1 класс. Математика. Точка. Прямая, кривая и ломаная линии. Определение вершины ломаной линии

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Ломаная линия. Звено ломаной, вершины.

Тема: «Ломаная линия. Звено ломаной, вершины.»

Цель: создать условия для усвоения понятий «ломаная линии», «звено ломаной»; научить чертить ломанные линии с помощью линейки.

Направленные на достижение личностных результатов будут сформированы:

-интерес к геометрическому материалу.

Направленные на достижение метапредметных результатов будут сформированы:

-оценивать совместно с учителем результат построения ломанной линии и звеньев ломанной.

- уметь разделять ломанную линию на составные части в практической деятельности, соединять звенья ломанной линии;

Направленные на достижение предметных результатов у учащихся будут сформированы:

- понятие «ломанная линия», «звено ломанной»;

-умения чертить ломанную линию.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

Коррекционная работа

  1. Этап мотивации

Приветствует детей. Настраивает на работу. Здравствуйте ребята, меня зовут Ирина Николаевна , и сегодня я проведу у вас урок математики.

Тут затеи, и задачи,Игры, шутки, всё для вас!Пожелаем всем удачи - За работу, в добрый час!

Приветствуют учителя.

Слушают стихотворение.

Личностные УУД-- внутренняя позиция школьника на уровне положительного отношения к школе, ориентации на содержательные моменты школьной действительности и принятия образца «хорошего ученика».

2. Этап актуализации и пробного учебного действия.

Ребята сейчас мы с вами проведем мозговую разминку.

1.Поставьте знак: больше, меньше или ровно.

Карточки висят на доске.

4*3; 1*5 ; 5*2 ; 3*1.

2.Поставьте знак сложения или вычитания:

3*1=2; 1*2=3;

5*4=1 ; 6*1=7

3.Решите примеры:

2+3= ; 4-2=; 6-3=; 4+4=

Посмотрите на линейку чисел и назовите соседей числа 3.

Назовите какое число стоит перед числом 6.

Дети выходят к доске и ставят знаки маркером на карточке.

Ставят знак сложения и вычитания.

Дети решают примеры.

-2 и 4 .

-5.

Коммуникативные УУД

– адекватно использовать коммуникативные, прежде всего речевые, средства для решения различных коммуникативных задач, строить монологическое высказывание.

3. Постановка проблемы.

На доске изображены различные линии:

Назовите их?

Что хотите сказать?

На какие группы можно разделить эти линии?

Непрямая линия называется ломанной.

Дети рассматривают линии.

-прямая, кивая.

-они разные некоторые прямые а другие нет.

Прямые и непрямые.

Коммуникативные УУД

– адекватно использовать коммуникативные, прежде всего речевые, средства для решения различных коммуникативных задач, строить монологическое высказывание;

Многократное повторение определения ломанной.

4. Открытия нового знания.

Рассмотрите несколько ломанных линий , что вы заметили?

Из каких линий состоят ломаные ?

Ребята каждый такой отрезок (часть ломанной)- звено ломанной.

То что они состоят из нескольких линий.

Из отрезков.

Коммуникативные УУД

– адекватно использовать коммуникативные, прежде всего речевые, средства для решения различных коммуникативных задач.

5. Этап первичного закрепления.

Организуют работу по сравнению двух групп линий.

А сейчас откройте пожалуйста учебник на стр. 4и 2.

Сравните две группы линий на рисунках, данные на полях учебника.

Что вы увидели?

Данные линии на первом рисунке называются незамкнутыми, а ломанные на втором рисунке-замкнутыми линиями.

Почему?

То место где соединены 2 отрезка, называется вершиной ломанной линией.

Ребята обратите внимание на задание номер 1.

Найдите на чертеже ломанную и объясните свой выбор.

Молодцы, а теперь давайте выполним задание 2.

Учитель показывает детям на доске , как с помощью линейки начертить ломанную линию.

Разделяют линии на 2 группы.

