Формулы корней. Свойства квадратных корней. Умножение корня квадратного на корень квадратный


Как умножить квадратный корень на квадратный корень

Одна из четырех простейших математических операций (умножение) породила другую, несколько более усложненную - возведение в степень. Та, в свою очередь, добавила дополнительную сложность в обучение математике, породив обратную себе операцию - извлечение корня. К любой из этих операций можно применять все остальные математические действия, что еще более запутывает изучение предмета. Чтобы все это каким-то образом упорядочить, существуют наборы правил, одно из которых регламентирует порядок умножения корней.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как умножить квадратный корень на квадратный корень" Как вычитать квадратный корень Как найти сумму корней уравнения Как извлечь корень из дроби

Инструкция

1

Используйте для умножения квадратных корней правило - результатом этой операции должен стать квадратный корень, подкоренным выражением которого будет произведение подкоренных выражений корней-множителей. Это правило действует при умножении двух, трех и любого другого числа квадратных корней. Впрочем, оно относится не только к корням квадратным, но и к кубическим или с любым другим показателем степени, если этот показатель одинаков у всех участвующих в операции радикалов.

2

Если под знаками умножаемых корней стоят численные значения, то перемножьте их между собой и поставьте полученную величину под знак корня. Например, при умножении v3,14 на v7,62 это действие можно записать так: v3,14 * v7,62 = v(3,14*7,62) = v23,9268.

3

Если подкоренные выражения содержат переменные, то сначала запишите их произведение под одним знаком радикала, а затем попробуйте упростить полученное подкоренное выражение. Например, если надо умножить v(x+7) на v(x-14), то операцию можно записать так: v(x+7) * v(x-14) = v((x+7) * (x-14)) = v(x?-14*x+7*x-7*14) = v(x?-7*x-98).

4

При необходимости перемножить больше двух квадратных корней действуйте точно так же - собирайте под одним знаком радикала подкоренные выражения всех умножаемых корней в качестве множителей одного сложного выражения, а затем упрощайте его. Например, при перемножении квадратных корней из чисел 3,14, 7,62 и 5,56 операцию можно записать так: v3,14 * v7,62 * v5,56 = v(3,14*7,62*5,56) = v133,033008. А умножение квадратных корней, извлекаемых из выражений с переменными x+7, x-14 и 2*x+1 - так: v(x+7) * v(x-14) * v(2*x+1) = v((x+7) * (x-14) * (2*x+1)) = v((x?-14*x+7*x-7*14) * (2*x+1)) = v((x?-7*x-98) * (2*x+1)) = v(2*x*x?-2*x*7*x-2*x*98 + x?-7*x-98) = v(2*x?-14*x?-196*x+x?-7*x-98) = v(2*x?-13*x?-205*x-98). Как просто

masterotvetov.com

Квадратные корниS-KUZ ‹ Сергей Кузнецов — репетитор по математике

Что такое квадратный корень?

Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление. Есть возведение в квадрат… Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется красивым словом «радикал«.

Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах.

Как извлечь (или посчитать — это всё едино) корень квадратный из 4? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 4? Да конечно же 2! Значит:

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры:

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но… Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек… Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень…

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах…

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию — возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться…

В этом и есть сложность извлечения корней.

Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком — да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс — подбор ответа — сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 — вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да…

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём тудаи обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый — выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй — решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно…

Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни — думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

 

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзяих извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 22 даёт +4. (-2)2 даёт опять +4! Вот-вот… Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт — сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число — не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно!Или, другими словами:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Зато из всех остальных — можно. Например, вполне можно вычислить

или

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить… Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

или

и т.д…

Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух — это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное… Вот оно:

Что интересно, эта дробь не кончается никогда… Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это — самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называютиррациональными. Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

, , ……

и так далее, скрываются просто числа! Неровные, лохматые, иррациональные, но числа!

Конечно, если корень из числа извлекается ровно, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

никто не оценит… Надо корень посчитать и написать

х = 4.

А вот

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Идём дальше.

 

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах… Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два — слышу недовольные ответы…

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4… А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2)2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит… Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: арифметический квадратный корень из числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а. Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни — арифметические. Хотя особо об этом не упоминается.

Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше — не возиться с отрицательными результатами… Это ещё не путаница.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Такой ответ (совершенно правильный, кстати) — это просто сокращённая запись двух ответов:

и

Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень — число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов — отрицательный! Непорядок. Это первая ( но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням… Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня. Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) — число всё равно неотрицательное! А знаки — это результат решения уравнения. Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:
Потому, что это — арифметический квадратный корень.
Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:
то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

Потому, что это — решение уравнения.

Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор… извините, камни!)

 

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

 

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Напоминаю: а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет…

Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

 

Как умножать корни?

Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного… А вот как вам такой пример?

Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

 

Как внести число под корень?

Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!

Вот и пишем:

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.

Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала… Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

 

Как сравнивать корни?

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый… э-э-э… короче, каждый справится!)

Так сразу и не скажешь… А если внести числа под знак корня?

и

Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

и, следовательно:

Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей… Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

 

Как извлекать корни из больших чисел?

Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё… Да, произведения здесь нет. Но если нам надо — мы егосделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря.На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый — девятка (это мы сами выбрали), а второй — 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и — вперёд!

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание — «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают…) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

 

Как вынести множитель из-под корня?

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается… Что делать?!

Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

Перемножать всё — сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное — не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

Применим знания к практике? Начнём с простенького:

1. Вычислить:

 

2. Вычислить (без калькулятора!):

 

3. Вычислить:

 

Слегка усложним:

 

4. Вычислить:

 

Чуть ближе к ГИА:

 

5. Выполнить действия:

 

Ну и, самое крутое, прямо как в ГИА:

 

6. Укажите наибольшее из следующих чисел:

 

Ответы для заданий 1 — 4, в беспорядке: 2; 1; 9, 96.

Ответы на задания 5 — 6 здесь не дам). В этих примерах главное не ответ, а принцип решения. Если знаете как делать подобные задания, ответ сам получится. Если не знаете, ответ особого смысла не имеет).

Подведём итоги.

Обратите внимание. Всего одно свойство корней, одна небольшая формула умножения корней — и какие разнообразные возможности для практического применения!

Формула умножения корней позволяет:— умножать корни,— вносить число под корень,— сравнивать корни,— извлекать корни из больших чисел,— выносить множитель из-под корня.

И все эти возможности вытекают из одной небольшого свойства корней. Мощное свойство, но… одно. Это — как табурет на одной ножке…) Сидеть можно, но с изрядными усилиями.

В нашем арсенале есть ещё два свойства корней. Одно — простое, второе — не очень. Но разобраться с ними можно и нужно. Оба этих свойства — в следующем уроке. Там же — примеры для тренировки. Там же описана одна тупая, но очень популярная ошибка в корнях, после которой люди бьют себя по голове и страшно ругаются…

 

Как делить корни?

 

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет… Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

 

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулуделения корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно прокрутите страницу выше и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её… И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но… некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем… С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

 

Как возвести корень в квадрат?

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями… По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

 

Как извлечь корень из квадрата?

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

22 = 4

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут:»где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а — неотрицательное. Для простоты. 

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:

24=(22)2

Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь…

Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 310 ? Легко! Это будет 35. Корень из 518 ? Запросто! Это будет 59. Ну, и так далее.

А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители — и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

 

 

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто… Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.

А теперь попробуем вычислить:
Берём, и просто считаем, безо всяких формул:
(-2)2 = 4
Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! То есть:
А если бы мы использовали формулу:
получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.
Не работает эта формула для отрицательных значений.
Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

где х<0.

Казалось бы, ответ прост. Получится просто х. Но зачем тогда дополнительная информация?! Приходится соображать. Если х<0, это отрицательное число. Минус два, или минус тридцать, там… Но корень квадратный отрицательным быть не может! Это будет точно х, но он должен быть с плюсом! Где взять плюс? А мы его сделаем! Если перед заведомо отрицательным числом, поставить минус, это число станет, число станет… положительным! И верное решение выглядит так.

Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями. В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение.)

И как справляться со всем разнообразием заданий с корнями? А есть ещё иррациональные уравнения и неравенства, где эти пунктики играют главную роль…

Спокойно! Вникайте и запоминайте.

 

Главный практический совет по работе с квадратными корнями.
В любом задании с квадратными корнями лично контролируйте знаки подкоренного выражения и результата извлечения корня.
Прикидывайте, и оценивайте ситуацию, исходя из внешнего вида примера и всех дополнительных условий задания. Если под знаком корня — минус, дальше можно не решать. Выражение не имеет смысла. Что нам делать нечего, бессмысленные выражения решать?!
Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус — сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.

Ну вот, основные тонкости корней мы разобрали. Теперь об одной ошибке, рассказать про которую я обещал в предыдущем уроке. Эта ошибка ничего общего с тонкостями не имеет! Это абсолютно тупой косяк, о котором и говорить-то неловко. Но надо. Слишком часто он встречается…

Обратите внимание! Все свойства корней связаны с умножением-делением. И ни одного — со сложением-вычитанием! На сложение-вычитание корней — не существует специальных формул!
Однако народ складывает… И не самый трудный народ… Поэтому громко напоминаю:
или:
Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Как приводить подобные с буквами. Например:

или:

Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения.

 

 

А теперь попрактикуемся в корнях. От примитивных заданий до продвинутых. Все ответы даны в беспорядке.

 

Вычислить:

Ответы: 1, 9, 2.

 

Примитив? Тогда решаем дальше.

Упростить:

Ответы: 3а4 b, -4а4 b5 , 3а.

 

Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?

 

Вычислить (все буквы — неотрицательные):

Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5

 

Всё нормально!? Отлично. Корни — не ваша проблема.

Материал позаимствован с замечательного сайта: http://egesdam.ru/page260.php . Спасибо автору за понятное изложение материала!

s-kuz.ru

Квадратный корень | Математика | FANDOM powered by Wikia

Квадратные корни из натуральных чисел до 25 включительно. В квадрат со стороною √2 вписана окружность.

Квадра́тный ко́рень из $ \! a $ (корень 2-й степени, $ \sqrt{a} $) — это решение уравнения: $ x^2 = a $. Иначе говоря, квадратный корень из $ \! a $ — число, дающее $ \! a $ при возведении в квадрат. Операция вычисления значения $ \sqrt{a} $ называется «извлечением квадратного корня» из числа $ a $. Наиболее часто под $ \! x $ и $ \! a $ подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Пример для вещественных чисел: $ \sqrt{9}=\pm 3, $ потому что $ {(\pm 3)}^2=9. $ У квадратного корня существуют противоположные, т.е. отличающиеся знаком значения (в данном примере, положительное и отрицательное числа), и это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при $ \! a \geqslant 0 $ всегда неотрицательно (а на положительных $ \! a $ — положительно; в примере это число 3

Квадратный корень из числа $ \! a $ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $ \! a $, то есть решение уравнения $ \! x^2=a $ относительно переменной $ \! x $.[1][2]

    Рациональные числаПравить

    При натуральных $ \! a $ уравнение $ \! x^2=a $ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном $ \! a $, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда когда и числитель и знаменатель числа $ \! a $, представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

    Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к наничивает точность приближения: $ |\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2} $, где $ \! C $ зависит от [3][4]. Верно и $ \! r $то, что любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

    Действительные (вещественные) числаПравить

    Теорема. Для любого положительного числа $ a $ существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.[5]

    Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа $ \! a $ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $ \sqrt a $[6].

    Комплексные числаПравить

    Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля).Дичь из комплексного числа $ \! a $ часто обозначают как $ \sqrt{a} $, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

    $ -1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 $

    Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

    $ \! a=|a|e^{i\phi} $,

    то (см. Формула Муавра)

    $ \sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2} $,

    где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.Ты втираешь мне какую то дичь!

    График функции $ y=\sqrt x $

    Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции $ \! x^\alpha $ с $ \! \alpha=1/2 $. Арифметический квадратный корень является гладким при $ \! x>0 $, в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.[7]

    Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

    Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $ x \circ x = a $ и для других объектов: матриц[8], функций[9], операторов[10] и т. п. В качестве операции $ \circ $ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

    В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $ (G,\cdot) $ — группоид и $ a\in G $. Элемент $ x\in G $ называется квадратным корнем из $ \ a $ если $ \ x \cdot x=a $.

    Квадратный корень в элементарной геометрииПравить

    Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

    Квадратный корень в информатикеПравить

    Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

    Алгоритмы нахождения квадратного корняПравить

    Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

    Разложение в ряд ТейлораПравить

    $ \sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\! $ при $ |x| \le 1 $.

    Арифметическое извлечение квадратного корняПравить

    Для квадратов чисел верны следующие равенства:

    $ 1 = 1^2 $ $ 1 + 3 = 2^2 $ $ 1 + 3 + 5 = 3^2 $ $ \sum^n_{k=1}{(2k-1)}=n^2 $

    и так далее.

    То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

    $ 9-1=8 $ $ 8-3=5 $ $ 5-5=0 $

    Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

    Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

    Если требуется найти квадратный корень с точностью до нескольких знаков после запятой, то этот метод по-прежнему можно использовать, хотя он и становится очень затратным. Исходное число следует дополнить соответствующим количеством пар нулей, а результат потом соответствующее количество раз поделить на 10. Например, для вычисления корня из 2 с точностью до одного знака нужно исходное число дополнить одной парой нулей, получив 200. В процессе извлечения квадратного корня из 200 описанным методом будет произведено 14 действий вычитания, что после однократного деления на 10 даёт результат 1,4. Для получения корня из 2 с точностью до двух знаков (результат 1,41) потребуется фактически извлекать корень из 20000, что потребует уже 141 действия вычитания.

    Грубая оценкаПравить

    Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

    Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем $ \sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n. $ Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем $ \sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n. $

    Два и шесть используются потому, что $ \sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2 \, $ и $ \sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,. $

    При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $ 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor} $ (здесь D это число двоичных цифр).

    Геометрическое извлечение квадратного корняПравить

    $ |BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|} $

    В частности, если $ \! |AH| = 1 $, а $ \! |HC| = x $, то $ |BH|=\sqrt{x} $ [12]

    Итерационный аналитический алгоритмПравить

    Основная статья: Итерационная формула Герона

    $ \begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right) \\ x_0 = a \end{cases} $

    тогда $ \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a} $

    СтолбикомПравить

    Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

    Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

    1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
    2. Найти $ a $, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат $ a+1 $ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное $ a $ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $ a^2=2^2=2 \cdot 2=4 < 6 $, а $ (a+1)^2=3^2=3 \cdot 3=9 > 6 $).
    3. Записать квадрат $ a $ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа $ a $ и записать результат вычитания под ними.
    4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число $ b $. (На первом шаге примера это число просто есть $ b=2 \cdot 20=40 $, на втором $ b=26 \cdot 20=520 $).
    5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем $ c $ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число $ c=296 $, на втором $ c=2096 $). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
    6. Теперь нужно найти такое $ a $, что $ (b+a) \cdot a $ меньше или равно $ c $, но $ (b+(a+1)) \cdot (a+1) $ больше, чем $ c $. Записать найденное $ a $ справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что $ a $ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как $ (40+6) \cdot 6=46 \cdot 6=276 < 296 $, но $ (40+7) \cdot 7=47 \cdot 7=329 > 296 $) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
    7. Записать число $ (b+a) \cdot a $ под $ c $. Провести вычитание столбиком числа $ (b+a) \cdot a $ из $ c $ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

    Наглядное описание алгоритма:

    1. ↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
    2. ↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ($ \! x^{n}=a $)… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
    3. ↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
    4. ↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
    5. ↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
    6. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
    7. ↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
    8. ↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
    9. ↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
    10. ↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
    11. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
    12. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

    ru.math.wikia.com

    КОРЕНЬ ИЗ 2 НА КОРЕНЬ ИЗ 2... Корень в квадрате

    А извлечь корень из квадрата? Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями.

    Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Перемножьте все члены между собой, включая множители перед корнями и подкоренные выражения. Всегда ищите делитель, из которого можно взять целый корень; это облегчит процесс. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

    Метод 1 из 3: Умножение корней без множителей

    Перемножьте числа под корнем. Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5. В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам.

    Метод 3 из 3: Перемножение двучленов с квадратными корнями

    Формула столь же проста, как и умножение. У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования.

    Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней!

    Как делить корни?

    Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Мы же умеем корень из произведения извлекать. Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение.

    По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат. Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: «где а — больше, либо равно нулю». В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней.

    Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! Это и есть последнее, третье свойство корней.

    Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Если х

    Главный практический совет по работе с квадратными корнями. Если под знаком корня — минус, дальше можно не решать. Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус — сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.

    Разберёмся теперь с корнем из квадрата. Или корень из степени. Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. А теперь попрактикуемся в корнях.

    Смотри также:

    • Зондирование слезного канала! Глазки у ребенка начали гноится когда мы были еще в роддоме. Тогда мы даже попали в больницу. С 1996г. по 2004г. работал детским […]
    • Красные пятна на листьях смородины Махровость черной смородины. Листья скручиваются и преждевременно опадают. Листовые пилильщики повреждают красную и белую смородину, […]
    • Ветрянка у детей Основные симптомы ветрянки у детей - это красная, зудящая сыпь, которая чем-то напоминает последствия укусов насекомых. Но это не значит, […]

    lowekader.ru

    Извлечение корня. Вычисление квадратного корня

    Корнем n-ой степени натурального числа a называется такое число, n-ая степень которого равна a. Корень обозначается так: . Символ √ называется знаком корня или знаком радикала, число a - подкоренное число, n - показатель корня.

    Действие, посредством которого находится корень данной степени, называется извлечением корня.

    Так как, согласно определению понятия о корне n-ой степени

    то извлечение корня - действие, обратное возведению в степень, при помощи которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

    Квадратный корень

    Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a.

    Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

    Извлечение квадратного корня - действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

    Поэтому для проверки правильности проведённого действия, можно найденный корень возвести во вторую степень и, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

    Рассмотрим извлечение квадратного корня и его проверку на примере. Вычислим или (показатель корня со значением 2 обычно не пишут, так как 2 - это самый маленький показатель и следует помнить, что если над знаком корня нет показателя, то подразумевается показатель 2), для этого нам нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получится 49. Очевидно, что таким числом является 7, так как

    7 · 7 = 72 = 49.

    Значит .

    Вычисление квадратного корня

    Если данное число равно 100 или меньше, то квадратный корень из него можно вычислить с помощью таблицы умножения. Например квадратный корень из 25 - это 5, потому что 5 · 5 = 25.

    Теперь рассмотрим способ нахождения квадратного корня из любого числа без использования калькулятора. Для примера возьмём число 4489 и начнём поэтапно вычислять.

    1. Определим, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 102 = 10 · 10 = 100, а 1002 = 100 · 100 = 10000, то становится ясно, что искомый корень должен быть больше 10 и меньше 100, т.е. состоять из десятков и единиц.
    2. Находим число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни, в нашем числе их 44, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно в корне должно быть 6 десятков, потому что 602 = 3600, а 702 = 4900 (это слишком много). Таким образом мы выяснили, что наш корень содержит 6 десятков и несколько единиц, так как он находится в в диапазоне от 60 до 70.
    3. Определить число единиц в корне поможет таблица умножения. Посмотрев на число 4489, мы видим, что последняя цифра в нём 9. Теперь смотрим в таблицу умножения и видим что 9 единиц может получится только при возведении в квадрат чисел 3 и 7. Значит корень числа будет равен 63 или 67.
    4. Проверяем полученные нами числа 63 и 67 возводя их в квадрат: 632 = 3969, 672 = 4489.

