5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел. Правила нок

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Нахождение нок и нод правило — Minjustbryansk.ru

Нахождение нок и нод правило

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Обозначают НОД(a, b).

Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60:

  • 1 Разложим числа на простые множители: 18 = 2 × 3 × 360 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 Вычеркнуть из разложения первого числа все множители которые не входят в разложения второго числа, получим 2 × 3 × 3 .
  • 3 Перемножаем оставшиеся простые множители после вычеркивания и получаем наибольший общий делитель чисел: НОД(18, 60)=2 × 3= 6.
  • 4 Заметим что не важно из первого или второго числа вычеркиваем множители, результат будет одинаков: 18 = 2 × 3 × 360 = 2 × 2 × 3 × 5
  • Пример Найти наибольший общий делитель чисел 324, 111 и 432

    Разложим числа на простые множители:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3 × 37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    В результате НОД(324, 111, 432)=3

    Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида

    Второй способ нахождения наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида. Алгоритм Евклида является наиболее эффективным способом нахождения НОД, используя его нужно постоянно находить остаток от деления чисел и применять рекуррентную формулу.

    Рекуррентная формула для НОД, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b), где a mod b — остаток от деления a на b.

    Алгоритм Евклида
    Пример Найти наибольший общий делитель чисел 7920 и 594

    Найдем НОД(7920, 594) с помощью алгоритма Евклида, вычислять остаток от деления будем с помощью калькулятора.

  • НОД(7920, 594)
  • НОД(594, 7920 mod 594) = НОД(594, 198)
  • НОД(198, 594 mod 198) = НОД(198, 0)
  • НОД(198, 0) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 — 3 × 198 = 0
    • В результате получаем НОД(7920, 594) = 198

      calcs.su

      Наименьшее общее кратное

      Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

      Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

      Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

      Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

      Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

      Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

      Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

      Как найти НОК

      НОК можно найти и записать двумя способами.

      Первый способ нахождения НОК

      Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

    1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
    2. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».

    Пример. Найти НОК 6 и 8 .

    Второй способ нахождения НОК

    Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

    1. Разложить данные числа на простые множители. Подробнее правила разложения на простые множители вы можете прочитать в теме как найти наибольший общий делитель (НОД).
    2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.

    Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

  • Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2 ) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  • Полученное произведение записать в ответ. Ответ: НОК (24, 60) = 120
  • Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

    Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .

    НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

    Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

    Особые случаи нахождения НОК

  • Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.
  • Например, НОК (60, 15) = 60Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    math-prosto.ru

    Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

    Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

    Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

    Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    • число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
    • число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
    • Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

      Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

      Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

      Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

      Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

      Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

      Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:

      Пример: НОД (12; 36) = 12 .

      Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

      Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами.

      Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

      Как найти наибольший общий делитель

      Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

    • разложить делители чисел на простые множители;
    • Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

      Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

      Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 28 = 2 · 2 · 7

    64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ; НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД

    Найти НОД 48 и 36 .

    НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

    Второй способ записи НОД

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .

    На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

    Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК), и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

    Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

    Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

    В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

    Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

    Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

    Чему равно НОК(68, 34) ?

    Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

    Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

    Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

    Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел.

    Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

    Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

    Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

    Разложим числа 441 и 700 на простые множители: Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

    Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    НОК(441, 700)= 44 100 .

    Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

    Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

    Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

    Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

    Нахождение НОК трех и большего количества чисел

    Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

    Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak , наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2) , m3=НОК(m2, a3) , …, mk=НОК(mk−1, ak) .

    Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

    Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

    Сначала находим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m2=1 260 .

    Теперь находим m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m3=3 780 .

    Осталось найти m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m4=94 500 .

    Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

    НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

    Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.

    Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

    Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 ( 7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

    Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

    Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

    Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .

    Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a ( a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .

    Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .

    Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .

    www.cleverstudents.ru

    Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

    НОД — это наибольший общий делитель.

