Глоссарий. Алгебра и геометрия. Площадь квадрата как

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Как найти площадь квадрата?

Кто-то из нас математику в школе просто прогуливал, кто-то проболел, а кто-то подзабыл за давностью школьных лет, но так или иначе, рано или поздно возникает вопрос: "Как найти площадь квадрата?"

Самая основная формула того, как найти площадь квадрата:

S=a2, где:

  • S - площадь квадрата,
  • а - сторона квадрата.

Так как у квадрата все стороны равны, то площадь квадрата - это сторона в квадрате. Например, нам известно, что длина стороны квадрата - 4 см. Тогда по формуле S=a2получится: S=42=16 (см2).

Ещё один способ нахождения площади квадрата - по периметру. Периметр квадрата (Р) равен сумме всех сторон квадрата, а так как у квадрата все стороны равны, то имеет следующую формулу:

Р=4а, где:

  • Р - периметр квадрата,
  • а - сторона квадрата.

Таким образом, если нам известен периметр квадрата, мы можем вычислить его площадь по следующей формуле:

S=(P/4)2

Разделив периметр на 4, мы получим длину одной стороны квадрата, после чего по первой формуле легко вычислить площадь.

Также можно найти площадь квадрата, если известна длина его диагонали. Особенности квадрата, как геометрической фигуры таковы, что его диагонали (отрезок, проведённые между несмежными вершинами квадрата) делят квадрат на два прямоугольных и равнобедренных треугольника. Прямоугольный треугольник - это такой треугольник, в составе которого есть прямой угол, а нам известно, что у квадрата все углы прямые. Равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны. Диагонали квадрата являются одновременно и биссектрисами его углов. Биссектриса - это луч, которая делит угол пополам.

По теореме Пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

с2 = b2 + a2

Но так как у нас катеты равны, то формула будет иметь следующий вид:

с2 = а2 + а2 = 2а2

Итак:

с2 = 2а2

В нашем случае гипотенуза - это диагональ квадрата (с = d), а катеты - сторона (b,е = a). Имеем:

d2 = 2a2

Из вышеприведённой формулы можно вывести формулу нахождения катета (стороны квадрата):

а = √d2/2

Подставляем данное значение в первую формулу:

S=(√d2/2)2

Сокращаем значения корня и второй степени и получаем формулу:

S=d2/2

Например, если диагональ равна 8 см., то площадь квадрата равна:

S=82/2 = 32 (см.).

Ещё одна формула нахождения площади квадрата - по радиусу вписанной (r) и описанной (R) окружности.

Вписанная окружность - это окружность, которая касается середины каждой стороны квадрата и имеет радиус, р

elhow.ru

Как найти площадь квадрата

Для вычисления площади и периметра квадрата нужно разобраться в понятиях этих величин. Квадрат представляет собой прямоугольник только с четырьмя одинаковыми сторонам, которые имеют между собой угол в 90°. Периметр — это сумма длин всех сторон. Площадь — это произведение длины прямоугольной фигуры на ее ширину.

Площадь квадрата и как ее найти

Как было сказано выше, квадрат — это прямоугольник, имеющий 4 равные стороны, поэтому ответом на вопрос: «как найти площадь квадрата» является формула: S = a*a или S = a2, где а — сторона квадрата. Исходя из этой формулы, легко находится сторона квадрата, если известна площадь. Для этого необходимо извлечь квадрат из указанной величины.

Например, S = 121, следовательно, а = √121 = 11. Если заданное значение отсутствует в таблице квадратов, то можно воспользоваться калькулятором: S = 94, а = √94 = 9,7.

Как найти периметр квадрата

Периметр квадрата находится по легкой формуле: Р = 4а, где а — сторона квадрата.

Пример:

  • сторона квадрата = 5, следовательно, P = 4*5 = 20
  • сторона квадрата = 3, следовательно, Р = 4*3 = 12

Но существуют такие задачи, где заведомо обозначена площадь, а нужно найти периметр. При решении нужны формулы, которые представлены ранее.

