Дифференцируемые функции и дифференциал. Продифференцировать функцию это значит

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Дифференцируемая функция - это... Что такое Дифференцируемая функция?

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.[1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.[2][3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Функции одной переменной

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая) Функция и её производная.

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке своей области определения , если существует такая константа , что для любой точки верно

при этом число неизбежно равно производной

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, она имеет производную в этой точке.

График функции представляет собой кривую на плоскости , а график линейной функции

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке .

Напр., функция определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

.

При этом её производная есть , а уравнение касательной прямой, проведённой в точке , имеет вид: .

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Напр., функция является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку , в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке , является вертикальной прямой и поэтому производная функции бесконечно велика в точке , а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу[4], и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке[5]. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке[6]. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений меры нуль.[7]

Функции нескольких переменных

Функция переменных является дифференцируемой в точке своей области определения , если для любой точки существуют такие константы , что

где .

В этой записи функция

является дифференциалом функции в точке , а числа являются частными производными функции в точке , то есть

где — вектор, все компоненты которого, кроме -ой, равны нулю, а -ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных , равную при и при . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось, что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.[1]

Отображения

Отображение называется дифференцируемым в точке своей области определения , если существует такое линейное отображение , зависящее от точки , что для любой точки верно

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

.

Линейное отображение является дифференциалом отображения в точке .

Если отображение задано набором функций

то его дифференцируемость в точке равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала — это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке .

Примечания

  1. ↑ 1 2 Зорич В. А., Математический анализ — Любое издание, том 1 глава VIII.
  2. ↑ Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
  3. ↑ Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.
  4. ↑ Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  5. ↑ Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. P. 1-3.
  6. ↑ Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
  7. ↑ Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 15.

Литература

  • Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — С. 13-16.
  • Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.-Л.: ГНТИ, 1931. — Т. 2. — С. 60-69.
  • Зорич В. А. Математический анализ. — М: Фазис, 1997. — Т. 1.

Ссылки

dic.academic.ru

Дифференцируемая функция | Математика | FANDOM powered by Wikia

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

    • Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того $ \bigl( f(x) = f(x_0) + A \cdot (x-x_0) + o(x-x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( f'(x_0) = A \bigr). $
    • Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
    • Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть $ \bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Rightarrow \bigl( f \in C(x_0) \bigr). $
    Обратное, вообще говоря, неверно.

    Касательная прямая Править

    График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

    Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция $ f_l:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $, задаваемая уравнением $ f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) $, называется касательной к функции $ f $ в точке $ x_0. $

    • Функция $ f(x) = x^2 $ определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление $ f(x) = f(x_0) + 2x_0(x-x_0) + (x-x_0)^2. $
    Таким образом имеем: $ f'(x_0) = 2x_0. $ Уравнение касательной для этой функции имеет вид: $ f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0). $ Дифференциал этой функции задается формулой: $ df(x_0)(h) = 2x_0 h $.
    • Функция $ f(x) = |x| $ является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке $ x_0 = 0, $ её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

    Эта статья содержит материал из статьи Дифференцируемая функция русской Википедии.

    ru.math.wikia.com

    11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие

    дифференцируемости. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой

    функции.

    1) Дифференци́руемаяфу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.

    2) Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

    При этом

     

    Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,

     

    где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

    3) Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

    4) Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция fнепрерывна на (a, b).

    Доказательство

    Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

    По условию теоремы

    Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что

    Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна приx = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция fнепрерывна на всем интервале (a, b).

    Теорема доказана.

    ВОПРОС№3. Правила дифференцирования сложной и обратной

    Теория:

    Пусть функция u=g(x) определена на множестве X и U — область ее значений.  Пусть, далее, функция y=f(u) определена на множестве U.  Поставим в соответствие каждому x из X число f(g(x)).  Тем самым на множестве X будет задана функция y=f(g(x)).  Ее называют композицией функций или сложной функцией.

    Если известна производная функции f(x), то производную сложной функции f(u) можно вычислить с помощью следующей формулы:

    (f(u))'=f'(u)⋅u'

     

    Используя правило дифференцирования сложной функции, можно обосновать правило дифференцирования обратной функции.

    Зная производную функции y=f(x), можно производную обратной функции x=g(y) найти по формуле:

    xy′=1yx′

    (разумеется, при условии, что f′(x)≠0).

    ВОПРОС№6 Теорема Ферма.

    Т Ферма: Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x0Î(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f `(x0)=0.

    Или

    Формулировка[править | править вики-текст]

    Теорема утверждает, что[1]:

    Для любого натурального числа уравнение

    не имеет решений в целых ненулевых числах .

    Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Есличётно, тотоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравненияи при этомотрицательно, а прочие положительны, то, и получаем натуральные решенияПоэтому обе формулировки эквивалентны.

    ВОПРОС№7 Теорема Ролля

      Теорема. Пусть функция  дифференцируема в открытом промежутке, на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения:. Тогда существует точка, в которой производная функцииравна нулю:.

    Рис. 3. Теорема Ролляустанавливает условия существования хотя бы одной точкиc, в которой касательная к графику функции параллельна оси 0x. Таких точек может быть несколько.  Доказательство. Если  в промежутке, тово всех точках этого промежутка. Иначе наибольшее значениеM  функции  превышает ее наименьшее значениеm  в промежутке  . Поскольку на концах этого промежутка функцияпринимает одинаковые значения, то по крайней мере одно из значений,M  или  m, достигается во внутренней точке  c  промежутка  . Тогда по теореме Ферма.

    ВОПРОС№8. Теорема Лагранжа

    Теорема. Пусть функция  дифференцируема в открытом промежуткеи сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка, что

     

     (13)

     

          Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

    Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке  , а на его концах принимает одинаковые значения:

    Тогда  удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка, в которой производная функцииравна нулю:

          Следствие 1. В частном случае, когда  , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка, в которой производная функцииравна нулю:. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.Следствие 2. Если  во всех точках некоторого промежутка, тов этом промежутке.        Действительно, пустьи– произвольные точки промежуткаи. Применяя теорему Лагранжа к промежутку, получим

    Однако  во всех точках промежутка. Тогда

    Учитывая произвольность точек  и, получаем требуемое утверждение.

    ВОПРОС№9999 Теорема Коши

    Формулировка

    Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарныйвектору перемещения от до .

    Доказательство

    Для доказательства введём функцию

    Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка, в которой производная функцииравна нулю, аравна как раз необходимому числу.

    studfiles.net

    Дифференцирование функции - это... Что такое Дифференцирование функции?

     Дифференцирование функции

    Дифференцирование функции [ derivation  ] — операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx + a )’ = b, то есть является константой; производная  степенной функции ( xn)’ =  axn-1  ( х>0), то есть дифференцирование степенной функции уменьшает ее степень на единицу; или дифференцирование логарифмической функции: (logax) ‘ = 1/x logae (0 < a ¹ 1;x>0) в частности, (ln x)’ = 1/x. Для дифференцирования функции, представляющей из себя комбинацию элементарных функций,  применяются специальные правила — например, производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций, постоянный множитель выносится за знак производной, для дифференцирования  произведения двух функций вычисляется сумма из двух произведений: производная первой функции на вторую функцию плюс первая функция на производную второй функции: (u(x)v(x))’ .=  u’(x)v(x)  +  u(x)v(x)’. Соответственно, существуют правила дифференцирования сложной функции, частного двух функций, обратной функции, логарифмических функций , правила вычисления производных высших порядков , а также  правила дифференцирования функций многих переменных.

    Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

    • Дифференциация доходов
    • Дифференцированный баланс доходов и потребления

    Смотреть что такое "Дифференцирование функции" в других словарях:

    • дифференцирование функции — Операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx+a)?=b, то есть является константой; производная степенной функции (xn)?=axn 1 (х>0), то есть дифференцирование степенной функции уменьшает ее… …   Справочник технического переводчика

    • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — 1) в высшей математ. производство математического анализа посредством дифференциального исчисления; 2) д. или дифференциация разделение одного сложного целого на части, характеризующиеся разными признаками; выделение самостоятельных частей.… …   Словарь иностранных слов русского языка

    • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, в математике метод оценки производной некоторой данной функции. Методики ИНТЕГРИРОВАНИЯ и дифференцирования вместе составляют предмет ИСЧИСЛЕНИЙ и находят широкое применение почти во всех областях ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ. см.… …   Научно-технический энциклопедический словарь

    • Функции элементарные — Элементарные функции  функции, которые можно получить из основных элементарных функций: многочлен, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические Гиперболические функции с помощью… …   Википедия

    • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО СЕТИ — специальное понятие дифференцирования функций множеств y(E). Сеть N совокупность разбиений основного пространства Xс мерой m, при этом и для каждого найдется содержащее его множество Всеизмеримы и их совокупность в определенном смысле (см. [1])… …   Математическая энциклопедия

    • Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование  операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование  линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… …   Википедия

    • Дифференцирование сложной функции — Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то …   Википедия

    • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЕ — нахождение производной функции численными методами. Д. ч. используется в случаях, когда методы дифференциального исчисления неприменимы (функция задана таблично), или их применение вызывает значительные трудности (функция имеет сложное… …   Математическая энциклопедия

    • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — операция, края относит функции ее производную или дифференциал. При этом речь может идти о производной или дифференциале в точке или на нек ром множестве, о частных производных, о производной по направлению, о частных и полных дифференциалах, а… …   Математическая энциклопедия

    • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ — нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. е. аппроксимация отображения в окрестности нек рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления.… …   Математическая энциклопедия

    economic_mathematics.academic.ru

    Дифференцируемые функции и дифференциал — ПриМат

    Достаточность:, где , а это и означает, что функция — дифференцируема в точке .

