Как возводить число в отрицательную степень - примеры с описанием в Excel. Возводить в степень отрицательное число в


Что такое степень числа Возведение в степень отрицательного числа Порядок действий в примерах со степенями - Арифметика

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятиестепени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».

4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46

Выражение 46 называют степенью числа, где:

  • 4 - основание степени;
  • 6 - показатель степени.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается с помощью выражения:

 

Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a".

Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

  • a2 - её можно произносить как «а в квадрате»;
  • a3 - её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

  • a2 - «а во второй степени»;
  • a3 - «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

 

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:

a1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.

a0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.

0n = 0

Единица в любой степени равна 1.

1n = 1

Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

  • (-32)0 = 1
  • 0253 = 0
  • 14 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример. Возвести в степень.

  • 53 = 5 • 5 • 5 = 125
  • 2.52 = 2.5 • 2.5 = 6.25
  • ( )4 =   •   •   •   = 
    3 • 3 • 3 • 3
    4 • 4 • 4 • 4
     = 

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом - положительным, отрицательным или нулём.

 

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

 

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётнуюстепень, - число отрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a2 ≥ 0 при любом a.

  • 2 • (- 3)2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
  • - 5 • (- 2)3 = - 5 • (- 8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)4 и -54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (- 5)4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(- 5)4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625

В то время как найти -54 означает, что пример нужно решать в 2 действия:

  1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5. 54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
  2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание). -54 = - 625

Пример. Вычислить: - 62 - (- 1)4

- 62 - (- 1)4 = - 37
  1. 62 = 6 • 6 = 36
  2. -62 = - 36
  3. (- 1)4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
  4. - (- 1)4 = - 1
  5. - 36 - 1 = - 37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

 

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоватьсятаблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

intellect.ml

Как возводить число в отрицательную степень

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 - это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило – возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.

Решение задач в Excel

Для разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов.

Первое – это использование формулы со стандартным знаком «крышечка». Введите в ячейки рабочего листа следующие данные:

B

C

Формула

Результат

2

7

3

=B2^C2

343

Таким же образом можно возвести нужную величину в любую степень - отрицательную, дробную. Выполним следующие действия и ответим на вопрос о том, как возвести число в отрицательную степень. Пример:

B

C

Формула

Результат

2

7

-3

=B2^C2

0,002915

Можно прямо в формуле подправить =B2^-C2.

Второй вариант – использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента – число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

B

C

Формула

Результат

2

7

3

=СТЕПЕНЬ(B2;C2)

343

3

7

-3

=СТЕПЕНЬ(B3;C3)

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

  1. Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
  2. Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
  3. Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. Попробуйте решить на рабочем листе Excel следующий пример:

B (число)

C

Преобразование в дробь

Формула

Результат

2

7

0,4

2/5

=СТЕПЕНЬ(B2;C2)

2,177906424

Воспользовавшись вышеприведенными правилами, вы можете проверить и убедиться, что вычисление произведено правильно.

В конце нашей статьи приведем в форме таблицы с формулами и результатами несколько примеров, как возводить число в отрицательную степень, а также несколько примеров с оперированием дробными числами и степенями.

Таблица примеров

Проверьте на рабочем листе книги Excel следующие примеры. Чтобы все заработало корректно, вам необходимо использовать смешанную ссылку при копировании формулы. Закрепите номер столбца, содержащего возводимое число, и номер строки, содержащей показатель. Ваша формула должна иметь примерно следующий вид: «=$B4^C$3».

Число / Степень

1

2

3

0,5

-0,5

1

1

1

1

1

1

2

2

4

8

1,414214

0,707107

7

7

49

343

2,645751

0,377964

-7

-7

49

-343

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

0,2

0,2

0,04

0,008

0,447214

2,236068

0,4

0,4

0,16

0,064

0,632456

1,581139

-0,4

-0,4

0,16

-0,064

#ЧИСЛО!

#ЧИСЛО!

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность – это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

fb.ru

правила возведения числа и наглядные примеры

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

  1. Определение понятия.
  2. Возведение в отрицательную ст.
  3. Целый показатель.
  4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Минусовая степень обозначает, что число множат на него самого такое количество раз, какое значится в ст., а после этого единицу делят на вычисленный результат.

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

1\10=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1\100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

1\1000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

1\10000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

  • 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
  • в -3 — три нуля перед единицей;
  • в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1\100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Решение:

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Решение:

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

  • 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
  • равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
  • равно 529 сорок девятых;
  • сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Возведение в иррациональную стeпeнь

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

  • для целых чисел;
  • для нулевого показателя;
  • для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

liveposts.ru

Возведение в степень разных чисел (отрицательных, дробей, нуля,...)

Если возводим в степень отрицательное число, то действует обычное правило умножения (минус на минус дает плюс):

(-3)2 = 9 

Т.к. (-3)*(-3) - минусы дали плюс.

