Определитель, детерминант матрицы. Определитель математика


Как найти определитель матрицы

Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может как det(A), |А|, Δ(A), Δ, где А может быть как матрицей, так и буквой обозначающей ее. Найти его можно разными методами:

Все выше предложенные методы будут разобраны на матрицах размера от трех и выше. Определитель двумерной матрицы находится с помощью трех элементарных математических операций, поэтому ни в один из методов нахождение определителя двумерной матрицы не попадет. Ну кроме как дополнение, но об этом потом.

Найдем определитель матрицы размером 2х2: 

Для того, чтобы найти определитель нашей матрицы, требуется вычесть произведение чисел одной диагонали из другой, а именно , то есть

Примеры нахождения определителя матриц второго порядка

Разложение по строке/столбцу

Выбирается любая строка или столбец в матрице. Каждое число в выбранной линии умножается на (-1)i+j где(i,j - номер строки,столбца того числа) и перемножается с определителем второго порядка, составленного из оставшихся элементов после вычеркивания i - строки и j - столбца. Разберем на матрице

    1. Выберем строку/столбец

Например возьмем вторую строку.

Примечание: Если явно не указано, с помощью какой линии найти определитель, выбирайте ту линию у которой есть ноль. Меньше будет вычислений.

    1. Составим выражение

    Не трудно определить, что знак у числа меняется через раз. Поэтому вместо единиц можно руководствоваться такой таблицей:

      1. Поменяем знак у наших чисел

      1. Найдем определители у наших матриц

      1. Считаем все это

    Решение можно написать так:

    Примеры нахождения определителя разложением по строке/столбцу:

    Метод приведения к треугольному виду(с помощью элементарных преобразований)

    Определитель находится с помощью приведения матрицы к треугольному(ступенчатому) виду и перемножению элементов на главной диагонали

    Треугольной матрицей называется матрица, элементы которой по одну сторону диагонали равны нулю.

    При построении матрицы следует помнить три простых правила:

    1. Каждый раз при перестановке строк между собой определитель меняет знак на противоположный.
    2. При умножении/делении одной строки на не нулевое число, её следует разделить(если умножали)/умножить(если разделяли) на него же или же произвести это действие с полученным определителем.
    3. При прибавлении одной строки умноженной на число к другой строке, определитель не изменяется(умножаемая строка принимает своё исходное значение).

    Попытаемся получить нули в первом столбце, потом во втором. Взглянем на нашу матрицу:

    Та-а-ак. Чтобы вычисления были поприятнее, хотелось бы иметь самое близкое число сверху. Можно и оставить, но не надо. Окей, у нас во второй строке двойка, а на первой четыре.

    Поменяем же эти две строки местами.

    Поменяли строки местами, теперь мы должны либо поменять у одной строки знак, либо в конце поменять знак у определителя. Сделаем это потом.

    Теперь, чтобы получить ноль в первой строке - умножим первую строку на 2.

    Отнимем 1-ю строку из второй.

    Согласно нашему 3-му правилу возващаем исходную строку в начальное положение.

    Теперь сделаем ноль в 3-ей строке. Можем домножить 1-ую строку на 1.5 и отнять от третьей, но работа с дробями приносит мало удовольствия. Поэтому найдем число, к которому можно привести обе строки - это 6.

    Умножим 3-ю строку на 2.

    Теперь умножим 1-ю строку на 3 и отнимем из 3-ей.

    Возвратим нашу 1-ю строку.

    .

    Не забываем, что умножали 3-ю строку на 2, так что потом разделим определитель на 2.

    Один столбец есть. Теперь для того чтобы получить нули во втором - забудем про 1-ю строку - работаем со 2-й строкой. Домножим вторую строку на -3и прибавим к третьей.

    Не забываем вернуть вторую строку.

    Вот мы и построили треугольнаую матрицу. Что нам осталось ? А осталось перемножить числа на главной диагонали, чем и займемся.

    Ну и осталось вспомнить, что мы должны разделить наш определитель на 2 и поменять знак.

    Правило Саррюса(Правило треугольников)

    Правило Саррюса применимо только к квадратным матрицам третьего порядка.

    Определитель вычисляется путем добавления первых двух столбцов справа от матрицы, перемножением элементов диагоналей матрицы и их сложением, и вычитанием суммы противоположных диагоналей. Из оранжевых диагоналей вычитаем фиолетовые.

    У правила треугольников то же, только картинка другая.

    Пример

    Теорема Лапласа см. Разложение по строке/столбцу

    Наверх

    kak-reshit.su

    Определитель матрицы 2x2, 3x3, 4x4...

    Определитель (детерминант) квадратной матрицы A - это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

    Обозначения

    Пусть $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

    $det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

    Свойства определителя

    1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

      Пример 12$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$

    2. Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.

