Все формулы объема геометрических тел. Тетраэдр объем формула

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Объем тетраэдра - формулы, примеры расчета, калькулятор

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками  ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

,

где

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр — частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.Высота BM равна BM и равна Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся  высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где BM=, DM=, BD=a,p=1/2 (BM+BD+DM)= Подставим эти значения в формулу высоты. Получим Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратовПосле небольших преобразований получимОбъем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле,где ,Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдраИз вершины   проведем векторы , , . Для нахождения координат каждого  из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

 Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

2mb.ru

Объём тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

 

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD. 

(2) ,

где ∠(AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠(ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠(AB,CD) – угол между этими ребрами.

 

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

 

school-collection.edu.ru

Объем тетраэдра

В геометрии тетраэдром называется правильный многогранник, который имеет четыре грани, представляющих собой равносторонне треугольники. Из этого следует, что все ребра тетраэдра имеют одинаковую длину, а все его грани – одинаковую площадь. Это геометрическое тело и его основные свойства изучаются на школьных уроках геометрии, а вот в жизни оно «в чистом виде» встречается не так уж часто. Вернее, тетраэдр зачастую просто не столь заметен и очевиден, как, к примеру, шар или параллелепипед.

Тем не менее, в технике это геометрическое тело встречается достаточно часто. К примеру, форму тетраэдров имеют оптические элементы, являющиеся основой конструкции катафотов. Благодаря особенностям расположения граней тетраэдры отражают свет в ту же самую точку, откуда он исходит, и поэтому кажется, что они светятся сами. Катафоты нашли очень широкое применение в качестве устройств обеспечения безопасности дорожного движения.

Нахождение объема тетраэдра

 

 

 

a – ребро тетраэдра

V – объем тетраэдра

 

Поскольку тетраэдр по своей природе является исключительно жесткой статической формой, то это свойство достаточно широко используется в технике. К примеру, стержни многих несущих металлоконструкций располагаются именно в форме тетраэдров, и благодаря этому инженерам удается создать легкие и исключительно прочные фермы мостов и перекрытий различных сооружений.

Кристаллические решетки многих прочных природных минералов также имеют форму тетраэдра. Одним из них является алмаз, в котором атомы располагаются как раз в вершинах этого геометрического тела. Интересно, что графит также состоит из атомов углерода, то есть его химический состав аналогичен химическому составу алмаза, однако по прочностным характеристикам он очень существенно уступает последнему именно из-за того, что форма его кристаллической решетки другая. Поэтому производство искусственных алмазов из графита заключается как раз в упорядочивании атомов углерода таким образом, чтобы они образовывали тетраэдры.

Форму этого геометрического тела имеет и расположение плодов некоторых растений в гроздьях. К примеру, грецкие орехи часто находятся в таком положении, что их центры находятся в вершинах тетраэдра.

Сейчас в России и некоторых зарубежных странах выпускается молочная упаковка, также имеющая форму тетраэдра. Основой для ее изготовления является труба из специального материала, напоминающего тот, который применяется при изготовлении так называемых «тетрапаков». По мере того, как она заполняется молоком или сливками, специальные устройства запаивают ее таким образом, что соседние швы являются перпендикулярными друг другу, и в итоге готовые пакеты имеют форму тетраэдра.

Классическим тетраэдром является также и головоломка, известная, как «Пирамидка Рубика», «Японский тетраэдр» и «Молдавская пирамида». Известный венгерский архитектор изобретатель, впрочем, не имеет к ней никакого отношения, хотя принцип, на котором она основана, практически такой же, что и тот, который используется в его знаменитом кубике. На самом деле эта игрушка была в 1972 году разработана немцем Уве Меффертом, затем, независимо от него, изобретена молдавским инженером А.А. Ордынцем, а с 1981 года производится компанией Tomy Toys, штаб-квартира которой располагается в Японии.

simple-math.ru

Объем пирамиды | Мозган калькулятор онлайн

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь, высоту, сторону или количество сторон. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Пирамида

Формула объема пирамиды через высоту и площадь основания:

S - площадь основания; h - высота пирамиды.
Правильная пирамида

Правильная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Формула объема правильной пирамиды через сторону основания, высоту и количество сторон:

a - сторона основания; h - высота пирамиды; n - количество сторон многогранника в основании.
Правильная треугольная пирамида

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула объема правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту:

a - сторона основания; h - высота пирамиды.
Правильная четырехугольная пирамида

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту:

a - сторона основания; h - высота пирамиды.
Тетраэдр

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани равносторонние треугольники.

Формула объема тетраэдра:

a - ребро тетраэдра.

mozgan.ru

dets:geometry [VF]

Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

Вспомогательная страница к разделу ☞ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами и :

Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами и (окружности, описанной вокруг треугольника):

При условии, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой; см. ☞ ЗДЕСЬ ):

окружность вырождается в прямую

Координаты центра окружности, проходящей через точки и :

Т

Теорема [Птолемей]. Точки и лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Здесь .

