Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане. Определение медианы биссектрисы и высоты треугольника

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Высоты медианы биссектрисы треугольника - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки  на отрезок , зато можем опустить его на прямую  — то есть на продолжение стороны .

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол  равен ) пересекаются в точке .

Рассмотрим треугольник .

,

, тогда

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол  смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник  — прямоугольный, то .

Тогда .

Ответ: .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть  — высота, проведенная из вершины прямого угла ,  — биссектриса угла .

Тогда

.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

Ответ: .

3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника (угол  — прямой) найдем угол . Он равен .

Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .

В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :

.

Ответ: .

4. В треугольнике угол  равен ,  и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .

Рассмотрим треугольник .

, тогда .

Из треугольника получим, что .

Тогда .

Ответ: .

5. В треугольнике угол  равен , угол  равен . , и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Найдем угол . Он равен .

Тогда .

Из треугольника найдем угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник .

, . Значит

Ответ: .

6. В треугольнике ,  — медиана, угол равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение:

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Например, возьмём треугольник АВС.

Если точки А1, В1 и С1 - соответственно середины сторон ВС, СА и АВ, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 - медианы этого треугольника. Медианы, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Например, возьмём некоторый треугольник АВС.

Проведём биссектрису АЕ1 угла ВАС, ВЕ2 - угла АВС и СЕ3 - угла АСВ. Биссектрисы, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Изобразим треугольник АВС и отрезки АF1, BF2 и CF3, которые являются высотами нашего треугольника.

Высоты, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

Свойства:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Ответим на вопрос: Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?

Да, когда у него один угол тупой.

А может ли точка пересечения высот лежать в вершине треугольника?

Да, может, когда у треугольника есть прямой угол.

Пример.

Рассмотрим следующую задачу. Отрезок BD - медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ - медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка АС, если отрезок ЕС=4 см.?

Так как ВЕ - медиана треугольника DBC, то отрезок DE=ЕС. Следовательно, сторона DC=2*ЕС, то есть DC=8 см.

BD - медиана треугольника АВС, значит, отрезок AD=DC. Следовательно, сторона АС=2*DC. Так как отрезок DC=8 см., то длина стороны АС=16 см.

Ответ: 16 см.

Пример.

Отрезок AD - медиана треугольника АВС. Точка Е лежит на луче АD так, что AD равняется DЕ. Докажите, что треугольник АDВ равен треугольнику CDE.

Так как AD - медиана треугольника АВС, то СD равняется DB.

Рассмотрим треугольники АDВ и CDE. У них сторона AD равна стороне DЕ по условию задачи; сторона СD равна стороне DB, так как AD - медиана; а углы ADB и CDE равны как вертикальные.

Следовательно, треугольник АDВ равен треугольнику CDE по первому признаку равенства треугольников.

videouroki.net

Свойства биссектрисы, медианы и высоты треугольника

В этой статье вы найдете свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые могут быть полезны при решении задач.

Биссектрисы.

1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Доказательство.

показать

Действительно, точки, лежащие на биссектрисе угла равноудалены от сторон угла. Следовательно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

 

 Доказательство.

показать

3. Длина биссектрисы вычисляется по таким формулам:

(1)

Докажем вторую формулу.

показать

Введем обозначения:

Приравняем выражения для площади треугольника :

Отсюда:

4. Пусть О-центр вписанной окружности, -биссектриса угла   треугольника :

Тогда выполняется соотношение:

Доказательство:

показать

 

Биссектрису треугольника в некоторых задачах удобно продолжить до пересечения с описанной окружностью.

Лемма о трилистнике.

Дан треугольник . Точка - точка пересечения биссектрисы угла с описанной около треугольника окружностью. Пусть - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда

   

Доказательство.

показать

Докажем формулу (1) из п. 3:

 

Доказательство:

показать

Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью. Рассмотрим треугольники и  . Отметим равные углы:

 

Треугольник  подобен треугольнику по двум углам. Отсюда:

   

   

(2)

   

(3)

По свойству отрезков пересекающихся хорд

   

   

(4)

Подставим (3) в (2) и воспользуемся (4):

   

   

   

Отсюда

   

   

Выразим длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника через длины сторон треугольника. Введем обозначения:

Получим систему:

   

Отсюда

   

   

   

   

 

Медианы.

