Периодическая функция. Периодическая функция с периодом

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Периодическая функция | Алгебра

Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).

Определение

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:

f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Число T называют периодом функции y=f(x).

Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).

Свойства периодических функций

  1. Если число T является периодом функции y=f(x), то и число  -T также является периодом этой функции.
  2. Если числа T1 и T2 являются периодами функции y=f(x) и T1+T2≠0, то и число T1+T2 также является периодом функции y=f(x).
  3. Если число T является периодом функции y=f(x), то и любое число вида nT, где n∈Ζ и n≠0 также является периодом этой функции.
  4. Если число T является периодом функции y=f(x), то число T/k является периодом функции y=f(kx+b) (где k≠0).
  5. Если число T является периодом функции y=f(x) и функции y=g(x), то сумма, разность, произведение и частное этих функций являются периодическими функциями с тем же периодом T.

Доказательство:

1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Вместо каждого T подставим в это равенство -T:

f(x-(-T))= f(x)=f(x+(-T)), откуда

f(x+T)=f(x)=f(x-T), то есть -T также является периодом функции y=f(x).

2) Для любого x из области определения y=f(x) если T1 — период функции, то

f(x-T1)= f(x)=f(x+T1).

Так как T2 также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T1

f((x-T1)-T2)=f(x-T1),

f(x-(T1+T2))=f(x-T1)=f(x).

Для аргумента x+T1

f(x+T1)=f((x+T1)+T2),

f(x)=f(x+T1)=f(x+(T1+T2)).

Таким образом, f(x-(T1+T2))=f(x)=f(x+(T1+T2)).

Следовательно, число T1+T2 является периодом функции y=f(x).

3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.

4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b

f((kx+b)-T)=f(kx+b)=f((kx+b)+T),

f((kx-T)+b))=f(kx+b)=f((kx+T)+b),

   

   

Значит число T/k — период функции f(kx+b).

5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.

Например, для суммы f(x) и g(x):

f(x-T)+g(x-T)=f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T).

 

Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называют главным (или основным) периодом функции.

 

Примеры периодических функций

1) Поскольку для любого x выполняются равенства

sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π),

cos (x-2π)=cos x = cos (x-2π),

то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.

2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство

tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.

Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.

3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.

Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.

4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.

Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.

5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство {x+k}={x}, то функция дробной части числа y={x} — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.

Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y={x}.

 

Утверждения

Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.

Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.

Доказательство:

Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.

В частности, при x= -T/2:

   

и, поскольку

   

получаем

   

Отсюда

   

   

   

Так как

   

   

   

То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.

Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.

Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.

Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.

 

Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

   

а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

   

 

График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).

Поэтому периодичность функции используют для построения графика: достаточно построить часть графика на любом промежутке, длина которого равна величине наименьшего положительного периода T (например, на отрезке [0;T]), а затем выполнить параллельный перенос построенной части вдоль оси Ox на ±T, ±2T, ±3T, … .

Пример.

 

Дана часть графика

периодической функции

с периодом T на

промежутке длиной T.

 

 

Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :

www.algebraclass.ru

Периодическая функция Википедия

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T=2π{\displaystyle T=2\pi }.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\neq 0}, если для каждой точки x{\displaystyle x} из её области определения точки x+T{\displaystyle x+T} и x−T{\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x−T){\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)}.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f(x)=f(x+nT){\displaystyle f(x)=f(x+nT)}, где n{\displaystyle n} — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть M{\displaystyle M} есть абелева группа (обычно предполагается M=(R,+){\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)} — вещественные числа с операцией сложения или (C,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)} — комплексные числа). Функция f:M→N{\displaystyle f:M\to N} (где N{\displaystyle N} — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\not =0} , если справедливо

f(x+T)=f(x),∀x∈M{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M}.

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{\displaystyle T\in M,\,T\not =0} , то функция f{\displaystyle f} называется апериоди́ческой.

Если для функции f:C→N{\displaystyle f:\mathbb {C} \to N} существуют два периода T1,T2≠0{\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0}, отношение которых не равно вещественному числу, то есть T1T2∉R{\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} }, то f{\displaystyle f} называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f{\displaystyle f} на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2{\displaystyle T_{1},T_{2}}.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T{\displaystyle T} — период, то и любой элемент T′{\displaystyle T'} вида T′=T+⋯+T⏟n{\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}} (или T′=nT{\displaystyle T'=nT}, если в области определения функции определена операция умножения), где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов {T,T>0,T∈R}{\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2π{\displaystyle 2\pi } , так как
sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,∀x∈R.{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
  • Функция, равная константе f(x)=const{\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция f(x)=x2,x∈R{\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} } является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции f(x){\displaystyle f(x)}, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

Ссылки

wikiredia.ru

Периодическая функция — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T=2π{\displaystyle T=2\pi }.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\neq 0}, если для каждой точки x{\displaystyle x} из её области определения точки x+T{\displaystyle x+T} и x−T{\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x−T){\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)}.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f(x)=f(x+nT){\displaystyle f(x)=f(x+nT)}, где n{\displaystyle n} — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть M{\displaystyle M} есть абелева группа (обычно предполагается M=(R,+){\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)} — вещественные числа с операцией сложения или (C,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)} — комплексные числа). Функция f:M→N{\displaystyle f:M\to N} (где N{\displaystyle N} — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\not =0} , если справедливо

f(x+T)=f(x),∀x∈M{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M}.

