Равнобедренный прямоугольный треугольник и его свойства. В равнобедренном прямоугольном треугольнике


Прямоугольный треугольник и его свойства :: SYL.ru

Прямоугольный треугольник – треугольник, один угол которого прямой (равен 900). Следовательно, два других угла в сумме дают 900.

Стороны прямоугольного треугольника

Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.

Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника

Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.

Теорема Пифагора

Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза – с, то запишем: а2+в2=с2. Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов. 

Высота и медиана

Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление

Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.

Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус – это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс – отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.

Решение треугольника

Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны - по 450.Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.

www.syl.ru

Равнобедренный прямоугольный треугольник Википедия

Равнобедренный прямоугольный треугольник Равнобедренный прямоугольный треугольник и обычный равнобедренный треугольник с равными описанной и вписанной окружностями d=r{\displaystyle d=r\,}.

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

α=β=45∘=π4,{\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}

третий внутренний угол — прямой:

γ=180∘−2α=90∘=π2,{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

a=b=c22,{\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}

а основание равно:

c=a2,{\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

vc=a22=c2=R,{\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}

где R — радиус описанной окружности.

Периметр[ | код]

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

ru-wiki.ru

В прямоугольном равнобедренном треугольнике — свойства равнобедренного прямоугольного треугольника?? — 22 ответа



В разделе Естественные науки на вопрос свойства равнобедренного прямоугольного треугольника?? заданный автором Бросок лучший ответ это Катеты равны, острые углы равны по 45 градусов. Медиана, высота, биссектриса, проведенные из вершины прямого угла являются радиусом описанной окружности.

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: свойства равнобедренного прямоугольного треугольника??

Ответ от Просватать[гуру]углы при основании равны

Ответ от Европейский[активный]боковые ребра равны

Ответ от Михаил преподобный[новичек]1)в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.2)медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой

Ответ от Джастин Миллер[мастер]Все такие треугольники подобны между собой, по двум равным углам против катетов (каждый по 45 градусов)Если катет х, то второй тоже х, гипотенуза х корней из 2 по теореме Пифагора, периметр Р = х (2+ корень из 2), откуда катет х = Р / (2 + корень из 2) = P (2 - корень из 2) / (2 - корень из 2)(2 + корень из 2) = P (2 - корень из 2) / (4 - 2) = P (2 - корень из 2) / 2. Гипотенуза в корень из 2 раз больше, т. е. Р (2 корней из 2 - 2) / 2 = Р (корень из 2 - 1)

Ответ от Alexandr Lada[гуру]если вам нужно найти гипотенузу с помощью периметра, то это с помощью теоремы Пифагора.Пусть первый катет х, то и второй тоже х, следовательно гипотенуза равна корень квадратный из (2*х^2). И получается Р= х+х+корень квадратный из (2*х^2)

Ответ от Дмитрий Толмачев[активный]если провести медиану к основанию, то она является биссектрисой и высотой. То тогда мы получим прямоугольный треугольник. А там можно по теореме Пифагора .

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Равнобедренный прямоугольный треугольник — Википедия Переиздание // WIKI 2

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

α=β=45∘=π4,{\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}

третий внутренний угол — прямой:

γ=180∘−2α=90∘=π2,{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

a=b=c22,{\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}

а основание равно:

c=a2,{\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

vc=a22=c2=R,{\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}

где R — радиус описанной окружности.

Периметр

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

P=a+b+c=a(2+2).{\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.}

Площадь

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

S=a22=c24.{\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.}

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

S=p(p−a)2(p−a2),{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,}

де p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

p=P2=a(1+22).{\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.}

Общие характеристики

Описанная и вписанная окружности

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольниками

Поляболы с одним-пятью основными символами

Четыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

d2=R(R−2r)=a22(3−22){\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,} d=r=a2(2−2)=a12(3−22)≈0,2928932a.{\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.}

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами (d=r{\displaystyle d=r\,}), имеет углы:

α=β=arctg⁡4−2282−11≈72,968751∘,{\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,} γ=180∘−2α≈34,062496∘.{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.}

Покрытие евклидовой плоскости

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника - треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, - это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 августа 2018 в 02:55.

wiki2.org

Высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы

( т. к. высота в равнобедренном треугольнике является и медианой)

 

3). Свойство биссектрисы треугольника:

биссектриса треугольника делит противоположенную сторону на

отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Если , то

 

 

 

4). Свойство площадей треугольников с равными углами:

Площади треугольников с равными углами относятся как произведение прилежащих сторон.