1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины:

 

2. Пусть - точка внутри треугольника такая, что выполняется соотношение: , то - точка пересечения медиан треугольника .

Доказательство.

показать

3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.

Доказательство.

показать

Докажем, что

так как ,

так как ,

Следовательно,

[\spoiler]

 

 

Высоты.

1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае остроугольного треугольника в одной точке пересекаются сами высоты.

 

 

 

 

 

2. Точка пересечения высот треугольника обладает следующим свойством: сумма квадрата расстояния от вершины треугольника и квадрата противолежащей стороны одинаковая для любой вершины:

Доказательство.

[spoiler]

Докажем первую часть равенства:

Перепишем его в виде:

(1)

По теореме Пифагора: (из треугольников  и )

  (из треугольника )

(из треугольника )

Подставим эти выражения в (1), получим:

Раскроем скобки, получим:

.

Получили тождество. Вторая часть равенства доказывается аналогично.

3. Если описать вокруг треугольника окружность и продлить высоты треугольника до пересечения с этой окружностью,

то для любой высоты треугольника расстояние от основания высоты до точки пересечения продолжения высоты с окружностью равно расстоянию от основания высоты до точки пересечения высот:

Или так: Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности.

Доказательство.

показать

Докажем, что .

Для этого рассмотрим треугольники   и ,  и докажем, что :

Воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. - общая сторона. Докажем равенство двух углов.

Докажем, что ∠∠

Пусть ∠,  тогда из треугольника получим, что

∠. Следовательно, из треугольника получим, что

∠, и

Но ∠ и ∠ опираются на одну дугу  , следовательно, ∠∠∠

Аналогично получаем, что ∠∠

4. В треугольнике точки   и - основания высот, проведенных из вершин   и . Доказать, что треугольник подобен треугольнику и коэффициент подобия равен .

Доказательство:

показать

Теорема Чевы

Пусть в треугольнике 

Отрезки пересекаются в одной точке в том и только том случае, если

   

(1)

 

Доказательство.

показать

Докажем, что если отрезки пересекаются в одной точке, то соотношение (1) выполняется.

Легко проверить, что если , то выполняется

Применим это свойство пропорции:

   

   

Аналогично:

   

   

Тогда

   

(2)

Теорему Чевы можно записать в таком виде:

Если отрезки пересекаются в одной точке, то  выполняется соотношение:

   

Чтобы доказать теорему Чевы в форме синусов, достаточно во вторую часть равенства (2) вместо площадей треугольников подставить для площади каждого треугольника формулу .

 

Из лекций Агаханова Назара Хангельдыевича и Владимира Викторовича Трушкова,  КПК МФТИ.

ege-ok.ru

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

\[{\Large{\text{Медиана}}}\]

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Доказательство

Пусть \(AD\) и \(BE\) – медианы в треугольнике \(ABC\), \(O\) – точка пересечения \(AD\) и \(BE\).

 

\(DE\) – средняя линия в треугольнике \(ABC\), тогда \(DE\parallel AB\), значит \(\angle ADE = \angle BAD\), \(\angle BED = \angle ABE\), следовательно, треугольники \(ABO\) и \(DOE\) подобны (по двум углам).

 

Из подобия треугольников \(ABO\) и \(DOE\): \(\dfrac{BO}{OE} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{1}\).

 

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

 

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

 

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: \(S_{ABC} = 0,5\cdot AC\cdot h\).

 

Пусть \(BD\) – медиана в треугольнике \(ABC\), тогда \(AD = DC\).

 

\(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot h\),

\(S_{BCD} = 0,5\cdot DC\cdot h\).

 

Так как \(AD = DC\), то \(S_{ABD} = S_{BCD}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

 

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

 

Доказательство

1) Докажем, что если \(\triangle ABC\) – прямоугольный, то \(BM=\frac12AC\), где \(M\) – середина гипотенузы \(AC\).

 

Достроим треугольник \(ABC\) до прямоугольника \(ABCD\) и проведем диагональ \(BD\). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то \(AC\cap BD=M\), причем \(AM=MC=BM=MD\), чтд.

 

2) Докажем, что если в треугольнике \(ABC\) медиана \(BM=AM=MC\), то \(\angle B=90^\circ\).