      Пример 13$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$

    3. Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.

      Пример 14$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (две первые строки пропорциональны)или$\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (два первых столбца пропорциональны)

    4. Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.

      Пример 15$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или

      $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$

    5. При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.

      Пример 16В определителе$\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, можно вынести множитель 3 из первой строки $(R_{1})$, тогда получаем:$3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, затем выносим 2 из третьего столбца $(C_{3})$:$6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$

    6. При вычислении определителя можно прибавлять (отнимать) строки к другим строкам и столбцы к другим столбцам; определитель матрицы при этом не меняется.

      Пример 17$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ Пример 18$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$

    7. При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент.

      Пример 19$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$

      Пример 20$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$

    8. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
    9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

    Минор матрицы

    Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

    Пример 21$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

    Один из миноров матрицы A есть $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

    Другим минором является $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

    Пример 22$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 &am

    www.math10.com

    ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ | Энциклопедия Кругосвет

    Содержание статьи

    ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, или детерминант, – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова (1683) и, независимо, Г.Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 в.

    Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель

    значение которого равно 2ґ5 – 3ґ1 (т.е. 10 – 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде

    а его значение равно a1b2 – a2b1, где a и b – числа или функции.

    Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как

    Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij – элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |aij|.

    Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по «минорам». Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя

    «Алгебраическим дополнением» элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.

    Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель

    разложенный по первому столбцу, имеет вид

    а его разложение по второй строке, имеет вид

    Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают.

    Значение определителя.

    Под значением определителя

    принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.

    В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина – со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.

    Свойства определителя.

    Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие.

    (i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:

    (ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:

    (iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку – в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,

    (iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на –2 и прибавляются к элементам первой строки:

    (v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:

    (vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:

    Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:

    Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:

    Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:

    Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:

    Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:

    Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:

    Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:

    Применения.

    Решение системы уравнений

    можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе – на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим

    или, если

    то

    Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений

    будет

    Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.

    Определители в аналитической геометрии.

    Общее уравнение конического сечения представимо в виде

    Определитель

    называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

    Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход – против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением

    Связь определителей с матрицами.

    Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы

    Если A, B и С – квадратные матрицы и , то |A|Ч|B| = |C|. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

    Якобиан.

    Если x = f (u, v), y = g (u, v) – преобразование координат, то определитель

    называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J № 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.

    www.krugosvet.ru

    Определители квадратных матриц

             
      Главная > Учебные материалы > Математика:  Определители квадратных матриц  
       
     
    •  Репетитор: Васильев Алексей Александрович

       Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

             Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

    •  Репетитор: Крюков Илья Хассанович

       Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

             Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

    •  Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

       Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

             Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

    •  Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

       Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

             Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

    •  Репетитор: Тверской Василий Борисович

       Предметы: математика, физика.

             Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

    •  Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

       Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

             Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

    •  Репетитор: Ершикова Марина Львовна

       Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

             Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

     
      1.Определители квадратных матриц.2.Свойства определителей.

     

       
         
      1 2 3 4 5 6 7 8 9  
         
       

    1.Определители квадратных матриц.

       Как известно из раздела матричной алгебры, матрицы получили широкое распрастранение в экономике. Для того, чтобы как-то характеризовать матрицу, а также решать различные задачи с использованием матриц, в математике введено понятие определитель матрицы. Т.е. определитель матрицы - это число, характеризующее матрицу (параметр). Для каждой квадратной матрицы можно рассчитать число по ее элементам по определенной формуле, которое будет ее характеризовать.

     
     

       Для матрицы первого порядка определитель равен элементу а11.

       
     

       Для матрицы второго порядка определитель равен разности произведений элементов матрицы, рассчитанный по формуле:

       
     

       Для матрицы третьего порядка определитель равен числу, рассчитанному по формуле:

       
     

        Определители квадратных матриц можно вычислить и другим способом: с помощью разложения элементов матрицы по строке. Для того, чтобы использовать такой способ, предварительно рассчитывают миноры и алгебраические дополнения. Минором Mij элемента аij называется определитель n-1 порядка, а алгебраическое дополнение это произведение Аij = (-1)i+j Mij

       
         

    Таким образом, определитель третьего порядка можно разложить по элементам первой строки так:

       

    2.Свойства определителей.

     
     

    1. При транспонировании определитель не меняется.

    2. Если поменять местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак на противоположный.

    3. Для любой матрицы, определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

    4. Определитель равен нулю, если матрица содержит две одинаковые строки (столбца).

    5. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю.

    6. Если суммировать произведения элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

    7. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

     
     

    Пример.

