Как число возвести в степень? Возведение отрицательной степени в степень


Возведение в степень и извлечение корня из числа онлайн.

Корень нечётной степени из положительного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из положительного числа будет положительное число: .

Пример Вычислим корни нечётной степени из 8, 27, 125, 243

Корни 3 степени также называют кубическими корнями.

В результате вычисления корней 5-ой степени из положительных чисел, получили также положительные числа.

Корень нечётной степени из отрицательного числа

В результате вычисления корня нечётной степени из отрицательного числа будет отрицательное число: .

Пример Найдем корни 3 и 5 степеней из отрицательных чисел.
Корень четной степени из положительного числа

Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное: .

Пример Вычислим корни 2 и 4 степени.

Корень 2-й степени называют квадратный корнем.

Корень четной степени из отрицательного числа

Корень четной степени из отрицательного числа не существует для вещественных чисел.

Корень любой степени из нуля

calcs.su

Как число возвести в степень?

Одно из самых основных арифметических действий - возведение числа в степень. Поэтому так важно досконально знать, что такое степень, какие у неё особенности. Существуют строгие правила, по которым нужно возводить число в дробную, десятичную и отрицательную степень.

Как возвести число в степень: правила

Возвести число  в степень n (показатель степени) означает умножить число (основание степени) само на себя n раз:

  • а ⁿ = а*а*а*….*а, где а - основание степени, n - показатель.

Это легко сосчитать, если n – натуральное целое положительное число.

Если показатель степени n = 0, результат будет равен 1:

Ноль в любой степени – 0, поскольку умножение любого числа на 0 даёт 0:

Любое число в первой степени равно само себе:

В свою очередь, единица в любой степени – всегда единица, потому что сколько ни умножай единицу саму на себя, всё равно будет 1:

Возведение отрицательного числа в степень

Особый случай, когда основание степени отрицательное. Тогда результат будет тоже отрицательным, только если показатель степени нечётный. Любое число в чётной степени всегда даёт положительный результат:

  • (-2)² = (-2)*(-2) = 4;
  • (-2)³ = (-2)*(-2)*(-2) = -8.

Почему так получается, понятно: перемножение двух минусов в результате даёт плюс. При следующем умножении на минус получится минус.

Как возвести число в отрицательную степень

Отрицательными могут быть не только основания степени, но и её показатели. Отрицательный показатель означает, что данная степень находится в знаменателе, а в числителе – 1:

Пример:

  • 5^(-2) = 1/5² = 1/25 = 0,04.

Если основание степени отрицательное, все правила сохраняются: при чётном показателе результат положительный, при нечётном – отрицательный:

(-5)^(-3) = 1/(-5)^3 = 1/(-125) = -1/125 = -0,008.

Как возвести в дробную степень

Подробнее об этом написано в статье Как возводить в дробную степень, здесь расскажем вкратце.

Если показатель степени представляет собой дробь вида 1/n, это означает действие, обратное возведению в степень, т.е. из основания степени нужно извлечь корень n-ной степени:

а^(1/n) = ⁿ√а.

Например,

27^(1/3) = ³√27 = 3.

Если числитель в показателе степени отличен от 1, значит, результат нужно будет возвести в степень, равную числителю, и извлечь корень степени знаменателя:

а^(n/h) = (ʰ√a)ⁿ.

Пример:

36^(3/2) = (√36)³ = 6³ = 216.

Показатель степени в виде десяти

elhow.ru

как возвести число в отрицательную дробную степень например число "16" в степени "-5/4"

Это то же самое, что дробь с числителем, равным единице, и с знаменателем, равным 16 в степени 5/4. Теперь разберемся с дробной степенью 5/4. В знаменателе дробной степени стоит 4. Это то же самое, что корень 4-ой степени. В числителе дробной степени стоит 5. Это означает, что подкоренное выражение надо возвести в 5-ую степень. Таким образом, ваше выражение - это дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе - корень 4-ой степени, а под корнем - 16 в пятой степени.

16=2"4 (2"4)"(-5\4)=(2)" (-5)=1\2"5=1\32.

16^(-5/4) = = (2^4)^(-5\4) = = 2^{4 * (-5\4)} = = 2^(-20\4) = = 2^(-5) = = (1\2)^(+5) = = 1\ (2^5) = = 1\32

touch.otvet.mail.ru

Возведение числа в степень. Свойства степени, представление числа в стандартном виде. Тесты онлайн, подготовка к ЦТ, ЕГЭ, курсы по математике в Минске.

Тестирование онлайн

  • Свойства степени

  • Свойства степени. Часть 2

Возведение в степень

Степенью числа a с показателем n (), называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

Число a - основание степени, число n - показатель степени.

Четная степень отрицательного числа есть число положительное. Например,

Нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное. Например,

Любая степень положительного числа есть число положительное. Например,

При возведении нуля в любую натуральную степень n получается ноль.

Например,

При возведении единицы в любую натуральную степень n получается единица.

Например,

Свойства степени

1) Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице

2) Отрицательную степень можно преобразовать в положительную Например,

3) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним

4) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним

5) При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним

6) Степень произведения равна произведению степеней множителей

7) Степень частного равна частному степеней делимого и делителя

Число в стандартном виде

Число, представленное в виде

fizmat.by

Возведение дроби в степень: отрицательная, буквенная, со степенью

 

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала  “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как  “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу  что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½  = 1/8 что в сущности тоже самое что и

(1/2)^3 = 1/8.

Буквенное возведение в степень x^y 

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

Примеры:

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^( - 0,75) = 6^(1,77+( - 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Умножение и деление дробей: сокращение дробей + полезные советы Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПреобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Как посчитать отрицательную степень

Возведение в степень — онлайн калькулятор, секретные примеры, игры

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an = an.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8.

Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основные: Сложение, Вычитание, Умножение, Деление.

Возведение числа в степень

Возведение числа в степень – операция не сложная. Оно связано с умножением подобно связи умножения и сложения. Запись an – краткая запись n-ого количество чисел «а» умноженных друг на друга.

Рассмотри возведение в степень на самых простых примерах, переходя к сложным.

Например, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четыре в квадрате (во второй степени) равно шестнадцати. Если вам не понятно умножение 4 * 4, то читайте нашу стать об умножении.

Рассмотрим еще одни пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125. Пять в кубе (в третьей степени) равно ста двадцати пяти.

Еще один пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729. Девять в кубе равняется семи сотням двадцати девяти.

Формулы возведения в степень

Чтобы грамотно возводить в степень нужно помнить и знать формулы, указанные ниже. В этом нет ничего сверх естественного, главное понять суть и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Возведение одночлена в степень

Что из себя представляет одночлен? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, двух – одночлен. И вот именно о возведении в степень таких одночленов данная статья.

Пользуясь формулами возведения в степень вычислить возведение одночлена в степень будет не трудно.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Если возводить одночлен в степень, то в степень возводится каждая составная одночлена.

Возводя в степень переменную уже имеющую степень, то степени перемножаются. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Возведение в отрицательную степень

Отрицательная степень – обратное число. Что такое обратное число? Любому числу Х обратным будет 1/X. То есть Х-1=1/X. Это и есть суть отрицательной степени.

Рассмотрим пример (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Почему так? Так как в степени имеется минус, то просто переносим в знаменатель данное выражение, а затем возводим в его в третью степень. Просто не так ли?

Возведение в дробную степень

Начнем рассмотрение вопрос на конкретном примере. 43/2. Что означает степень 3/2? 3 – числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 – знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).

Тогда получаем квадратный корень из 43 = 2^3 = 8. Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть, как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень квадратного корня, извлекаемого из заданного числа. Конечно же, знаменатель не может быть равным нулю.

Возведение корня в степень

Если корень возводится в степень, равной степени самого корня, то ответом будет подкоренное выражение. Например, (√х)2 = х. И так в любом случае равенства степени корня и степени возведения корня.

Если (√x)^4. То (√x)^4=x^2. Чтобы проверить решение переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, то знаменатель равен 2. А если корень возводится в четвертую степень, то числитель 4. Получаем 4/2=2. Ответ: x = 2.

В любом случае лучший вариант просто перевести выражение в выражение с дробной степенью. Если не будет сокращаться дробь, значит такой ответ и будет, при условии, что корень из заданного числа не выделяется.

Возведение в степень комплексного числа

Что такое комплексное число? Комплексное число – выражение, имеющее формулу a + b * i; a, b – действительные числа. i – число, которое при возведение в квадрат дает число -1.

i^2=-1.

Рассмотрим пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Записаться на курсПодробнее

Возведение в степень онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать возведение числа в степень:

Загрузка калькулятора…

Возведение в степень 7 класс

Возведение в степень начинают проходить школьники только в седьмом классе.

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an=an.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Примеры для решения:

Возведение в степень презентация

Презентация по возведению в степень, рассчитанную на семиклассников. Презентация может разъяснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, таких моментов не будет благодаря нашей статье.

Скачать презентацию

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Записаться на курсПодробнее

Источник: https://cepia.ru/vozvedenie-v-stepenj

Калькулятор возведения в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

Показатель степени записывается как надстрочный знак, а в данной статье мы будем обозначать возведение в степень знаком ^.

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 13^4 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя.

Если умножить 13^4 на 13^2, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 13^6.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

a^m × a^n = a^(m+n).

Если разделить 13^4 на 13^2, то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 13^2. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

a^m / a^n = a^(m – n).

Теперь давайте возведем 11^4 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

(a^m)^n = a^(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 15^0? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 15^4 на 15^4, что запишется как дробь:

15^4 / 15^4.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 15^0. Следовательно:

15^4 / 15^4 = 15^0 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

a^0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 8^2 на 8^4 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8^(-2). В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

a^(-m) = 1 / a^m

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

a^(-1) = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7^(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

a^(m/n) есть корень n-ной степени из a^m.

Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e^(kt),

где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8.

Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049.

Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x^2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Заключение

Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

Источник: https://bbf.ru/calculators/73/

Отрицательная степень

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a-n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (an). Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как: 

a-n = ( 1 / an )

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение am / an = am-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса».

при n больше m, так и при m больше n. Рассмотрим на примере: 72-75=72-5=7-3.

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n).

В этом примере -n является показателем степени, b – искомое числовое значение, a – основание степени в виде натурального числового значения.

Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

 Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m – натуральные числа.

Согласно определению a, которое возведено в степень— равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1).

Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить, что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции,  как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных.

В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков.

Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу an.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Алгебра»

Источник: http://www.studyguide.ru/note.php?id=21

Степень с отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

Источник: http://www.algebraclass.ru/otricatelnaya-stepen/

Калькулятор степеней

Предлагаем попробовать наш калькулятор степеней, который поможет возвести в степень онлайн любое число.

Использовать калькулятор очень просто — введите число, которое вы хотите возвести в степень, а затем число — степень и нажмите на кнопку «Посчитать».

Примечательно то, что наш онлайн калькулятор степеней может возвести в степень как положительную, так и отрицательную. А для извлечения корней на сайте есть другой калькулятор.

Как возвести число в степень

Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:

А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.

53 = 5 x 5 x 5 = 125

Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.

Как возводить в отрицательную степень

При возведении в отрицательную степень необходимо использовать простое правило:

Все очень просто — при возведении в отрицательную степень мы должны поделить единицу на основание в степени без знака минус — т. е. в положительной степени. Таким образом, чтобы найти значение2-3

мы должны поступить следующим образом:

2-3 =1 / (23)

А так как 23 =8, то мы получим

2-3 =1 / 8 = 0,125

Ваша оценка

Источник: http://calculat.ru/kalkulyator-stepenej

Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн | Programforyou

  • Главная
  • /
  • Калькуляторы
  • /

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные).

Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным.

Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n-ой степенью числа a, если p равно числу a, умноженному само на себя n раз: p = an = a·…·an — называется показателем степени, а число a — основанием степени.

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 34Решение: как было сказано выше, 34 = 3·3·3·3 = 81.Ответ: 34 = 81.

Пример 2. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 55Решение: аналогично, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.Ответ: 55 = 3125.

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a — это единица, поделённая на a в степени n: a-n = .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1. Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2-4

Решение: как было сказано выше, 3-4 = = = 0.0625.

Ответ: 2-4 = 0.0625.

Источник: https://programforyou.ru/calculators/calculator-stepenej

Сборник задач по алгебре

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov1/Kochetkov86.htm

Экспонента на калькуляторе

Что такое экспонента и с чем её едят, мы разберемся в следующий раз. Сейчас мы разберемся, как где находится экспонента на калькуляторе и как её на калькуляторе считать. Нажимайте на ссылку, калькулятор откроется в новом окне. Приступим к практическим занятиям.

Нажимайте на те же кнопочки, что нажимал я и смотрите на результат.

Для начала возведем число е в степень 4. В начале нужно набрать показатель степени. Нажимаем на кнопочку 4.

Результат нашего вмешательства в беззаботную жизнь калькулятора можете посмотреть на картинке.

После этого нажимаем на специальную кнопочку экспоненты, обозначенную на калькуляторе е в степени х. Как видно из рисунка, калькулятор нас правильно понял и отреагировал именно так, как нам нужно.Для вычисления заданного нами примера экспоненты необходимо нажать кнопочку равно.Всё, мы получили требуемое значение.

е4=54,598

Общий порядок нахождения экспоненты на калькуляторе такой: набираете показатель степени, потом нажимаете специальную кнопку ех и кнопку =, результат готов. Можно поступить наоборот — сперва нажать кнопочку экспоненты ех, после этого ввести значение показателя степени и нажать кнопку равно.

Для показателей степени в виде целях чисел или десятичных дробей оба варианта одинаковы. Если же показатель степени задан обыкновенной дробью, то лучше пользоваться вторым способом. Сперва нажимаете кнопку экспоненты, потом вводите числитель дроби, нажимаете кнопку деления, вводите знаменатель дроби и нажимаете кнопку равно.

На этой странице мы рассмотрим первый способ.

Для начала вычислим е в первой степени. Собственно, это и будет значение числа е. Напомню, что любое число в первой степени равно самому себе. Порядок нажимания кнопочек пронумерован на картинке красными цифрами.

Мы получили округленное до 14 знаков после запятой значение числа е:

е1=е=2,71828182845905≈2,718

Число е подчиняется всем свойствам степени, как и любое другое число. Результаты возведения его в степень такие же, как у чисел больших единицы. При возведении в степень больше единицы результат будет больше первоначального. Для примера, возведем число е в не целую степень 9,876. Порядок нажимания кнопочек показан красными цифрами, результат виден на картинке.

Если показатель степени меньше единицы но больше нуля, то результат получится меньше первоначального но больше единицы. Это соответствует извлечению корня из числа е. Если на калькуляторе ввести показатель степени 0,5 (что равнозначно 1/2) то мы найдем квадратный корень числа е. Мы для примера возьмем экспоненту в степени 0,123По логике, дальше следует показатель степени . Число е, как и любое другое число в нулевой степени, равняется единице. Это мы знаем и без калькулятора.

е0=1

Теперь переходим к отрицательным показателям степени экспоненты. Знак минус возле степени означает обратное число, то есть единицу, деленную на число е в указанной степени, но уже без знака минус. Умный калькулятор это понимает и без наших подсказок — он отлично справляется с отрицательной степенью. Для начала вычислим е в минус первой степени. Смотрим на картинку.

Мы получили число, обратное числу е:

е-1=1/е1=1/e=0,36787944117144≈0,368

Дальше пробуем добыть экспоненту со степенью меньше минус единицы.Здесь полученный результат нужно преобразовать в удобоваримый для математиков вид. Делается это так:

е-9,876=1/е9,876=1/e=0,00005139344103≈5,139*10-5

Если после полученного на калькуляторе результата нажать ещё раз на знак равенства, десятичная дробь преобразуется в обычную дробь. Результат этой хитрой операции виден на картинке.Но этот результат мне не нравится. Одна тысячная почти в два раза больше пяти десятитысячных. Если бы программа с калькулятором была русской, я бы подумал, что эту функцию писал бывший госслужащий, привыкший всё увеличивать в два раза (нужно же откуда-то себе воровать). Остается только предупредить, что и калькулятору полностью доверять нельзя, нужно самому анализировать результат, который он выдает. В заключение найдем экспоненту с показателем степени больше минус единицы, но меньше нуля.Теперь попробуем преобразовать результат в обычную дробь.На этот раз калькулятор выдал более красивый результат. Но я уже ему не верю. Проверим результат преобразования, разделив на калькуляторе числитель на знаменатель. Результат деления записан ниже экспоненты.Вот теперь можно поверить калькулятору, поскольку погрешность преобразования совсем незначительная. Округление даже до пяти знаков после запятой дает одинаковый результат. Что делать, если вы пользуетесь виндосовским калькулятором и даже в инженерном варианте нет заветной кнопочки «е в степени икс»? Найдите кнопочку «Inv», рядом с ней есть кнопочка натурального логарифма «ln». Смело нажимайте кнопочку «Inv».