Например: как найти периметр квадрата, если известна площадь, равная 144?

Шаги решения:

  1. Выясняем длину одной стороны: а = √144 = 12
  2. Находим периметр: Р = 4*12 = 48.

Нахождение периметра вписанного квадрата

Существуют еще несколько способов нахождения периметра квадрата. Рассмотрим один из них: нахождение периметра через радиус описанной окружности. Здесь появляется новый термин «вписанный квадрат» — это квадрат, чьи вершины лежат на окружности.

Алгоритм решения:

  1. Здесь важно помнить, что отрезок от центра описанной окружности до одной из вершин квадрата является радиусом, поэтому чтобы вычислить периметр фигуры, нужно найти одну из четырех сторон. Условно квадрат делится на два прямоугольных треугольника, которые имеют равные катеты а и b. Их общая гипотенуза с равна радиусу, умноженному на 2, описанной — 2r.
  2. Далее стоит обратиться к теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е. a2 + b2 = c2.
  • так как на рассмотрении квадрат, формулу можно выразить таким образом: a2 + a2 = (2r)2;
  • затем следует уравнение сделать проще: 2a2 = 4(r)2;
  • делим уравнение на 2: (a2) = 2(r)2;
  • извлекаем корень: a = √(2r).

В итоге получаем последнюю формулу: а (сторона квадрата) = √(2r).

  1. Найденная сторона квадрата умножается на 4, далее применяется стандартная формула по нахождению периметра: P = 4√(2r).

Задача:

Дан квадрат, который вписан в окружность, ее радиус равен 5. Значит, диагональ квадрата равняется 10. Применяем теорему Пифагора: 2(a2) = 102, то есть 2a2 = 100. Делим полученное на два и в результате: a2 = 50. Так как это не табличное значение, используем калькулятор: а = √50 = 7,07. Умножаем на 4: Р = 4*7,07 = 28,2. Задача решена!

Рассмотрим еще один вопрос

Часто в задачах встречается другое условие: как найти площадь квадрата, если известен периметр?

Мы уже рассмотрели все необходимые формулы, поэтому для решения задач подобного типа, необходимо умело их применять и связывать между собой. Перейдем сразу к наглядному примеру: Площадь квадрата равна 25 см2, найдите его периметр.

Шаги решения:

  1. Находим сторону квадрата: а = √25 = 5.
  1. Находим сам периметр: Р = 4*а = 4*5 = 20.

Подводя итог, важно напомнить, что такие легкие формулы применимы не только в учебной деятельности, но и повседневной жизни. Периметр и площадь фигуры дети учатся находить еще в начальной школе. В средних классах появляется новый предмет — геометрия, где теорема Пифагора находится в самом начале изучения. Эти азы математики проверяются и по окончанию школы ОГЭ и ЕГЭ, поэтому важно знать эти формулы и правильно их применять.

Похожие статьи

kak-za4em.ru

Площадь квадрата - формула, пример расчета

Квадрат – это правильный четырехугольник, в котором все углы и стороны равны между собой.Довольно часто эту фигуру рассматривают, как частный случай ромба или прямоугольника. Диагонали квадрата равны между собой и используются в формуле площади квадрата через диагональ.Для расчета площади рассмотрим формулу площади квадрата через диагонали:

То есть площадь квадрата равна квадрату длины диагонали поделенному на два. Учитывая, что стороны фигуры равны, можно рассчитать длину диагонали из формулы площади прямоугольного треугольника или по теореме Пифагора.

Рассмотрим пример расчета площади квадрата через диагональ. Пусть дан квадрат с диагональю d = 3 см. Необходимо вычислить его площадь: По этому примеру расчета площади квадрата через диагонали мы получили результат 4,5 .

Площадь квадрата через сторону

Найти площадь правильного четырехугольника можно и по его стороне. Формула площади квадрата очень проста:

Так как в предыдущем примере расчета площади квадрата мы рассчитали значение по диаметру, теперь попробуем найти длину стороны: Подставим значение в выражение: Длина стороны квадрата будет равна 2,1 cm.

Очень просто можно использовать формулу площади квадрата вписанного в окружность.Диаметр описанной окружности будет равен диаметру квадрата. Так как квадрат считается правильным ромбом, можно использовать формулу расчета площади ромба. Она равна половине произведения его диагоналей. Диагонали квадрата равны, значит формула будет выглядеть так: Рассмотрим пример расчета площади квадрата вписанного в окружность.

Дан квадрат, вписанный в окружность. Диагональ окружности равна d= 6 см. Найдите площадь квадрата. Мы помним, что диагональ окружности равна диагонали квадрата. Подставляем значение в формулу расчета площади квадрата через его диагонали: Площадь квадрата равна 18

Площадь квадрата через периметр

В некоторых задачах по условиям дается периметр квадрата и требуется расчет его площади. Формула площади квадрата через периметр выводится из значения периметра. Периметр – это сумма длин всех сторон фигуры. Т.к. в квадрате 4 равных стороны, то он будет равенОтсюда находим сторону фигуры Площадь квадрата по обычной формуле считается так: .Рассмотрим пример расчета площади квадрата через периметр.

Дан квадрат с периметром P = 16 см. Найдите его площадь. Находим сторону: Теперь рассчитаем площадь: Площадь данного квадрата равна 16 .

2mb.ru

Площадь квадрата | Detki.today

Площадь квадрата – базовое понятие, благодаря которому можно без проблем рассчитать расход материалов для ремонта, высчитать верные габариты мебели при замерах помещения, понять, сколько нужно удобрения и семян для высадки важных культур на огромном поле.

Приведенными формулами площади квадрата пользуются и строители, и мебельные производители, и представители сельского хозяйства.

Содержание:

Что такое квадрат?

Квадрат – правильный прямоугольник с равными сторонами. Каждый угол фигуры равен 90⁰. Квадрат относится к простым геометрическим фигурам, расположенным на плоскости. Найти площадь квадрата можно несколькими способами вычислений: по диагонали, по стороне, по периметру.

Формулы площади, примеры расчетов

Площадь простой фигуры – положительная величина, обладающая перечисленными ниже свойствами:

  • Равные геометрические фигуры обладают равными площадями.
  • В случае, если простая фигура разделена на несколько частей, ее общая площадь будет всегда равна сумме площадей всех элементов.
  • Площадь квадрата всегда равна единице, если его сторона соответствует единице измерения.

По стороне

В геометрии площадь всегда обозначается как S, а маленькие латинские буквы (например, а и b) – это стороны простой фигуры.

В основе вычисления площади любого прямоугольника по стороне лежит простая формула: S = ab, но в случае с квадратом формулу преобразовывают в S = а², так как две стороны одинаковы по длине.

Отсюда следует утверждение, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Пример 1: Дан квадрат, сторона которого равна 5 см. Чему равна площадь?Решение: S = 5² = 25 см

Пример 2: Сторона фигуры 3 см. Найдите площадь.Решение: S = 3² = 9 см

По диагонали

Еще один вариант найти площадь – это произвести вычисления относительно диагонали фигуры (d). Правда, для этого нужно сперва найти длину самой диагонали. Известно, что диагональ делит квадрат на два равнобедренных треугольника. А значит, вычисления можно провести по известной теореме Пифагора, где катетами будут выступать стороны квадрата, а гипотенузой – собственно диагональ.

Расчет площади по диагонали производится по принципу: площадь квадрата равна квадрату длины диагонали (вычисленной по теореме Пифагора) и поделенному на два.

Пример: Дан квадрат, диагональ которого составляет 10 см. Как вычислить площадь?Решение: Согласно формуле, приведенной выше, вычисления производятся так: S = 10²/2 = 100/2 = 50 cм²

По периметру

Периметр – сумма всех длин сторон квадрата. Обозначается периметр латинской буквой Р. Беря во внимание определение квадрата, получаем универсальную формулу расчета периметра для равностороннего четырехугольника: Р = 4а. То есть, периметр квадрата равен длине стороны, помноженной на четыре.

