Высота, биссектриса, медиана треугольника (определения). Определение медиана биссектриса и высота треугольника

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Высота, биссектриса, медиана треугольника (определения). — Студопедия.Нет

Билет №1

Виды треугольников по длине сторон. Периметр треугольника.

Треугольники бывают:

Равнобедренный (равны две стороны), разносторонний (все стороны по величине разные), равносторонний -все стороны равны Периметром треуг называется сумма длин его сторон)

Смежные углы (определение). Теорема о сумме смежных углов.

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (т.е. имеют общее начало и дополняют друг друга до прямой).

Сумма смежных углов равна 180°.

Дано: ∠АОВ и ∠ВОС смежные.

Доказать: ∠АОВ + ∠ВОС = 180°

Доказательство:

∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС по свойству измерения углов,

∠АОС = 180°, так как является развернутым, ⇒ ∠АОВ + ∠ВОС = 180°

3. Задача по теме "Признаки равенства треугольников".

 Отрезки AC и BD пересекаются в точке О. AO=OC, BO=OD. При проведении отрезков AB и CD образуются треугольники BAO и OCD. Докажите, что ∆ BAO=∆ OCD.

Билет №2

Отрезок (определение). Середина отрезка. Основное свойство расположение точек на прямой.

Отрезок - это часть прямой, которая ограничена двумя точками, т.е. она имеет начало и конец, а значит можно измерить её длину.Середина отрезка - это точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих его концов отрезка.

 из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Свойства равнобедренного треугольника (доказательство одного из них).

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство:

пусть АВС - равнобедренный треуг с основанием АВ. Докажем, что у него А= В.

Тр САВ равен тр СВА по первому признаку равенства треугДействительно, СА=СВ, СВ=СА, угол С= углу С.Из равенства треугольников следует, что угол А= углу В. Теорема доказана.

2 В равнобедренном треуг биссектриса , проведённая к основанию , является медианной и высотой .

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ACF и BCF (важно правильно их назвать!)

 

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

2) ∠ACF=∠BCF (так как CF — биссектриса по условию).

3) сторона CF — общая.

 

Значит, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов.

Таким образом, AF=BF, следовательно, CF — медиана.

∠AFC=∠BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠AFC=∠BFC=90º.

Значит, CF — высота.

Что и требовалось доказать.

 3. Задача по теме "Окружность и ее элементы".

Найдите длину радиуса окружности, если длина диаметра равна 14,5 см.

 

 

Билет № 3

Основные геометрические фигуры на плоскости. Основное свойство принадлежности точек и прямых.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Построение треугольника по трём сторонам.

Даны три отрезка: a,b иc, равные сторонам искомого треугольника..

В этом случае перед началом построения необходимо убедиться, исполняется ли неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух остальных отрезков), и эти отрезки могут быть сторонами треугольника.

Если да, то:,

1. Провести прямую.

2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a, и отметить другой конец отрезка B.

3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b.

4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c.

5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной искомого треугольника.

3. Задача по теме "Вертикальные углы".

Один из вертикальных углов равен 45º. Найдите остальные углы.

Билет № 4

Высота, биссектриса, медиана треугольника (определения).

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса - это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.

2. Теорема о свойстве катета, лежащего против угла в 30º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º ( по построению).Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:∠BAD=∠D=∠B=60º.Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.BC=DC (по построению), поэтому Что и требовалось доказать.

3. Задача по теме " Признаки параллельности прямых".

Один из внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равен 50º. Найдите градусные меры остальных углов.

Билет № 5

studopedia.net

7 класс. Геометрия. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. - Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Комментарии преподавателя

Ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты тре­уголь­ни­ка

Опре­де­ле­ние: От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с се­ре­ди­ной про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка.

         

Рис. 1. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка

А, В, С – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка.

 – се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка. 

  – ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка.

У каж­до­го тре­уголь­ни­ка есть три ме­ди­а­ны. В даль­ней­шем мы до­ка­жем, что все ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. И эта точка об­ла­да­ет за­ме­ча­тель­ны­ми свой­ства­ми и на­зы­ва­ет­ся «цен­тром тя­же­сти» тре­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние: От­ре­зок бис­сек­три­сы угла тре­уголь­ни­ка, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с точ­кой про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка. Стоит за­ме­тить, что бис­сек­три­са угла – это луч, де­ля­щий угол на два рав­ных, а бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка – это от­ре­зок, часть луча, огра­ни­чен­ная сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка.

Рис. 2. Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

C, D, E – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка.

   – бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка.

Три бис­сек­три­сы лю­бо­го тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, ко­то­рая также имеет важ­ное свой­ство.

Опре­де­ле­ние: Пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка к пря­мой, со­дер­жа­щей про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, на­зы­ва­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка.