    НОК — это наименьшее общее кратное.

    Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

    Наибольший общий делитель

    Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

    Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

    Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

    Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

    Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

    Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

    Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

    Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

    12 : 1 = 12 (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

    12 : 2 = 6 (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

    12 : 3 = 4 (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

    12 : 4 = 3 (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

    12 : 5 = 2 (2 в остатке) (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

    12 : 6 = 2 (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

    12 : 7 = 1 (5 в остатке) (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

    12 : 8 = 1 (4 в остатке) (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

    12 : 9 = 1 (3 в остатке) (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

    12 : 10 = 1 (2 в остатке) (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

    12 : 11 = 1 (1 в остатке) (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

    12 : 12 = 1 (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

    Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

    9 : 1 = 9 (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

    9 : 2 = 4 (1 в остатке) (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

    9 : 3 = 3 (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

    9 : 4 = 2 (1 в остатке) (9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

    9 : 5 = 1 (4 в остатке) (9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

    9 : 6 = 1 (3 в остатке) (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

    9 : 7 = 1 (2 в остатке) (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

    9 : 8 = 1 (1 в остатке) (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

    9 : 9 = 1 (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

    Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

    Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.

    Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

    И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

    Значит НОД (12 и 9) = 3

    Второй способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

    Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

    Сначала разложим оба числа на простые множители:

    Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

    Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

    Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

    Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

    Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

    Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

    Значит НОД (24 и 18) = 6

    Третий способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

    Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:

    Получили два разложения: и

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

    Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

    Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

    Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

    Раскладываем на множители число 100

    Раскладываем на множители число 40

    Получили два разложения:

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

    Перемножим оставшиеся числа:

    Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

    НОД (100 и 40) = 20.

    Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

    Раскладываем на множители число 72

    Раскладываем на множители число 128

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

    Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

    НОД (72 и 128) = 8

    Нахождение НОД для нескольких чисел

    Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

    Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

    Разложим на множители число 18

    Разложим на множители число 24

    Разложим на множители число 36

    Получили три разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

    Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

    Разложим на множители число 12

    Разложим на множители число 42

    Получили четыре разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

    Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

    Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

    Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

    Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

    Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

    Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

    Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

    В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

    Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12:

    spacemath.xyz

    minjustbryansk.ru

    Правило нахождения нод и нок — Юридический статус

    Нахождение НОД и НОК чисел

    Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

    Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

    Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

    Это следует знать! Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3. 21 : 3 = 7

    calc.by

    Памятка. НОД и НОК

    Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

    Признаки делимости натуральных чисел.

    Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .

    Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .

    Признак делимости на 2

    Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.

    Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.

    Признак делимости на 3

    Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

    Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 — делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.

    Признак делимости на 5

    Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

    Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.

    Признак делимости на 9

    Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

    Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 — не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.

    Признак делимости на 10

    Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

    Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 — не делятся.

    Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

    Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

    1) разложить их на простые множители;

    2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

    3) найти произведение оставшихся множителей.

    Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

    1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

    2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

    Остаются множители 2, 2 и 3.

    3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

    НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

    Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

    Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

    1) разложить их на простые множители;

    2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

    3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

    4) найти произведение получившихся множителей.

    Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

    1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

    2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

    3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

    4. Найдем произведение получившихся множителей

    infourok.ru

    Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

    НОД — это наибольший общий делитель.

    НОК — это наименьшее общее кратное.

    Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

    Наибольший общий делитель

    Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

    Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

    Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

    Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) требуется найти.

    Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется два способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет полностью понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

    Второй способ очень прост и даёт возможность быстро найти НОД, но недостаток этого способа в том, что если часто им пользоваться, можно перестать понимать суть темы. Мы с вами рассмотрим оба способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

    Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

    Сначала найдем все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

    12 : 1 = 12 (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

    12 : 2 = 6 (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

    12 : 3 = 4 (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

    12 : 4 = 3 (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

    12 : 5 = 2 (2 в остатке) (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

    12 : 6 = 2 (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

    12 : 7 = 1 (5 в остатке) (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

    12 : 8 = 1 (4 в остатке) (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

    12 : 9 = 1 (3 в остатке) (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

    12 : 10 = 1 (2 в остатке) (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

    12 : 11 = 1 (1 в остатке) (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

    12 : 12 = 1 (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

    Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

    9 : 1 = 9 (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

    9 : 2 = 4 (1 в остатке) (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

    9 : 3 = 3 (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

    9 : 4 = 2 (1 в остатке) (9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

    9 : 5 = 1 (4 в остатке) (9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

    9 : 6 = 1 (3 в остатке) (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

    9 : 7 = 1 (2 в остатке) (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

    9 : 8 = 1 (1 в остатке) (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

    9 : 9 = 1 (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

    Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

    Выписав делители, можно сразу определить, какой является самым наибольшим и общим.

    Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

    И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

    Значит НОД (12 и 9) = 3

    Второй способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

    Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:

    Получили два разложения: и

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

    Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

    Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

    Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

    Раскладываем на множители число 100

    Раскладываем на множители число 40

    Получили два разложения:

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

    Перемножим оставшиеся числа:

    Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

    НОД (100 и 40) = 20.

    Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

    Раскладываем на множители число 72

    Раскладываем на множители число 128

    Получили два разложения:

    2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

    Перемножим оставшиеся числа:

    Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

    НОД (72 и 128) = 8

    Нахождение НОД для нескольких чисел

    Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

    Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

    Разложим на множители число 18

    Разложим на множители число 24

    Разложим на множители число 36

    Получили три разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

    Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

    Разложим на множители число 12

    Разложим на множители число 24

    Разложим на множители число 36

    Разложим на множители число 42

    Получили четыре разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

    Наименьшее общее кратное

    Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

    Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

    Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

    Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

    Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

    Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

    Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

    В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

    Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12:

    spacemath.xyz

    Правило нахождения НОК нескольких чисел

    Раннее мы рассмотрели способ нахождения НОК, который заключался в выписывании подряд кратных данных чисел.

    НОК можно найти, не выписывая подряд кратные чисел.

    Правило нахождения наименьшего общего кратного

    Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

    Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

    1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители (см. тему «Разложение на простые множители»).

    2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

    3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60.

    4. Найдем произведение получившихся множителей

    2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300

    Число 300 является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

    Аналогично находят НОК трех и более чисел.

    Замечание. Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

    Например, НОК (12;15;20;60) = 60, так как число 60 делится и на 12, и на 15, и на 20, и на 60.

    elenanikolaeva.ru

    5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел

    Пример 1. Найти НОК(35; 40).

    Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

    35=5•7, 40=2•2•2•5 или 40=2 3 •5

    Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими множителями. НОК(35; 40)=2 3 •5• 7 =40• 7 =280.

    Ответ: НОК(35; 40)=280.

    Пример 2. Найти НОК(45; 54).

    Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

    45=3 2 •5, 54=2•3 3 .

    Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

    НОК(45; 54)=2•3 3 • 5 =54• 5 =270.

    Ответ: НОК(45; 54)=270.

    Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

    Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

    75=3•5 2 , 120=2 3 •3•5, 150=2•3•5 2

    Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

    НОК(75; 120; 150)=2•3•5 2 • 2•2 =150• 4 =600.

    Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

    Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

    www.mathematics-repetition.com

    yurist-moscow.ru

    Нод и нок правило — Korholding.ru

    Нод и нок правило

    Наибольший общий делитель.

    Наибольший общий делитель – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b.

    Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

    1) разложить их на простые множители;

    2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

    3) найти произведение оставшихся множителей.

    Пример: найдем НОД чисел 48 и 36. Для этого находим делители обоих чисел (рис.1):

    Итак, 48 = 2 · 2 · 2· 2 · 3, а 36 = 2 · 2 · 3 · 3.

