5.3. Виды симметричных периодических функций. Симметричность функции как определить


Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x).

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.

Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?

Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.

Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.

Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?

Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b<-2, так что функция у=2f(x)-1 имеет центр симметрии в точке (а, 2b-2).

Комментарий. При рассуждении можно употреблять термины «растяжение-сжатие» и «сдвиг». Можно также пользоваться утверждением «Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2а-x)».

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

График четной и нечетной функций

Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример. Построить график функции \(y=\left|x \right|\).

Решение. Рассмотрим функцию: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) и подставим вместо \(x \) противоположное \(-x \). В результате не сложных преобразований получим: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.

Значит эта функция - четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической - удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений. Пример. Построить график функции \(y=x\left|x \right|\).

Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).

Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. Такую симметрию рисовать сложнее. Это означает, что вы смотрите на график с другой строны листа да еще и перевернув вверх ногами. А можно еще так: берем нарисованную часть и вращаем ее вокруг начала координат на 180 градусов против часовой стрелки. Пример. Построить график функции \(y=x^3+x^2\).

Решение. Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результате получим, что: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А это означает, что функция не является ни четной , ни нечетной.

Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции.

studlab.com

Четность, нечетность функций

Определение: Функция называется четной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть для любого ;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка принадлежит графику четной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2.

Так как любая пара точек и , принадлежащих графику четной функции, симметрична относительно оси ординат, следовательно, график любой четной функции симметричен относительно оси ординат (Рис. 1).

Рис. 1. Рис. 2.

Пример: – четная функция, так как, во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство .

, (Рис. 2).

Определение: Функция называется нечетной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть для любого ;

2)

для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка принадлежит графику нечетной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2. Так как любая пара точек и , принадлежащих графику нечетной функции, симметрична относительно начала координат, следовательно, график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: – нечетная функция, так как, во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство .

, .

Пример: Исследовать на четность и нечетность функции:

1) ;

Область определения данной функции симметрична относительно начала координат. Найдем и сравним с : , .

Следовательно, является четной функцией.

2) ;

Область определения данной функции симметрична относительно начала координат. Найдем и сравним с :

,

и . Следовательно, не является ни четной, ни нечетной функцией.

3) .

Область определения данной функции симметрична относительно начала координат. Найдем и сравним с : , .

Следовательно, является нечетной функцией.

Похожие статьи:

poznayka.org

Симметрия в графиках функций - HintFox

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счёте, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и сред-ствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства.

Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - понятие, означающее сохраня-емость, повторяемость, "инвариантность" каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.

Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противосто-ит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.

Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Асиммет-ричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов.

Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.

Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявле-ние божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии.

Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок.

Так, Пифагор (5 век до н. э. ), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. При этом он полагал, что Земля движется по сфере некоего «центрального огня». Вокруг того же «огня», согласно Пифагору, должны были обращаться известные в те времена шесть планет, а также Луна, Солнце, звезды.

Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Еще во времена древних греков был установлен поразительный факт – существует всего пять правильных выпуклых многогранни-ков разной формы. Симметрии геометрических тел большое значение придавали греческие мыс-лители эпохи Пифагора. Они считали, что для того, чтобы тело было "совершенно симметрич-ным", оно должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Впервые ис-следованные пифагорейцами, эти пять правильных многогранников были впоследствии подроб-но описаны Платоном. Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правиль-ным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр (наиболее "катучее" тело). Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Имен-но поэтому правильные многогранники называются также телами Платона.

Простейшими видами пространственной симметрии являются центральная, осевая, зеркально- поворотная и симметрия переноса.

Две точки А и А называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА. Точка О считается симметричной самой себе.

Точка М называется симметричной точке М относительно прямой а, если прямая ММперпендикулярна прямой а и МО=ОМ, где О—точка пересечения прямых ММ и а.

Преобразование фигуры F в фигуру F, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии.

Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, расстояние а элементарным переносом или периодом.

Определение 1. Функцию y= f(x) , x X , называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x).

Свойство 1. График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Доказательство. Пусть y= f(x)—четная функция, тогда f(-x)=f(x). Рассмотрим произвольную точку графика M(x; f(х)) и точку М(- x; f (- x)). Так как функция у= f(х)—четная, то f(х)= f(-х) =>вторые координаты точек М и M равны. Точки графика М и M симметричны относи-тельно оси Оу. Так как М—произвольная точка графика, то, значит, график четной функции симметричен относительно оси Оу.

Определение 2. Функцию y=f(x), x X, называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x)= -f(x).