 

Рис. 3. Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

А, В, С – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка. 

  – вы­со­ты тре­уголь­ни­ка.

По­сколь­ку у тре­уголь­ни­ка три вер­ши­ны, а зна­чит, и три вы­со­ты. Далее мы вы­яс­ним, что все три вы­со­ты пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Но в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­ты рас­по­ло­же­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Рис. 4. Вы­со­ты ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный с вер­ши­ны С на пря­мую ВА, это пер­пен­ди­ку­ляр , ко­то­рый яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка.  – это пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный с вер­ши­ны В на пря­мую СА, ко­то­рая со­дер­жит сто­ро­ну АС.  – это вто­рая вы­со­та тре­уголь­ни­ка. – тре­тья вы­со­та тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты или их про­дол­же­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Это будет до­ка­за­но далее.

При­мер 1: Ме­ди­а­на AD тре­уголь­ни­ка АВС про­дол­же­на за сто­ро­ну ВС на от­ре­зок DE, рав­ный AD, и точка Е со­еди­не­на с точ­кой С.

1.  До­ка­жи­те, что ∆АВD = ∆ECD.

2.  Най­ди­те ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

Дано: BD = CD, AD = ED.

До­ка­зать: ∆ABD = ∆ECD.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 1

 

тре­уголь­ник ABD = тре­уголь­ни­ку ECD по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .

Найти: ∠АСЕ.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1

Вос­поль­зу­ем­ся ре­зуль­та­та­ми преды­ду­щей за­да­чи, что тре­уголь­ник ABD = тре­уголь­ни­ку ECD. Тре­уголь­ни­ки равны, зна­чит, и равны их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.

Ответ: ∠ACE = .

При­мер 2: тре­уголь­ник АВС =  тре­уголь­ни­ку .

До­ка­зать: ме­ди­а­ны ВМ и  равны.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис.7. Чер­теж к при­ме­ру 2

1 спо­соб:

От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник АВМ = тре­уголь­ни­ку . А из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что ВМ = , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

2 спо­соб: сов­ме­ще­ние тре­уголь­ни­ков АВС и . При этом точка В пе­рей­дет в точку , а точка М в точку . Зна­чит, от­рез­ки ВМ и  сов­ме­стят­ся. ВМ = .

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=Hxp_e6OjgxA

http://www.youtube.com/watch?v=fC425SOyUw4

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=mediana_bisektrisa_visota

http://proteacher.ru/2015/01/09/Mediana_bissektrisa_i_vysota_treugolnika_1420794393_62631.ppt

 

www.kursoteka.ru

Медиана, высота и биссектриса треугольника

Автор Сергей

Среда, Сентябрь 12, 2012

Для решения задач по геометрии, связанных с треугольниками, важно усвоить одну простую, но важную истину. Существует третий признак равенства треугольников («по трем сторонам»), из которого следует, что не существует двух различных треугольников с одинаковыми сторонами. Следовательно, зная длины всех сторон треугольника, можно узнать об этом треугольнике все, что нужно. В том числе длины его медиан, биссектрис и высот. Разберем более подробно, каким образом это можно сделать.

Теорема о длине высоты треугольника

Для нахождения длины высоты треугольника можно расписать его площадь двумя способами. Во-первых, используя формулу Герона, во-вторых, как половину произведения высоты на основание, к которому проведена данная высота.

   

здесь — полупериметр треугольника.

Из сравнения данных формул находим:

   

Отметим, что это лишь один из способов нахождения длины высоты треугольника по его сторонам, который удобен далеко не всегда. Существует огромное множество альтернативных способов, с которыми читатель может ознакомиться в предыдущих уроках.

Пример 1. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она (высота) меньше а две другие стороны равны 2 и 3.

Решение. Треугольник BOA на рисунке является равнобедренным, поэтому ∠ OAH = ∠ OBH = 30° (катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Тогда ∠ BOA и соответствующая дуга окружности, на которую он опирается, равны по 120°. Тогда дуга, на которую опирается ∠ BCA, равна 240°, а значит сам угол ∠ BCA = 120°.

Площадь треугольника ABC находим по формуле: Длину стороны AB находим по теореме косинусов для треугольника ABC, она равна

yourtutor.info

"Медианы, биссектрисы и высоты треугольника". 7-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (4,4 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: выработать умение строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Задачи:

  • Образовательные:
    • ввести понятие перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника;
    • сформировать умение строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
  • Воспитательные:
    • создать условия для воспитания коммуникативных навыков и навыков сотрудничества;
    • вовлечь в активную деятельность всех учащихся класса;
    • воспитывать у учащихся любознательность.
  • Развивающие:
    • развивать познавательный интерес и логическое мышление;
    • развивать умение видеть проблему и выдвигать гипотезы по ее решению;
    • развивать навыки коллективной работы учащихся в сочетании с самостоятельным умением анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы.