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{\displaystyle T\in M,\,T\not =0} , то функция f{\displaystyle f} называется апериоди́ческой.

Если для функции f:C→N{\displaystyle f:\mathbb {C} \to N} существуют два периода T1,T2≠0{\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0}, отношение которых не равно вещественному числу, то есть T1T2∉R{\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} }, то f{\displaystyle f} называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f{\displaystyle f} на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2{\displaystyle T_{1},T_{2}}.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T{\displaystyle T} — период, то и любой элемент T′{\displaystyle T'} вида T′=T+⋯+T⏟n{\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}} (или T′=nT{\displaystyle T'=nT}, если в области определения функции определена операция умножения), где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов {T,T>0,T∈R}{\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Видео по теме

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2π{\displaystyle 2\pi } , так как
sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,∀x∈R.{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
  • Функция, равная константе f(x)=const{\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция f(x)=x2,x∈R{\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} } является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции f(x){\displaystyle f(x)}, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

Ссылки

www.wikipedia.green

Периодическая функция - это... Что такое Периодическая функция?

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция (где  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если  — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как
  • Функция, равная константе , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Например, функция из предыдущего примера и функция имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

  • Квазипериодическая функция

Ссылки

dic.academic.ru

Периодическая функция — Википедия. Что такое Периодическая функция

Статья из Википедии — свободной энциклопедии

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T=2π{\displaystyle T=2\pi }.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\neq 0}, если для каждой точки x{\displaystyle x} из её области определения точки x+T{\displaystyle x+T} и x−T{\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x−T){\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)}.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f(x)=f(x+nT){\displaystyle f(x)=f(x+nT)}, где n{\displaystyle n} — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть M{\displaystyle M} есть абелева группа (обычно предполагается M=(R,+){\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)} — вещественные числа с операцией сложения или (C,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)} — комплексные числа). Функция f:M→N{\displaystyle f:M\to N} (где N{\displaystyle N} — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\not =0} , если справедливо

f(x+T)=f(x),∀x∈M{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M}.

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{\displaystyle T\in M,\,T\not =0} , то функция f{\displaystyle f} называется апериоди́ческой.

Если для функции f:C→N{\displaystyle f:\mathbb {C} \to N} существуют два периода T1,T2≠0{\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0}, отношение которых не равно вещественному числу, то есть T1T2∉R{\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} }, то f{\displaystyle f} называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f{\displaystyle f} на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2{\displaystyle T_{1},T_{2}}.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T{\displaystyle T} — период, то и любой элемент T′{\displaystyle T'} вида T′=T+⋯+T⏟n{\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}} (или T′=nT{\displaystyle T'=nT}, если в области определения функции определена операция умножения), где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов {T,T>0,T∈R}{\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2π{\displaystyle 2\pi } , так как
sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,∀x∈R.{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
  • Функция, равная константе f(x)=const{\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция f(x)=x2,x∈R{\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} } является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции f(x){\displaystyle f(x)}, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

Ссылки

wiki.sc

Периодическая функция — WiKi

Пусть M{\displaystyle M}  есть абелева группа (обычно предполагается M=(R,+){\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}  — вещественные числа с операцией сложения или (C,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}  — комплексные числа). Функция f:M→N{\displaystyle f:M\to N}  (где N{\displaystyle N}  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\not =0}  , если справедливо

f(x+T)=f(x),∀x∈M{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M} .

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{\displaystyle T\in M,\,T\not =0}  , то функция f{\displaystyle f}  называется апериоди́ческой.

Если для функции f:C→N{\displaystyle f:\mathbb {C} \to N}  существуют два периода T1,T2≠0{\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0} , отношение которых не равно вещественному числу, то есть T1T2∉R{\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} } , то f{\displaystyle f}  называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f{\displaystyle f}  на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2{\displaystyle T_{1},T_{2}} .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T{\displaystyle T}  — период, то и любой элемент T′{\displaystyle T'}  вида T′=T+⋯+T⏟n{\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}}  (или T′=nT{\displaystyle T'=nT} , если в области определения функции определена операция умножения), где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов {T,T>0,T∈R}{\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}}  имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

ru-wiki.org

Периодическая функция — Юнциклопедия

Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.

Функция y = f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки x + T, x − T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;

2) для каждого x из D имеет место соотношение

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x — периодическая (рис. 1) с периодом 2π.

Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т. д., т. е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x)=1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T0, не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = −sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = −sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.

Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f+g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x • sin √2•x и cosj √2•x + sin x являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции sin √2•x и cos √2•x периодичны с периодом √2•π.

Отметим, что если f(x) — периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить её периодом. Например, функции y = sin2x, y = √(cos x) (рис. 2,3) — периодические функции (здесь: F1(z) = z2 и F2(z) = √z). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T0, то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin2x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).

Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f'(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда

F(T) − F(0) = To∫ f(x) dx = 0.

yunc.org



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"