матан коллоквиум / 11.Понятие возрастания и убывания функции. Возрастание и убывание функции определение


Возрастание и убывание функций, экстремумы

Экстремумы функции

Определение 1

Точки $x_0$ называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.

Определение 3

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.

Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.

Определение 4

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;

2) $f'\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.

Теорема 1

Необходимое условие экстремума

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо $f'\left(x_0\right)=0$, либо производная в точке $x_0$ не существует.

Теорема 2

Достаточное условие экстремума

Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right)

2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.

3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right) >0$ или производная $f'\left(x\right)

Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.

Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов

Примеры экстремумов (Рис. 2).

Рисунок 2. Примеры точек экстремумов

Правило исследования функции на экстремум

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.

Возрастание и убывание функции

Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Исследование функции на возрастание и убывание

Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.

Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:

1) Найти область определения функции $f(x)$;

2) Найти производную $f'(x)$;

3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;

4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;

5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;

7) Сделать вывод: на промежутках, где $f'\left(x\right)0$ функция возрастает.

Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов

Пример 1

Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$

Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.

1) Область определения - все действительные числа;

2) $f'\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f'\left(x\right)=0$;

\[6x^2-30x+36=0\] \[x^2-5x+6=0\] \[x=3,\ x=2\]

4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;

5) Координатная прямая:

Рисунок 3.

6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:

\[f'\left(x\right) >0,\ при\ \left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )\] \[f'\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:

Рисунок 4.

Получаем:

Функция возрастает, при $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция убывает, при $\left(2,3\right)$.

Точка $x=2$ - точка максимума, точка $x=3$ - точка минимума.

spravochnick.ru

11.Понятие возрастания и убывания функции

озрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых ивыполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых ивыполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке.

studfiles.net

Возрастание и убывание функции

Содержание:

  1. Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.
  2. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.
  3. Возрастание (убывание) функции в точке.

Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.

Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале \((a,b)\) функция \(f(x)\) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $$ f'(x)\geq 0\;при\;всех\;x\in(a,b).\label{ref1} $$ Аналогично, условие $$ f'(x)\leq 0\;при\;всех\;x\in(a,b)\label{ref2} $$ является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\).

Доказательство.

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.

Необходимость. Пусть \(x_0\) — произвольная точка интервала \((a,b)\). Из определения возрастающей функции (\S\ 9,\ i.\ 7) следует, что  $$ \forall х\in (a,b):\;x\;>\;x_{0}\rightarrow f(x)\geq f(x_{0}),\nonumber $$ $$ \forall х\in (a,b):\;x\;<\;x_{0}\rightarrow f(x)\leq f(x_{0}),\nonumber $$ Следовательно, если \(x\in(a,b)\) и \(x\neq x_0\), то выполняется неравенство $$ \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}\geq 0.\label{ref3} $$ Так как левая часть \eqref{ref3} имеет при \(x\rightarrow x_0\) предел, равный \(f'(x_{0})\), то из неравенства \eqref{ref3} по свойству сохранения знака нестрогого неравенства при предельном переходе получаем $$ f'(x_0)\geq 0\;для\;любого\;x_{0}\in (a,b).\nonumber $$Достаточность. Пусть выполняется условие \eqref{ref1} и пусть \(x_1, x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\), причем \(x_1\;<\;x_2\). Применяя к функции \(f(x)\) на отрезке \([x_1,x_2]\) теорему Лагранжа, получаем $$ f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),\nonumber $$ где \(f'(\xi)\geq 0\), так как \(\xi\in(a,b)\). Отсюда следует, что $$ \forall x_{1},x_{2}\in (a,b):\;x_{2}\;>\;x_1\rightarrow f(x_2) \geq f(x_{1}).\label{ref4} $$ Это означает, что функция \(f(x)\) является возрастающей на интервале \((a,b).\quad \bullet\)

Вернуться наверх

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Теорема 2. Если для всех \(х\in (a,b)\) выполняется условие $$ f'(x)\;>\;0,\label{ref5} $$ то функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\), а если для всех \(х\in (a,b)\) справедливо неравенство $$ f'(x)\;<\;0,\label{ref6} $$ то функция \(f(x)\) строго убывает на интервале \((a,b)\).

Доказательство.

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется условие \eqref{ref5}. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\) такие, что \(x_1\;<\;x_2\). По теореме Лагранжа $$ f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)(x_{2}-x_1),\;где\;\xi\in(a,b).\nonumber $$ Отсюда и из условия \eqref{ref5} следует, что \(f(x_2)\;>f(x_{1})\). Это означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b).\quad\bullet\

Пример 1.

Доказать, что функции \(\operatorname{sh}x\) и \(\operatorname{th}x\) строго возрастают на \(\mathbb{R}\).

Решение.

\(\triangle\) Так как \((\operatorname{sh}x)'=\operatorname{ch}x\;>\;0\) и \((\operatorname{th}x=\displaystyle \frac{1}{\operatorname{ch}^{2}x}\;>\;0\) для всех \(x\in\mathbb{R}\), то по теореме 2 функции \(\operatorname{sh}x\) и \(\operatorname{th}x\) являются строго возрастающими на \(\mathbb{R}\). \(\blacktriangle\)

Замечание 1.
Условие \eqref{ref5} не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция \(f(x)=x^{3}\) строго возрастает на \(\mathbb{R}\), но условие \eqref{ref5} не выполняется, так как \(f'(0)=0\).

Теорема 3. Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и удовлетворяет условию \eqref{ref6}, то эта функция строго убывает на отрезке \([a,b]\).

\(\circ\) Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. \(\bullet\)

Пример 2.

Доказать, что если \(0\;<\;x\;<\;\frac{\pi}{2}\), то $$ \sin x\;>\;\frac{2}{\pi}x.\label{ref7} $$

Решение.

\(\triangle\) Рассмотрим функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{\sin x}{x},\;f(0)=1\). Эта функция непрерывна на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\) и дифференцируема на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\), причем \(f'(x)=\displaystyle \frac{\cos x}{x^{2}}(x-\operatorname{tg}x)\;<\;0\), так как на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) выполняются неравенства \(\cos x\;>\;0,\;\operatorname{tg}x\;>\;x\) (\S 12, (3)). По теореме 3 функция \(f(x)\) строго убывает на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\), и поэтому \(f(x)\;>\;f(\displaystyle \frac{\pi}{2})\) для \(x\in\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\), т.е. выполняется неравенство \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\;>\;\frac{2}{\pi}\), равносильное на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) неравенству \eqref{ref7}. Геометрическая интерпретация неравенства \eqref{ref7}: на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) график функции \(у=\sin x\) лежит выше графика функции \(y=\displaystyle \frac{2}{\pi}x\) (рис. 20.1).

Рис. 20.1

Отметим, что $$ \sin x\geq \displaystyle \frac{2}{\pi}x\;при\;x\in \left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right],\label{ref8} $$ причем при \(x=0\) и \(x= \displaystyle \frac{\pi}{2}\) неравенство \(\sin x\geq \displaystyle \frac{2}{\pi}x\) обращается в равенство.\(\blacktriangle\) 

Вернуться наверх

Возрастание (убывание) функции в точке.

Будем говорить, что функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\) если существует \(\delta\;>\;0\) такое, что \begin{equation} \begin{array}{l} \forall x\in (x_{0}-\delta,x_0)\rightarrow f(x)\;<\;f(x_{0}),\label{ref9}\\ \forall x\in (x_{0},x_0+\delta)\rightarrow f(x)\;>\;f(x_{0}), \end{array} \end{equation}

Заметим, что условие \eqref{ref9} равносильно условию $$ \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\;>\;0,\quad x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}).\label{ref10} $$ Аналогично вводится понятие строгого убывания функции \(f(x)\) в точке \(x_0\). В этом случае $$ \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\;<\;0,\quad x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}).\nonumber $$

Теорема 4. Если \(f'(x_0)\;>\;0\), то функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\), а если \(f'(x_0)\;<\;0\), то функция \(f(x)\) строго убывает в точке \(x_0\).

Доказательство.

\(\circ\) Пусть, например, \(f'(x)\;>\;0\). Из определения производной следует, что по заданному числу \(\varepsilon=f'(x_0)\;>\;0\) можно найти \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(x_0)\) выполняется неравенство \(\left|\displaystyle \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-f'(x_{0})\right|\;<\;f'(x_{0})\), откуда следует утверждение \eqref{ref10}.

Аналогично рассматривается случай \(f'(x_0)\;<\;0\). \(\bullet\)

Вернуться наверх

univerlib.com

Лекция 16. Монотонность функции и точки экстремума

Монотонность функций и точки экстремума. Лекция 16.

Монотонность функций и точки экстремума.

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций.

Возрастание и убывание функций.

По поведению производной функции на промежутках можно судить о ее монотонности на них.

Необходимые условия возрастания (убывания) функции.

Теорема 32. Если дифференцируемая на некотором интервале функция возрастает (убывает) на нем, то() для всех.

Доказательство. Пусть функция возрастаетинтервале . Выберем произвольные точки ина этом интервале и рассмотрим отношение

Функция возрастает, поэтому прибудети, а прибудети. В обоих случаях

так как числитель и знаменатель дроби будут иметь одинаковые знаки. Следовательно,

Аналогично рассматривается случай, когда функция убывает наинтервале .

Замечание 1. Геометрически теорема 32 означает, что касательные к графику возрастающей функции имеют острые углы с положительным направлением оси (рис. 62), а убывающие – тупые (рис. 63).

Достаточные условия возрастания (убывания) функции.

Теорема 33. Если функция дифференцируема на интервалеи() для всех, то функциявозрастает (убывает) на этом интервале.

Доказательство. Пусть на интервале . Возьмем точки. Применим к отрезкутеорему Лагранжа

,

где . Так каки, тои. Следовательно, функциявозрастает на интервале.

Максимум и минимум функции.

Основные понятия.

Точка называетсяточкой максимума (минимума) функции , если существует такая– окрестность точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство() (рис. 64).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется ее максимумом (минимумом).

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Точки, в которых производная функции не существует или равна нулю, называют критическими.

Необходимое условие экстремума.

Теорема 34. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то ее производная в этой точке равна нулю,.

Доказательство. Пусть – точка максимума. Следовательно, в окрестности точкивыполняется неравенство. Тогдаеслии

Если . По условию теоремы производная функции

существует. Переходя к пределу при , получим, еслии, если. Это возможно лишь в случае.

Аналогично можно показать утверждение теоремы если – точка минимума.

Замечание 1. Геометрически утверждение теоремы означает, что в точках экстремума касательные к графику функции параллельны оси (рис. 65). Обратная теорема не верна. Если , то это не всегда означает, что точка– точка экстремума. Действительно, для функциив точкепроизводная,, но точкане является ни минимумом, ни максимумом (рис. 66). Существуют так же функции, которые в точках экстремума не имеют производных. Так функцияв точкене имеет производной, но эта точка является ее минимумом (рис. 67).

Достаточное условие экстремума.

Теорема 35. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой– окрестности критической точкии при переходе через нее (слева направо) производнаяменяет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точкаесть точка максимума (минимума).

Доказательство. Рассмотрим – окрестность точки. Пусть выполняется условия:, для любогои, для любого. Тогда функциявозрастает на интервале

и убывает на интервале . Следовательно, значение функциив точкеявляется наибольшим значением на интервале, т. е.для всех. Это означает, что– точка максимума. Аналогично доказывается случай для точки минимума (рис. 68).

Теорема 36. Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная в точкесуществует и отлична от нуля, то прив точкефункцияимеет максимум, а при– минимум.

Доказательство. Пусть . Так как

то в достаточно малой окрестности точки выполняется неравенство

Если , то, а если, то.

Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 35 достаточных условий экстремума, точкаесть точка минимума. Аналогично доказывается случай для точки максимума.

Пример 60. Исследовать монотонность функции

и найти ее точки экстремума.