Тип урока: урок формирования новых умений.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника», чертежные инструменты (линейка, транспортир, циркуль) на каждого учащегося, раздаточный материал <Приложение 1> (остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники), цветные фломастеры или карандаши, карточка <Приложение 2> с заданием на каждого ученика.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Проверить готовность учащихся к уроку. Сформулировать тему и цели урока.

II. Изучение нового материала

1. Введение понятия перпендикуляра к прямой (Слайд 2, 3)

Практическая работа:

– Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. – Через точку А проведите прямую, перпендикулярную прямой а. Точку пересечения прямых обозначьте Н. – Как называются прямые АН и а? Запишите взаимное расположение прямых с помощью математических символов. – Подумайте, как может называться отрезок АН? – Сколько отрезков, удовлетворяющих нашему условию, можно провести к прямой а?

Теорема о перпендикуляре:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

2. Введение понятия медианы треугольника (Слайды 4, 5)

– Постройте треугольник АВС. На стороне ВС поставьте точку М так, чтобы она являлась серединой отрезка. Соедините точки А и М. Отрезок АМ является медианой треугольника АВС. – Дайте определение медианы треугольника. Сверим Ваше определение с определением записанным в учебнике на стр. 33.

Шуточное определение: [2]

Медиана – обезьяна, У которой зоркий глаз, Прыгнет точно в середину Стороны против вершины, Где находится сейчас?

– Сколько медиан можно провести в треугольнике?

3. Введение понятия биссектрисы треугольника (Слайды 6, 7)

– Постройте треугольник АВС. В треугольнике угол ВАС поделите лучом АА1 пополам. Отрезок АА1 является биссектрисой треугольника АВС. – Дайте определение биссектрисы треугольника. Сверим Ваше определение с определением записанным в учебнике на стр. 33.

Шуточное определение: [2]

Биссектриса – это крыса, Которая бегает по углам И делит угол пополам.

– Сколько биссектрис можно провести в треугольнике?

4. Введение понятия высоты треугольника (Слайды 8, 9)

– Постройте треугольник АВС. Из вершины А на сторону ВС опустите перпендикуляр АН. Отрезок АН является высотой треугольника АВС.

– Дайте определение высоты треугольника. Сверим Ваше определение с определением записанным в учебнике на стр. 34.

Шуточное определение: [2]

Высота похожа на кота, Который, выгнув спину, И под прямым углом Соединит вершину И сторону хвостом.

– Сколько высот можно провести в треугольнике?

III. Физкультминутка

1. Потереть ладонью о ладонь. Закрыть глаза и положить ладони на них. Отдых 10-15 с. 2. Быстро поморгать глазами. Закрыть глаза. Отдых 10-15 с. 3. Открыть глаза.

IV. Практическая работа

Работа проводится в парах по рядам на раздаточном материале.

Задание:

I ряд в треугольнике с помощью масштабной линейки проводит медианы треугольника. II ряд в треугольнике с помощью транспортира и линейки проводит биссектрисы треугольника. III ряд в треугольнике с помощью чертежного треугольника проводит высоты треугольника.

При этом учащиеся, сидящие за первыми партами работают с остроугольным треугольником, за вторыми партами – с прямоугольным треугольником, за третьими партами – с тупоугольным треугольником, далее распределение по рядам продолжается в этом же порядке.

Примечание: при построении высот в тупоугольном треугольнике можно получить консультацию у учителя.

V. Выводы:

1. Учащиеся I ряда прикрепляют на доске получившиеся построения медиан в треугольниках.

– Какой вывод можно сделать? Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. (Слайд 10)

Точку пересечения медиан (в физике) принято называть центром тяжести.

2. Учащиеся II ряда прикрепляют на доске получившиеся построения биссектрис в треугольниках.

– Какой вывод можно сделать? Биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. (Слайд 11)

Точка пересечения биссектрис треугольника есть центр вписанной в треугольник окружности.

3. Учащиеся III ряда прикрепляют на доске получившиеся построения высот треугольника.

– Какие трудности возникли при построении высот в треугольнике? Возникла проблема: как построить высоты из острых углов тупоугольного треугольника. (Слайд 12) – Какой вывод можно сделать? Высоты в треугольнике или их продолжения пересекаются в одной точке. (Слайд 13)

Точку пересечения высот называют ортоцентром.

4. Общий вывод. (Слайд 14)

– Каким замечательным свойством обладают медианы, биссектрисы и высоты треугольника?

VI. Итог урока

1. Повторить основные понятия, изученные на уроке. (Слайд 15)

Задание: с помощью чертежных инструментов найдите на рисунке: а) медиану; б) биссектрису; в) высоту треугольника MKT.

2. Рефлексия. