Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми. 10-й класс. Определение угол между скрещивающимися прямыми


Угол между скрещивающимися прямыми - Стереометрия

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180º. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол межу пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

В этой статье сначала дадим определение угла между скрещивающимися прямыми и приведем графическую иллюстрацию. Далее ответим на вопрос: «Как найти угол между скрещивающимися прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых в прямоугольной системе координат»? В заключении попрактикуемся в нахождении угла между скрещивающимися прямыми при решении примеров и задач.

  • Угол между скрещивающимися прямыми - определение.
  • Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

 

Угол между скрещивающимися прямыми - определение.

К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.

Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.

Приведем еще вспомогательные рассуждения.

Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Построим прямые a1 и b1 так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и bсоответственно и проходили через некоторую точку пространства M1. Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a1 и b1. Пусть угол между пересекающимися прямыми a1и b1 равен углу . Теперь построим прямые a2 и b2, параллельные скрещивающимся прямым aи b соответственно, проходящие через точку М2, отличную от точки М1. Угол между пересекающимися прямыми a2 и b2 также будет равен углу . Это утверждение справедливо, так как прямые a1 и b1 совпадут с прямыми a2 и b2 соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М1 перейдет в точку М2. Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М.

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M. Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.

Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.

К началу страницы

 

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.

Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов, а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.

Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).

Поставим перед собой задачу: найти угол  между скрещивающимися прямыми a и b, которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве.

Решим ее.

Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a1 и b1, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол  между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a1 и b1 по определению.

Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a1 и b1. Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a1 и b1.

Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора прямойпозволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a1 и b1 можно принять направляющие векторы  и  прямых a и b соответственно.

Координаты векторов  и  определяются либо по известным из условия уравнениям прямыхa и b (смотрите раздел координаты направляющего вектора прямой), либо по известным из условия координатам двух точек прямых a и b (здесь может быть полезна теория разделакоординаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется по формуле , где  и  - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми a и bимеет вид .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус: .

Осталось разобрать решения примеров.

Найдите угол между скрещивающимися прямыми a и b, которые определены в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями  и .

угол между заданными скрещивающимися прямыми равен .

Найдите синус и косинус угла между скрещивающимися прямыми, на которых лежат ребра AD и BC пирамиды АВСD, если известны координаты ее вершин: .

В заключении рассмотрим решение задачи, в которой требуется отыскать угол между скрещивающимися прямыми, а прямоугольную систему координат приходится вводить самостоятельно.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, у которого АВ=3, АD=2 и AA1=7единиц. Точка E лежит на ребре АА1 и делит его в отношении 5 к 2 считая от точки А. Найдите угол между скрещивающимися прямыми ВЕ и А1С.

intellect.ml

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно.

4.1Угол между пересекающимися прямыми

Вспомним сначала, что такое угол между пересекающимися прямыми. Пусть прямые a и b пересекаются (рис. 23). При этом образуются четыре угла. Если все углы равны друг другу, то прямые a и b называются перпендикулярными (левый рисунок), и угол между этими прямыми равен 90 . Если не все углы равны друг другу (то есть образуются два равных острых угла и два равных тупых угла), то углом между прямыми a и b называется острый угол ' (правый рисунок).

 

b

'

b

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 23. Угол между пересекающимися прямыми

4.2Определение угла между скрещивающимися прямыми

Теперь введём понятие угла между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямые a и b скрещиваются. Возьмём в пространстве произвольную точку M. Дальнейшие действия зависят от того, принадлежит точка M одной из наших прямых или нет.

1.Пусть точка M не принадлежит ни прямой a, ни прямой b. Проведём через M прямую a0, параллельную a, и прямую b0, параллельную b (рис.24). Прямые a0 и b0 пересекаются; тогда угол ' между этими прямыми и называется углом между прямыми a и b.

a

a0

'

M b0

b

Рис. 24. Угол между скрещивающимися прямыми

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми a и b это угол между пересекающимися прямыми a0 и b0, такими, что a0 k a и b0 k b.

2.Пусть точка M принадлежит одной из прямых; например, пусть M 2 a. Проведём через точку M прямую b0, параллельную b (рис.25). Прямые a и b0 пересекаются; угол ' между этими прямыми и называется углом между прямыми a и b.

a

'

Mb0

b

Рис. 25. Угол между скрещивающимися прямыми

Итак, угол между скрещивающимися прямыми a и b это угол между прямой a и прямой b0, параллельной b и пересекающей a.