Вычисления площади квадрата относительно суммы всех сторон необходимо в том случае, если в задаче задано только значение периметра. Зная формулу вычисления периметра, очень легко найти площадь.

Если Р = 4а, то а = Р/4. Далее уже нужно использовать формулу расчета площади по стороне.

Пример: Пусть будет дан квадрат с периметром 100 мм. Какова площадь?Решение: Сторона квадрата будет равна 100/4 = 25 мм. Ну, а площадь квадрата дальше вычисляется по формуле, где площадь квадрата равна квадрату сторон. То есть, S = 25² = 625 мм²

Площадь квадрата вписанного в окружность

Этот вариант используется как следствие формулы, полученной ранее (расчет по диагонали). Согласно математическим данным, диаметр круга как раз и будет равен диагонали квадрата. Поэтому, чтобы оперативно рассчитать площадь равностороннего четырехугольника, достаточно будет знать диаметр круга. А далее используется уже известная формула: S = d²/2

Типовая задача: например, дана окружность с диагональю 8 см и в нее вписан квадрат. Какая площадь четырехугольника?Правильное решение: S = 8²/2 = 64/2 = 32 cм²

Видео урок

detki.today

Как найти площадь квадрата | Треугольники

Как найти площадь квадрата?

Площадь квадрата может быть найдена по его стороне, диагонали, радиусам вписанной и описанной окружности.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Формула для нахождения площади квадрата по его стороне:

   

Например, площадь квадрата ABCD можно найти как квадрат его стороны AB:

   

2. Площадь квадрата равна половине квадрата диагонали его стороны.

Формула для нахождения площади квадрата по его диагонали:

   

Например, площадь квадрата ABCD можно найти через его диагональ AC:

   

3. Площадь квадрата в четыре раза больше квадрата радиуса вписанной к него окружности.

Так как

   

то из формулы площади квадрата по стороне получаем

формулу для нахождения площади квадрата через радиус вписанной окружности:

   

4. Площадь квадрата равна удвоенному квадрату радиуса описанной около него окружности.

Так как

   

то из формулы площади квадрата по стороне вытекает

формула для нахождения площади квадрата через радиус вписанной окружности:

   

www.treugolniki.ru

Площадь квадрата

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

S = a2

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2 равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n2. Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

S = 1/n2 = (1/n)2 = a2.   (1) Пусть теперь число a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой (в частности, число a может бать целым, и тогда n = 0). Тогда число m = a · 10n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m2 равных квадратов так, как показано на рисунке 2.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10n) = 1/10n.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10n)2. Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m2 · (1/10n)2 = (m/10n)2 = ((a · 10n)/10n)2 = a2.

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число an, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от an не более чем на 1/10n, то an ≤ a ≤ an + 1/10n, откуда

an2 ≤ a2 ≤ (an + 1/10n)2.   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной an и площадью квадрата со стороной an + 1/10n:

т. е. между an2 и (an + 1/10n)2:

an2 ≤ S ≤ (an + 1/10n)2.   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (an + 1/10n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа an2. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a2. Следовательно, эти числа равны: S = a2, что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r2,S = 2R2,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

Как найти площадь квадрата

Понятие квадратного метра широко используется в разных областях жизни. Например, строительство невозможно без точных расчетов квадратных метров различных поверхностей. И часто поверхности не имеют формы точных геометрических фигур, и расчет квадратных метров производится несколько сложнее. Хотя, чтобы найти площадь сложных фигур используется, одна формула – длина фигуры, умноженная на ее ширину.

Если же необходимо узнать, как посчитать квадратные метры, к примеру, в квартире, используется не только метод измерения сторон комнат и умножения их друг на друга. Чтобы найти жилую площадь, необходимо применить понятие погрешности измерений, а также стоит учитывать углы комнаты, которые не всегда могут быть прямыми. В любом случае, независимо от того, что именно необходимо измерить, основополагающим принципом будет понятие площади квадрата и прямоугольника.

