Чему равна сумма углов пятиугольника? Углы пятиугольника

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Правильный пятиугольник | Треугольники

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A2A1A5=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A1O A2, равен

∠A1O A2=360º:5=72º.

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника,  боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

В треугольнике A1OA5

   

   

   

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A1OA5, то есть

   

   

OF — радиус вписанной в A1A2A3A4A5 окружности: OF=r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1OF.

По определению синуса,

   

откуда

   

   

Так как

   

то

   

   

   

   

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

   

По определению котангенса,

   

   

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

   

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

   

Применив формулу

   

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

   

следовательно, формула для нахождения площади A1A2A3A4A5

   

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Длина диагонали равна

   

www.treugolniki.ru

Правильный пятиугольник | Формулы и расчеты онлайн

Правильный пятиугольник — это такой пятиугольник у которого все пять сторон равны и его пять углов равны.

Правильный пятиугольник

Центр правильного пятиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного пятиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного пятиугольника

n=5αβγaRpLh
число сторон и вершин правильного пятиугольника,шт
центральный угол правильного пятиугольника,радианы, °
половина внутреннего угла правильного пятиугольника,радианы, °
внутренний угол правильного пятиугольника,радианы, °
сторона правильного пятиугольника,м
радиусы правильного пятиугольника,м
полупериметр правильного пятиугольника,м
периметр правильного пятиугольника,м
апофемы правильного пятиугольника,м

Основные формулы для правильного пятиугольника

Периметр правильного пятиугольника

\[ L = 5a \]

Полупериметр правильного пятиугольника

\[ p = \frac{5}{2}a \]

Центральный угол правильного пятиугольника в радианах

\[ α = \frac{2}{5}π \]

Центральный угол правильного пятиугольника в градусах

\[ α = \frac{360°}{5} = 72° \]

Половина внутреннего угла правильного пятиугольника в радианах

\[ β = \frac{3}{10}π \]

Половина внутреннего угла правильного пятиугольника в градусах

\[ β = \frac{3}{10}180° = 54° \]

Внутренний угол правильного пятиугольника в радианах

\[ γ = 2β = \frac{3}{5}π \]

Внутренний угол правильного пятиугольника в градусах

\[ γ = \frac{3}{5}180° = 108° \]

Площадь правильного пятиугольника

\[ S = ph = \frac{5}{2}ha \]

Или учитывая формулу Площади правильного пятиугольника получим

\[ S = \frac{5}{2} · a · \sqrt[-1.0]{(\frac{a}{2 sin(π/5)})^2-\frac{a^2}{4}} \]

Отсюда получим апофему правильного пятиугольника

\[ h = \sqrt[-1.0]{(\frac{a}{2 sin(π/5)})^2-\frac{a^2}{4}} \]

В помощь студенту

Правильный пятиугольник
стр. 268

www.fxyz.ru

Правильный пятиугольник: необходимый минимум информации

Толковый словарь Ожегова гласит, что пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, ограниченную пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов, а также любой предмет подобной формы. Если у данного многоугольника все стороны и углы одинаковые, то он называется правильным (пентагоном).

Чем интересен правильный пятиугольник?

Именно в такой форме было построено всем известное здание Минобороны Соединенных Штатов. Из объемных правильных многогранников лишь додекаэдр имеет грани в форме пентагона. А в природе напрочь отсутствуют кристаллы, грани которых напоминали бы собой правильный пятиугольник. Кроме того, эта фигура является многоугольником с минимальным количеством углов, которым невозможно замостить площадь. Только у пятиугольника количество диагоналей совпадает с количеством его сторон. Согласитесь, это интересно!

Основные свойства и формулы

Воспользовавшись формулами для произвольного правильного многоугольника, можно определить все необходимые параметры, которые имеет пентагон.

  • Центральный угол α = 360 / n = 360/5 =72°.
  • Внутренний угол β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Соответственно, сумма внутренних углов составляет 540°.
  • Отношение диагонали к боковой стороне равно (1+√5) /2, то есть "золотому сечению" (примерно 1,618).
  • Длина стороны, которую имеет правильный пятиугольник, может быть рассчитана по одной из трех формул, в зависимости от того, какой параметр уже известен:
  • если вокруг него описана окружность и известен ее радиус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
  • в случае, когда окружность c радиусом r вписана в правильный пятиугольник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
  • бывает так, что вместо радиусов известна величина диагонали D, тогда сторону определяют следующим образом: а ≈ D/1,618.
  • Площадь правильного пятиугольника определяется, опять-таки, в зависимости от того, какой параметр нам известен:
  • если имеется вписанная или описанная окружность, то используется одна из двух формул:

S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r либо S = (n*R2*sin α)/2 ≈ 2,3776*R2;

  • площадь можно также определить, зная лишь длину боковой стороны а:

S = (5*a2*tg54°)/4 ≈ 1,7205* a2.