 

 

Если , то

 

5). Свойство площадей треугольников с одинаковыми высотами:

площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как основания.

 

Если , то

 

6). Свойство медианы треугольника:

медиана треугольника делит его на два равновеликих.

 

 

 

 

Если BM –медиана, то =

 

 

7). Свойство точки пересечения медиан:

медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

 

 

 

 

 

 

8). Свойство треугольников, образованных при пересечении трех медиан треугольника:

треугольники, образованные при пересечении трех медиан в треугольнике - равновелики.

 

Если - медианы, то

 

 

9). Свойство прямой, проведенной параллельно стороне треугольника:

прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

B

 

P K

 

 

C

A

 

 

Если PK║ AC, то Δ PBK Δ ABC и

 

Четырехугольники

 

1. Свойства фигур.

1). Параллелограмм.

Определение: параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойство: а). противоположенные стороны и углы равны

Б). диагонали в точке пересечения делятся пополам.

в). углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°

AB = CD, BC = AD,

A = C, B = D,

AO = OC, BO = OD,

A + D = 180°, A + B = 180°

 

2). Прямоугольник.

Определение: прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали равны.

 

AC = BD.

 

3). Ромб

 

Определение: ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства: а). диагонали перпендикулярны,

Б). диагонали являются биссектрисами углов.

 

 

AC BD,

 

 

4). Квадрат.

Определение: квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Свойства: диагонали равны,

Точкой пересечения делятся пополам,

Перпендикулярны,

Делят углы пополам.

AC = BD, AC BD, AO = OC, BO = OD,

5). Трапеция.

Определение: трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две - нет.

Равнобедренная трапеция – у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной трапеции: а). диагонали равны

studopedya.ru

Равнобедренный прямоугольный треугольник и его свойства

Сумма двух углов параллелограмма равна 100 градусов.Найдите градусную меру большего из углов параллелограмма. Попроси больше объяснений; Следить ? Отметить нарушение ? Vipskrepka00 01.02.2016. Войти чтобы добавить комментарий. Реклама.

Как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Формула нахождения, свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Геометрия – это не только предмет в школе, по которому нужно получить отличную оценку. Это еще и знания, которые часто требуются в жизни. Например, при строительстве дома с высокой крышей необходимо рассчитать толщину бревен и их количество. Это несложно, если знать, как находить высоту в равнобедренном треугольнике. Архитектурные сооружения базируются на знании свойств геометрических фигур. Формы зданий зачастую визуально напоминают их. Египетские пирамиды, пакеты с молоком, художественная вышивка, северные росписи и даже пирожки – это все треугольники, окружающие человека. Как говорил Платон, весь мир базируется на треугольниках.

Равнобедренный треугольник

Чтобы было понятнее, о чем далее пойдет речь, стоит немного вспомнить азы геометрии.

Треугольник является равнобедренным, если он имеет две равных стороны. Их всегда называют боковыми. Сторона, размеры которой отличаются, получила название основания.

Основные понятия

Как и любая наука, геометрия имеет свои основные правила и понятия. Их достаточно много. Рассмотрим лишь те, без которых наша тема будет несколько непонятна.

Высота – это прямая линия, проведенная перпендикулярно к противоположной стороне.

Медиана – это отрезок, направленный из любой вершины треугольника исключительно к середине противоположной стороны.

Биссектриса угла – это луч, разделяющий угол пополам.