Ответы детей.

Концы замкнуты.

Это номер 2 , так как ломанная –это линия которая состоит из нескольких звеньев и имеет вершины.

Дети чертят у себя в тетради ломанную линию с помощью линейки, повторяя за учителем и показывая вершины.

Познавательные УУД

- работать с информацией, представленной в форме текста, рисунка, схемы, чертежа;

6. Физическая минутка.

Видеофизминутка.

Ребята делают разминку повторяя движения за героями из видео.

7. Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.

Организуют работу по соотнесению коли-во предметов с геометрическими фигурами.

Ребята , а сейчас откройте рабочую тетрадь на стр.1и 6.

Обратите внимание на первое задание .

Что вы видите?

Что изображено на первой строчке?

Давайте вместе с вами подберем запись к этому рисунку.

Все 4 записи учитель с детьми подбирает записи по рисунку.

В задании номер 2 , нам нужно соединить точки так, чтобы получился рисунок.

Задание номер 3.

Начерти ломанную , соединяя точки по порядку их номеров.

Учитель чертит на доске.

Соотносят предметы с фигурами.

-геометрические фигуры.

-круги, один из них зачеркнут.

-дети соединяют точки получают рисунок.

Дети соединяют точки.

Познавательные УУД

- работать с информацией, представленной в форме текста, рисунка, схемы, чертежа;

Проговаривают выполнение действий.

8. Этап включения в систему знаний и повторения.

Организует работу по сравнению рисунка с чертежом.

Задание номер 4 .На каком рисунке начерчена ломанная? Закрась карточку с его номером.

Ребята , а теперь пропишите цифры по порядку , так как написано в образце.

Сравнивают рисунок с чертежом.

Дети вместе с учителем находят ломанную и закрашивают ее номер.

Дети прописывают сначала от 1до 5 , и обратно.

Познавательные УУД

- работать с информацией, представленной в форме текста, рисунка, схемы, чертежа.

9. Итог урока (рефлекстия).

Чему учились на уроке?

Что нового узнали?

Что такое звено ломаной?

Рефлексия: учитель раздает кружки, на которых дети рисуют свое настроение на уроке.

-чертить ломанные линии.

-из чего состоит и какие бывают ломанные.

Это отрезок, из которой состоит ломанная линия.

Личностные УУД:

- рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Повторение алгоритма получение ломанной линии.

videouroki.net

Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C
ABC
точка 1, точка 2, точка 3
123

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? AAA

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c
abc

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a
a
прямая линия AB
BA

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a
a
луч AB
BA

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
CBA

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки
BA
прямая линия AB
BA

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ BA✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB
BA

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
ABCDE646212752

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными
ABCDEF120605812298141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

треугольники
четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, дельтоид, ромб, параллелограмм, трапеция
пятиугольники

shpargalkablog.ru

Ломаная линия Википедия

Ломаная A1A2A3A4A5A6

Ло́маная, ломаная линия — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами.

Определение[ | код]

Ломаной (ломаной линией) A1A2…An{\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}} называется фигура, которая состоит из отрезков [A1A2]{\displaystyle [A_{1}A_{2}]}, [A2A3]{\displaystyle [A_{2}A_{3}]}, …, [An−1An]{\displaystyle [A_{n-1}A_{n}]}.

Точки A1{\displaystyle A_{1}}, …An{\displaystyle A_{n}}, называются вершинами ломаной, а отрезки [A1A2]{\displaystyle [A_{1}A_{2}]}, [A2A3]{\displaystyle [A_{2}A_{3}]}, …, [An−1An]{\displaystyle [A_{n-1}A_{n}]} — звеньями ломаной.

Ломаная называется невырожденной, если для любого k∈{1,2,…,n−2}{\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,n-2\}} отрезки [AkAk+1]{\displaystyle [A_{k}A_{k+1}]} и [Ak+1Ak+2]{\displaystyle [A_{k+1}A_{k+2}]} не лежат на одной прямой; в противном случае — вырожденной.