Можно показать, что определение угла между скрещивающимися прямыми является корректным, то есть не зависит от конкретного выбора точки M (иными словами, как точку M ни выбирай, угол ' всегда получится одним и тем же). Поэтому в конкретных задачах выбор точки M диктуется исключительно соображениями удобства.

4.3Примеры решения задач

Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача сопоставима с задачами C2, предлагающимися на ЕГЭ по математике.

Задача 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми: а) A1C1 и BD; б) A1B и B1C.

Решение. Делаем чертёж (рис. 26). Прямые, угол между которыми надо найти, изображены красным цветом.

D

C

D

C

A

B

A

B

 

К пункту а)

 

К пункту б)

Рис. 26. К задаче 1

а) Проведём AC k A1C1. Угол между прямыми A1C1 и BD есть угол между прямыми AC и BD. Но AC ? BD как диагонали квадрата. Поэтому A1C1 ? BD.

б) Проведём D1C k A1B. Угол между прямыми A1B и B1C есть угол между прямыми D1C и B1C (то есть угол D1CB1). Треугольник D1CB1 равносторонний: D1C = CB1 = B1D1 как диагонали равных квадратов, являющихся гранями куба. Следовательно, \D1CB1 = 60 .

Ответ: a) 90 ; б) 60 .

Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания. Точка M середина ребра SB. Найдите угол между прямыми CM и SO, где O центр основания пирамиды.

Решение. Пусть N середина отрезка BO (рис. 27). Тогда MN средняя линия треугольника SBO. Следовательно, MN k SO, и потому искомый угол есть ' = \CMN.

S

aM

Рис. 27. К задаче 2

Поскольку SO перпендикулярна плоскости основания, MN также перпендикулярна этой плоскости. Стало быть, треугольник CMN прямоугольный с гипотенузой CM.

Пусть каждое ребро пирамиды равно a. Длину отрезка CM найдём из равностороннего треугольника BCS (рис. 28).

C

a

B

a

M

 

S

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28. К задаче 2

 

 

 

 

По теореме Пифагора имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a2

CM2 = BC2 BM2 = a2

 

 

 

=

3

;

2

4

откуда

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CM =

a 3

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обязательно запомните это выражение для высоты равностороннего треугольника со сто-

роной a. Оно вам ещё неоднократно пригодится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для диагонали квадрата ABCD имеем: BD = ap

 

 

(почему?). Треугольник ASC равен

2

треугольнику ABC (по трём сторонам), то есть является равнобедренным прямоугольным.

Тогда

p

 

 

 

 

 

 

 

 

SO = BO =

a

2

:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

p

 

 

 

 

 

 

MN =

1

SO =

a

2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Из треугольника CMN теперь имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN ap

 

=4

 

 

 

2

1

 

cos ' =

 

=

ap

 

=2

 

= p

 

:

CM

3

 

6

Ответ: arccos 1 .

p

6

Задача 3. В правильном тетраэдре ABCD точка K середина BD, точка M середина BC. Найдите угол между прямыми AK и DM.

Решение. Пусть точка L середина BM (рис. 29). Тогда KL средняя линия треугольника BDM; значит, KL k DM, и потому искомый угол есть ' = \AKL.

D

 

 

a

 

 

K

 

 

'

A

 

C

 

a

M

 

 

L

B

Рис. 29. К задаче 3

Величину ' мы вычислим по теореме косинусов из треугольника AKL. Предварительно найдём стороны этого треугольника.

Как и в предыдущей задаче, имеем:

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AK =

a

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a ребро тетраэдра. Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

KL =

1

DM =

1 a 3

=

a 3

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

Остаётся найти сторону AL. Это можно сделать из треугольника ABL, в котором AB = a,

BL = a=4, \ABL = 60 . По теореме косинусов получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a

a2

a2

13a2

AL2

= a2

+

 

 

2a

 

cos 60 = a2 +

 

 

 

=

 

:

4

4

16

4

16

Теперь возвращаемся к треугольнику AKL. По теореме косинусов:

 

 

 

 

AL2 = AK2 + KL2 2 AK AL cos ':

Подставляем сюда найденные длины сторон:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13a2

 

 

ap

 

2

 

ap

 

 

 

2

 

ap

 

 

 

ap

 

 

 

 

 

 

3

3

3

 

3

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

! +

 

 

 

! 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ':

16

 

2

 

4

 

2

 

 

 

4

 

 

Остаётся довести выкладки до конца:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13a2

 

3a2

3a2

3a2

 

 

 

 

 

15a2

 

 

3a2

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

 

cos ' =

 

 

 

 

 

 

cos ';

16

 

4

16

4

 

16

 

4

 

откуда находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ' =

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arccos 16 .

studfiles.net

Научно-исследовательская работа "Нахождение угла между скрещивающимися прямыми"

Содержание.