Биссектриса треугольника – это прямая, вернее, отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Очень важно запомнить, что биссектриса угла – это обязательно луч, а биссектриса треугольника – это часть такого луча.

Углы при основании

Теорема гласит, что углы, расположенные при основании любого равнобедренного треугольника, всегда равны. Доказать эту теорему очень просто. Рассмотрим изображенный равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. Из угла АВС необходимо провести биссектрису ВД. Теперь следует рассмотреть два полученных треугольника. По условию АВ=ВС, сторона ВД у треугольников общая, а углы АВД и СВД равны, ведь ВД – биссектриса. Вспомнив первый признак равенства, можно смело заключить, что рассматриваемые треугольники равны. А следовательно, равны все соответствующие углы. И, конечно, стороны, но к этому моменту вернемся позже.

Высота равнобедренного треугольника

Основная теорема, на которой базируется решение практически всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой. Чтобы понять её практический смысл (или суть), следует сделать вспомогательное пособие. Для этого необходимо вырезать из бумаги равнобедренный треугольник. Легче всего это сделать из обычного тетрадного листка в клеточку.

Согните полученный треугольник пополам, совместив боковые стороны. Что получилось? Два равных треугольника. Теперь следует проверить догадки. Разверните полученное оригами. Прочертите линию сгиба. При помощи транспортира проверьте угол между прочерченной линией и основанием треугольника. О чем говорит угол в 90 градусов? О том, что прочерченная линия – перпендикуляр. По определению – высота. Как находить высоту в равнобедренном треугольнике, мы разобрались. Теперь займемся углами при вершине. При помощи того же транспортира проверьте углы, образованные теперь уже высотой. Они равны. Значит, высота одновременно является и биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте отрезки, на которые разбивает высота основание. Они равны. Следовательно, высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой.

Доказательство теоремы

Наглядное пособие ярко демонстрирует истинность теоремы. Но геометрия – наука достаточно точная, поэтому требует доказательств.

Во время рассмотрения равенства углов при основании было доказано равенство треугольников. Напомним, ВД – биссектриса, а треугольники АВД и СВД равны. Вывод был таков: соответствующие стороны треугольника и, естественно, углы равны. Значит, АД = СД. Следовательно, ВД – медиана. Осталось доказать, что ВД является высотой. Исходя из равенства рассматриваемых треугольников, получается, что угол АДВ равен углу СДВ. Но эти два угла являются смежными, и, как известно, дают в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусам. Таким образом, ВД – это высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию. Что и требовалось доказать.

Основные признаки

    Чтобы успешно решать задачи, следует запомнить основные признаки равнобедренных треугольников. Они как бы обратны теоремам. Если в ходе решения задачи обнаруживается равенство двух углов, значит, вы имеете дело с равнобедренным треугольником. Если удалось доказать, что медиана является одновременно и высотой треугольника, смело заключайте – треугольник равнобедренный. Если биссектриса является и высотой, то, опираясь на основные признаки, треугольник относят к равнобедренным. И, конечно, если медиана выступает и в роли высоты, то такой треугольник — равнобедренный.

Формула высоты 1

Однако для большинства задач требуется найти арифметическую величину высоты. Именно поэтому рассмотрим, как находить высоту в равнобедренном треугольнике.

Вернемся к представленной выше фигуре АВС, у которой а – боковые стороны, в — основание. ВД – высота этого треугольника, она имеет обозначение h.

Что представляет собой треугольник АВД? Так как ВД – высота, то треугольник АВД – прямоугольный, катет которого необходимо найти. Воспользовавшись формулой Пифагора, получаем:

Определив из выражения ВД и подставив принятые ранее обозначения, получим:

Необходимо извлечь корень:

Если вынести из под знака корня ¼ , то формула будет иметь вид:

Так находится высота в равнобедренном треугольнике. Формула вытекает из теоремы Пифагора. Даже если забыть эту символическую запись, то, зная метод нахождения, всегда можно её вывести.