 

Треугольники \(AMB\) и \(CMB\) – равнобедренные, следовательно, \(\angle BAM=\angle ABM=\alpha, \quad \angle MBC=\angle MCB=\beta\).

 

Т.к. сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то для \(\triangle ABC\):

 

\(\alpha+(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ \Rightarrow \angle B=90^\circ\), чтд.

 

\[{\Large{\text{Биссектриса}}}\]

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

 

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

 

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC\cdot CD}{CB\cdot CD} = \dfrac{AC}{CB}\]

С другой стороны, \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{0,5\cdot AD\cdot h}{0,5\cdot DB\cdot h}\), где \(h\) – высота, проведённая из точки \(C\), тогда \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AD}{DB}\).

 

В итоге \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC}{CB}\), откуда \(\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DB}{BC}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

 

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

 

Доказательство

1) Докажем, что если \(KA=KB\), то \(OK\) – биссектриса.Рассмотрим треугольники \(AOK\) и \(BOK\): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(\angle AOK=\angle BOK\), чтд.

 

2) Докажем, что если \(OK\) – биссектриса, то \(KA=KB\).Аналогично треугольники \(AOK\) и \(BOK\) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, \(KA=KB\), чтд.

shkolkovo.net

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Доброй ночи! Сегодня попробую Вам объяснить определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Как Вы и просили. Хотя хочу Вас успокоить, что это очень легко и, когда вы поймёте, что к чему — с лёгкостью будете решать такие задачи.Давайте сначала разберёмся, что такое медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной и делит её сторону  на две равные части.Следом рассмотрим биссектрису — которая является лучём, исходящим из вершины угла, и делит его пополам.Самое главное не перепутать другое. Вы должны понимать, что пополам сторону делит — медиана, а угол — биссектриса.И напоследок, мы рассмотрим высоту, которая не менее важна.  Высота — это перпендикуляр, который мы опускаем из вершины любого треугольника на противоположную сторону и образовывает с этой стороной прямой угол.А теперь давайте мы с Вами попробуем решить какую-то задачу, используя то, что выше рассмотрели. По условию нам дан равносторонний треугольник ,  — медиана. Сторона треугольника равна 20 см.Так как мы знаем, что в равностороннем треугольнике биссектриса одновременно является и высотой и медианой, то благодаря теореме Пифагора мы с лёгкостью можем найти биссектрису.Так как мы знаем, что медиана делит сторону треугольника пополам, то мы получим два одинаковых треугольника: . Рассмотрим один прямоугольный из них — , в котором биссектриса будет являться одним из катетов прямоугольного треугольника (это исходит из того, что биссектриса ещё и высота).То есть мы получаем то, что нам известна гипотенуза (BF) — 20 см и один из катетов (KF) — 10 см.Теперь по теореме Пифагора мы сможем найти второй катет, который нам так нужен, ведь он является медианой, высотой и биссектрисой данного треугольника одновременно (BK): 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

Ответ: 

ru.solverbook.com

7 класс. Геометрия. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. - Копия: Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Комментарии преподавателя

Ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты тре­уголь­ни­ка

Опре­де­ле­ние: От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с се­ре­ди­ной про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка.

         

Рис. 1. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка

А, В, С – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка.

 – се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка. 

  – ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка.

У каж­до­го тре­уголь­ни­ка есть три ме­ди­а­ны. В даль­ней­шем мы до­ка­жем, что все ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. И эта точка об­ла­да­ет за­ме­ча­тель­ны­ми свой­ства­ми и на­зы­ва­ет­ся «цен­тром тя­же­сти» тре­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние: От­ре­зок бис­сек­три­сы угла тре­уголь­ни­ка, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с точ­кой про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка. Стоит за­ме­тить, что бис­сек­три­са угла – это луч, де­ля­щий угол на два рав­ных, а бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка – это от­ре­зок, часть луча, огра­ни­чен­ная сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка.

Рис. 2. Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

C, D, E – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка.

   – бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка.

Три бис­сек­три­сы лю­бо­го тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, ко­то­рая также имеет важ­ное свой­ство.

Опре­де­ле­ние: Пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка к пря­мой, со­дер­жа­щей про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, на­зы­ва­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка.

 

Рис. 3. Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

А, В, С – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка. 

  – вы­со­ты тре­уголь­ни­ка.