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю

Отсюда: . Построим числовую ось и на ней отметим методом интервалов знаки производной. Там, где производная меняет знак с (+) на (-), будет точка максимума (), где с (-) на (+) – точка минимума (). Из рисунка видно, что минимум достигается в точке, максимум - в точке, причем

Функция убывает на интервалах и, возрастает на интервале(рис. 69).

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке. Такая функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения она может принимать либо во внутренней точкеотрезка, либо на границе отрезка, т. е. в точкахи.

Если , то наибольшее и наименьшее значения следует искать среди критических точек функции.

Таким образом, можно сформулировать следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в найденных точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках и;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Если функция имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает свое наибольшее (наименьшее) значение (рис. 70).

Замечание 2. Если функция не имеет на отрезкекритических точек, то на нем функция либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает. Свои наибольшее и наименьшее значения функция принимает в этом случае на концах отрезка (рис. 71).

Пример 61. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке .

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю

Откуда . Точкиине лежат на отрезке, поэтому находим значения функции в точкахи на границе отрезка - в точкахи:

Выбираем наименьшее и наибольшее из этих значений.

Ответ: .

94

studfiles.net

6.5.3. Возрастание и убывание функции

Функция называетсявозрастающей в интервале , если для любых двух точекииз указанного интервала, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Функцияназываетсяубывающей в интервале , если для любых точекииз указанного интервала, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Признаки возрастания и убывания функции.

1) Если для любого, то функциявозрастает на.

2) Если для любого, то функцияубывает на.

6.5.4. Экстремумы функции

● Дифференцируемая функция имеетминимум в точке если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство(рис. 30,а).

Функция имеетмаксимум в точке если существует такая окрестность точки, что для всех точекиз этой окрестности выполняется неравенство(рис. 30,б).

Рис. 30, аРис. 30,б

● Рассмотрим функцию , дифференцируемую в некоторой области.

Минимумом функции называется такое ее значение, которое меньше всех других значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точкеи отличных от нее (рис. 31,а), т. е. .

Максимумом функции называется такое ее значение, которое больше всех других значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точкеи отличных от нее (рис. 31,б), т. е. .

Точки, в которых функция имеет минимум (максимум), называются точками минимума (максимума). Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Признаки экстремума функции

1. Необходимый признак экстремума

Если дифференцируемая функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулюТочканазывается критической точкой функции

Если дифференцируемая функция в точкеимеет экстремум, то ее первые частные производные равны нулю, т. е. если– точка экстремума функции, то

–критическая точка функции

2. Достаточный признак экстремума

Если в точке производная функцииравна нулю и при переходе слева направо через эту точку меняет знак, тоявляется точкой экстремума, причем:

1) – точка максимума, если производная меняет знак с "+" на "–" .

2) – точка минимума, если производная меняет знак с "–" на "+" .

2* Достаточное условие экстремума можно выразить с помощью второй производной. Если в точке первая производная функцииравна нулю, а вторая производная отлична от нуля, тояв-ляется точкой экстремума, причем:

1) – точка минимума, если

2) – точка максимума, если

Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки. Если ее первые частные производные в точкеравны нулю, а вторые производные принимают значениято прив точкеминимум, а прив точкемаксимум функции.

Если в точке, тоне является точкой экстремума. Еслив точке, то вопрос об экстремуме функции в этой точке не решен

studfiles.net

7. Возрастание и убывание функции

При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется, монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего. Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.

Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно – только возрастают или только убывают. Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают.

Определение 5.7. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство.

Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными. На рис. 5.5 изображены локальные максимумы и минимумы. Максимум и минимум функции объединены общим названием: экстремум функции.

Из рис. 5.5. видно, что касательные, которые проходит через экстремумы функции параллельны оси абсцисс. Таким образом, угол между касательной и осью равен нулю, а значит и производная равна нулю (поскольку). Кроме того, экстремумы функции могут наблюдаться и в тех точках, где производная не существует. Например, для функциив точке(хотя левосторонняя и правосторонняя производная существуют, но они между собой не равны:,).