Правильный пятиугольник: построение

Данную геометрическую фигуру можно построить по-разному. Например, вписать его в окружность с заданным радиусом либо построить на базе заданной боковой стороны. Последовательность действий была описана еще в «Началах» Евклида примерно 300 лет до н.э. В любом случае, нам понадобятся циркуль и линейка. Рассмотрим способ построения с помощью заданной окружности.

1. Выберите произвольный радиус и начертите окружность, обозначив ее центр точкой O.

2. На линии окружности выберите точку, которая будет служить одной из вершин нашего пятиугольника. Пусть это будет точка А. Соедините точки О и А прямым отрезком.

3. Проведите прямую через точку О перпендикулярно к прямой ОА. Место пересечения этой прямой с линией окружности обозначьте, как точку В.

4. На середине расстояния между точками О и В постройте точку С.

5. Теперь начертите окружность, центр которой будет в точке С и которая будет проходить через точку А. Место ее пересечения с прямой OB (оно окажется внутри самой первой окружности) будет точкой D.

6. Постройте окружность, проходящую через D, центр которой будет в А. Места ее пересечения с первоначальной окружностью нужно обозначить точками Е и F.

7. Теперь постройте окружность, центр которой будет в Е. Сделать это надо так, чтобы она проходила через А. Ее другое место пересечения оригинальной окружности нужно обозначить точкой G.

8. Наконец, постройте окружность через А с центром в точке F. Обозначьте другое место пересечения оригинальной окружности точкой H.

9. Теперь осталось только соединить вершины A, E, G, H, F. Наш правильный пятиугольник будет готов!

fb.ru

Правильный пятиугольник — WiKi

Свойства

Построение правильного пятиугольника α=(n−2)n⋅180∘=35⋅180∘=108∘{\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }} 
  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
S=54t2ctgπ5=55+254t2=512Rd=52R2sin⁡2π5=5r2tgπ5{\displaystyle S={\frac {5}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}} , где R{\displaystyle R}  — радиус описанной окружности, r{\displaystyle r}  — радиус вписанной окружности, d{\displaystyle d}  — диагональ, t{\displaystyle t}  — сторона.
  • Высота правильного пятиугольника:
h=tg72∘2t=5+252t≈1,539t{\displaystyle h={\frac {\operatorname {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t\approx 1,539t} 
  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1+52{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

t=R5−52≈1,17557 R{\displaystyle t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}17557~R} 
  • Радиус вписанной окружности:
r=55+2510t≈0,688191 t{\displaystyle r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}688191~t} 
  • Радиус описанной окружности:
R=105+510t=(5−1) r≈0,850651 t≈1,23607 r{\displaystyle R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t=({\sqrt {5}}-1)~r\approx 0{,}850651~t\approx 1{,}23607~r} d=Φ5R=5+12t≈1,902 R≈1,618 t{\displaystyle d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}902~R\approx 1{,}618~t} S=55+254t2≈1,72048 t2{\displaystyle S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}72048~t^{2}} 
  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
Ss=Φ4=3Φ+2=35+72≈6,8541{\displaystyle {\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\approx 6{,}8541}  где Φ{\displaystyle \Phi }  — отношение золотого сечения.

Построение

  Построение правильного пятиугольника  

Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

 

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
  Пятиугольный узел на полоске бумаги

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

Интересные факты

  • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
  • Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
  • Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. также

Примечания

ru-wiki.org

Какой величины углы правильного пятиугольника? -

Правильный пятиугольник или пентагон (англ. regular pentagon) — это пятиугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

 

Формулы для правильного пятиугольника:

  • Величина α внутренних углов правильного пятиугольника (n=5) составляет:α = (n – 2)/n · 180° = (3/5) · 180° = 108°.
  • Площадь правильного пятиугольника со стороной a рассчитывается по формуле: S = (5/4) a2 ctg(π/5) = (1/4) √5 √(5 + 2√5) a2 ≈ 1,720 a2.
  • Площадь правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R рассчитывается по формуле: S = (5/2) R2 sin(2π/5) = (5√2/8) √(5 + √5) R2≈ 2,378 R2.
  • Площадь правильного пятиугольника, описанного вокруг окружности радиуса r рассчитывается по формуле:S = 5 r2 tg(π/5) = 5 √(5 – 2√5) r2 ≈ 3,633 r2.
  • Высота правильного пятиугольника со стороной a составляет:h = (1/2) a tg 72° = (1/2) √(5 + 2√5) a2 = 1,539 a.
  • Отношение диагонали d правильного пятиугольника к его стороне a равно золотому сечению:d/a = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
  • Радиус r окружности, вписанной в правильный пятиугольник со стороной a составляет:r = (1/10) √5 √(5 + 2√5) a ≈ 0,688 a.
  • Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника со стороной a составляет:R = (1/10) √10 √(5 + √5) a ≈ 0,851 a.
  • Радиус R  окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, можно найти по радиусу r вписанной в него окружности по формуле:  
  • R = (√5 – 1) r ≈ 1,236 r.

