Как вычислить пределы последовательностей? Пределы последовательности как решать


Как вычислить пределы последовательностей? :: SYL.ru

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х1, х2, х3, …хn…

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х1 — первый член последовательности;

х2 — второй член последовательности;

х3 — третий член;

хn — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Хn=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

х1 = 3;

х2 = 6;

х3 = 9;

и т. д.

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а1=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а1= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а2= 15+4=19 — второй член прогрессии.

а3=19+4=23 — третий член.

а4=23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: аn=a1+d(n–1). В данном случае а125=15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой аn=(-1)n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: аn = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а1 = 1х2=2;

а2 = 1х2х3 = 6;

а3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1<k<1. Например: аn= (–1/2)n.

а1 = – ½;

а2 = ¼;

а3 = – 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, аn=6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

  1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
  2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: аx = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

ax = 4x + 1.

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Далее идёт модуль. Очевидно, модуль — это расстояние, которое по определению не может быть отрицательным. Значит модуль разности строго меньше "эпсилона".

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х1 .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х1.

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность хn и положим, что десятый член последовательности (x10)входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х10 находится правее от точки а, тогда расстояние х10–а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х10–а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |xn – a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

  1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
  2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
  3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
  4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |xn– a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > –3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» xn= (–1)n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка ( 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство xn < xn+1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство xn > xn+1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, xn ≤ xn+1 (неубывающая последовательность) и xn ≥ xn+1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой хn= 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять xn=1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

  1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
  2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
  3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
  4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
  5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

www.syl.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Предел числовой последовательности

      Определение 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an – a | < ε .

      Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

an → a   при .

Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

      Замечание. Если для последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

найдется такое число   a ,   что   an → a   при , то эта последовательность ограничена.

      Определение 2. Говорят, что последовательность

a1 ,  a2 , … an , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an| > C .

      Условие того, что числовая последовательность

a1 ,  a2 , … an , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

 при .

      Пример 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

      Пример 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

      Пример 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

      Пример 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

      Пример 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

an = (– 1)n ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

      Рассмотрим две последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b1 ,  b2 , … bn , … .

Если при существуют такие числа   a   и   b ,  что

  и   ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

      Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

причем

      Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

      Рассмотрим геометрическую прогрессию

b1 ,  b2 , … bn , … ,

знаменатель которой равен   q .  

      Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

      Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b1 + b2 + … + bn + … ,

то будет справедлива формула

      В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

      Итак,

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

      Определение 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

      Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример 6. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

      Ответ.

      Пример 7 . Найти предел последовательности

      Ответ.

      В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

      Пример 8 . Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

      Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

      Ответ.

      Пример 9. Найти предел последовательности

      Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

      Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

      Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n2:

Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

      Ответ.

      Пример 10. Найти предел последовательности

      Решение. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

,

получаем

      Ответ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

      Рассмотрим последовательность

(1)

      В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

      Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

      Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e x,

которую называют «экспонента».

      Число   e   также является пределом последовательности

(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

      Замечание. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Предел последовательности

Определение числовой последовательности

Вначале введем определения числовой последовательности и основные понятия, связанные с числовыми последовательностями.

Определение 1

Числовая функция, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел, называется числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.

Для понятия числовой последовательности существуют понятия монотонности и ограниченности.

Определение 3

Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_nx_{n+1}$).

Определение 4

Числовая последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого номера $n\in N$ $x_n\ge x_{n+1}$ ($x_n\le x_{n+1}$).

Определение 5

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число $M$ $(m)$, такое что для любого номера $n\in N$ $x_n\le M$ ($x_n\ge m$).

Определение 6

Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена как сверху, так и снизу, то есть существуют действительные числа $M$ и $m$ такие, что для любого номера $n\in N$ $m\le x_n\le M$.

Определение 7

Числовая последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа $M$ $(m)$ существует $x_{n_0}$ такое, что $x_{n_0} >M$ ($x_{n_0}

Определение 8

Числовая последовательность называется неограниченной, если она неограничена хотя бы с одной стороны.

Определение 9

Числовая последовательность называется неограниченной, если для любого натурального числа $M$ существует $x_{n_0}$, такое что ${|x}_{n_0}| >M$.