Определение 5.8. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Определение 5.9. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Однако это вовсе не означает, что если данная точка является критической, то в ней обязательно будет наблюдаться либо максимум, либо минимум. Это необходимо, но не достаточно. Например, для функции точкаявляется стационарной, однако в ней не наблюдается экстремума (см. рис. 5.6). Если функция возрастает в некотором интервале, то угол между касательной и осью абсцисс, а значит тангенс и соответственно производная больше нуля. Если же функция убывает, то, очевидно, что. Таким образом, экстремумы обязательно наблюдаются в тех точка, при переходе через которые знак производной меняется на противоположный. Сформулируем теперь две теоремы, которые будут являться соответственно необходимым и достаточным условиями существования экстремума функции.

Теорема 5.1. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке функцияимеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная приобращается в нуль,.

Теорема 5.2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производнуюво всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку(за исключением может быть самой этой точки), и если производнаяпри переходе аргумента слева направо через критическую точкуменяет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.

studfiles.net

4.8. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Функция y=ƒ(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых ,X, , верно неравенство

ƒ(

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания функции.

Если производная дифференцируемой функции положительная (отрицательная) внутри некоторого промежутка X, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точкой максимума функции y=ƒ(x) называется такая точка что в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство

.

Точкой минимума функции y=ƒ(x) называется такая точка , что в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство

.

Максимумом и минимумом функции называются значения функции в точках (точка максимума) и(точка минимума). Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремума функции.

На рисунке 4.7 ,,,– точки экстремумов функции, аm и M – ее наименьшее и наибольшее значения.

Следует заметить, что определенные выше максимум и минимум функции не обязательно являются ее наибольшим и наименьшим значениями на отрезке , в связи с чем они называютсялокальными максимумами и минимумами. Локальных максимумов и минимумов может быть много, в то время как наибольшее и наименьшее значения функции равны конкретным числам M и m.

y

M

m

0a x1x2x3x4b x

Рис. 4.7

Необходимое условие экстремума

Если в точке дифференцируемая функцияy=ƒ(x) имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. ) = 0.

Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция y = имеет экстремум (минимум) в точке x = 0, но не дифференцируема в ней (рис. 4.8, a). Функция y = также имеет в точке x = 0 минимум (рис. 4.8, б), но производная ее в этой точке не существует. Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того, чтобы функция y=ƒ(x) имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала, т.е. чтобы точкабыла критической.

Это условие не является достаточным, что показывает пример, приведенный на рис. 4.8, в.

a б в

y =

1 y = -----------------

х х х

Рис. 4.8

Достаточные условия экстремума

ППуст Пусть функция y=ƒ(x) дифференцируема в δ-окрестности точки . Тогда, если в этой точке производная меняет знак, имеет место локальный экстремум.

Действительно, если в левой половине δ-окрестности производная больше нуля, то в ней функция возрастает. Если при этом в правой половине δ-окрестности производная меньше нуля, то в ней функция убывает. Таким образом, если в стационарной точке производная функции меняет знак с плюса на минус, тоявляется точкой максимума. Точно так же если производная меняет знак с минуса на плюс, то- точка минимума (рис. 4.9).

– + + –

min max

Рис. 4.9

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке , необходимо:

1. Найти критические точки на этом отрезке.

2. Подсчитать значения в этих точках и на концах отрезка.

3. Выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.

Примеры:____________________________________________________

1. Исследуем на экстремум следующие функции: ,,x, 1-. Решение представим в виде таблицы (табл. 4.5).

Таблица 4.5

f(x)

x

1-

3

2x

1

Критическая точка

0

0

Нет

0

)

0

0

1

Не существует

Знак )

(лев., прав.)

+ +

– +

+ +

+ –

Экстремум

Нет

min

Нет

max

График

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = -3x+1 на отрезке .

(x) =3-3 = 0=1.

= 3, ƒ= -1,= -1,= 3.

Итак, == 3 – наибольшее, а== -1 – наименьшее значение.

________________________________________________________________

studfiles.net



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"