Типы ломаных[ | код]

  • Ломаная имеет самопересечение, если хотя бы два её отрезка имеют общую точку помимо общей вершины:

Изображённую здесь ломаную следует называть «ломаная A1A2A3A4A5A6».
  • Ломаная называется замкнутой, если первая и последняя точки ломаной совпадают; в этом случае дополнительно требуют, чтобы отрезки A1A2{\displaystyle A_{1}A_{2}} и An−1An{\displaystyle A_{n-1}A_{n}} также не лежали на одной прямой:

Замкнутую плоскую ломаную часто называют многоугольником: в этом случае изображённая ломаная A1A2A3A4A5A1 будет называться «многоугольник

A1A2A3A4A5», а звенья будут называться сторонами многоугольника. В ряде случаев, например, при рассмотрении многогранников, стороны многоугольника называются рёбрами.

См. также[ |

ru-wiki.ru

Ломаная линия — методическая рекомендация. Математика, 3 класс.

1. Ломаная или нет? 1 вид - рецептивный лёгкое 2 Б. Выбор рисунков. Выбор ломаных и прямых линий.
2. Выбор ломаной. Звенья и вершины 2 вид - интерпретация лёгкое 2 Б. Следует выбрать ломаную по количеству звеньев и указать количество вершин.
3. Замкнутая или незамкнутая ломаная, звенья 2 вид - интерпретация лёгкое 2 Б. Определение вида линии и количества звеньев.
4. Обозначение ломаной. Выбор звена или вершины 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Обозначение ломаной. Выбор звена или вершины.
5. Длина ломаной 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Длина ломаной. Работа с рисунком.
6. Длина замкнутой ломаной 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Требуется найти длину замкнутой ломаной, при условии, что известны длины звеньев.
7. Длина ломаной из четырёх звеньев 2 вид - интерпретация сложное 4 Б. Поэтапное решение текстовой задачи, находится длина ломаной.

www.yaklass.ru

Ломаная линия Вики

Ломаная A1A2A3A4A5A6

Ло́маная, ломаная линия — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами.

Определение[ | код]

Ломаной (ломаной линией) A1A2…An{\displaystyle A_{1}A_{2}\dots A_{n}} называется фигура, которая состоит из отрезков [A1A2]{\displaystyle [A_{1}A_{2}]}, [A2A3]{\displaystyle [A_{2}A_{3}]}, …, [An−1An]{\displaystyle [A_{n-1}A_{n}]}.

Точки A1{\displaystyle A_{1}}, …An{\displaystyle A_{n}}, называются вершинами ломаной, а отрезки [A1A2]{\displaystyle [A_{1}A_{2}]}, [A2A3]{\displaystyle [A_{2}A_{3}]}, …, [An−1An]{\displaystyle [A_{n-1}A_{n}]} — звеньями ломаной.

Ломаная называется невырожденной, если для любого k∈{1,2,…,n−2}{\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,n-2\}} отрезки [AkAk+1]{\displaystyle [A_{k}A_{k+1}]} и [Ak+1Ak+2]{\displaystyle [A_{k+1}A_{k+2}]} не лежат на одной прямой; в противном случае — вырожденной.

Типы ломаных[ | код]

  • Ломаная имеет самопересечение, если хотя бы два её отрезка имеют общую точку помимо общей вершины:

Изображённую здесь ломаную следует называть «ломаная A1A2A3A4A5A6».
  • Ломаная называется замкнутой, если первая и последняя точки ломаной совпадают; в этом случае дополнительно требуют, чтобы отрезки A1A2{\displaystyle A_{1}A_{2}} и An−1An{\displaystyle A_{n-1}A_{n}} также не лежали на одной прямой:

Замкнутую плоскую ломаную часто называют многоугольником: в этом случае изображённая ломаная A1A2A3A4A5A1 будет называться «многоугольник

A1A2A3A4A5», а звенья будут называться сторонами многоугольника. В ряде случаев, например, при рассмотрении многогранников, стороны многоугольника называются рёбрами.