Предел числовой последовательности

Приведем вначале несколько определений предела числовой последовательности.

Определение 10

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого номера $n >N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|

Определение 11

Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Определение 12

Предел числовой последовательности $(x_n)$ равен $+\infty \ (-\infty )$ $[\infty ]$, если для любого числа $M > 0$ существует номер $N$, зависящий от $M$, такой, что для любого номера $n >N$ $x_n >M$ $(x_nM]$

С понятием предела числовой последовательности связано понятие сходимости и расходимости числовой последовательности.

Определение 13

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел, в противном случае она называется расходящейся.

Свойства предела числовой последовательности

  1. Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

  2. Если числовая последовательность $(x_n)$ имеет конечный предел, то он единственный.

  3. Если числовые последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют конечные пределы $a,b\in R$, то выполняются равенства

и если дополнительно известно, что $b\ne 0$, то

Теоремы, связанные с понятием предела числовой последовательности

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Пусть числовая последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает (убывает), тогда:

  1. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

  2. Если числовая последовательность $\left(x_n\right)$ неограничена сверху (снизу), то ее предел равен $+\infty $ $(-\infty )$.

Теорема 2

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной числовой последовательности $\left(x_n\right)$ можно извлечь по крайней мере одну подпоследовательность, которая имеет конечный предел.

Теорема 3

Теорема - Критерий Больцано-Коши

Для того чтобы числовая последовательность $(x_n)$ имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал номер $N$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любых номеров $n,\ m >N$ выполняется равенство $\left|x_n-x_m\right|

Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности

Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.

Пример 1

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }=\infty \]

Пример 2

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }$

Решение:

Правило 2: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя меньше степени знаменателя, то данный предел равен $0$.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }=0\]

Пример 3

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя равна степени знаменателя, то данный предел равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях.

Таким образом, получаем что

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]

spravochnick.ru

1.Предел последовательности.

Пусть аргумент принимает все значения изнатурального ряда

(1)

члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию (т.е. большее число следует за меньшим). Если каждомупо некоторому правилу или закону поставлено в соответствие, то говорят, что задана последовательность.

(2)

Например:

(3)

Определение 1.Числоназывается пределом последовательности, если для любого сколь угодно малого положительногонайдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство:

. (4)

Тот факт, что число является пределом последовательности, записывается так:

. (5)

Неравенство (4) эквивалентно неравенствам или. Последние неравенства означают, что элементнаходится в-окрестности числа.-окрестностьючисланазывается интервал. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать также и следующим образом:

Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой-окрестности числанаходятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1.Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема 2.Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.Предел суммы (разности) двух последовательностей равен

сумме (разности) пределов этих последовательностей.

.

Теорема 4.Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей.

.

Теорема 5. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей (при условии, что знаменатель не обращается в нуль).

.

Теорема 6.Если для двух последовательностейии, члены последовательностиудовлетворяют неравенству, тогда.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение 3.Последовательностьназывается бесконечно малой, если. Последовательностьназывается бесконечно большой, если.

  • Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

  • Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

  • Произведение конечной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

  • Сумма конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

  • Произведение конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

  • Произведение конечной величины на бесконечно большую величину есть величина бесконечно большая.

  • Если является бесконечно большой величиной, то ее обратная величинабудет бесконечно малой.

Предел последовательности Число.

Предел данной последовательности равен

где число -основание натурального логарифма.

При вычислении пределов типа (6) следует использовать следующие свойства:

1.(7)

2.(8)

3.(9)

4.(10)

Приведем несколько примеров вычисления пределов последовательности.

Пример 1

Вычислить предел последовательности.

Решение:

В данном примере последовательность представляет собой рациональную дробь, для вычисления пределов такого вида необходимо знаменатель и числитель дроби разделить на в наивысшей степени. В нашем примере это.

Так как , если, а- ограниченная величина.

Ответ:

Пример 2

Вычислить предел последовательности

Решение:

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Ответ:

Пример 3

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов с неопределенностью , необходимо умножить и разделитьна его сопряженное. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня, получить дробь.