Доказательство, альтернативная геометрическая формулировка, а также пространственный аналог теоремы ☞ ЗДЕСЬ.

Уравнение плоскости, проходящей через точки пространства с координатами , и :

Уравнение сферы, проходящей через точки , , и :

При условии, что все четыре точки компланарны (лежат в одной плоскости; см. ☞ ЗДЕСЬ ):

сфера вырождается в плоскость. Координаты центра сферы:

§

Сформулированные выше геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об ☞ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

тетраэдра

параллелепипеда

эллипсоида

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

pmpu.ru

Тетраэдр - Gpedia, Your Encyclopedia

Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник[1], от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες — «четыре» + др.-греч. ἕδρα — «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника[2], треугольная пирамида. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства тетраэдра

Описанный параллелепипед

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Деление тетраэдра на две равные части

Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части[3]:216-217.

Бимедианы

Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

Лемма о трезубце

Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

Ортоцентр

Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).

Прямая Эйлера

Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) лежат на одной прямой. При этом RM=MH=3MF.

Вторая прямая Эйлера

Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

Сфера Фейербаха (сфера 12 точек)

Пусть точка G1 делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G1 на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W1. Точки G1 и W1 лежат на сфере, которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Развёртка равногранного тетраэдра

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

  • Все его грани равны (конгруэнтны).
  • Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
  • Трёхгранные углы равны.
  • Противолежащие двугранные углы равны.
  • Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
  • Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
  • Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
  • Описанный параллелепипед прямоугольный.
  • Тетраэдр имеет три оси симметрии.
  • Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
  • Средние линии попарно перпендикулярны.
  • Периметры граней равны.
  • Площади граней равны.
  • Высоты тетраэдра равны.
  • Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
  • Радиусы описанных около граней окружностей равны.
  • Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
  • Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
  • Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
  • Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
  • Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням), равна нулю.
  • Сумма всех двугранных углов равна нулю.
  • Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Ортоцентрический тетраэдр

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

  • Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
  • Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
  • Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
  • Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
  • Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
  • Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
  • Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
  • У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
  • У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.

Каркасный тетраэдр

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий[4]:

  • существует сфера, касающаяся всех рёбер,
  • суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
  • окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
  • все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
  • перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

Инцентрический тетраэдр

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

  • Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
  • Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
  • Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
  • Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
  • Произведения длин противоположных рёбер равны.
  • Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани правильные треугольники. Является одним из пяти тел Платона.

Свойства правильного тетраэдра:

  • все рёбра тетраэдра равны между собой,
  • все грани тетраэдра равны между собой,
  • периметры и площади всех граней равны между собой.
  • Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
  • Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
  • Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
  • В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
  • Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
  • Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

  • Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках r1(x1,y1,z1),{\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),} r2(x2,y2,z2),{\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),} r3(x3,y3,z3),{\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),} r4(x4,y4,z4),{\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),} равен
V=16|1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4|=16|x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1x4−x1y4−y1z4−z1|,{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},}

или

V=13 SH,{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\ SH,}

где S{\displaystyle S} — площадь любой грани, а H{\displaystyle H} — высота, опущенная на эту грань.

288⋅V2=|0111110d122d132d1421d1220d232d2421d132d2320d3421d142d242d3420|.{\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}
  • Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
  • Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол ϕ{\displaystyle \phi }, находится по формуле:

V=16abhsin⁡ϕ.{\displaystyle V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .}

  • Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a,b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы α,β,γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }, находится по формуле[5]
V=16 abcD,{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D}},}

где

D=|1cos⁡γcos⁡βcos⁡γ1cos⁡αcos⁡βcos⁡α1|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}}.}
  • Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол γ{\displaystyle \gamma }:
S=12 abD,{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ ab{\sqrt {D}},}

где D=|1cos⁡γcos⁡γ1|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.}

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

r1(x1,y1,z1),{\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),} r2(x2,y2,z2),{\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}r3(x3,y3,z3),{\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}r4(x4,y4,z4){\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}— координаты вершин тетраэдра.

  • Объём тетраэдра (с учётом знака):

V=16|1x1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z4|{\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}.

