Площадь треугольника через синус и косинус. Площадь треугольника через сторону и два угла


100 формул / Все формулы площади треугольника

Через основание и высоту

\(S= \frac{1}{2} ah \)

 

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(h\) — высота опущенная на стороне \(a\)

 

Через две стороны и угол между ними

 

\(S= \frac{1}{2} ab sin \alpha \)

 

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона \( \alpha \) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)

 

Формула Герона

 

\(S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(c\) — сторона \(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

 

Через радиус вписанной окружности

 

\(S= rp \)

\(S\) — площадь треугольника \(r\) — радиус вписанной окружности \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(c\) — сторона \(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

 

Через радиус описанной окружности

 

\(S= \frac{abc}{4R} \)

\(S\) — площадь треугольника \(R\) — радиус описанной окружности \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(c\) — сторона

 

Площадь прямоугольного треугольника

 

\(S= \frac{1}{2} ab \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона

 

 

\(S= de \) \(S\) — площадь треугольника

 

Формула Герона для прямоугольного треугольника

 

\(S= (p-a)(p-b) \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона \(b\) — сторона \(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

Площадь равнобедренного треугольника

\(S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — боковая сторона \(\alpha\) — угол между боковыми сторонами

 

\(S= \frac{1}{2} ab sin \alpha \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — боковая сторона \(b\) — основание \(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

 

\(S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — боковая сторона \(b\) — основание \(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

 

Площадь равностороннего треугольника

 

\(S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} \)

\(S\) — площадь треугольника \(a\) — сторона

 

 

\(S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4} \)

\(S\) — площадь треугольника \(R\) — радиус описанной окружности

 

 

\(S= 3 \sqrt{3}r^2 \)

\(S\) — площадь треугольника \(r\) — радиус вписанной окружности

 

 

\(S= \frac{h^2}{\sqrt{3}} \)

\(S\) — площадь треугольника \(h\) — высота

100formul.ru

Площадь треугольника по двум сторонам

Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

 

   

 

 

 

 

Дано:

∆ ABC.

 

Доказать:

   

Доказательство:

 

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

Площадь треугольника

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

   

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

   

Отсюда

   

Таким образом,

   

 

Если в треугольнике ABC

угол A тупой,

 

 

 

 

 

 

 

то в треугольнике ABD

 

 

 

   

(как смежные).

По формуле

   

имеем:

   

   

То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство

   

а значит, верна формула

   

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Найти площадь треугольника

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.Высота треугольника это - опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.

Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

1. Площадь разностороннего треугольника

h - высота треугольника

a - основание

 

Формула площади треугольника (S):

 

 

2. Площадь треугольника с тупым углом

h - высота треугольника

a - основание

 

Формула площади треугольника с тупым углом (S):

 

Формулы для треугольника:

 

Подробности Автор: Сергей Кондратов Опубликовано: 08 сентября 2011 Обновлено: 19 октября 2017

www-formula.ru

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором. Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений. С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Выберите способ расчета площади:

через основание и высотучерез две стороны и уголпо трем сторонам (формула Герона)через радиус вписанной окружностичерез радиус описанной окружности

Рассчитать

Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника. В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).

Как найти площадь треугольника?

Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов:

1) через основание и высоту

a – основание треугольника, h – высота треугольника.

2) через две стороны и угол

a, b – стороны треугольника, α – угол между сторонами.

3) По трем сторонам. Формула Герона.

a, b, с – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

4) Через радиус вписанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

5) Через радиус описанной окружности.

a, b, с – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности.

Вы всегда сможете проверить правильность расчета площади треугольника с помощью нашего калькулятора.

calc.by

Быстро найти нужную формулу для расчета онлайн. Геометрия. Алгебра.

 

R - большая полуось

r - малая полуось

π ≈ 3.14

 

Формула площади эллипса, через полуоси:

 

Калькулятор, вычислить площадь элипса:

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а - нижнее основание

b - верхнее основание

с - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

 

 

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана  окружность

R - радиус вписанной окружности

D - диаметр вписанной окружности

O - центр вписанной окружности

H - высота трапеции

α, β - углы трапеции

а - нижнее основание

b - верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

 

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

 

 

R - радиус вписанной окружности

m - средняя линия

O - центр вписанной окружности

c - боковые стороны

а - нижнее основание

b - верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

 

 

d - диагональ трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):

 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

 

c - боковая сторона

m - средняя линия трапеции

α, β - углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

h - высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S ):

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.Высота треугольника это - опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.

Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

1. Площадь разностороннего треугольника

h - высота треугольника

a - основание

 

Формула площади треугольника (S):

 

 

2. Площадь треугольника с тупым углом

h - высота треугольника

a - основание

 

Формула площади треугольника с тупым углом (S):

 

Формулы для треугольника:

 

Зная у треугольника

две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь

 

 

a, b, c - стороны треугольника

α, β, γ - углы

 

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):

 

 

Калькулятор - вычислить, найти площадь треугольника:

 

Формулы для треугольника:

Сторона произвольного треугольника

Стороны равнобедренного треугольника

Стороны прямоугольного треугольника

Высота произвольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника

Высота, медиана, биссектриса равнобедренного треугольника

Высота=медиана=биссектриса равностороннего треугольника

Биссектриса произвольного треугольника

Биссектриса прямоугольного треугольника

Медиана произвольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника

Все разделы по геометрии

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов. Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется - гипотенуза

1. Если известны только катеты

a, b - катеты треугольника

 

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

 

 

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c - гипотенуза

a, b - катеты

α, β - острые углы

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

 

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

 

 

 

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c - гипотенуза

c1, c2 - отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r - радиус вписанной окружности

О - центр вписанной окружности

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

 

Если вы знаете сторону или высоту

вы можете найти площадь равностороннего треугольника

 

 

a - сторона треугольника

h - высота

 

Площадь треугольника через сторону a и высоту h, (S):

 

Площадь треугольника только через сторону a, (S):

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

 

 

Площадь треугольника только через высоту h, (S):

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

 

 

 

a - сторона треугольника

h - высота

 

Формулы для треугольника:

 

 

Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).Радиус круга - отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.Диаметр круга - отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса

Зная диаметр

или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.

 

r - радиус круга

D - диаметр круга

π ≈ 3.14

Формула площади круга, (S):

 

 

Решения задач

на тему: Площадь круга

 

Калькулятор для расчета площади круга через радиус

 

Калькулятор для расчета площади круга через диаметр

 

 

L - длина окружности

О - центр круга

π ≈ 3.14

Формула площади круга если известна длина окружности, (S):

 

Решения задач

на тему: Площадь круга

 

Калькулятор для расчета площади круга через длину

Площадь кольца равна - число π, умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности

 

R - радиус внешней окружности

r - радиус внутренней окружности

π ≈ 3.14

 

Формула площади кольца (S):

 

 

Калькулятор - вычислить, найти площадь кольца

 

R - радиус внешней окружности

r - радиус внутренней окружности

α - угол сектора AOB, в градусах

π ≈ 3.14

 

Формула площади сектора кольца (S):

 

 

R - радиус круга

α - угол сегмента в градусах

π ≈ 3.14

 

Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC:

 

 

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

 

Формулы для окружности и круга:

Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол

r - радиус круга

L - длина дуги AB

α - угол сектора круга AOB в градусах

π ≈ 3.14

 

Формула площади сектора круга (S), через длину дуги (L):

 

 

Формула площади сектора круга (S), через угол (α):

 

Формулы для окружности и круга:

Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)

a - сторона ромба

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α - острый угол

β - тупой угол

 

Формулы  площади  ромба  через диагонали  и  углы  между  сторонами ( S ):

 

 

 

a - сторона ромба

h - высота

r - радиус вписанной окружности

 

Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):

 

1. Формула площади трапеции через основания и высоту

a - нижнее основание

b - верхнее основание

m - средняя линия

h - высота трапеции

 

Формула площади трапеции, (S ):

 

 

 

2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

 

 

d1, d2 - диагонали трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади трапеции, (S ):

 

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

 

Формула площади трапеции, (S ):

 

Зная сторону

или диагональ квадрата, можно найти его площадь

 

 

a - сторона квадрата

c - диагональ

 

Формула площади квадрата через сторону a, (S):

 

Калькулятор - вычислить, найти площадь квадрата:

 

Формула площади квадрата через диагональ c, (S):

Зная длину

и ширину прямоугольника, можно вычислить его площадь

 

 

b - длина прямоугольника

a - ширина прямоугольника

 

Формула площади прямоугольника, (S):

 

Калькулятор - вычислить, найти площадь прямоугольника:

 

 

a - сторона многоугольника

n - количество сторон

 

Формула площади правильного многоугольника, (S):

 

 

Калькулятор - вычислить, найти площадь правильного многоугольника

www-formula.ru

Все основные формулы площади прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов. Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется - гипотенуза

1. Если известны только катеты

a, b - катеты треугольника

 

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

 

 

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c - гипотенуза

a, b - катеты

α, β - острые углы

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

 

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

 

 

 

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c - гипотенуза

c1, c2 - отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r - радиус вписанной окружности

О - центр вписанной окружности

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

 

www-formula.ru

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5 Площадь треугольника будет равна 3 кв. см. Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол: Подставляем данные в формулу Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

2mb.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"