1.Введение.

2.Теоретическая часть.

3.Практическая часть.

4.Заключение

5.Список используемой литературы

6. Приложение

Введение.

В представленной работе исследуются методы нахождения угла между скрещивающимися прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.

Эта работа актуальна потому что, исследуя методы на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ. Предметом моих исследований стали геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Цели работы:

  1. Рассмотреть теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми.

  2. Обобщить все знания, полученные в ходе исследования.

  3. Сделать выводы.

Задачи:

  1. Изучить литературу по данной теме.

  2. Познакомиться с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

  3. Подобрать задачи по данной теме.

  4. Исследовать задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.

Гипотеза: С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение олимпиадных задач и заданий ЕГЭ – С2».

Теоретическая часть.

Скрещивающиеся прямые.

Определение: Прямые не лежащие в одной плоскости называются скрещивающимися (см. Рис.1).

Теорема: Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Рисунок 1. Скрещивающиеся прямые.

Угол между скрещивающимися прямыми.

Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым (см. рис 2).

Рисунок 2. Угол между скрещивающимися прямыми b и a.

Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

Поэтапно-вчислительный.

Первый способ — с помощью параллельного переноса. Напомним, в чем его суть: мы производим перенос одной из скрещивающихся прямых (или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.

Алгоритм решения:

  1. Определение типа прямых. 

  2. Параллельный перенос одной или обеих прямых. 

  3. Нахождение требуемого угла.

Пример (см.рис.3).

а) Пусть а и b – данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α.

б) Через точку А проведем прямую с||b. Получившийся ∠MAN- угол между скрещивающимися прямыми.

в) Выберем на прямой а - какую-нибудь точку М, а на прямой с - точку N. Получим треугольник AMN. Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем .

Рисунок 3. Поэтапно-вычислительный метод.

Метод трех косинусов.

Алгоритм:

  1. Определить тип прямых.

  2. Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость.

  3. Найти косинус

  4. Нахождение искомого угла.

Пример (см. рис. 4).

а) а и b-скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую а плоскость α пересекающую прямую b.

б) Спроектируем b на α. b1- проекция.

в)

Рисунок 4. Метод трех косинусов.

Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.

Пример (см. рисунок 5).

а) а и b – скрещивающиеся прямые.

б) Плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b1 проекция прямой b.

в) На прямой b лежит отрезок длинной d, а его проекция на плоскость α имеет длину d1.

г) Тогда верна формула , где α- угол между прямыми а и b.

Рисунок 5. Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.

Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую (см. прил. 9).

Пример (см.рис. 6):

а) a и b – скрещивающиеся прямые.

б) На прямой a находится отрезок длины d, и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1.

в) Тогда верна формула , где α – угол между прямыми a и b.

Рисунок 6. Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую.

Метод тетраэдра.

Весьма эффективный метод, но встречается достаточно редко.

Пример (см. рис. 7).

Для тетраэдра верна формула .

Рисунок 7. Метод тетраэдра.

Я подробней остановлюсь на самом универсальном на мой взгляд, самом доступном для понимания, координатном методе.

Координатный метод.

Алгоритм:

  1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. векторы).

  2. Вписываем фигуру в систему координат.

  3. Находим координаты концов векторов.

  4. Находим координаты Векторов.

  5. Подставляем в формулу "косинус угла между векторами".

  6. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

Чтобы освоить этот метод, надо хорошо уметь находить координаты точки в пространстве и правильно располагать многогранники в системе координат. Более подробно с расположением стереометрических фигур в системе координат вы можете ознакомиться в приложение (см. прил. 1-6).

Формула косинуса угла между векторами.

,

где .

Практическая часть.

Задача №1. На ребре ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1. Найдите угол между прямыми AK и BD1 (см. рис.8).

Рисунок 8. Задача №1.

1) AK и BD1 – скрещивающиеся прямые.

2) Д.П. достроим куб до призмы A1B1C1D1A2B2C2D2, где ABCDA2B2C2D2-куб. Отметить точку Е на АА1 так, что АЕ : ЕА2=3:1. Тогда AK параллельна BE. Рассмотрим треугольник EBD1. Возьмем сторону АВ=1; BE =1.25 (по теореме Пифагора).

3), по правилу параллелепипеда.

4), по теореме Пифагора.

по теореме косинусов.

5)Получим , где α искомый угол.

Ответ: .

Пример решения этой же задачи можете пронаблюдать в приложение (см.прил.7-8).