См. также[ | код]

ru.wikibedia.ru

1 класс. Математика. Точка. Прямая, кривая и ломаная линии. - Прямая линия. Кривая линия. Ломаная линия.

Комментарии преподавателя

На данном уроке Вы изучите простейшие геометрические понятия, о которых вам расскажет мама дракончиков. Вместе с дракончиками Вы изучите такие основные понятия, как прямая линия, луч, отрезок, угол, ломаная и кривая линия. У Вас будет возможность изучить предложенный материал на наглядных примерах.

Тема: На­гляд­ная гео­мет­рия

Урок: На­чаль­ные гео­мет­ри­че­ские по­ня­тия

На этом уроке будут изу­че­ны про­стей­шие гео­мет­ри­че­ские по­ня­тия. Для луч­ше­го по­ни­ма­ния рас­смот­рим сказ­ку про дра­кон­чи­ков.

Да­ле­ко-да­ле­ко в горах живет боль­шая-боль­шая семья дра­ко­нов: па­па-дра­кон, ма­ма-дра­ко­ни­ха и много ма­лень­ких дра­кон­чи­ков. Когда дра­кон­чи­ки были ма­лень­кие, они учи­лись пол­зать, бе­гать, ле­тать, пры­гать, узна­ва­ли, что такое снег, дождь, звёз­ды, учи­лись в горах ори­ен­ти­ро­вать­ся, учи­лись даже огнём ды­шать. Когда дра­кон­чи­ки немнож­ко под­рос­ли, мама ре­ши­ла их на­учить ма­те­ма­ти­ки, в том числе гео­мет­рии. Дра­кон­чи­ки очень уди­ви­лись, они не по­ня­ли о чём идет речь. Мама пред­ло­жи­ла им сесть на пло­щад­ке перед боль­шой ска­лой и смот­реть, что она будет ри­со­вать. Она на­ча­ла ри­со­вать мелом на этом плос­ком куске скалы раз­лич­ные гео­мет­ри­че­ские вещи, на­чи­ная с самых про­стых. Вна­ча­ле ма­ма-дра­ко­ни­ха на­ри­со­ва­ла линию, ко­то­рая изоб­ра­же­на на ри­сун­ке. (рис. 1)

Рис. 1

Ма­ма-дра­ко­ни­ха ска­за­ла, что эта линия на­зы­ва­ет­ся пря­мая. Это такое гео­мет­ри­че­ское по­ня­тие.

Пря­мая линия – это линия, ко­то­рая со­вер­шен­но бес­ко­неч­на.

Пря­мая линия идет бес­ко­неч­но в одну сто­ро­ну и в дру­гую сто­ро­ну. Есть такое даже вы­ра­же­ние «Летит в небе по пря­мой».

Потом мама на­ри­со­ва­ла точку и от неё про­ве­ла линию. (рис. 2)

Рис. 2

Она объ­яс­ни­ла, что точка – это на­ча­ло, от нее идет линия в бес­ко­неч­ность.  Это на­зы­ва­ет­ся луч.

Луч — это по­лу­пря­мая, ко­то­рая имеет точку на­ча­ла и не имеет конца. 

Он так на­зы­ва­ет­ся по­то­му, что она как луч света. У луча света все­гда есть на­ча­ло. Он все­гда на­чи­на­ет­ся либо на солн­це, либо на свеч­ки, либо в фо­на­ри­ке, либо на звез­де да­ле­кой. Дра­кон­чи­ки по­ня­ли, что такое луч.

Потом ма­ма-дра­ко­ни­ха по­про­си­ла пред­ста­вить дра­кон­чи­ков, что они от пря­мой от­ре­жут ку­со­чек. Такая фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся от­ре­зок. (рис. 3)

Рис. 3

От­ре­зок - это часть пря­мой, ко­то­рая огра­ни­че­на с двух сто­рон.