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 86. Степень положительного числа с отрицательным дробным показателем

Подобно тому как в § 71 мы определили степень а—п числа а с отрицательным целым   показателем — п, можно   определить  и степень положительного числа а с отрицательным дробным показателем —m/n.

Пусть а— произвольное положительное  число,   а т и п — натуральные числа. Тогда по определению

Степень положительного числа с отрицательным дробным, показателем равна единице, деленной на степень того же числа с  показателем,  противоположным   показателю   данной   степени.

Например,   

Теперь мы знаем, что представляет собой степень положительного числа с любым рациональным показателем.

Степени с рациональными показателями обладают следующими основными  свойствами:

Частично эти свойства были доказаны нами в предыдущих параграфах, но лишь для положительных показателей. Теперь же мы можем доказать их для произвольных рациональных показателей.

Докажем,  например,  свойство   1.

Для положительных показателей m/n и p/q доказательство было дано в  предыдущем  параграфе. Поэтому нам нужно  рассмотреть следующие случаи:

1)  оба показателя отрицательны;

2)  один из  показателей отрицательный,   а другой — положительный;

3)  хотя бы один из показателей равен нулю.

Пусть т, п, р и q — натуральные числа. Покажем, что

Действительно, по определению степени с отрицательным показателем

Поэтому

откуда и вытекает требуемое соотношение.

Мы рассмотрели случай, когда показатели каждой из двух степеней отрицательны. Теперь рассмотрим случай, когда один из них положителен, а другой отрицателен. Докажем, например,  что

Если m/n > p/q, то по свойству 5, упомянутому в предыдущем  параграфе,

Здесь мы используем определение а0 = 1. Таким образом,

Нам осталось рассмотреть случай, когда из двух степеней с одинаковыми основаниями хотя бы одна имеет нулевой показатель.. Докажем,   например,   что

Действительно,   а0 = 1 и m/n+ 0 = m/n Поэтому

Свойство   1  доказано.

Аналогично можно доказать и все остальные свойства.

Заметим,   что  если   в   предыдущем   параграфе   мы   могли    говорить о свойстве 5 лишь при m/n > p/q,   то теперь,    используя   определения степени положительного числа с нулевым и отрицательным дробным показателем, мы можем доказать его и для случая, когда m/n 

Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 1

После нажатия этой кнопочки, расположенная рядом кнопочка натурального логарифма волшебным образом превратится в кнопочку «число е в степени икс».

Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 2

По замыслу создателей калькулятора, такие превращения натурального логарифма и ежу понятны. Но… Во-первых. Ёжик должен быть трезвым. Во-вторых. Ёжик должен быть сообразительным. В третьих. В памяти ежа на первом месте должны бить свойства натуральных логарифмов, а не какая-то ерунда типа любви, смысла жизни или завтрашнего урока по математике. Что касается меня. Я редко бываю трезвым — это раз. Иногда я ужасно туплю — это два. Для меня смысл математики гораздо важнее свойств каких-то вшивых логарифмов — это три.

Источник: http://www.webstaratel.ru/2012/01/jeksponenta-na-kalkuljatore.html

Возведение числа в отрицательную степень

Как известно, в математике существуют не только положительные числа, но и отрицательные. Если знакомство с положительными степенями начинается с определения площади квадрата, то с отрицательными всё несколько сложнее.

Это следует знать:

  1. Возведением числа в натуральную степень называется умножение числа (понятие число и цифра в статье будем считать эквивалентными) само на себя в таком количестве, каков показатель степени (в дальнейшем будем использовать параллельно и просто слово показатель). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. В общем виде это выглядит так: m^n = m*m*m*…*m (n раз).
  2. Нужно учитывать, что при возведении отрицательного числа в натуральную степень, оно станет положительным, если показатель чётный.
  3. Возведение числа в показатель 0 даёт единицу, при условии, что оно не равно нулю. Ноль в нулевой степени считается неопределённым. 17^0 = 1.
  4. Извлечением корня некой степени из числа называется нахождение такого числа, которое при возведении в соответствующий показатель даст искомое. Так, корень кубический из 125 равен 5, поскольку 5^3 = 125.
  5. Если требуется возвести число в дробную положительную степень, то необходимо возвести число в показатель знаменателя и извлечь из него корень показателя числителя. 6^5/7 = корень седьмой степени из произведения 6*6*6*6*6.
  6. Если требуется возвести число в отрицательный показатель, то необходимо найти цифру обратную данной. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Возведение в отрицательную степень числа по модулю от нуля до единицы