Задача №2. В правильный 4-х угольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 2,боковое ребро равно 1. Найдите угол между АА1 и B1D(см.рис.9).

Рисунок 9. Задача №2.

  1. АА1 и B1D – скрещивающиеся прямые.

  2. т. А - проекция АА1, на плоскость ABC.

  3. BD- проекция BD1-на АВС, тогда

  4. ;

Ответ:.

Задача №3. В правильной 6-ти угольной пирамиде АВС…F1 сторона основания равна корню квадратному из 2-х, а боковое ребро равно 1. Найдите угол между АF1 и B1C(см. рис. 10).

Рисунок 10. Задача №3

  1. AF1 и B1C- скрещивающиеся прямые.

  2. F1A||BO, где O-центр 6-ти угольника ABCDEF.

  3. Рассмотрим тетраэдр OBB1C:, по теореме Пифагора; в правильном треугольнике OB1A1;BB1=1;BC= по условию

Ответ:.

Задача №4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1.

infourok.ru

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно.

4.1Угол между пересекающимися прямыми

Вспомним сначала, что такое угол между пересекающимися прямыми. Пусть прямые a и b пересекаются (рис. 23). При этом образуются четыре угла. Если все углы равны друг другу, то прямые a и b называются перпендикулярными (левый рисунок), и угол между этими прямыми равен 90 . Если не все углы равны друг другу (то есть образуются два равных острых угла и два равных тупых угла), то углом между прямыми a и b называется острый угол ' (правый рисунок).

 

b

'

b

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 23. Угол между пересекающимися прямыми

4.2Определение угла между скрещивающимися прямыми

Теперь введём понятие угла между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямые a и b скрещиваются. Возьмём в пространстве произвольную точку M. Дальнейшие действия зависят от того, принадлежит точка M одной из наших прямых или нет.

1.Пусть точка M не принадлежит ни прямой a, ни прямой b. Проведём через M прямую a0, параллельную a, и прямую b0, параллельную b (рис.24). Прямые a0 и b0 пересекаются; тогда угол ' между этими прямыми и называется углом между прямыми a и b.

a

a0

'

M b0

b

Рис. 24. Угол между скрещивающимися прямыми

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми a и b это угол между пересекающимися прямыми a0 и b0, такими, что a0 k a и b0 k b.

2.Пусть точка M принадлежит одной из прямых; например, пусть M 2 a. Проведём через точку M прямую b0, параллельную b (рис.25). Прямые a и b0 пересекаются; угол ' между этими прямыми и называется углом между прямыми a и b.

a

'

Mb0

b

Рис. 25. Угол между скрещивающимися прямыми

Итак, угол между скрещивающимися прямыми a и b это угол между прямой a и прямой b0, параллельной b и пересекающей a.

Можно показать, что определение угла между скрещивающимися прямыми является корректным, то есть не зависит от конкретного выбора точки M (иными словами, как точку M ни выбирай, угол ' всегда получится одним и тем же). Поэтому в конкретных задачах выбор точки M диктуется исключительно соображениями удобства.

4.3Примеры решения задач

Разберём три задачи, расположенные по возрастанию сложности. Третья задача сопоставима с задачами C2, предлагающимися на ЕГЭ по математике.

Задача 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми: а) A1C1 и BD; б) A1B и B1C.

Решение. Делаем чертёж (рис. 26). Прямые, угол между которыми надо найти, изображены красным цветом.

D

C

D

C

A

B

A

B

 

К пункту а)

 

К пункту б)

Рис. 26. К задаче 1

а) Проведём AC k A1C1. Угол между прямыми A1C1 и BD есть угол между прямыми AC и BD. Но AC ? BD как диагонали квадрата. Поэтому A1C1 ? BD.

б) Проведём D1C k A1B. Угол между прямыми A1B и B1C есть угол между прямыми D1C и B1C (то есть угол D1CB1). Треугольник D1CB1 равносторонний: D1C = CB1 = B1D1 как диагонали равных квадратов, являющихся гранями куба. Следовательно, \D1CB1 = 60 .

Ответ: a) 90 ; б) 60 .

Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания. Точка M середина ребра SB. Найдите угол между прямыми CM и SO, где O центр основания пирамиды.

Решение. Пусть N середина отрезка BO (рис. 27). Тогда MN средняя линия треугольника SBO. Следовательно, MN k SO, и потому искомый угол есть ' = \CMN.

S

aM

Рис. 27. К задаче 2

Поскольку SO перпендикулярна плоскости основания, MN также перпендикулярна этой плоскости. Стало быть, треугольник CMN прямоугольный с гипотенузой CM.