От­ре­зок может быть длин­ным или ко­рот­ким. Дра­кон­чи­ки сразу не по­ня­ли. Тогда мама на­ри­со­ва­ла еще несколь­ко от­рез­ков: длин­ные и ко­рот­кие. (рис. 4)

Рис. 4

Это всё от­рез­ки. Те­перь дра­кон­чи­ки все по­ня­ли.

Потом ма­ма-дра­ко­ни­ха из одной точки от­ло­жи­ла два луча, по­лу­чи­лась фи­гу­ра, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся угол. (рис. 5)

Рис. 5

При­чем углом на­зы­ва­ет­ся как вся фи­гу­ра, так и что на­хо­дит­ся внут­ри неё.

Угол – это гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, об­ра­зо­ван­ная двумя лу­ча­ми, вы­хо­дя­щи­ми из одной точки.

Потом ма­ма-дра­ко­ни­ха ре­ши­ла на­ри­со­вать еще одну форму линии. (рис. 6)

Рис. 6

Такая линия на­зы­ва­ет­ся ло­ма­ная линия. По­то­му что взяли фак­ти­че­ски пря­мую линию и по­ло­ма­ли ее. И каж­дый ку­со­чек на этой линии на­зы­ва­ет­ся звено. Ло­ма­ные линии могут быть самые раз­ные, по раз­но­му по­ло­ман­ные.

Сле­дом мама на­ри­со­ва­ла за­го­гу­ли­ну. (рис. 7)

Рис. 7

Это кри­вая линия. Таких кри­вых линий можно на­ри­со­вать мно­го-мно­го самых раз­ных.

Потом ма­ма-дра­ко­ни­ха спро­си­ла у ма­лень­ких дра­кон­чи­ков, по какой линии они ле­та­е­те в небе. Дра­кон­чи­ки за­ду­ма­лись. И один ска­зал, что он ле­та­ет по кри­вой линии, он де­ла­ет вся­кие пи­ру­эты, за­кла­ды­ва­ет спи­ра­ли, петли де­ла­ет. А дру­гой дра­кон­чик ска­зал, что когда они в снеж­ки иг­ра­ли, он по­ви­сал в воз­ду­хе, махал кры­лыш­ка­ми, а в него ки­да­ли снеж­ка­ми. Он уле­тал от них и дёр­гал­ся ту­да-сю­да, ту­да-сю­да. По­лу­ча­лась ло­ма­ная линия. Ма­ма-дра­ко­ни­ха ска­за­ла, что дра­кон­чи­ки все по­ня­ли пра­виль­но. Дра­ко­ны ле­та­ют и по кри­вой линии, и по ло­ма­ной, ино­гда про­сто по пря­мой.

И тут мама за­ме­ти­ла, что дра­кон­чи­ки уже стали ску­чать и как-то вер­теть­ся, уже плохо её слу­ша­ют. Она по­ня­ла, что пора их от­пу­стить, она ска­за­ла, что урок за­кон­чен. Дра­кон­чи­ки за­ма­ха­ли кры­лыш­ка­ми, взле­те­ли в небо, раз­ле­те­лись над го­ра­ми, ве­се­ло кри­ча­ли, сме­я­лись. Мама смот­ре­ла на них и улы­ба­лась, ма­ха­ла им лапой.

Итак, на уроке мы вы­учи­ли такие про­стей­шие гео­мет­ри­че­ские по­ня­тия, как пря­мая линия, от­ре­зок, луч, угол. Также мы рас­смот­ре­ли ло­ма­ную и кри­вую линию. После изу­чен­но­го урока Вы бу­де­те знать про­стей­шие гео­мет­ри­че­ские по­ня­тия не хуже ма­лень­ких дра­кон­чи­ков.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/1-klass/beksperimentb/nachalnye-geometricheskie-ponyatiya?seconds=0

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=o8Pu_Q8YFjk

www.kursoteka.ru

Прямая и ломаная линии | Математика

Прямая линия

Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Свойства прямой. a) Положение прямой линии вполне определяется теми двумя точками, между которыми она проведена.