    Лимит времени: 0

    Информация

    Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

    Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

    Тест загружается...

    Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

    Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

    Правильных ответов: 0 из 3

    Ваше время:

    Время вышло

    Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

    Средний результат

     

     
    Ваш результат

     

     
    Рубрики
    1. Математический анализ 0%
    Ваш результат был записан в таблицу лидеров
    1. С ответом
    2. С отметкой о просмотре

    ib.mazurok.com

    необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции

    Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке. При этом &#916;y = f(x0+&#916;x)-f(x0) = f '(x0)&#916;x+&#945;(&#916;x)&#916;x, где &#945;(&#916;x) - бесконечно малая функция, при &#916;x&#8594;0. для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции. Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости) . Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и . При этом ,, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде а полный дифференциал функции – в виде Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

    непрерывность и отсутствие изломов на графике

    Дифференци&#769;руемая фу&#769;нкция — это функция, которая может быть хорошо приближена к линейной функции. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат. Определения * Пусть дана функция f\colon M\subset \R \to \R, и x_0\in M — внутренняя точка области определения f. Тогда f называется дифференци&#769;руемой в x0, если существует окрестность U(x_0) \ni x_0 и число A \in \mathbb{R} такие, что в этой окрестности для f справедливо представление f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0),\quad x \in U(x_0), где o(x &#8722; x0) обозначает величину, пренебрежимо малую по сравнению с x &#8722; x0 при x \to x_0. Если f дифференцируема в x0, пишут f \in \mathcal{D}(x_0). * Линейное отображение l(h) = Ah,\; h \in \R, где A — константа из предыдущего определения, называется дифференциа&#769;лом функции f в точке x0 и обозначается df(x0). * Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке M(x;y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде &#916;z = A&#916;x + B&#916;y + &#945;&#916;x + &#946;&#916;y, где \alpha = \alpha (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0 и \beta = \beta (\Delta x , \Delta y ) \rightarrow 0 при \Delta x \rightarrow 0,\Delta y \rightarrow 0 Свойства * Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(x-x_0)\Leftrightarrow f'(x_0) = A. * Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом. * Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть f \in \mathcal{D}(x_0)\Rightarrow f \in C(x_0). Обратное, вообще говоря, неверно. Касательная прямая Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция f_l\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}, задаваемая уравнением fl(x) = f(x0) + (f)'(x0)(x &#8722; x0), называется касательной к функции f в точке x0. Примеры * Функция f(x) = x2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление f(x) = f(x0) + 2x0(x &#8722; x0) + (x &#8722; x0)2. Таким образом имеем: f'(x0) = 2x0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0). Дифференциал этой функции задаётся формулой: df(x0)(h) = 2x0h. * Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x0 = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал. [править] См. также

    touch.otvet.mail.ru

    Дифференцируемая функция — WiKi

    Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

    Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом (в данной точке).

    Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.[1]

    В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.[2][3]

    В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

    Функции одной переменной

      График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)   Функция f(x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|}  и её производная.

    Функция f:M⊂R↦R{\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }  одной переменной является дифференцируемой в точке x0{\displaystyle x_{0}}  своей области определения M{\displaystyle M} , если существует такая константа a{\displaystyle a} , что

    f(x)=f(x0)+a(x−x0)+o(x−x0), x→x0,{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\ \quad x\to x_{0},} 

    при этом число a{\displaystyle a}  неизбежно равно производной

    a=f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.{\displaystyle a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.} 

    Функция одной переменной является дифференцируемой в точке x0{\displaystyle x_{0}}  тогда и только тогда, когда она имеет конечную производную в этой точке.

    График функции y=f(x){\displaystyle y=f(x)}  представляет собой кривую на плоскости Oxy{\displaystyle Oxy} , а график линейной функции

    y=f(x0)+f′(x0)(x−x0){\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})} 

    доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке x0{\displaystyle x_{0}} .

    Например, функция f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}  определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

    f(x)=f(x0)+2x0(x−x0)+(x−x0)2{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2}} .

    При этом её производная есть f′(x0)=2x0{\displaystyle f'(x_{0})=2x_{0}} , а уравнение касательной прямой, проведённой в точке x0{\displaystyle x_{0}} , имеет вид: y=x02+2x0(x−x0){\displaystyle y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})} .

    Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Например, функция f(x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|}  является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку x=0{\displaystyle x=0} , в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция y=x3{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}  тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке x=0{\displaystyle x=0} , является вертикальной прямой и поэтому производная функции y=x3{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}  бесконечно велика в точке x=0{\displaystyle x=0} , а сама функция не дифференцируема в этой точке.

    Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу[4], и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке[5]. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке[6]. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция f(x){\displaystyle f(x)}  имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений x{\displaystyle x}  меры нуль.[7]

    Функции нескольких переменных

    Функция f:M⊂Rn→R{\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }  переменных x=(x1,…,xn){\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}  является дифференцируемой в точке x0=(x01,…,x0n){\displaystyle x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})}  своей области определения M{\displaystyle M} , если существуют такие константы a=(a1,…,an){\displaystyle a=(a^{1},\ldots ,a^{n})} , что для любой точки x=(x1,…,xn)∈M{\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})\in M} 

    f(x)=f(x0)+∑i=1nai(xi−x0i)+o(‖x−x0‖), x→x0,{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},} 

    где ‖x−x0‖2=∑i=1n(xi−x0i)2{\displaystyle \|x-x_{0}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}} .

    В этой записи функция

    A(x−x0)=∑i=1nai(xi−x0i){\displaystyle A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})} 

    является дифференциалом функции f(x){\displaystyle f(x)}  в точке x0{\displaystyle x_{0}} , а числа a1,…,an{\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}}  являются частными производными функции f(x){\displaystyle f(x)}  в точке x0{\displaystyle x_{0}} , то есть

    ai=∂f∂xi(x0)=limh→0f(x0+hei)−f(x0)h,{\displaystyle a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+he_{i})-f(x_{0})}{h}},} 

    где ei∈Rn{\displaystyle e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}  — вектор, все компоненты которого, кроме i{\displaystyle i} -ой, равны нулю, а i{\displaystyle i} -ая компонента равна 1.

    Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных f(x,y){\displaystyle f(x,y)} , равную 0{\displaystyle 0}  при xy=0{\displaystyle xy=0}  и 1{\displaystyle 1}  при xy≠0{\displaystyle xy\neq 0} . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

    Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось, что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.[1]

    Примеры типов точек, в которых функция недифференцируема

    Функция f(x){\displaystyle f(x)}  будет недифференцируема в точке x0{\displaystyle x_{0}} , например, в следующих случаях:

    • Функция имеет вертикальную касательную, то есть limx→x0f′(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty } , например, x3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}  недифференцируема в нуле.
    • Функция имеет заострение в x0{\displaystyle x_{0}} , например, x23{\displaystyle x^{\frac {2}{3}}}  недифференцируема в нуле.

    Однако эти случаи не исчерпывают всех ситуаций, когда функция недифференцируема. Так например, функция xsin⁡(1x){\displaystyle x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}  не относится ни к одному из этих случаев, но тем не менее недифференцируема в нуле.

    Отображения

    Отображение f:M⊂Rn→Rm{\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}  называется дифференцируемым в точке x0{\displaystyle x_{0}}  своей области определения M{\displaystyle M} , если существует такое линейное отображение A:Rn→Rm{\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} , зависящее от точки x0{\displaystyle x_{0}} , что

    f(x)=f(x0)+A(x−x0)+o(‖x−x0‖), x→x0,{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},} 

    то есть, раскрывая символ «o» малое, если

    limx→x0‖f(x)−f(x0)−A(x−x0)‖‖x−x0‖=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\|x-x_{0}\|}}=0} .

    Линейное отображение A:Rn→Rm{\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}  является дифференциалом отображения f(x){\displaystyle f(x)}  в точке x0{\displaystyle x_{0}} .

    Если отображение f:M⊂Rn→Rm{\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}  задано набором функций

    fi:M⊂Rn→R, i=1,…,m,{\displaystyle f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,} 

    то его дифференцируемость в точке x0{\displaystyle x_{0}}  равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала A{\displaystyle A}  — это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке x0{\displaystyle x_{0}} .

    Примечания

    1. ↑ 1 2 Зорич В. А., Математический анализ — Любое издание, том 1 глава VIII.
    2. ↑ Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
    3. ↑ Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.
    4. ↑ Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
    5. ↑ Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. P. 1-3.
    6. ↑ Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
    7. ↑ Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 15.
    • Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.-Л.: ГНТИ, 1931. — Т. 2. — С. 60-69.
    • Зорич В. А. Математический анализ. — М: Фазис, 1997. — Т. 1.

    Ссылки

    ru-wiki.org



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"