       
       
             
       
         
      1 2 3 4 5 6 7 8 9  
         

    www.mathtask.ru

    Определитель, детерминант матрицы

    Способы вычисления определителя матрицы

    Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

       

    Определитель матрицы третьего порядка

    Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

    Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

       

    Схематически это правило можно изобразить следующим образом

    Правило Саррюса. Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим

    Вычисление определителей высших порядков

    Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

    Свойства определителя матрицы

    Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

    1. определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
    2. при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
    3. определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

       

    определитель равен

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Матрицы и определители | Математика, которая мне нравится

    1. След матрицы

    Определение. Следом матрицы называется сумма элементов, стоящих по главной диагонали.

    Обозначение: .

    Свойства следа:

    1. .

    2. .

    3. .

    Задача. Доказать, что матричное уравнение , где — квадратная матрица , — единичная матрица, решений не имеет.

    Решение. След матрицы, стоящей в левой части уравнения, равен , а в правой части — .

    2. Вычисление некоторых определителей

    2.1. Циклический определитель (циркулянт)

       

    В строках циклически передвигаются .

    Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим

       

    Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:

       

       

    Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:

       

    2.2. Определитель Вандермонда

       

    Вычтем последовательно из -го, -го, , второго столбца предыдущий, домноженный на :

       

    разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя -го порядка:

       

       

    Определитель имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:

       

    Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу

       

    2.3. Циклический определитель (циркулянт) еще раз

    А теперь рассмотрим циркулянт общего вида

       

    Рассмотрим полином . Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по ( — корень степени из ) и воспользуемся равенством . Получим

       

       

       

    откуда

       

    поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.

    2.4. Ганкелев определитель

    Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:

       

    Элементы —  образующие ганкелевой матрицы.

    Теорема. Если при , то

       

    Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения:

       

    На основании теоремы Бинe — Коши, равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:

       

    2.5. Определитель Коши

       

    Вычтем из второго, третьего и т.д., -го столбца первый:

       

    и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

       

    Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., -й:

       

    разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:

       

    В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:

       

    2.6. Определитель матрицы Гильберта

    Если при , то определитель матрицы Гильберта

       

    равен

       

    Он получается из определителя Коши, если положить , .

    2.7. Ленточный определитель

    Определитель Якоби:

       

    после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по , линейный по каждой переменной. Если разложить по последней строке, то получим:

       

    Теорема. Значение равно сумме главного члена и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей на .

    Частный случай определителя Якоби — континуант:

       

    Его величина совпадает с континуантой.

    Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (приодинаковых элементах на диагоналях):

       

    В этом случае уравнение получим

       

    Таким образом, для нахождения определителя нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители и :

       

    Упражнение. Вычислить определитель

       

    Задачи.

    1. Пусть матрица , , и — минор элемента . Пусть — матрица, составленная из элементов , и . Докажите, что .

    2. Пусть

       

    Для каких уравнение имеет кратные корни по ?

    3. Пусть — матрица с элементами . Найдите .

    4. Пусть — единичная матрица ,

       

    Докажите, что наибольший общий делитель элементов матрицы стремится к бесконечности при .

    5. Пусть — матрица, диагональные элементы ее все равны и , если четно и , если нечетно. Найдите

       

    6. Вычислите

       

    7. Найдите определитель -го порядка

       

    8. Пусть и — вещественные не равные матрицы , такие, что и . можно ли выбрать матрицы и так, чтобы матрица была обратима?

    9. Пусть — конечная группа, состоящая из вещественных матриц с операцией матричного умножения. Сумма следов всех элементов равна нулю. Докажите, что сумма всех элементов — нулевая матрица.

    10. Пусть и — матрицы с целыми элементами. Пусть матрицы и имеют обратные с целыми элементами. Докажите, что и матрица тоже имеет обратную с целыми элементами.

    11. Доказать, что определитель вещественной кососимметрической матрицы не может быть отрицательным числом.

    12. Пусть

       

    Существует ли матрица такая, что ?

       

    13. Даны две матрицы и размерами и соответственно, причем известно, что

       

    Найдите .

    14. Пусть — матрица: при и . Докажите, что число ненулевых элементов в разложении равно .

    Больше о матрицах и определителях (и не только): http://pmpu.ru/vf4/

    hijos.ru

    Определитель матрицы онлайн

    Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы.

    Этот онлайн калькулятор позволит вам определитель (детерминант) матрицы.

    Для того чтобы вычислить определитель (детерминант) матрицы онлайн, выберите необходимый вам размер матрицы:

    Размер матрицы: 2×23×34×45×56×67×7

    Введите значения Матрицы:

    Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

    Найти определитель

    Смотрите также:Нахождение обратной матрицы

    Определитель матрицы онлайн

    Определитель матрицы

    Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн. Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн!

    Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

    Похожие сервисы:

    Вычислить детерминант матрицыMatrix problem solver

    matematikam.ru



    О сайте

    Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"