Это свойство зависит от того, что b) между двумя точками можно провести только одну прямую линию, ибо между двумя точками существует только одно кратчайшее расстояние.

Определение прямой линии, вытекающее из непосредственного усмотрения ее свойства, некоторые называют аксиомой. Это понятие о прямой линии называют иногда основным.

В прямой линии нужно отличить ее положение и ее длину.

Прямую линию можно неопределенно продолжать в обе стороны.

Две точки определяют прямую линии не только в тех точках, которые лежат между ними, но и в тех точках, которые получаются, если неопределенно продолжать прямую линию в обе стороны.

c) Две прямые линии пересекаются в одной точке, ибо точка их пересечения находится на конце прямой линии.

d) Через одну точку можно провести бесчисленное множество прямых линий.

Все линии на чертеже 5 проходят через общую точку A.

 

e) Если две прямые имеют две общие точки, то они совпадают всеми остальными точками.

f) Расстояние между двумя точками определяется длиной прямой линии, их соединяющей.

Равные прямые. Две прямые линии, имеющие одинаковую длину, называются равными. Линии AB с CD (черт. 6) будут равными линиями.

 

Равные прямые совпадают при наложении друг на друга.

Сравнение прямых линий

Чтобы сравнить две данные прямые AB и CD по длине (черт. 7) накладывают линию CD на линию AB так, чтобы точка C совпадала с точкой A.

 

Здесь могут быть три случая:

  1. Если точка D упадет в точку E, находящуюся между A и B, линия CD меньше AB.

  2. Если точка D упадет в точку B, линия CD равна AB.

  3. Если точка D упадет в точку F, находящуюся на продолжении линии AB, линия CD больше AB.

Сложение и вычитание прямых линий. Прямые линии можно складывать и вычитать. Сложить или вычесть линии значит найти линию, длина которой равна сумме или разности длин данных линий.

 

Чтобы сложить прямые линии AB, CD, EF (черт. 8), продолжают линию AB и от точки B откладывают линию BG, равную CD, от точки G линию GI равную EF. Линия AI равна сумме всех этих трех линий.

AI = AB + CD + EF.

Чтобы найти разность линий CD и AB, откладывают на линии CD от точки C линию CK, равную AB, тогда линия KD равна разности линий CD и AB.

KD = CD - AB.

Отношение двух прямых линий

Сравнивая две прямые линии по длине, определяют их взаимное отношение. При этом сравнении имеет значение линия, называемая общей мерой двух линий.

Общая мера двух линий есть такая линия, которая содержится целое число раз в обеих линиях.

При определении взаимного отношения двух прямых линий по длине, могут встретиться два случая:

  1. Когда эти линии имеют общую меру.

  2. Когда они ее не имеют.

В первом случае они называются соизмеримыми, во втором — несоизмеримыми. В первом случае отношение двух линий выражается каким-нибудь рациональным, т. е. целым или дробным числом; во втором оно не может быть точно выражено ни целым, ни дробным числом.

Если две прямые линии соизмеримы, то находят их общую меру.

Определение общей меры двух линий

Общая мера двух линий большей AB и меньшей CD (черт. 9) не может быть больше линии CD. Удостоверимся сначала, не будет ли меньшая линия CD этой общей мерой.

 

Для этого накладывают меньшую линию на большую и определяют, сколько раз она уложится в большей. Если она укладывается ровное число раз, например, m раз, тогда отношение двух линий выражается этим целым числом m.

Действительно, тогда

AB = m * CD и AB/CD = m.

Если же она не укладывается ровное число раз, то последовательно накладывают линию CD до тех пор, пока не получится остатка EB меньшего CD.

Положим, линия CD уложилась в AB два раза и получился еще остаток EB. Общая мера линий AB и CD не может быть более остатка EB.