Свойство 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Доказательство. Пусть y=f(x)—нечетная функция, тогда f(-x)= -f(x). Рассмотрим произволь-ную точку графика M(x; f(х)) и точку М(- x; f (- x)). Так как функция у= f(х)—нечетная, то f(х)=- f(х) =>вторые координаты точек М и M противоположны. Точки графика М и M симметричны относительно начала координат. Так как М—произвольная точка графика, то, значит, график четной функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим графики: а) у=х

Докажем, что ось Оу является осью симметрии данного графика.

у(-а)=(-а) =а, y(a)=a=> y(a)=y(-a) => y=x - четная функция => ось Оу является осью симметрии данного графика.

Докажем, что никакая другая прямая не будет являться осью симметрии.

Предположим, что некоторая прямая х=х является осью симметрии, тогда у(x+ a)=(x+а)= х + 2ха + а

=> y(x+ a) у(x –a)=> у(x –a) =(x+а)= х - 2ха + а

⇨ прямая х=х не является осью симметрии данного графика.

б) y= ax+ bx+c.

Докажем, что для данного графика ось симметрии будет проходить через вершину параболы (x;y) параллельно оси Оу.

Первую координату вершины параболы можно вычислить по формуле: х= -. Рассмотрим произвольную точку графика M(x+а; у(х+а)) и точку М(x-а; у ( x-а)).

у(x+а)=а(x+а)+ b(x+а)+с=аx+2аx+а+bx+аb+с=

Значит, точки М и М симметричны относительно прямой, проходящей через вершину параболы y= ax+ bx+c. Следовательно, график данной функции симметричен относительно прямой х= -.

в) у= х.

Докажем, что начало координат будет точкой симметрии данного графика.

у(-x)=(-x) = -х=-у(х)=>у= х -нечетная функция (определение2) => центром симметрии данного графика является начало координат.

=> f(-x) =-f(x)=> у= -нечетная функция (определение2)=> центром f(-x)=- симметрии данного графика является начало координат (доказательство 2).

Определение 3. Две точки А и А называются симметричными относительно точки О, если О-середина отрезка А А, т. е. АО=О А.

д) у= kx+b

Графиком данной функции является прямая.

1. Каждая точка, принадлежащая этой прямой, будет являться ее центром симметрии, т. е. у этого графика бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим точку М(x;y). Пусть M( x; y)—точка графика данной функции, отличная от точки М, а точка М такая точка графика, что М M=М М. Тогда первая координата точки М равна 2 x- x. Убедимся, что точка М принадлежит графику данной функции.

у=k(2 x- x)+ b y= 2kx-kх+b y=2k у=2у-2b-у+b+b у=у

Следовательно, точка М принадлежит графику функции.

е) y=kx+ b

Осью симметрии данного графика будет являться прямая параллельная оси Оу и проходящая через некоторую координату (x;0), которая принадлежит графику функции.

ж) y=kx + b у(-х)= k-x+b= kx + b=у(х)=> функция y=kx + b является четной. Значит, она симметрична относительно оси Оу.

з)y=ах+ b│х│+с.

у(-х)=а(-х)+ b│-х│+с= ах+ b│х│+с=у(х). => ось Оу является осью симметрии данного графика.

и) y=│ax+bx+c│

При построении данного графика, сначала строим график у=ах+bх+с, затем часть полученного графика, лежащую ниже оси абсцисс, отражаем симметрично относительно этой оси. (1)

Так же мы знаем, что через вершину параболы (х;у) проходит прямая, параллельная оси ординат, которая является осью симметрии параболы. (2)

Из свойств (1) и (2), следует, что ось симметрии параболы является осью данного графика.

В этой работе были рассмотрены функции (в том числе содержащие знак модуля), графики которых имеют ось симметрии и (или) центр симметрии. Здесь отсутствуют тригонометри-ческие функции, которые по программе изучаются позже.

www.hintfox.com

Симметрия функций и преобразования их графиков

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,1 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

обучающая: повторить определение функции; основные понятия, связанные с ней; способы задания функции. Ввести понятие чётной и нечётной функции. Освоить основные способы преобразования графиков;

воспитывающая: воспитание интереса к математике;

развивающая: развитие зрительного восприятия предмета.

Оборудование: мультимедиа, компьютер, демонстрационный экран плакаты, справочник.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

I. Организационный момент. (2 минуты)

Сообщение темы и целей урока.

II. Повторение. (15 минут)

 Повторить определение функции; основные понятия, связанные с ней; способы задания функции.

Решить несколько примеров

Определение. Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у.

Обозначение: у = f(х), где х – независимая переменная (аргумент функции), у – зависимая переменная (функция).

Множество значений х называется областью определения функции.(D)

Множество значений у называется областью значения функции.(Е)

Примеры 1–6

III. Изучение нового материала (15 минут)

План.