    Из множителей, входящих в разложение первого числа, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа -т.е. две двойки (рис.2)

    В столбце с вычеркнутыми числами остаются множители 2 · 2 · 3. Их произведение равно 12. Это число и является НОД чисел 48 и 36. То есть 12 — наибольшее общее число, на которое делятся 48 и 36.

    Если НОД натуральных чисел равен 1, то эти числа называют взаимно простыми (например, числа 24 и 35).

    Наименьшее общее кратное.

    Наименьшее общее кратное чисел a и b – это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа.

    Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

    2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

    3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

    4) найти произведение получившихся множителей.

    Пример: найдем НОК тех же чисел 48 и 36.

    Как и в случае с НОД, сначала находим делители обоих чисел. Впрочем, мы уже нашли их в предыдущем примере (рис.3):

    Из разложения второго числа вычеркиваем множители, которые входят в разложение первого числа (рис.4).

    Теперь выпишем множители, входящие в разложение первого числа, добавим к ним оставшийся множитель из разложения второго числа (3), перемножим их и получим результат:

    2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 144.

    Число 144 – это и есть НОК чисел 48 и 36. То есть 144 – это минимальное число, которое делится без остатка и на 48, и на 36.

    Наименьшее общее кратное

    Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

    Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

    Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

    Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

    Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

    Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

    Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

    Как найти НОК

    НОК можно найти и записать двумя способами.

    Первый способ нахождения НОК

    Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

    1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
    2. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».

    Пример. Найти НОК 6 и 8 .

    Второй способ нахождения НОК

    Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

    1. Разложить данные числа на простые множители. Подробнее правила разложения на простые множители вы можете прочитать в теме как найти наибольший общий делитель (НОД).
    2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.

    Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

  • Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2 ) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  • Полученное произведение записать в ответ. Ответ: НОК (24, 60) = 120
  • Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

    Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .

    НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

    Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

    Особые случаи нахождения НОК

  • Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.
  • Например, НОК (60, 15) = 60Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Наибольший общий делитель

    Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

    Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

    Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

    Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    • число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
    • число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
    • Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

      Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

      Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

      Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

      Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

      Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

      Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:

      Пример: НОД (12; 36) = 12 .

      Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

      Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами.

      Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

      Как найти наибольший общий делитель

      Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

    • разложить делители чисел на простые множители;
    • Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

      Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

      Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 28 = 2 · 2 · 7

    64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ; НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД

    Найти НОД 48 и 36 .

    НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

    Второй способ записи НОД

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .

    На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на эти числа без остатка.

    НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

    • Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:
    • — разложить числа на простые множители;
    • — перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;
    • — полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

    Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

    Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

    Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.

    Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

    Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

    Нахождение НОД и НОК чисел

    Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

    Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

    Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

    Это следует знать! Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3. 21 : 3 = 7

    3.9. НОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

    Множество делителей

    Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:

    140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

    Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:

    Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:

    2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

    Затем — те, которые содержат в себе три простых делителя:

    2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

    Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:

    Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:

    Множество делителей числа 140 =

    Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,

    Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения

    От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:

    Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) — только один. Множество ПД(140) — это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.

    Сокращение дробей. Наибольший общий делитель

    Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.

    Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =

    Последнее равенство можно записать короче, а именно:

    Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».

    [Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение, которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:

    Итак, мы выяснили, что дробь

    можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству

    и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):

    Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 105 и 140. Это записывается как

    Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:

    Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:

    Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:

    Отсюда видно, что

    Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:

    Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми. Если из таких чисел составить дробь, например,

    то такая дробь является несократимой.

    Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:

    Здесь предполагается, что a и b — натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.

    Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное

    Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:

    Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:

    Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:

    2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

    Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, — и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК) чисел 105 и 140. Это записывается так:

    НОК(105, 140) = 420.

    Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что

    105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).

    Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d:

    Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:

    Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

    Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК), и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

    Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

    Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

    В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

    Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

    Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

    Чему равно НОК(68, 34) ?

    Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

    Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

    Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

    Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел.

    Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

    Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

    Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

    Разложим числа 441 и 700 на простые множители: Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

    Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    НОК(441, 700)= 44 100 .

    Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

    Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

    Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

    Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

    Нахождение НОК трех и большего количества чисел

    Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

    Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak , наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2) , m3=НОК(m2, a3) , …, mk=НОК(mk−1, ak) .

    Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

    Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

    Сначала находим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m2=1 260 .

    Теперь находим m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m3=3 780 .

    Осталось найти m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m4=94 500 .

    Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

    НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

    Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.

    Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

    Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 ( 7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

    Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

    Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

    Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .

    Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a ( a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .

    Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .

    Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .

    Смотрите так же:

    • Любовь и наказания в контакте Любовь и наказание / Ask ve Ceza Все серии смотреть онлайн на русском языке Этот сериал поведает нам еще одну историю молодой женщины которая в один прекрасный момент потеряла веру в такие прекрасные вещи в жизни как верность и настоящая любовь. Так как за […]
    • Любовь и наказание 61 на русском Турецкий сериал Любовь и наказание / Ask ve Ceza Все серии: 1-62 серия (Турция, 2010) смотреть онлайн на русском языке. Сериал рассказывает как молодая женщина теряет веру в настоящую любовь и преданность после того, как за несколько дней до свадьбы застает […]
    • Приказ мвд рф от 14122009 960 Приказ МВД РФ от 22 августа 2011 г. N 960 "Об утверждении типовых требований к должностной инструкции частного охранника на объекте охраны" Приказ МВД РФ от 22 августа 2011 г. N 960"Об утверждении типовых требований к должностной инструкции частного […]
    • Приказ минздравсоцразвития рф 706н Приказ Минздравсоцразвития от 23 августа 2010 г. № 706н Краткое описание - Об утверждении правил хранения лекарственных средств Об утверждении правил хранения лекарственных средств Приказ минздравсоцразвития рф 706н В соответствии со статьей 58 Федерального […]
    • Коллектор батареи теплый пол Учитывая толщину стяжки пола и напольного покрытия, температура теплоносителя в контурах — не выше 55°С. Именно поэтому воду для теплого пола подают через смесительный узел, в нем смешивается горячая жидкость с более прохладной (которая уже прошла через […]
    • Образец заявления на загранпаспорт нового образца красноярск Как оформить загранпаспорт в Красноярске: инструкция, документы, адреса В этой статье вы узнаете, как оформить загранпаспорт в Красноярске: какие виды паспортов бывают, какой пакет документов нужно собрать, стоимость данной услуги, сколько нужно ждать […]
    • Приказ минюста об утверждении правил внутреннего распорядка Приказ Минюста России от 06.07.2017 N 127 "О внесении изменений в Правила внутреннего распорядка исправительных учреждений, утвержденные приказом Министерства юстиции Российской Федерации от 16.12.2016 N 295" (Зарегистрировано в Минюсте России 11.07.2017 N […]
    • Сособственник квартиры несовершеннолетний Ребенок-собственник: если опека не разрешает… По закону дети от 14 до 18 лет могут совершать сделки только с согласия своих законных представителей (родителей), а дети до 14 лет вообще не могут совершать сделки сами – за них действуют родители, за […]

    korholding.ru

    Памятка. НОД и НОК

    Признаки делимости натуральных чисел.

    Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными.

    Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными.

    Признак делимости на 2

    Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.

    Например, числа 60, 308, 84 делятся без остатка на 2, а числа 51, 85, 167 не делятся без остатка на 2.

    Признак делимости на 3

    Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

    Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 — делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.

    Признак делимости на 5

    Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

    Например, числа 15, 30, 1765, 475300 делятся без остатка на 5, а числа 17, 378, 91 не делятся.