Действительно, из равенства

AB = 2CD + EB

видно, что общая мера линий AB и CD должна содержаться равное число раз в линии EB. Она может или равняться линии EB или быть меньше ее.

Отсюда заключение:

Общая мера двух линий AB и CD должна быть общей мерой меньшей линии и остатка EB.

Отыскивая общую меру CD и EB, поступаем по предыдущему. Откладываем линию EB на линии CD до тех пор, пока не получится остатка FD, меньшего линии EB. Общая мера CD и EB будет по предыдущему заключению общей мерой EB и FD.

Линию FD снова откладываем по линии EB. Пусть линия FD отложится на линии EB ровно два раза, тогда линия FB и будет этой общей мерой.

Связь между линиями выразится рядом равенств:

AB = 2CD + EBCD = EB + FDEB = 2FD

откуда

CD = EB + FD = 2FD + FD = 3FDAB = 2CD + EB = 2 * 3FD + 3FD = 8FD.

Отношение линий AB и CD выразится равенством:

AB/CD = 8FD/3FD = 8/3.

Мы видим, что при нахождении общей меры нужно поступать точно так же, как при нахождении общего наибольшего делителя между целыми числами. Отсюда

Правило нахождения общей меры двух линий. Чтобы найти общую меру, нужно меньшую линию наложить на большую, первый остаток на меньшую, второй остаток на первый, и поступить так до тех пор, пока последний остаток не уложится ровное число раз в предпоследнем.

Чтобы найти отношение двух линий, нужно при помощи общей меры выразить обе линии и потом найти частное этих выражений.

2-й случай: две прямые линии несоизмеримы. Если две линии несоизмеримы, мы никогда не получим такого остатка, который содержался бы в предпоследнем остатке целое число раз. В этом случае определяют отношение прямых линий с каким угодно приближением. Для этого разделив меньшую линию на n равных частей, накладывают это часть CE на большую линию AB (черт. 10). Положим, что эта часть повторяется в большей линии m раз и еще получается остаток FB меньше CE.

 

Из равенств

AB = mCE + FBCD = nCE

имеем

Так как n можно увеличивать произвольно, то и отношение длин двух прямых можно выразить с каким угодно приближением.

(См. о несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной).

Измерение линий. Измерить линию значит найти ее отношение к другой линии, принятой за единицу. Это отношение называют длиной данной линии. Длина линии всегда выражается в каких-нибудь единицах.

Ломаные линии

Две линии ACB и ADB (черт. 11), соединяющие концы прямой AB, называются ломаными. При этом линия ACB называется внутренней, а линия ADB внешней ломаной линией.

 

Теорема 1. Внешняя ломаная больше внутренней.

Даны две ломаные линии: внешняя ADB и внутренняя ACB (черт. 11).

Требуется доказать, что ADB больше ACB или

AD + DB > AC + CB.

Доказательство. Продолжим линию AC до пересечения с линией DB в точке E.

Линия ADE как ломаная больше прямой AE.

AD + DE > AC + CE

Ломаная линия CEB больше прямой CB

CE + EB > CB

Сложив эти неравенства, получим:

AD + DE + CE + EB > AC + CE + CB

Вычтя из обоих частей неравенства по CE, получим:

AD + DE + EB > AC + CB

Так как DE + EB = DB, то

AD + DB > AC + CB.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Сумма пересекающихся частей ломаных больше суммы непересекающихся.

Даны пересекающиеся ломаные ABC и ADC (черт. 12), AD и BC их пересекающиеся части.

 

Требуется доказать, что

AD + BC > AB + DC.

Доказательство. Из того, что ломаная AEB больше прямой AB и ломаная CED больше прямой DC вытекают неравенства:

AE + BE > ABED + EC > DC

Сложив их, находим:

AE + BE + ED + EC > AB + DC

Так как

AE + ED = ADBE + EC = BC

то

AD + BC > AB + DC

Что и требовалось доказать.

maths-public.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"