Пусть каждое ребро пирамиды равно a. Длину отрезка CM найдём из равностороннего треугольника BCS (рис. 28).

C

a

B

a

M

 

S

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28. К задаче 2

 

 

 

 

По теореме Пифагора имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a2

CM2 = BC2 BM2 = a2

 

 

 

=

3

;

2

4

откуда

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CM =

a 3

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обязательно запомните это выражение для высоты равностороннего треугольника со сто-

роной a. Оно вам ещё неоднократно пригодится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для диагонали квадрата ABCD имеем: BD = ap

 

 

(почему?). Треугольник ASC равен

2

треугольнику ABC (по трём сторонам), то есть является равнобедренным прямоугольным.

Тогда

p

 

 

 

 

 

 

 

 

SO = BO =

a

2

:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

p

 

 

 

 

 

 

MN =

1

SO =

a

2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

Из треугольника CMN теперь имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN ap

 

=4

 

 

 

2

1

 

cos ' =

 

=

ap

 

=2

 

= p

 

:

CM

3

 

6

Ответ: arccos 1 .

p

6

Задача 3. В правильном тетраэдре ABCD точка K середина BD, точка M середина BC. Найдите угол между прямыми AK и DM.

Решение. Пусть точка L середина BM (рис. 29). Тогда KL средняя линия треугольника BDM; значит, KL k DM, и потому искомый угол есть ' = \AKL.

D

 

 

a

 

 

K

 

 

'

A

 

C

 

a

M

 

 

L

B

Рис. 29. К задаче 3

Величину ' мы вычислим по теореме косинусов из треугольника AKL. Предварительно найдём стороны этого треугольника.

Как и в предыдущей задаче, имеем:

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AK =

a

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a ребро тетраэдра. Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

KL =

1

DM =

1 a 3

=

a 3

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

Остаётся найти сторону AL. Это можно сделать из треугольника ABL, в котором AB = a,

BL = a=4, \ABL = 60 . По теореме косинусов получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

a

a2

a2

13a2

AL2

= a2

+

 

 

2a

 

cos 60 = a2 +

 

 

 

=

 

:

4

4

16

4

16

Теперь возвращаемся к треугольнику AKL. По теореме косинусов:

 

 

 

 

AL2 = AK2 + KL2 2 AK AL cos ':

Подставляем сюда найденные длины сторон:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13a2

 

 

ap

 

2

 

ap

 

 

 

2

 

ap

 

 

 

ap

 

 

 

 

 

 

3

3

3

 

3

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

! +

 

 

 

! 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ':

16

 

2

 

4

 

2

 

 

 

4

 

 

Остаётся довести выкладки до конца:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13a2

 

3a2

3a2

3a2

 

 

 

 

 

15a2

 

 

3a2

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

 

cos ' =

 

 

 

 

 

 

cos ';

16

 

4

16

4

 

16

 

4

 

откуда находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ' =

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arccos 16 .

studfiles.net

Как определить натуральную величину угла

Чтобы определить натуральную величину угла, нужно перевести его в положение, в котором его стороны будут параллельны плоскости проекции. Наиболее рациональный путь решения данной задачи – использовать способ вращения вокруг линии уровня. Более трудоемкими вариантами являются метод замены плоскостей проекций и параллельное перемещение.

Задача

Приведенный ниже пример иллюстрирует нахождение угла между пересекающимися прямыми m и n способом вращения вокруг фронтали.

Последовательность построений:

  1. В произвольном месте чертежа проводим фронталь f. Она пересекает прямые m и n в точках 1 и 2. Определяем их недостающие проекции.
  2. Через точку K'' проводим перпендикуляр к f''. На пересечении этого перпендикуляра с фронталью находится проекция центра вращения O''. По линии связи определяем положение т. O'.
  3. Находим величину радиуса R поворота точки K. Для этого перпендикулярно O''K'' откладываем отрезок K''K0 = yk – yo. Таким образом, R равен O''K0 – гипотенузе прямоугольного треугольника O''K''K0.
  4. Проводим дугу радиусом R до её пересечения с перпендикуляром O''K'' в точке K''1. Соединяем K''1 c точками 1'' и 2''. Натуральная величина угла между прямыми m и n равна углу ϕ при вершине K''1.

Более подробную информацию о методе вращения вокруг линии уровня, который мы здесь использовали, вы можете найти на следующей странице.