    Таким образом мы находим, что .

    naobumium.info

    Формулы корней. Свойства квадратных корней. — МегаЛекции

    Внимание!К этой теме имеются дополнительныематериалы в Особом разделе 555.Для тех, кто сильно "не очень..."И для тех, кто "очень даже..." )

     

    В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

    Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

    Начнём с самой простой. Вот она:

    Напоминаю (из предыдущего урока): а и b - неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет...

    Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

    Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

     

    Как умножать корни?

    Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

    Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного... А вот как вам такой пример?

    Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата - отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

    Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней - тоже понятно.

    Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

     

    Как внести число под корень?

    Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

    Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка - это корень квадратный из четырёх!

    Вот и пишем:

    Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 - корень из 9. 8 - корень из 64. 11 - корень из 121. Ну, и так далее.

    Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала... Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но - не забывайте! - под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие - внесение числа под корень - можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

    Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

    Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

    Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

    Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

     

    Как сравнивать корни?

    Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

    Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый... э-э-э... короче, каждый справится!)

    Так сразу и не скажешь... А если внести числа под знак корня?

    и

    Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень - больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

    и, следовательно:

    Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

    И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

    Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей... Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

     

    Рекомендуемые страницы:

    Воспользуйтесь поиском по сайту:

    megalektsii.ru

    Как умножить корень на число

    Вы решаете школьную задачу по математике. В процессе выполнения задачи появилась надобность умножить корень на число . Вы не знаете, как это сделать, корень и число кажутся вам идеально различными категориями. На самом деле корень — это такое же число . Разглядим задачу на примере простого квадратного корня.

    Инструкция

    1. Посмотрите на ваш корень . Если число , записанное под корнем, является полным квадратом иного числа (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … ), извлеките корень . То еесть обнаружьте такое целое число , квадратом которого является число , записанное под корнем. Умножьте его на 2-й множитель. Запишите результат.

    2. Если квадратный корень не извлекается, то традиционно результат дозволено записать, примитивно убрав знак умножения. Получается число , состоящее из целого числа и рядом стоящего корня. Это будет обозначать, что данный корень берется такое-то целое число раз. Целое число принято записывать слева от корня.

    3. Если нужно всё число внести под корень , сделайте следующее. Возведите целую часть в квадрат. Домножьте на число , стоящее под корнем. Запишите полученное число под корнем. Это и будет ваш результат.

    Одна из четырех простейших математических операций (умножение) породила иную, несколько больше усложненную — возведение в степень. Та, в свою очередь, добавила дополнительную трудность в обучение математике, породив обратную себе операцию — извлечение корня. К всякий из этих операций дозволено использовать все остальные математические действия, что еще больше запутывает постижение предмета. Дабы все это каким-то образом систематизировать, существуют комплекты правил, одно из которых регламентирует порядок умножения корней.

    Инструкция

    1. Используйте для умножения квадратных корней правило — итогом этой операции должен стать квадратный корень , подкоренным выражением которого будет произведение подкоренных выражений корней-множителей. Это правило действует при умножении 2-х, 3 и всякого иного числа квадратных корней. Однако, оно относится не только к корням квадратным, но и к кубическим либо с любым иным показателем степени, если данный показатель идентичен у всех участвующих в операции радикалов.

    2. Если под знаками умножаемых корней стоят численные значения, то перемножьте их между собой и поставьте полученную величину под знак корня. Скажем, при умножении ?3,14 на ?7,62 это действие дозволено записать так: ?3,14 * ?7,62 = ?(3,14*7,62) = ?23,9268.

    3. Если подкоренные выражения содержат переменные, то вначале запишите их произведение под одним знаком радикала, а после этого испробуйте упростить полученное подкоренное выражение. Скажем, если нужно умножить ?(x+7) на ?(x-14), то операцию дозволено записать так: ?(x+7) * ?(x-14) = ?((x+7) * (x-14)) = ?(x?-14*x+7*x-7*14) = ?(x?-7*x-98).