Что такое квадрат

Для того чтобы лучше понимать принцип нахождения площади различных геометрических фигур, стоит рассмотреть геометрическое понятие квадрата и прямоугольника. Квадрат, прежде всего параллелограмм, с равными сторонами, прямыми углами. Также его стоит считать ромбом, так как фигура обладает признаками этой геометрической фигуры.

Признаки квадрата

  1. Если обе диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов — данный ромб является квадратом.
  2. Если один угол ромба имеет размер в девяносто градусов, то есть является прямым, то данный ромб, это квадрат.
  3. Если две стороны ромба имеют одинаковую длину, то ромб является квадратом.
  4. Если диагонали ромба имеют одинаковую длину, то данный ромб, это квадрат.

Зная признаки данной фигуры, можно существенно облегчить измерение площади, если речь идет о крупных объектах. Для того, чтобы найти площадь любой геометрической фигуры, должны выполняться некоторые условия.

Условия вычисления площади квадрата

Во-первых, измерения сторон должны быть выполнены в одинаковых единицах измерения. Если длина сторон выражена в разных единицах, то необходимо одну единицу перевести в другую. Например, измеряемая фигура имеет большой размер, удобнее проводить измерение в метрах, если речь идет, к примеру, о чертежах, длина фигур выражается только сантиметрами. Перевести сантиметры в метры, необходимо знать, что в одном метре, как известно, сто сантиметров или тысяча миллиметров. Значит — для того, чтобы перевести метры в сантиметры, нужно количество метров умножить на сто, если необходимо перевести в миллиметры – умножить на тысячу. Если, необходимо наоборот, перевести сантиметры и миллиметры в метры, то нужно имеемое количество сантиметров разделить на сто, миллиметров – на тысячу.

Во-вторых, если необходимо определить площадь, какой – любо сложной фигуры, которая не подходит под определения квадрата, прямоугольника, необходимо разделить эту фигуру, проведя одну или несколько высот к сторонам. Таким образом, получится несколько фигур, удовлетворяющим свойствам прямоугольника, квадрата, минимум, их будет две. После производится вычисление каждой «маленькой» фигуры. Площадь основной фигуры определяется путем сложения этого показателя «маленьких» фигур.

В-третьих, если необходимо вычислить площадь фигуры или прямоугольника большого размера, можно упростить измерения и провести диагональ из противоположных углов. Площадь исходного прямоугольника будет равна сумме площадей получившихся двух треугольников. Также площадь одного треугольника будет равна этому показателю прямоугольника, разделенной на 2.

Расчет площади квадрата, используя только длину диагонали

Свойства данной геометрической фигуры таковы, что расчет ее площади, также можно производить, зная только длину его диагонали. Применяя при этом теорему Пифагора. Которая, как известно, гласит — длина гипотенузы, возведенная во вторую степень и сумма длин катетов, также, возведенных во вторую степень, равны. Чтобы найти площадь данной фигуры, используя только длину диагонали, нужно длину диагонали саму на себя, то есть возвести в квадрат, а потом разделить получившееся произведение на два.

Расчет площади квадрата по описанной окружности

Часто встречаются ситуации и задачи, когда необходимо найти площадь квадрата, который вписан в окружность. В этой ситуации стоит вспомнить, что данная фигура является ромбом и использовать формулу нахождения данного показателя ромба. Стоит учесть, что диаметр описанной вокруг фигуры окружности будет равен диагонали ее, значит, площадь квадрата равна длине диагонали, разделенной на два.

Периметр квадрата

Также, при измерении различных фигур, будет полезным умение найти периметр геометрических фигур. Как известно, периметром является сумма всех сторон. Это касается и определения периметра данной фигуры. С той лишь разницей, что, найти ее периметр получится и применяя метод, несколько проще. Нужно сложить длины двух сторон, которые, известно, у него равны, возвести сумму сторон во вторую степень.

Знание перечисленных несложных формул подсчета площади квадрата, прямоугольника, позволяют понять, как посчитать квадратные метры и сантиметры любого помещения. А также легко справляться с повседневными задачами.

Видео о том как найти площадь квадрата

ellewoman.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"