Формула высоты 2

Формула, описанная выше, является основной и чаще всего используется при решении большинства геометрических задач. Но она не единственная. Иногда в условии, вместо основания, дано значение угла. При таких данных как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Для решения подобных задач целесообразно использовать другую формулу:

Где Н – высота, направленная к основанию,

А – боковая сторона,

Если в задаче дано значение угла при вершине, то высота в равнобедренном треугольнике находится следующим образом:

Где Н – высота, опущенная на основание,,

А – боковая сторона.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Очень интересным свойством обладает треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Как и в предыдущих случаях, ВД – высота, направленная к основанию.

Углы при основании равны. Вычислить их большого труда не составит:

Таким образом, углы, находящиеся при основании, всегда по 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник АДВ. Он также является прямоугольным. Найдем угол АВД. Путем несложных вычислений получаем 45 градусов. А, следовательно, этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны АД и ВД являются боковыми сторонами и равны между собой.

Но сторона АД в то же время является половиной стороны АС. Получается, что высота в равнобедренном треугольнике равна половине основания, а если записать в виде формулы, то получим следующее выражение:

Следует не забывать, что данная формула является исключительно частным случаем, и может быть использована только для прямоугольных равнобедренных треугольников.

Золотые треугольники

Очень интересным является золотой треугольник. В этой фигуре отношение боковой стороны к основанию равняется величине, названной числом Фидия. Угол, расположенный при вершине — 36 градусов, при основании – 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы золотого треугольника положены в основу множества бессмертных шедевров. Известная всем пятиконечная звезда построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника». Композиция «Джоконды» основана как раз на фигурах, которые создают собой правильный звездчатый пятиугольник.

Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, завораживает взгляд положенными в основу равнобедренными треугольниками.

Равнобедренный прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольный треугольник – треугольник, один угол которого прямой (равен 90 0 ). Следовательно, два других угла в сумме дают 90 0 .

Стороны прямоугольного треугольника

Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.

Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника

Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.

Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза – с, то запишем: а 2 +в 2 =с 2 . Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов.

Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление

Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.

Косинус, синус и тангенс Прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус – это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс – отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.

Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны — по 45 0 . Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.

Равнобедренный прямоугольный треугольник и его свойства

Как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Формула нахождения, свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Геометрия – это не только предмет в школе, по которому нужно получить отличную оценку. Это еще и знания, которые часто требуются в жизни. Например, при строительстве дома с высокой крышей необходимо рассчитать толщину бревен и их количество. Это несложно, если знать, как находить высоту в равнобедренном треугольнике. Архитектурные сооружения базируются на знании свойств геометрических фигур. Формы зданий зачастую визуально напоминают их. Египетские пирамиды, пакеты с молоком, художественная вышивка, северные росписи и даже пирожки – это все треугольники, окружающие человека. Как говорил Платон, весь мир базируется на треугольниках.

Равнобедренный треугольник

Чтобы было понятнее, о чем далее пойдет речь, стоит немного вспомнить азы геометрии.

Треугольник является равнобедренным, если он имеет две равных стороны. Их всегда называют боковыми. Сторона, размеры которой отличаются, получила название основания.

Основные понятия

Как и любая наука, геометрия имеет свои основные правила и понятия. Их достаточно много. Рассмотрим лишь те, без которых наша тема будет несколько непонятна.

Высота – это прямая линия, проведенная перпендикулярно к противоположной стороне.

Медиана – это отрезок, направленный из любой вершины треугольника исключительно к середине противоположной стороны.

Биссектриса угла – это луч, разделяющий угол пополам.

Биссектриса треугольника – это прямая, вернее, отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Очень важно запомнить, что биссектриса угла – это обязательно луч, а биссектриса треугольника – это часть такого луча.