Сначала нам следует вспомнить, что такое модуль. Это расстояние на координатной прямой от выбранного нами значения до начала отсчёта (нуля координатной прямой). По определению он никогда не может быть отрицательным.

Значение больше нуля

При значении цифры в промежутке от нуля до единицы отрицательный показатель даёт увеличение самой цифры. Происходит это из-за уменьшения знаменателя, остающегося при этом положительным.

Рассмотрим на примерах:

  • 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
  • 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Причём, чем больше модуль показателя, тем активнее растёт цифра. При стремлении знаменателя к нулю – сама дробь стремится к плюс бесконечности.

Значение меньше нуля

Сейчас рассмотрим как возводить в отрицательную степень, если цифра меньше нуля. Принцип тот же, что и в предыдущей части, но здесь имеет значение знак показателя.

Опять-таки обратимся к примерам:

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/vozvedenie-chisla-v-otritsatelnuyu-stepen

Как посчитать степень?

Как посчитать степень?

Гуманитарные науки

1. Углубленное рассмотрение вопроса «как посчитать степень?»

В частности данные примеры помогают ученикам развивать мышление на уроках математики. В жизни такие вычисления проводятся нечасто. Одним из вариантов выступает расчет площади квадрата или объёма куба, поскольку величины сторон данных фигур являются одинаковыми. Так же расчеты степени часто проводятся на производстве.

2. Для полного обхвата тематики можно попробовать возвести отрицательное число в степень. При этом, четная степень будет со знаком «+», а нечетная – со знаком «-». (-3)^2 = (-3)*(-3) = 9

(-3)^3 = (-3)*(-3)*(-3) = -27

3. Дальше — интереснее. Например, сейчас многие удивятся, если узнают, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Как это выглядит.

5^0 = 1 (-7)^0 = 1

(3/4)^0 = 1

4. Если показатель равен единице, это значит, что число остается без изменений.

8^1 = 8435^1 = 435

5. Извлечение корня. Проведем элементарное действие, обратное возведению в степень.

Допустим, 3^2 = 9, тогда квадратный корень из 9 равняется 3.Или 2^3 = 8, в таком случае корень третей степени равен 2.

6. При необходимости возвести число в отрицательную степень, нужно провести следующие расчеты:

Возводим 10 в -3 степень 10*10*10= 1 000 Знак «минус» показывает, что результат надо подставить в знаменатель простой дроби.

То есть, получим 1/1 000 = 0,001

Для подобных вычислений существуют специальные таблицы. Кроме этого, никто не исключает возможности воспользоваться калькулятором онлайн, особенно это удобно, когда нужно посчитать дробные числа корня или показателя степени. Так же одним из наиболее доступных инструментов для проведения операций со степенями считается таблица Excel.

  • Компьютеры, Интернет
  • Красота и Здоровье
  • Досуг, Развлечения
  • Семья, Дом, Дети
  • Еда, Кулинария
  • Товары и Услуги
  • Животные, Растения
  • Наука, Техника, Языки
  • Бизнес, Финансы
  • Знакомства, Любовь, Отношения
  • Философия, Непознанное
  • Авто, Мото
  • Искусство и Культура
  • Юридическая консультация
  • Темы для взрослых
  • Гороскопы, Магия, Гадания
  • Работа, Карьера
  • Образование
  • Спорт
  • Стиль, Мода, Звезды
  • Города и Страны
  • Фотография, Видеосъемка
  • Общество, Политика, СМИ
  • Путешествия, Туризм
  • Юмор
  • Другое
  • Без рубрики
  • Популярные
  • Последние Вопросы

Источник: http://questione.ru/a/kak-poschitat-stepen

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a0 не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

a0 = 1

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a-m, само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100 + 0 × 10-1 + 9 × 10-2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 101 + b × 100 + c × 10-1 + d × 10-3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

    При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

      Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

      Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

      При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

        Дробный показатель

        Если k не есть число кратное n, то выражение:не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

        Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

        Действия над степенями с дробными показателями

        Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

        При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей:и, служащих показателями степеней, положительны.