По­сколь­ку у тре­уголь­ни­ка три вер­ши­ны, а зна­чит, и три вы­со­ты. Далее мы вы­яс­ним, что все три вы­со­ты пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Но в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­ты рас­по­ло­же­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Рис. 4. Вы­со­ты ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный с вер­ши­ны С на пря­мую ВА, это пер­пен­ди­ку­ляр , ко­то­рый яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка.  – это пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный с вер­ши­ны В на пря­мую СА, ко­то­рая со­дер­жит сто­ро­ну АС.  – это вто­рая вы­со­та тре­уголь­ни­ка. – тре­тья вы­со­та тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты или их про­дол­же­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Это будет до­ка­за­но далее.

При­мер 1: Ме­ди­а­на AD тре­уголь­ни­ка АВС про­дол­же­на за сто­ро­ну ВС на от­ре­зок DE, рав­ный AD, и точка Е со­еди­не­на с точ­кой С.

1.  До­ка­жи­те, что ∆АВD = ∆ECD.

2.  Най­ди­те ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

Дано: BD = CD, AD = ED.

До­ка­зать: ∆ABD = ∆ECD.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 1

 

тре­уголь­ник ABD = тре­уголь­ни­ку ECD по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .

Найти: ∠АСЕ.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1

Вос­поль­зу­ем­ся ре­зуль­та­та­ми преды­ду­щей за­да­чи, что тре­уголь­ник ABD = тре­уголь­ни­ку ECD. Тре­уголь­ни­ки равны, зна­чит, и равны их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.

Ответ: ∠ACE = .

При­мер 2: тре­уголь­ник АВС =  тре­уголь­ни­ку .

До­ка­зать: ме­ди­а­ны ВМ и  равны.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис.7. Чер­теж к при­ме­ру 2

1 спо­соб:

От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник АВМ = тре­уголь­ни­ку . А из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что ВМ = , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

2 спо­соб: сов­ме­ще­ние тре­уголь­ни­ков АВС и . При этом точка В пе­рей­дет в точку , а точка М в точку . Зна­чит, от­рез­ки ВМ и  сов­ме­стят­ся. ВМ = .

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=Hxp_e6OjgxA

http://www.youtube.com/watch?v=fC425SOyUw4

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=mediana_bisektrisa_visota

http://proteacher.ru/2015/01/09/Mediana_bissektrisa_i_vysota_treugolnika_1420794393_62631.ppt

 

www.kursoteka.ru

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

Начальные сведения о треугольниках

Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда

Определение 1

Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.

Определение 2

Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.

Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)

Медиана

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как медиана.

Определение 4

Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 2):

Очевидно, что треугольник имеет три медианы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 1

Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.

Биссектриса

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как биссектриса.

Определение 5

Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 3):

Очевидно, что треугольник имеет три биссектрисы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 2

Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.

Высота

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как высота.

Определение 6

Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 4):

Очевидно, что треугольник имеет три высоты. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 3

Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.

Пример задач

Пример 1

Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что если в нем $BD$ будет и высотой и медианой, то $AB=BC$.

Доказательство

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Так как $BD$ является медианой, то по определению 4 будет верно равенство $AD=DC$

Так как $BD$ является высотой, то по определению 6 будет верно равенство $∠ADB=∠BDC=90^0$

У треугольников $ADB$ и $BDC$ сторона $BD$ будет общей, следовательно, по всему сказанному выше эти треугольники равняются по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $BC$ равны.

Пример 2

Пусть нам даны равные треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. В них проведены высоты $BH$ и $B'H'$, соответственно. Доказать, что эти высоты в треугольниках будут равны между собой.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 6).

Так как данные треугольники равны, то будет верно равенство $∠A=∠A'$

Так как $BH$ и $B'H'$ являются высотами, то по определению 6 будет верно равенство $∠AHB=∠A'H'B'=90^0$

Из треугольника $ABC$, имеем

$∠ABH=180^0-90^0-∠A=90^0-∠A$

Из треугольника $A'B'C'$ и равенства углов $∠A$ и $∠A'$, получим

$∠A'B'H'=180^0-90^0-∠A'=90^0-∠A'=90^0-∠A=∠ABH$

По всему сказанному выше, треугольники $AHB$ и $A'B'H'$ равняются по первому признаку. Но тогда и стороны $BH$ и $B'H'$ равны.

spravochnick.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"