    Признак делимости на 9

    Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

    Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 — не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.

    Признак делимости на 10

    Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

    Например, числа 40, 170, 14090 делятся без остатка на 10, а числа 17, 93, 14307 — не делятся.

    Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

    Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

    1) разложить их на простые множители;

    2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

    3) найти произведение оставшихся множителей.

    Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

    1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

    48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

    36 = 2 · 2 · 3 · 3

    2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

    48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

    Остаются множители 2, 2 и 3.

    3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

    НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

    Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

    Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

    1) разложить их на простые множители;

    2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

    3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

    4) найти произведение получившихся множителей.

    Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

    1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

    75 = 3 · 5 · 5

    60 = 2 · 2 · 3 · 3

    2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

    НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …

    3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

    НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

    4. Найдем произведение получившихся множителей

    НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

    infourok.ru

    Способы нахождения наименьшего общего кратного, нок

    Математические выражения и задачи требуют множества дополнительных знаний. НОК – это одно из основных, особенно часто применяемое в работе с дробями. Тема изучается в средней школе, при этом не является особо сложным в понимании материалом, человеку знакомому со степенями и таблицей умножения не составит труда выделить необходимые числа и обнаружить результат.

    Определение

    Общее кратное – число, способное нацело разделиться на два числа одновременно (а и b). Чаще всего, это число получают методом перемножения исходных чисел a и b. Число обязано делиться сразу на оба числа, без отклонений.

    НОК – это принятое для обозначения краткое название, собранной из первых букв.

    Способы получения числа

    Для нахождения НОК не всегда подходит способ перемножения чисел, он гораздо лучше подходит для простых однозначных или двухзначных чисел. Большие числа принято разделять на множители, чем больше число, тем больше множителей будет.

    Пример № 1

    Для простейшего примера в школах обычно берутся простые, однозначные или двухзначные числа. Например, необходимо решить следующее задание, найти наименьшее общее кратное от чисел 7 и 3, решение достаточно простое, просто их перемножить. В итоге имеется число 21, меньшего числа просто нет.

    Пример № 2

    Второй вариант задания гораздо сложнее. Даны числа 300 и 1260, нахождение НОК – обязательно. Для решения задания предполагаются следующие действия:

    Разложение первого и второго чисел на простейшие множители. 300 = 22 * 3 * 52; 1260 = 22 * 32 *5 *7. Первый этап завершен.

    Второй этап предполагает работу с уже полученными данными. Каждое из полученных чисел обязано участвовать в вычислении итогового результата. Для каждого множителя из состава исходных чисел берется самое большое число вхождений. НОК – это общее число, поэтому множители из чисел должны в нем повторятся все до единого, даже те, которые присутствуют в одном экземпляре. Оба изначальных числа имеют в своем составе числа 2, 3 и 5, в разных степенях, 7 есть только в одном случае.

    Для вычисления итогового результата необходимо взять каждое число в наибольшей их представленных степеней, в уравнение. Остается только перемножить и получить ответ, при правильном заполнении задача укладывается в два действия без пояснений:

    1) 300 = 22 * 3 * 52; 1260 = 22 * 32 *5 *7.

    2) НОК = 6300.

    Вот и вся задача, если попробовать вычислить нужное число посредством перемножения, то ответ однозначно не будет верным, так как 300 * 1260 = 378 000.

    Проверка:

    6300 / 300 = 21 – верно;

    6300 / 1260 = 5 – верно.

    Правильность полученного результата определяется посредством проверки – деления НОК на оба исходных числа, если число целое в обоих случаях, то ответ верен.