    4. При необходимости перемножить огромнее 2-х квадратных корней действуйте верно так же — собирайте под одним знаком радикала подкоренные выражения всех умножаемых корней в качестве множителей одного трудного выражения, а после этого упрощайте его. Скажем, при перемножении квадратных корней из чисел 3,14, 7,62 и 5,56 операцию дозволено записать так: ?3,14 * ?7,62 * ?5,56 = ?(3,14*7,62*5,56) = ?133,033008. А умножение квадратных корней, извлекаемых из выражений с переменными x+7, x-14 и 2*x+1 — так: ?(x+7) * ?(x-14) * ?(2*x+1) = ?((x+7) * (x-14) * (2*x+1)) = ?((x?-14*x+7*x-7*14) * (2*x+1)) = ?((x?-7*x-98) * (2*x+1)) = ?(2*x*x?-2*x*7*x-2*x*98 + x?-7*x-98) = ?(2*x?-14*x?-196*x+x?-7*x-98) = ?(2*x?-13*x?-205*x-98).

    Видео по теме

    Возведение числа в степень — это сокращенная форма записи операции многократного умножения, в котором все множители равны начальному числу. А извлечение корня обозначает обратную операцию — определение множителя, тот, что должен быть задействован в операции многократного умножения, дабы в ее итоге получилось подкоренное число. Как показатель степени, так и показатель корня указывают на одно и то же — сколько сомножителей должно быть в такой операции умножения.

    Вам понадобится

    • Доступ в интернет.

    Инструкция

    1. Если к числу либо выражению требуется применить единовременно и операцию извлечения корня, и возведения его в степень, сведите оба действия в одно — в возведение в степень с дробным показателем. В числителе дроби должен стоять показатель степени, а в знаменателе — корня. Скажем, если необходимо построить в квадрат кубический корень , то две эти операции будут равнозначны одному возведению числа в степень ?.

    2. Если в условиях требуется построить в квадрат корень с показателем степени, равным двойке, это задача не на вычисление, а на проверку ваших умений. Воспользуйтесь методом из первого шага, и вы получите дробь 2/2, т.е. 1. Это значит, что итогом возведения в квадрат квадрат ного корня из всякого числа будет само это число.

    3. При необходимости построить в квадрат корень с четным показателем степени, неизменно есть вероятность упростить операцию. Потому что у двойки (числителя дробного показателя степени) и всякого четного числа (знаменателя) есть всеобщий делитель, то позже облегчения дроби в числителе останется единица, а это значит, что возводить в степень при расчетах не требуется, довольно извлечь корень с половинным показателем степени. Скажем, возведение в квадрат корня шестой степени из восьмерки дозволено свести к извлечению из нее кубического корня, т.к. 2/6=1/3.

    4. Для вычисления итога при всяких показателях степени корня воспользуйтесь, скажем, калькулятором, встроенным в поисковую систему Google. Это, вероятно, самый легкий метод расчетов при наличии выхода в интернет с вашего компьютера. Общепризнанным заменителем знака операции возведения в степень является вот такая «крышка»: ^. Используйте ее при вводе в Google поискового запроса. Скажем, если требуется построить в квадрат корень пятой степени из числа 750, сформулируйте запрос так: 750^(2/5). Позже его ввода поисковик даже без нажатия кнопки отправки на сервер покажет итог вычислений с точностью до семи знаков позже запятой: 750^(2 / 5) = 14,1261725.

    Обратите внимание! Квадратный корень — это корень степени 2. Если в задаче применяются корни других целых степеней, измените соответствующие степени в алгорифме решения.

    Полезный совет Рекомендуем вам чаще заглядывать в учебник по математике. Там вы обнаружите много пригодной и ценной информации, которая всенепременно сгодится вам в решении математических задач.

    jprosto.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"