Факты о правильном пятиугольнике:

  • Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Впервые это построение описал Евклид в своих «Началах» около 300 года до н.э.
  • Все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Вместе они образуют пятиконечную звезду, называемую также пентаграммой. Отношение длины диагонали к длине стороны правильного пятиугольника равно золотому сечению.
  • Правильными пятиугольниками нельзя замостить плоскость без промежутков и наложений. Это наименьший по числу сторон правильный многоугольник, который обладает таким свойством.
  • Додекаэдр — единственный правильный многогранник, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Правильный пятиугольник — наибольший по числу сторон правильный многоугольник, из которых можно собрать правильный многогранник.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника. Однако, при формировании водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K на поверхности сначала возникают цепочки молекул шириной около 1 нм пентагональной структуры. 
  • Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги, а затем сплющив узел.
  • Пентагоном называют министерство обороны США, поскольку оно размещается в здании, имеющем в плане форму правильного пятиугольника (пентагона).

Похожие статьи:

www.odinostrov.ru

Правильный пятиугольник - это... Что такое Правильный пятиугольник?

Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

Построение правильного пятиугольника
  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
, где  — радиус описанной окружности,  — радиус вписанной окружности, — диагональ, — сторона.
  • Высота правильного пятиугольника:
  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Радиус вписанной окружности:
  • Радиус описанной окружности:
  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного
, где — отношение золотого сечения.

Построение

Построение правильного пятиугольника

Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Overhand knot of a paper strip

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1]

Интересные факты

Пентагон
  • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
  • Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.

См. также

Примечания

dic.academic.ru

Чему равна сумма углов пятиугольника?

  • Сумма углов пятиугольника равна 540 градусов.

    Для справки:

    У шестиугольника сумма углов - 720 градусов.

    У семиугольника сумма углов -900 градусов.

    У восьмиугольника сумма углов -1080 градусов.

    У четырехугольника сумма углов -360 градусов.

    У треугольника сумма углов -180 градусов.

  • Сумма углов любого пятиугольников стоит 540 градусов.

    В среднем величина угла около 110 градусов.

    Пятиугольники в математике встречаются часто, поэтому необходимо знать формулу, если не знаете сколько градусов в фигуре.

    Формула для нахождения суммы градусов в n-угольнике: (n-2)*180 градусов.

  • Пятиугольником, судя по его названию, называют многоугольник с пятью углами.

    Сумму углов пятиугольника можно найти по следующей формуле:

    ( n - 2 ) х 180 , где n - это количество углов в многоугольнике, в нашем случае это будет пять.

    Получается: (5-2) х 180 = 3 х 180 = 540

    У пятиугольника с равными углами каждый угол будет равняться 108.

  • Существует формула, в соответствии с которой можно определить, чему равна сумма углов любого многоугольника. (n-2)*180, где n-это количество углов в нашем многоугольнике. Применим формулу: (5-2)*180=540. Верным ответом на данный вопрос будет число 540

  • Представим выпуклый пятиугольник в виде четырехугольника с добавленным к нему треугольником. Поскольку сумма углов четырехугольника так или иначе равна 360 градусов, а сумма углов треугольника - 180 градусов, методом простого вычисления 180+360 получаем число 540: именно 540 градусов - сумма углов пятиугольника.

  • Существует формула для вычисления суммы всех углов многоугольника, благодаря которой можно вычислить сумму углов любого многоугольника, будь то треугольник, или четырехугольник, или пятиугольник и т. д.

    Эта формула выглядит так :

    Сумма углов = ( n - 2 ) х 180 .

    Тогда сумма углов для нашего пятиугольника будет равна ( 5 - 2 ) х 180 = 3 х 180 = 540 .

    А можно применить для такого вычисления и еще один способ, который заключается в том, что мы наш пятиугольник можем разделить на треугольники, которых будет три, а так как в треугольнике сумма углов равна 180 , то 3 треугольника умножаем на 180 и получаем те же 540 .

  • info-4all.ru



    О сайте

    Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"