Ответ:

Пример 4

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов необходимо умножить и разделить на неполный квадрат суммы. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность кубов»и, избавившись от кубических корней, получить дробь. Неполным квадратом суммы в нашем примере является:

Ответ:

Пример 5

Вычислить предел последовательности

Решение:

Последовательность - является арифметической прогрессией с разностью. Суммапервых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

(11)

Т.е. тогда

Ответ:

Пример 6

Вычислить предел последовательности

Решение:

Напомним, что

(12)

(13)

Ответ:

Пример 7

Вычислить предел последовательности

Решение:

Для вычисления предела преобразуем к виду (6). С этой целью выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе и почленно разделим, а затем воспользуемся свойствами (7)-(10):

Ответ:

studfiles.net

1.Числовая последовательности и ее предел.

 Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

  (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого  задается как функция целочисленного аргумента,  т.е.  .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого   существует число  , такое, что при  выполняется неравенство  . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если  .

Пример 1. 

 Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Р е ш е н и е : нетрудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно 

 

Пример 2.

 Найти общий член последовательности 

Р е ш е н и е : не трудно видеть, что

 ,  

 ,  и т.д.

Следовательно:

  Пример 3.

 Доказать, что последовательность с общим членом  имеет предел, равный нулю.

Р е ш е н и е : запишем ряд членов последовательности

и положим  . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство

Действительно

 и т.д.

В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство

 .

Положим теперь  . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,

 .

Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если  , то  и т.д.

В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от  . Общий член данной последовательности  . Задавшись произвольным положительным числом  , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если  .

Решая неравенство относительно n, получаем  . Итак, за N можно принять число  (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого  существует такое  , чтопри  , выполняется неравенство  , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.

Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.

2.Способы задания функции.

1. Аналитический способ

      Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),  где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

      Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.

studfiles.net

Предел последовательности, формулы и примеры

Доказательство Предположим противное, что заданная последовательность имеет предел, который равен . Это означает, что для любого существует такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство :

   

Поскольку имеют место следующие неравенства:

   

тогда взяв , будем иметь, что

   

Или, подставляя значения:

   

Рассмотрим модуль следующей разности: . С одной стороны имеем, что

   

а с другой стороны модуль разности меньше либо равен суммы модулей, то есть

   

   

Итак, имеем, что

   

То есть получили противоречие , которое означает, что предположение, что заданная последовательность имеет предел, который равен , неверно. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Что и требовалось доказать.

ru.solverbook.com

Предел последовательности - теоремы и свойства

Последовательности

Числовой последовательностью называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .Число называют n-м членом или элементом последовательности.Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Более подробно см. страницу   Определение числовой последовательности >>>.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех действительных n.

Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′: .

Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′: .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство.Предел последовательности обозначается так:.Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:.

Открытый интервал (a – ε, a + ε) называют ε - окрестностью точки a.

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью. Также говорят, что последовательность сходится к a. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n, что..Это означает, что можно выбрать такую ε - окрестностью точки a, за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Более подробно материал изложен на страницеОпределение предела последовательности >>>.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a, за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C: , то эта последовательность имеет предел, равный числу C.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Доказательства основных свойств приведены на страницеОсновные свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда;;;,   если .В случае частного предполагается, что для всех n.

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на страницеАрифметические свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Свойства, связанные с неравенствами

Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу:   .

Если    и    и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству  , то   .

Если     и   , то   .

Пусть    и  . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство .

Доказательства свойств, связанных с неравенствами приведены на страницеСвойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>>.

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если ее предел равен нулю:.

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a, необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на страницеБесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство.В этом случае пишут.Или     при  .Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N, то.Если же , то.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на страницеОпределение бесконечно большой последовательности >>>.Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на страницеСвойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Последовательность называется строго возрастающей, если для всех n выполняется неравенство:.Соответственно, для строго убывающей последовательности выполняется неравенство:.Для неубывающей:.Для невозрастающей:.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Последовательность называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу:   . Невозрастающая последовательность ограничена сверху:   .

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Доказательство теоремы Вейерштрасса приведено на страницеТеорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>>.

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство.Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на страницеКритерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на страницеТеорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на страницеПодпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-07-2017

1cov-edu.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"