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называют плоский угол, стороны которого параллельны данным прямым. На изображении, приведенном ниже, прямые e и d скрещивающиеся и друг с другом не пересекаются. Чтобы найти угол между ними, выполним ряд графических построений:

Описание решения

  • На любом свободном месте чертежа отмечаем точку S. Располагаем её произвольно (проекции S'' и S' показаны на рисунке).
  • Через точку S проводим прямые a и b так, чтобы они были параллельны e и d. В нашем случае a||e, b||d соответственно.
  • Строим горизонталь h, которая будет играть роль оси вращения. Перпендикулярно h' из точки S' проводим прямую. Она пересекает h' в т. O' – горизонтальной проекции центра вращения.
  • Определяем радиус поворота R как гипотенузу треугольника O'S'S0. При этом катет S'S0 равен разности удаления точек S'' и O'' от горизонтальной плоскости.
  • Находим т. S'1 на пересечении дуги радиуса R с прямой S'O'. Соединяем S'1 c точками 1' и 2', которые своего положения не меняют. Угол ϕ при вершине S'1 искомый. Задача решена.

Похожие задачи:

ngeometry.ru

Определение угла между прямыми.

Задачу на определение истинной величины углов (плоских) удобнее решать путем преобразования исходного чертежа способом вращения вокруг линии уровня. Истинная величина углов между пересекающимися прямыми с и d (рис. 143) определена следующим образом: плоскость угла повернута вокруг своей фронтали f (1, 2) до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф (Ф1), проходящей через

Рис. 143

фронталь f Проекция MI совмещения вершины М угла между прямыми с и d находится на проекции Sum2 фронтально проецирующей плоскости Sum, в которой вращается точка М. Определив с помощью прямоугольного треугольника О2М2М натуральную величину радиуса вращения r и отложив ее на проекции Е2 от фронтальной проекции центра вращения, получаем изображение точки М на плоскости П2в совмещенном с плоскостью Ф положении. Соединяя фронтальные проекции неподвижных точек 1 и 2 с построенной точкой М, получаем проекции с2и d2,совмещенных с плоскостью Ф прямых с и d. Угол между прямыми с2 и d2 определяет натуральную величину искомого угла между пересекающимися прямыми с и d.

Эта задача также может быть решена способом замены плоскостей проекций. Для этого двойной заменой плоскостей проекций нужно сделать плоскость угла плоскостью уровня, решив последовательно сначала третью исходную задачу, а затем — четвертую.

Натуральная величина угла между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Угол а между прямой l и плоскостью 6 может быть определен через дополнительный угол р между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 144). Угол Р дополняет искомый угол а до 90°. Определив истинную величину угла Р путем вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром и, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла а между прямой l и плоскостью

Истинная величина двугранного угла — между двумя плоскостями Q и л. — может быть определена или путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2), или если ребро не задано, как угол между двумя перпендикулярами n1 и n2, проведенными к данным плоскостям (см. § 61) из произвольной точки М пространства (см. рис. 145). В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских

Рис. 144

Рис. 145

угла а и Р, которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов (двугранных), образованных плоскостями q и л,. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n1 и n2 путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями q и л.

22. Определение расстояния от точки до точки и от точки до прямой

Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки,так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей. На рис. 140 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

1) П2_|_П1-> П1_|_П4, П4 ||АВ, П1/П4||A1B1;

2) П1П4 -> П4_|_П5, П5 _|_AB, П4/П5 _|_A4B4;

3) M5K5 — истинное расстояние от точки М до прямой AB;

4) чтобы построить проекции перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей, строят основание перпендикуляра— точку К—на прямой АВиз условия, что в системе П4 _|_П5; он занимает положение линии уровня, т. е.

M4K4_|_A4B4. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ.Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж. На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости Q(ABC):

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми. 10-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1,9 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

  • отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми, в частности метода «от проекции до проекции» нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми;
  • формировать умения анализировать, выдвигать гипотезы и предположения, строить доказательства, переносить знания в новые ситуации при решении исследовательских задач и задач опережающего обучения;
  • тренировать пространственное воображение;
  • создать условия для развития следующих компетенций:
    • уверенность в себе;
    • самостоятельность мышления, оригинальность;
    • критическое мышление;
    • готовность работать над чем-либо спорным и вызывающим беспокойство;
    • способность принимать решения;
    • персональная ответственность;
    • способность слушать других людей и принимать во внимание то, что они говорят;
  • воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Оборудование:

  • Оборудование для применения ИКТ (интерактивная доска; проектор, экран и компьютер и т.п.).
  • Презентация Power Point.
  • Раздаточный материал в виде готовых чертежей (размера 8 см x 8 см – чтобы было все четко видно) к отдельным задачам (задачи № 4, № 9 – 12, 30), смайлов (для проведения самооценивания в конце урока).
  • Клей-карандаш (по числу учащихся в классе или хотя бы один на парту).

