1}&x^{n-1}\end{vmatrix},[/cbm]

который отличается от определителя Вандермонда последним столбцом, но совпадает с ним при [cbm]x=x_n\colon\,\Delta_n(x_n)=\Delta_n[/cbm] [cbm][/cbm] . Раскладывая определитель [cbm]\Delta_n(x)[/cbm] по последнему столбцу, получаем многочлен (n-1)-й степени действительной переменной [cbm]x:[/cbm]

[cbm]\Delta_n(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,[/cbm]

где старший коэффициент [cbm]a_{n-1}[/cbm] равен алгебраическому дополнению элемента [cbm]x^{n-1}:[/cbm]

[cbm]a_{n-1}= (-1)^{n+n}\cdot\Delta_{n-1}= \Delta_{n-1},[/cbm]

т.е. определителю [cbm]\Delta_{n-1}[/cbm] — определителю Вандермонда (n-l)-ro порядка. Заметим, что при [cbm]x=x_1[/cbm] определитель [cbm]\Delta_n(x)[/cbm] равен нулю, так как он имеет два одинаковых столбца (свойство 4). Следовательно, [cbm]x_1[/cbm] — корень многочлена [cbm]\Delta_n(x)[/cbm] . То же самое можно сказать про числа [cbm]x_2,x_3,\ldots,x_{n-1}[/cbm] . Все они являются корнями многочлена [cbm]\Delta_n(x)[/cbm] . Следовательно, этот многочлен имеет вид:

[cbm]\Delta_n(x)= \Delta_{n-1}\cdot(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1}).[/cbm]

Подставляя в это равенство [cbm]x=x_n[/cbm] и учитывая, что [cbm]\Delta_n(x_n)=\Delta_n[/cbm] , получаем рекуррентное уравнение

[cbm]\Delta_n= \Delta_{n-1}\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1}).[/cbm]

Записывая аналогичным образом [cbm]\Delta_{n-1},\Delta_{n-2},\ldots,\Delta_2[/cbm] и учитывая, что [cbm]\Delta_1=1[/cbm] , получаем

[cbm]\Delta_n= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1})= \prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_i-x_j).[/cbm]

Таким образом, определитель Вандермонда равен произведению всех разностей [cbm]x_i-x_j[/cbm] при [cbm]1\leqslant j<i\leqslant n[/cbm] .

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

calcsbox.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"