  • Координаты центра тяжести(пересечение медиан):rT(xT,yT,zT){\displaystyle \mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}

xT=x1+x2+x3+x44;{\displaystyle x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}yT=y1+y2+y3+y44;{\displaystyle y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}zT=z1+z2+z3+z44.{\displaystyle z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}

  • Координаты центра вписанной сферы:rr(xr,yr,zr){\displaystyle \mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}

xr=S1x1+S2x2+S3x3+S4x4S1+S2+S3+S4;{\displaystyle x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}yr=S1y1+S2y2+S3y3+S4y4S1+S2+S3+S4;{\displaystyle y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}zr=S1z1+S2z2+S3z3+S4z4S1+S2+S3+S4,{\displaystyle z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}

где S1{\displaystyle S_{1}}-площадь грани противолежащей первой вершине, S2{\displaystyle S_{2}}-площадь грани противолежащей второй вершине и т. д.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

(x−S1x1+S2x2+S3x3+S4x4S1+S2+S3+S4)2+(y−S1y1+S2y2+S3y3+S4y4S1+S2+S3+S4)2+(z−S1z1+S2z2+S3z3+S4z4S1+S2+S3+S4)2=(3VS1+S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой вершине:

(x−−S1x1+S2x2+S3x3+S4x4−S1+S2+S3+S4)2+(y−−S1y1+S2y2+S3y3+S4y4−S1+S2+S3+S4)2+(z−−S1z1+S2z2+S3z3+S4z4−S1+S2+S3+S4)2=(3V−S1+S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой и второй вершин(количество таких сфер может варьироваться от 0 до 3-х):

(x−−S1x1−S2x2+S3x3+S4x4−S1−S2+S3+S4)2+(y−−S1y1−S2y2+S3y3+S4y4−S1−S2+S3+S4)2+(z−−S1z1−S2z2+S3z3+S4z4−S1−S2+S3+S4)2=(3V−S1−S2+S3+S4)2,{\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}

  • Уравнение описанной сферы:

|x2+y2+z2xyz1x12+y12+z12x1y1z11x22+y22+z22x2y2z21x32+y32+z32x3y3z31x42+y42+z42x4y4z41|=0.{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Обозначения:

J(α1,α2,α3,α4)=α1J1+α2J2+α3J3+α4J4,{\displaystyle \mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,} — барицентрические координаты.

  • Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть J1(x1,y1,z1,t1),J2(x2,y2,z2,t2),J3(x3,y3,z3,t3),J4(x4,y4,z4,t4).{\displaystyle \mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).}-координаты вершин тетраэдра.

Тогда

V=|x1y1z1t1x2y2z2t2x3y3z3t3x4y4z4t4|(x1+y1+z1+t1)(x2+y2+z2+t2)(x3+y3+z3+t3)(x4+y4+z4+t4)V′,{\displaystyle V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3}+t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',} где V′{\displaystyle V'}-объем базисного тетраэдра.

  • Координаты центра тяжести(пересечение медиан):JT(1,1,1,1).{\displaystyle \mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).}
  • Координаты центра вписанной сферы:Jr(S1,S2,S3,S4).{\displaystyle \mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).}
  • Координаты центра описанной сферы:

JR=|0J1J2J3J410α2,12α3,12α4,121α2,120α3,22α4,221α3,12α3,220α4,321α4,12α4,22α4,320|.{\displaystyle \mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&amp

www.gpedia.com

Все формулы объема геометрических тел

Все формулы объема геометрических тел

 

 

 

a - сторона куба

 

 

 

Формула объема куба, (V ):

 

 

 

 

a, b, c- стороны параллелепипеда

 

 

 

Формула объема параллелепипеда, (V):

 

 

 

R- радиус шара

π ≈ 3,14

 

 

 

Объем шара, (V):

 

 

h- высота шарового слоя

R- радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

π ≈ 3,14

 

 

Объем шарового слоя, (V):

 

 

 

h - высота сегмента

R - радиус шара

π ≈ 3,14

 

 

Объем шарового сектора, (V):

Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

R - радиус шара

h - высота сегмента

π ≈ 3,14

 

 

 

Объем шарового сегмента, (V):

 

 

 

 

h- высота цилиндра

r- радиус основания

π ≈ 3,14

 

 

 

Объем цилиндра, (V):

 

 

 

 

 

H- высота конуса

R- радиус основания

π ≈ 3,14

 

Объем конуса, (V):

 

 

 

R- радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

h- высота конуса

π ≈ 3,14

 

Объем усеченного конуса,  (V ):

 

 

h - высота пирамиды

S - площадь основания ABCDE

 

 

 

Объем пирамиды, (V):

 

 

h - высота пирамиды

Sниж - площадь нижнего основания, ABCDE

Sверх - площадь верхнего основания, abcde

 

 

Объем усеченной пирамиды, (V):

 

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды

n - количество сторон многоугольника в основании

 

 

Объем правильной пирамиды, (V):

 

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

h - высота пирамиды

a - сторона основания

 

 

 

Объем правильной треугольной пирамиды, (V):

 

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

h - высота пирамиды

a - сторона основания

 

 

 

Объем правильной четырехугольной пирамиды, (V):

 

 

 

Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а -ребро тетраэдра

 

 

 

 

Объем правильного тетраэдра (V):

 

 

© 2016 Все права защищены.

При использовании материалов сайта ссылка на источник обязательна.

zdesformula.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"