Время урока: 2 урока по 45 минут.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, заполнение журнала в части указания отсутствующих на уроке, раздача готовых чертежей к задачам № 4, № 10 – 12, сбор домашнего задания).

Замечание. Домашнее задание на этот урок просила выполнить на отдельных двойных листах: № 4.082, № 4.086 из [1], вариант 3, 4 проверочной работы № 6 «Вычисление угла между данными скрещивающимися прямыми и угла между данной прямой и данной плоскостью» из [2].

Учитель: Приветствую Вас на обобщающем уроке по теме «Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми». Запишите, пожалуйста, в тетради сегодняшнее число и тему занятия (Cлайд 1). Основная цель нашего урока – это отработка применения ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния и угла между скрещивающимися прямыми различными методами (Cлайд 2).

II. Актуализация теоретических знаний учащихся.

Учитель: Как вы думаете, какие понятия сегодня будут основными? (Cлайд 3). – Какие прямые называются скрещивающимися? Какие два признака скрещивающихся прямых вы знаете? (После ответа учащихся на экране – слайд 4, не забыть выразить одобрение правильным ответам). – Как вы заметили, на слайде не указан второй признак скрещивающихся прямых, т.к. он является следствием первого. – А теперь скажите мне, что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми? (После ответа учащихся на экране слайд 5). – Хорошо. – Кто может сказать, как еще можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми, не используя на прямую определение? (Учащиеся называют два метода нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, которые были доказаны на предыдущем занятии, вспоминают основную идею теоретического обоснования метода, при этом на экране соответственно отображается слайд  6 <о методе «расстояние между параллельными плоскостями»> и слайд 7<о методе «расстояние от проекции до проекции»>). – Молодцы. Вспомнили. А как определяется величина угла между скрещивающимися прямыми? (После ответа учащихся открывается слайд 8). – Ну, и последний теоретический вопрос на данный момент: как, используя проекции, можно найти величину угла между скрещивающимися прямыми? (После ответа учащихся открывается слайд 9).

III. Устный счет

Учитель: Молодцы! А теперь примените-ка ваши теоретические знания на практике. В каждой задаче нужно найти расстояние и угол между выделенными синим и красным цветами скрещивающимися прямыми.

Задача № 1 (Слайд 10; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани.

Решение.

Прямые (AB)  (ABB1) и (C1D)  (DCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [AD], и т. к. (AB) || (CD), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми

.

Задача № 2 (слайд 11; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба.

Решение.

Прямые (A1B)  (ABB1) и (C1D)  (DCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A1D1], и т. к. (A1B) || (D1C), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми

 .

Задача № 3 (слайд 12; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани.

Решение.

Прямые (AA1)  (ADD1) и (B1C)  (BCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A1B1], и т. к. (AA1) || (BB1), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми

.

Учитель: у вас уже есть чертеж к следующей задаче. Вклейте его, пожалуйста, аккуратно в тетрадь. Решение этой задачи, несмотря на то, что оно довольно простое, запишите в тетрадь.

Задача № 4 (слайд № 13; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю куба и диагональю грани куба, если ребро куба равно 1.

Решение.

Прямая (CD1)  (ADC1) по свойству диагонали грани куба и (CD1)(ADC1) = O, а (B1D)  (ADC1). Тогда расстояние между ними (отрезок [OK]) – это расстояние от проекции прямой (CD1) на плоскость (ADC1), т. е. от точки O, до прямой (B1D). Рассмотрим плоскость (ADC1). (С помощью анимации объектов отображаем выносной чертеж плоскости (ADC1) на экране)

Прямоугольные треугольники DOK ~ DB1C1 (по общему острому углу D):

Теперь вычислим угол между скрещивающимися прямыми (CD1) и (B1D).

Поскольку прямая (CD1)  (ADC1), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в данной плоскости, в том числе и прямой (B1D)  (ADC1). Тогда

.

Ответ: . (Обратить внимание учащихся на обязательность указания ответа в случае письменного решения задачи)

Учитель: отложите ручки и вновь обратите внимание на экран. Следующие задачи я предлагаю вам попробовать решить устно.

Задача № 5 (слайд 14; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания.

Решение.

Высота пирамиды (PO)  (ABC), а значит (PO) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC), в том числе ребру (AD). Тогда по определению расстояния между скрещивающимися прямыми отрезок [OK]  (AD) и является искомым расстоянием, а угол между высотой (PO) пирамиды и ребром основания (AD) является прямым.