        В частном случае n или q могут равняться единице.

        При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

        При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

        Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

        Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

        Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

        Источник: https://naobumium.info/algebra/stepen.php

        __________________________________________

        novpedkolledg2.ru

        Возведение в степень

        В арифметике сложение равных чисел рассматривается как новое действие — умножение.

        При этом число-слагаемое пишется только один раз, а за ним (после знака умножения) пишется число множитель, которое показывает, сколько раз надо взять слагаемым первое число. Например:

        3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5;.

        В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень.

        Если, например, число 5 умножается само на себя, то произведение 5 * 5 = 25 называется второй степенью числа 5; произведение 5 * 5 * 5 = 125 называется третьей степенью числа 5; число 5 * 5 * 5 * 5 = 625 — четвертой степенью этого числа и т. д. При этом говорят, что число 5 возводится во вторую, в третью, в четвертую и т. д. степень.

        Определение. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень.

        При этом:

        1. Произведение n сомножителей, равных a, называется n-й степенью числа a.
        2. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени.
        3. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени.

        Так, в рассмотренном примере основанием степени был взято число 5; показателем степени в первом случае было число 2, во втором — число 3, а в третьем — число 4.

        Степень коротко записывают так: пишут основание степени и справа от него вверху (более мелко) показатель степени:

        52 = 25,     53 = 125,    54 = 625    и т. д.

        В общем случаеПриведем примеры, поясняющие все сказанное.

        1. Примем за основание число 3 и будем возводить его в различные степени:

        32 = 3 * 3 = 9;    33 = 3 * 3 * 3 = 27;    34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81;35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 и т. д.

        2. Примем за основание какое-нибудь отрицательное число, например –2, тогда получим:(–2)2 = (–2) * (–2) = 4;(–2)3 = (–2) * (–2) * (–2) = –8;(–2)4 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = 16;(–2)5 = (–2) * (–2) * (–2) * (–2) * (–2) = –32 и т. д.3. Приняв за основание дробное число, например , получим:4. Приняв за основание дробное отрицательное число, например , получим:Следует запомнить, что нуль в любой степени равен нулю, единица в любой степени равна 1, так какПринято вторую степень числа называть квадратом, а третью степень — кубом этого числа.

        Это объясняется тем, что площадь квадрата со стороной a выражается второй степенью числа a, то есть a * a = a2 (квадратных единиц), а объем куба с ребром, равным a, выражается третьей степенью этого числа: a * a * a = a3 (кубических единиц). Возведение числа во вторую и третью степень короче называют возведением в квадрат и в куб.

        По смыслу определения действия возведения в степень показатель степени может равняться двум, трем, четырем и т. д., то есть может быть только натуральным числом, большим единицы.

        Принято считать, что первая степень любого числа есть само это число, например:

        51 = 5;    8,351 = 8,35;    (–3)1 = –3.

        Заметим, однако, что показатель 1 обычно не пишется.

        Итак, если число записано без показателя степени, то подразумевается, что этот показатель равен 1.

        В арифметике показателями степени пользуются для краткой записи разложения целых чисел на множители в том случае, когда среди простых множителей данного числа имеются равные между собой. Разложив, например, на простые множители число 60984, получим:

        60984 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 * 11 * 11.

        Кратко, пользуясь показателями степени, это число можно записать так:

        60984 = 23 * 32 * 7 * 112.

        Полезно запомнить запись единиц различных разрядов в виде степеней числа 10:

        100 = 102;    1000 = 103;    10000 = 104;    100000 = 105;1000000 = 106 и т. д.

        Из приведенных числовых примеров видно, что при возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число, а при возведении в нечетную степень получается отрицательное число.Это и понятно. Четная степень всякого числа есть произведение четного числа сомножителей, а четное число отрицательных сомножителей дает в произведении положительное число (§ 18).

        Нечетная степень отрицательного числа, как произведение нечетного числа отрицательных сомножителей, будет отрицательным числом.

        Итак, четная степень отрицательного числа положительна, нечетная степень отрицательна.

        mthm.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"