Углы при основании

Теорема гласит, что углы, расположенные при основании любого равнобедренного треугольника, всегда равны. Доказать эту теорему очень просто. Рассмотрим изображенный равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. Из угла АВС необходимо провести биссектрису ВД. Теперь следует рассмотреть два полученных треугольника. По условию АВ=ВС, сторона ВД у треугольников общая, а углы АВД и СВД равны, ведь ВД – биссектриса. Вспомнив первый признак равенства, можно смело заключить, что рассматриваемые треугольники равны. А следовательно, равны все соответствующие углы. И, конечно, стороны, но к этому моменту вернемся позже.

Высота равнобедренного треугольника

Основная теорема, на которой базируется решение практически всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и медианой. Чтобы понять её практический смысл (или суть), следует сделать вспомогательное пособие. Для этого необходимо вырезать из бумаги равнобедренный треугольник. Легче всего это сделать из обычного тетрадного листка в клеточку.

Согните полученный треугольник пополам, совместив боковые стороны. Что получилось? Два равных треугольника. Теперь следует проверить догадки. Разверните полученное оригами. Прочертите линию сгиба. При помощи транспортира проверьте угол между прочерченной линией и основанием треугольника. О чем говорит угол в 90 градусов? О том, что прочерченная линия – перпендикуляр. По определению – высота. Как находить высоту в равнобедренном треугольнике, мы разобрались. Теперь займемся углами при вершине. При помощи того же транспортира проверьте углы, образованные теперь уже высотой. Они равны. Значит, высота одновременно является и биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте отрезки, на которые разбивает высота основание. Они равны. Следовательно, высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой.

Доказательство теоремы

Наглядное пособие ярко демонстрирует истинность теоремы. Но геометрия – наука достаточно точная, поэтому требует доказательств.

Во время рассмотрения равенства углов при основании было доказано равенство треугольников. Напомним, ВД – биссектриса, а треугольники АВД и СВД равны. Вывод был таков: соответствующие стороны треугольника и, естественно, углы равны. Значит, АД = СД. Следовательно, ВД – медиана. Осталось доказать, что ВД является высотой. Исходя из равенства рассматриваемых треугольников, получается, что угол АДВ равен углу СДВ. Но эти два угла являются смежными, и, как известно, дают в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусам. Таким образом, ВД – это высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию. Что и требовалось доказать.

Основные признаки

    Чтобы успешно решать задачи, следует запомнить основные признаки равнобедренных треугольников. Они как бы обратны теоремам. Если в ходе решения задачи обнаруживается равенство двух углов, значит, вы имеете дело с равнобедренным треугольником. Если удалось доказать, что медиана является одновременно и высотой треугольника, смело заключайте – треугольник равнобедренный. Если биссектриса является и высотой, то, опираясь на основные признаки, треугольник относят к равнобедренным. И, конечно, если медиана выступает и в роли высоты, то такой треугольник — равнобедренный.

Формула высоты 1

Однако для большинства задач требуется найти арифметическую величину высоты. Именно поэтому рассмотрим, как находить высоту в равнобедренном треугольнике.

Вернемся к представленной выше фигуре АВС, у которой а – боковые стороны, в — основание. ВД – высота этого треугольника, она имеет обозначение h.

Что представляет собой треугольник АВД? Так как ВД – высота, то треугольник АВД – прямоугольный, катет которого необходимо найти. Воспользовавшись формулой Пифагора, получаем:

Определив из выражения ВД и подставив принятые ранее обозначения, получим:

Необходимо извлечь корень:

Если вынести из под знака корня ¼ , то формула будет иметь вид:

Так находится высота в равнобедренном треугольнике. Формула вытекает из теоремы Пифагора. Даже если забыть эту символическую запись, то, зная метод нахождения, всегда можно её вывести.

Формула высоты 2

Формула, описанная выше, является основной и чаще всего используется при решении большинства геометрических задач. Но она не единственная. Иногда в условии, вместо основания, дано значение угла. При таких данных как находить высоту в равнобедренном треугольнике? Для решения подобных задач целесообразно использовать другую формулу:

Где Н – высота, направленная к основанию,

А – боковая сторона,

Если в задаче дано значение угла при вершине, то высота в равнобедренном треугольнике находится следующим образом:

Где Н – высота, опущенная на основание,,

А – боковая сторона.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Очень интересным свойством обладает треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Как и в предыдущих случаях, ВД – высота, направленная к основанию.