Задача № 6 (слайд 15; искомые величины отображаются на экране зеленым цветом с помощью анимации объектов после того, как учащиеся озвучат верный вариант). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.

Решение.

Рассмотрим боковое ребро (PC), плоскость основания (ABC) и диагональ основания (AC). Т. к. высота пирамиды (PO)  (ABC), а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой (AC). Тогда по определению (AC) = pr(ABC)(PC). (после того, как учащиеся озвучат данный факт, с помощью анимации объектов на слайде 15 добавляем надписи «наклонная», «проекция»).

По условию PABC – правильная пирамида, т. е. ABCD – квадрат. Тогда по свойству диагоналей квадрата (BD)  (AC) = pr(ABC))(PC). А значит по теореме о трех перпендикулярах (BD)  (PC).

Расстояние между скрещивающимися прямыми (BD) и (PC) определяется из следующих соображений. Построим из вершины прямого угла POC высоту [OK] на гипотенузу [PC]. Очевидно, что прямые (OK) и (PC), содержащие эти отрезки, также перпендикулярны. Рассмотрим плоскость (APC) сечения пирамиды и прямую (BD):

 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит прямая (BD) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (APC), в том числе и прямой (OK). Тогда отрезок [OK] есть общий перпендикуляр прямых (BD) и (PC).

Задача № 7 (слайд № 16; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися боковым ребром куба и его диагональю, если известно, что ребро куба равно a.

Решение.

В силу параллельности ребер (AA1) и (BB1) проще сначала найти угол между скрещивающимися прямыми (AA1) и (DB1):

.

Нахождение расстояния между данными прямыми базируется на следующей идее: рассмотрим сечение куба плоскостью (BDD1), содержащей прямую (DB1).

(AA1) || (BB1)  (BDD1) => (AA1) || (BDD1) по признаку параллельности прямой и плоскости. Тогда расстояние .

Замечание: на предыдущих уроках было отработано нахождение длины диагонали грани куба () и диагонали куба () в зависимости от длины ребра куба a, поэтому при решении задач время на обоснование этих фактов не тратится.

Задача № 8 (слайд 17; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися ребром основания куба и отрезком, соединяющим вершину ребра верхнего основания с серединой противоположного ребра в нижнем основании, если известно, что ребро куба равно a.

Решение.

Найдем сначала угол между скрещивающимися прямыми: , т.е. искомый угол равен .

Теперь определим расстоянием между прямыми в соответствии с методом «расстояние от проекции до проекции»:

.

Из DD1P по теореме Пифагора , а по свойству высоты, опущенной на гипотенузу, получаем, что DD1P ~ HDP:

.

IV. Решение задач по теме занятия

V. Домашнее задание

Учитель (слайд 36 с домашним заданием, дать время записать в дневник): к следующему уроку решите, пожалуйста, задачи № 3.096, 3.121 – 3.123, 5.059 (г) [1].

VI. Подведение итогов. Рефлексия

Учитель (слайд 37 с ответами на задаваемые вопросы): Я рада, что вы все работали хорошо. А теперь вспомните основные моменты нашего урока. – Каким образом можно находить расстояние и угол между скрещивающимися прямыми? – Чему равно расстояние между диагональю куба и скрещивающийся с ней диагональю грани куба? – Чему равно расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба? – А расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра? – Чему еще вы научились во время занятия? (Учащиеся отвечают)

Учитель: Сегодня за работу у доски получают оценки…, а также хочу отметить и поощрить за активную работу устно: …

– Ребята, обратите внимание, у вас у каждого есть смайлы (раздавались вместе с другим раздаточным материалом на урок в самом начале), но на них не хватает рта. Вам нужно перед уходом с урока дорисовать рот (абсолютно любой) такой, чтобы я поняла, как вы ощущали на этом уроке, как вам было: комфортно / не комфортно, понравился урок / не понравился, было интересно / не интересно… Смайлы можете не подписывать, если стесняетесь.

Учитель: Спасибо за работу.

VII. «Запасные задачи» (если на уроке останется время): № 5.059 (а-в) [1]

Список литературы:

  1. Потоскуев Е.В. Геометрия, 10 кл.: задачник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. В. Звавич. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006. – 250, [6] с.: илл.
  2. Литвиненко Н.В. Геометрия – 10: Проверочные и контрольные работы. – М.: Вербум-М, 2000. – 112 с.: илл.
  3. Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. – М.: МЦМНМО, 2011. – 136 с.: илл.
  4. Шарыгин И.Ф. Математика: решение задач: 11 кл. / И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 398 с.: илл. – (Профильная школа).

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"