Преобразование графиков функции

  1. Симметрия относительно оси у, f(x) —> f(- x)
  2. Симметрия относительно оси х, f(x) —> - f(x)
  3. Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) —> f(x-а)
  4. Параллельный перенос вдоль оси у, f(x) —> f(x)+b
  5. Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) —> f(ax), a>0
  6. Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) —> kf(x),k>0
  7. Построение графика функции у = | f (x)|
  8. Построение графика функции у = f (| x |)
  9. Построение графика обратной функции

 При изучении нового материала, ученики делают конспект, зарисовывая из каждого слайда один чертёж.

III. Закрепление нового материала. (10 минут)

Ученики решают у доски с помощью преподавателя.

Пример 7–8

III. Итоги урока (2 минуты)

  • Контрольные вопросы: Дайте определение чётной, нечётной функций.
  • Расскажите о способах задания функции.
  • Что такое область определения?
  • Что такое область значения?
  • Как найти точки пересечения с осями координат?
  • Какие свойства симметрии вы изучили?
  • Как проявляются свойства симметрии на графиках?

V. Домашнее задание: гл. 7, занятие 4, стр. 133–136. Вопросы и упражнения 1-11.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

5.3. Виды симметричных периодических функций

Периодические несинусоидальные функции, обладающие каким-либо видом симметрии, имеют определенные свойства, которые упрощают разложение этих функций в тригонометрический ряд. Существуют функции, симметричные относительно оси абсцисс, относительно оси ординат, относительно начала координат, а также функции, симметрич­ные как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Рас­смотрим такие функции.

Функция, симметричная относительно оси абсцисс. Функция, удов­летворяющая условию

(5.8)

называется симметричной относительно оси абсцисс (рис. 5.4). Иными словами, функция симметрична относительно оси абсцисс, если ее двум абсциссам, отличающимся на полпериода Т/2, соответствуют равные, но разные по знаку ординаты. Кривая обладает свойством сим­метрии относительно оси абсцисс в том случае, если в результате сме­щения ее положительной полуволны по оси на полпериода, т. е. на Т/2, и зеркального отражения относительно оси t получается изобра­жение отрицательной полуволны.

Такая функция при разложении в ряд Фурье не содержит постоян­ной составляющейA0 и высших гармоник четного порядка. Докажем это положение. Так как условием симметрии является равенство

Последнее равенство имеет место при любых значениях ωt, что возможно только при условии, когда A0 = 0, А2m = 0, А4m = 0 и т. д., т. е. когда нулевая гармоника и амплитуды четных гармоник равны нулю.

Таким образом, функция, симметричная относительно оси абсцисс, при разложении в ряд Фурье содержит только нечетные гармоники.

Следовательно,ряд Фурье такой функции имеет вид

Функция, симметричная относительно оси ординат. Функция, удовлет­воряющая условию

(5.10)

называется симметричной относительно оси ординат (рис. 5.5). Иными словами функция симметрична относительно оси ординат, если двум равным ординатам, соответствуют равные, но разные по знаку абсциссы.

Функция, симметричная относительно оси ординат, при разложе­нии в ряд Фурье не содержит синусов, а содержит только косинусы и постоянную составляющую. Рассмотрим это свойство симметрии.

Итак, условие симметрии f(ωt) = f(-ωt), или f(ωt) - f(-ωt) = 0, где

Следует иметь в виду, что при изменении знака аргумента синусы меняют знак, а косинусы его не меняют, так как cos (- ωt) = cos (ωt). В результате алгебраического сложения уравнений (5.11) и (5.12) имеем

Это равенство будет иметь место при любых значениях ωt, но при условии, когда В1m = 0, В2m = 0, В3m = 0 и т. д. Следовательно, при симметрии функции относительно оси ординат ряд не содержит синусов:

(5.13)

Функция» симметричная относительно начала координат. Функция, у которой точка нуля функции совпадает с началом координат (рис. 5.6) и удовлетворяет условию

(5.14)

называется симметричной относительно начала координат. Согласно (5.14), условие симметрии для данной функции можно также записать в виде

Складывая уравнения (5.11) и (5.12), получим

Это равенство справедливо при условии А0 = 0, С1m = 0, С2m = 0, С3m = 0 и т. д. Следовательно, функции, симметричные относительно начала координат, не содержат постоянной составляющей и косинусов и могут быть представлены рядом

(5.15)

Функция, симметричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат. Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то при разложении ее в ряд в нем отсутствуют нулевая и четные гармо­ники, а для функции, симметричной относительно начала координат, кроме того, отсутствуют и косинусоиды. Следовательно, функция, сим­метричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат , (рис. 5.7), при разложении в ряд состоит только из синусоид нечетного порядка:

(5.16)

Пример 4.3. К трехпроводной трехфазной линии с линейным на­пряжением 380 В подключен трехфазный приемник с параметрами R=10 Ом, XL=10 Ом, Хс=10 Ом. Рассчитать токи в фазах и в линии, построить совмещенные топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение. Сопротивления фаз по модулю одинаковые, но по аргументу разные; следовательно, нагрузка несимметричная и ток, каждой фазы необходимо рассчитать отдельно.

Комплексные сопротивления фаз:

Комплексные линейные напряжения:

Фазные токи:

Линейные токи:

Рисунки к примеру 4.3.

Для построения векторных диаграмм выбираем масштабы напряже­ния и тока. Строим топографическую диаграмму напряжений. Векторы фазных токов Iab, Ibc, Jca соот­ветственно откладываем относительно векторов линейных напряжений Uab, Ubc, Uca под углами φab= 0, φbc= 90°, φca= -90 о. За­тем в соответствии строим векторы IA, IB, IC длина и на­правление которых должны соответствовать расчетным данным.

Пример 4.4. К трехфазной линии с UЛ=380 В подключены трехфазный симметричный приемник, фазы которого соединены треугольником, и группа однофазных приемников, соединенных звездой с ней­тральным проводом. Комплексное сопротивление фазы сим­метричного приемника Zф= 20 еj15° Ом. Активные мощности однофазных приемников Рa=5500 Вт, Рb=3300 Вт, Рc=7700 Вт при соsфф = 1. Со­противлением проводов можно пренебречь. Определить: фазные и ли­нейные токи симметричного приемника, токи в несимметричных приемниках, суммарные активную, реактивную и полную мощности.

Решение. Фазные напряжения при соединении звездой с нейтральным проводом Uф =UЛ /= 380/= 220 В.

Рисунок к примеру 4.4.

Фазные токи однофазных приемников:

Фазные и линейные токи трехфазного приемника:

и его активная, реактивная и полная мощности:

studfiles.net

3. Виды симметрии периодических функций

Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидаль­ных функций.

  1. Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала ко­ординат и удовлетворяет условию(рис.119).

Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечет­ных. В раз­ло­жении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник Bkи отсутствуют постоянная составляющая A0 и косинус­ные составляющие отдельных гармо­ник Сk:

.

При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегри­рование в формуле достаточно выполнить за половину периода T/2:

.

2)Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетво­ряет условию(рис. 3).

Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложе­нии таких функций содержатся только постоянная составляющая А0 и косинусные состав­ляющие отдельных гармоник Ck и отсутствуют синусные со­ставляющие отдельных гармоник Вк:

.

При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегри­рование в формулах достаточно выполнить за половину периода:

,

.

3) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [f(t)>0] или отрицательной части [f(t)<0] на отрезок времени и удовлетворяет условию(рис.121):

Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососим­метричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармо­ники (синусные и косинусные составляющие):

.

Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что ко­сосиммет­рич­ная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:

Добавим к аргументу функции T/2:

Равенство выполняется при условииA0=0, A2=0, A4=0,…, что тре­бо­валось доказать.

Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим пра­вилам.

Функция f(t) может обладать одновременно двумя видами симметрии, на­пример, не­четной и косой или четной и косой, но не может быть одновременно нечетной и четной. При разложении конкретной функции в ряд Фурье начало отсчета следует выбрать так, чтобы получить желаемый вид симметрии функ­ции.

Пример. Требуется разложить в ряд Фурье периодическую прямоуголь­ную функ­цию и(рис.122).

При выбранном начале отсчета (точка 0) функция будет обладать одно­временно двумя видами симметрии (нечетной и косой) и ее гармонический со­став будет иметь вид:

Коэффициенты ряда Фурье определяются по формуле для нечетной функ­ции:

Тогда ряд Фурье исследуемой функции получит вид:

4. Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений

Как известно, в электроэнергетике переменные токи и напряжения харак­теризуются их действующими значениями. Математически действующее значе­ние любого периодически изменяющегося тока (напряжения) определяется как среднеквадратичное значение функции за период:

;

Пусть функция тока содержит в своем составе все компоненты ряда Фу­рье:

Определим действующее значение этой функции:

=

=

При интегрировании учтено, что произведение двух синусоидальных функций вре­мени с различными частотами идает сумму двух новых синусоидальных функций с частотамии, определенный интеграл от которых в пределах целого числа периодов равен нулю.

Итак получено, что действующее значение несинусоидального тока (на­пряжения) равно квадратному корню из действующих значений отдельных гар­моник:

,

.

Примеры некоторых функций и их действующих значений приведены ниже:

1. ;

2. ;

3. ;

Вывод: при коэффициенте высшей гармоники менее 0,1 () их доля в действующем значении функции составляет менее 1% (), и, следовательно, при определении действующего значения функции с по­грешностьюэти гармоники могут не учиты­ваться.

studfiles.net



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"