Также и

(-3)4 = 81

И при таком варианте:

(-3)3 = -27

или то же самое:

(-3)*(-3)*(-3) = 9*(-3)

У нас остается лишний минус, которому нет пары.

Можно сразу понять будет ли число все ещё отрицательным, после возведения в степень:

если степень нечетная (1, 3, 5, 7, 9,…), то результат обязательно будет отрицательным,

если степень четная (2, 4, 6, 8,..), то получившееся число всегда будет положительным.

Если мы возводим в степень дробь, то перемножаем верхнюю часть саму на себя и нижнюю.

Еще одно интересное свойство степеней, если мы возводим в степень одинаковые числа (или, как говорят одинаковые основания степени) и перемножаем их, то мы можем просто сложить степени.

Смотрите, как это выглядит в буквах:

bx * by = bx+y

В буквы мы можем подставить любые цифры, например,

23 * 24 = 23+4 = 27 = 128

Проверяем:

23 = 8

24 = 16

8*16 = 128

или

27 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128

Такие фокусы можно проделывать и с большим количеством перемножаемых степеней, а не только с двумя.

Соответственно, если мы делим одинаковые основания степени, то можем просто отнимать показатели степени.

bx : by = bx-y

Снова подставляем цифры:

Считаем:

35 : 33 = 35-3 = 32 = 9

Проверяем:

35 = 243

33 = 27

243:27 = 9 = 3*3

Всё получилось верно.

А вот если мы имеем разные основания и одинаковую степень для каждого из них, то мы можем сначала перемножить основания, а затем возвести их в степень:

mx * nx = (mn)x

Числовая проверка:

23 * 53 = (2*5)3

2*2*2 = 8

5*5*5 = 125

8*125 = 1000

Или

2*5 = 10

10*10*10 = 1000

Магия цифр снова подтвердилась.

При делении, мы сначала разделим основания:

mx : nx = (m : n)x

Так можно сделать, только если n ≠ 0 (n не равно нулю), поскольку на 0 делить нельзя.

Посмотрим формулу в числах.

82 : 42 = (8 : 4)3

82 = 64

42 = 16

64 : 16 = 4

Или

8 : 4 = 2

22 = 4

Всё верно.

И еще пара моментов:

Если возводим в любую степень ноль, то всегда получаем ноль

0n = 0

0*0*0*0*0*0*0,… всегда ноль.

Если возводим в любую степень единицу, то всегда получаем единицу

1n = 1 (n, как во всех выражениях с буквами, это любое число)

1*1*1*1*1,… всегда единица.

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Как возвести отрицательное число в степень

Операция возведения в степень является «бинарной», то есть имеет два обязательных входных параметра и один выходной. Один из исходных параметров называется показателем степени и определяет количество раз, которое операция умножения должна быть применена ко второму параметру - основанию. Основание может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как возвести отрицательное число в степень" Как возвести квадрат в степень Как посчитать отрицательную степень Как извлечь корень третьей степени

Инструкция

1

Используйте при возведении в степень отрицательного числа обычные для этой операции правила. Как и для положительных чисел, возведение в степень означает умножение исходной величины на саму себя количество раз, на единицу меньшее показателя степени. Например, чтобы возвести в четвертую степень число -2, его нужно трижды умножить на себя: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2

Умножение двух отрицательных чисел всегда дает положительное значение, а результатом этой операции для величин с разными знаками будет число отрицательное. Из этого можно сделать вывод, что при возведении отрицательных значений в степень с четным показателем всегда должно получаться число положительное, а при нечетных показателях результат всегда будет меньше нуля. Используйте это свойство для проверки произведенных расчетов. Например, -2 в пятой степени должно быть числом отрицательным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой - положительным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3

При возведении отрицательного числа в степень показатель может быть приведен в формате обыкновенной дроби - например, -64 в степени ?. Такой показатель означает, что исходную величину следует возвести в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а здесь вам следует обратить внимание на другую.

4

Извлечение корня - нечетная функция, то есть для отрицательных вещественных чисел она может применяться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Поэтому, если в условиях задачи требуется возвести отрицательное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте сначала операции из первых двух шагов, используя в качестве показателя степени числитель дроби, а затем извлеките корень со степенью знаменателя. Как просто

masterotvetov.com

Как возводить число в отрицательную степень

Формула есть!! Не знаю как написать ее в общем если у числа есть отрицательная степень пишешь равно там дпльше 1/и снизу число у которого была степень отрицательная но только теперь обычная если 2в минус 2ой то будет 1/2 во второй!!!

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя: <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/fa50977d5cac91272c2df39a07a28b28_i-465.gif" >

чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно эту дробь перевернуть и возвоить её в данную степень. если у степени стоит минус, о это значит, что дробь нужно просто перевернуть.

а^(-n)=1/(a^n). Просто возведи в модуль и раздели 1 на результат.

кароч берёш и делаешь специальный обряд и всо готово

а если 1\2 в минус 4?

touch.otvet.mail.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"