    Что значит НОК в математике

    Как известно, в математике нет ни одной бесполезной функции, эта - не исключение. Самым распространенным предназначением этого числа является приведение дробей к общему знаменателю. Что изучают обычно в 5-6 классах средней школы. Также дополнительно является общим делителем для всех кратных чисел, если такие условия стоят в задаче. Подобное выражение может найти кратное не только к двум числам, но и к гораздо большему количестве – трем, пяти и так далее. Чем больше чисел – тем больше действий в задаче, но сложность от этого не увеличивается.

    Например, даны числа 250, 600 и 1500, необходимо найти их общее НОК:

    1) 250 = 25 * 10 = 52 *5 * 2 = 53 * 2 – на этом примере детально описано разложение на множители, без сокращения.

    2) 600 = 60 * 10 = 3 * 23 *52;

    3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 53 *22;

    Для того чтобы составить выражение, требуется упомянуть все множители, в этом случае даны 2, 5, 3, – для всех этих чисел требуется определить максимальную степень.

    НОК = 3000

    Внимание: все множители необходимо доводить до полного упрощения, по возможности, раскладывая до уровня однозначных.

    Проверка:

    1) 3000 / 250 = 12 – верно;

    2) 3000 / 600 = 5 – верно;

    3) 3000 / 1500 = 2 – верно.

    Данный метод не требует каких-либо ухищрений или способностей уровня гения, все просто и понятно.

    Еще один способ

    В математике многое связано, многое можно решить двумя и более способами, то же самое касается поиска наименьшего общего кратного, НОК. Следующий способ можно использовать в случае с простыми двузначными и однозначными числами. Составляется таблица, в которую вносятся по вертикали множимое, по горизонтали множитель, а в пересекающихся клетках столбца указывается произведение. Можно отразить таблицу посредством строчки, берется число и в ряд записываются результаты умножения этого числа на целые числа, от 1 до бесконечности, иногда хватает и 3-5 пунктов, второе и последующие числа подвергаются тому же вычислительному процессу. Все происходит вплоть до того, как найдется общее кратное.

    Задача.

    Даны числа 30, 35, 42 необходимо найти НОК, связывающий все числа:

    1) Кратные 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т. д.

    2) Кратные 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т. д.

    3) Кратные 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т. д.

    Заметно, что все числа достаточно разные, единственное общее среди них число 210, вот оно и будет НОК. Среди связанных с этим вычислением процессов есть также наибольший общий делитель, вычисляющийся по похожим принципам и часто встречающийся в соседствующих задачах. Различие невелико, но достаточно значимо, НОК предполагает вычисление числа, которое делится на все данные исходные значения, а НОД предполагает под собой вычисление наибольшего значение на которое делятся исходные числа.

    fb.ru

    НОК. Наименьшее общее кратное чисел.

    •  Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
    •  Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
    •  Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

    Пример 1. Найти НОК(35; 40).

    Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

    35=5∙7,   40=2∙2∙2∙5 или 40=23∙5

    Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими         множителями.  НОК(35; 40)=23∙5∙7=40∙7=280.

    Ответ: НОК(35; 40)=280.

     

    Пример 2. Найти НОК(45; 54).

    Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

    45=32∙5,  54=2∙33.

    Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

    НОК(45; 54)=2∙33∙5=54∙5=270.

    Ответ: НОК(45; 54)=270.

     

    Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

    Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

    75=3∙52,    120=23∙3∙5,  150=2∙3∙52

    Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

    НОК(75; 120; 150)=2∙3∙52∙2∙2=150∙4=600.

    Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

    Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

     

    Запись имеет метки: НОК

    www.mathematics-repetition.com

    Наименьшее общее кратное

    Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на эти числа без остатка.

    НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

    • Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:
    • — разложить числа на простые множители;
    • — перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;
    • — полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

    Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

    Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84)будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

    Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.

    Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

    Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

    Запись опубликована в рубрике Математика с метками кратное. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

    shkolo.ru



    О сайте

    Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"