Углы при основании равны. Вычислить их большого труда не составит:

Таким образом, углы, находящиеся при основании, всегда по 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник АДВ. Он также является прямоугольным. Найдем угол АВД. Путем несложных вычислений получаем 45 градусов. А, следовательно, этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны АД и ВД являются боковыми сторонами и равны между собой.

Но сторона АД в то же время является половиной стороны АС. Получается, что высота в равнобедренном треугольнике равна половине основания, а если записать в виде формулы, то получим следующее выражение:

Следует не забывать, что данная формула является исключительно частным случаем, и может быть использована только для прямоугольных равнобедренных треугольников.

Золотые треугольники

Очень интересным является золотой треугольник. В этой фигуре отношение боковой стороны к основанию равняется величине, названной числом Фидия. Угол, расположенный при вершине — 36 градусов, при основании – 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы золотого треугольника положены в основу множества бессмертных шедевров. Известная всем пятиконечная звезда построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника». Композиция «Джоконды» основана как раз на фигурах, которые создают собой правильный звездчатый пятиугольник.

Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, завораживает взгляд положенными в основу равнобедренными треугольниками.

poiskvstavropole.ru

Гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Установите соответствие между графиками и их функциями а)у=-9/х б)у=1/9х в) у=9/х. Загрузить jpg. Попроси больше объяснений; Следить ? Отметить нарушение. 10.03.2014. Войти чтобы добавить комментарий.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника

В переводе с греческого языка, гипотенуза — значит «натянутый». Для правильного понимания представьте себе тетиву лука, которая соединяет два конца гибкой палки. Вот также и в прямоугольном треугольнике, самой большей по длине стороной, является гипотенуза, которая лежит против прямого угла. Она выступает соединителем двух других сторон, именуемых катетами. Чтобы узнать какая же длинна этой «тетевы», необходимо иметь значения длин катетов, либо величину двух острых углов. Комбинируя эти данные можно высчитать с помощью формул нужное значение.

Как найти гипотенузу по катетам

Самый простой способ расчета, если вы знаете величину двух катетов ( обозначим один А, второй В). В помощь приходит сам Пифагор и его всемирно известная теорема. Она повествует нам, что если возвести длину катетов в квадрат и сложить посчитаные значения, то в результате мы узнаем значение длинны гипотенузы возведенное в квадрат. Из выше приведенного сделаем вывод: для нахождения величины гипотенузы необходимо извлечь квадратный корень из общей суммы квадратов катетов С=√(А²+В²). Пример: катет А=10 см, катет В=20 см. Гипотенуза при этом равна 22,36 см. Расчет происходит так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Как найти гипотенузу через угол

Немного сложнее рассчитать длину гипотенузы через заданный угол. Если вы знаете размер одного из двух катетов (обозначим А) и величину угла (обозначим α), который лежит напротив него, то размер гипотенузы находится с помощью тригонометрии, а конкретно — синуса. Все что нужно сделать, это разделить значение известного катета на синус угла. С=А/sin(α). Пример: длинна катета А=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Еще один способ — найти размер гипотенузы через косинус. Он применяется если вам известен размер катета (обозначим В) и острого угла (обозначим α), который прилегает к нему. Все что нужно сделать, это разделить значение катета на синус угла. С=В/ cos(α). Пример: длинна катета В=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/cos(45°)=30/0,71=42,25.

Как найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника

Любой, уважающий себя школьник знает, что треугольник равнобедренный, при условии, что две из трех сторон равны между собой. Эти стороны именуются боковыми, а та что остается — основанием. Если же один из углов равняется 90°, то перед вами равнобедренный прямоугольный треугольник.

Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике, просто, ведь он имеет несколько свойств которые помогут. Угли прилягающие к основанию одинаковы по значению, общая сумма значений углов равняется 180°. Это значит, что прямой угол лежит напротив основания, значит основание — гипотенуза, катетами являются боковые стороны.

Рассмотрим пример: катет А=2 см, значит и другой катет равен 2 см. Таким образом перезапишем теорему Пифагора: С²=2* А². Подставив данные в формулу получим значение величины гипотенузы равным 2,83 см. Вывод: если одна сторона равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2 см, то основание у него будет равно 2,83 см.

Гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника

В переводе с греческого языка, гипотенуза — значит «натянутый». Для правильного понимания представьте себе тетиву лука, которая соединяет два конца гибкой палки. Вот также и в прямоугольном треугольнике, самой большей по длине стороной, является гипотенуза, которая лежит против прямого угла. Она выступает соединителем двух других сторон, именуемых катетами. Чтобы узнать какая же длинна этой «тетевы», необходимо иметь значения длин катетов, либо величину двух острых углов. Комбинируя эти данные можно высчитать с помощью формул нужное значение.

Как найти гипотенузу по катетам

Самый простой способ расчета, если вы знаете величину двух катетов ( обозначим один А, второй В). В помощь приходит сам Пифагор и его всемирно известная теорема. Она повествует нам, что если возвести длину катетов в квадрат и сложить посчитаные значения, то в результате мы узнаем значение длинны гипотенузы возведенное в квадрат. Из выше приведенного сделаем вывод: для нахождения величины гипотенузы необходимо извлечь квадратный корень из общей суммы квадратов катетов С=√(А²+В²). Пример: катет А=10 см, катет В=20 см. Гипотенуза при этом равна 22,36 см. Расчет происходит так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Как найти гипотенузу через угол

Немного сложнее рассчитать длину гипотенузы через заданный угол. Если вы знаете размер одного из двух катетов (обозначим А) и величину угла (обозначим α), который лежит напротив него, то размер гипотенузы находится с помощью тригонометрии, а конкретно — синуса. Все что нужно сделать, это разделить значение известного катета на синус угла. С=А/sin(α). Пример: длинна катета А=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Еще один способ — найти размер гипотенузы через косинус. Он применяется если вам известен размер катета (обозначим В) и острого угла (обозначим α), который прилегает к нему. Все что нужно сделать, это разделить значение катета на синус угла. С=В/ cos(α). Пример: длинна катета В=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/cos(45°)=30/0,71=42,25.

Как найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника

Любой, уважающий себя школьник знает, что треугольник равнобедренный, при условии, что две из трех сторон равны между собой. Эти стороны именуются боковыми, а та что остается — основанием. Если же один из углов равняется 90°, то перед вами равнобедренный прямоугольный треугольник.

Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике, просто, ведь он имеет несколько свойств которые помогут. Угли прилягающие к основанию одинаковы по значению, общая сумма значений углов равняется 180°. Это значит, что прямой угол лежит напротив основания, значит основание — гипотенуза, катетами являются боковые стороны.

Рассмотрим пример: катет А=2 см, значит и другой катет равен 2 см. Таким образом перезапишем теорему Пифагора: С²=2* А². Подставив данные в формулу получим значение величины гипотенузы равным 2,83 см. Вывод: если одна сторона равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2 см, то основание у него будет равно 2,83 см.

Гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Гипотенуза в прямоугольном равнобедренном треугольнике

В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 3см. Найти его катеты

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Naassttyyaa 29.01.2013

Ответы и объяснения

    fse13 светило науки

Так как тр. равнобедренный a=b

    Комментарии Отметить нарушение

В прямоугольном треугольнике:квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов! Так как дан равнобедренный треугольник, то катеты равны.3 в квадрате=9,так как катеты равны, то 9 делим на 2 и получаем 4,5.Вычесляем квадратный корень. Ответ квадратный корень из 4,5.

poiskvstavropole.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"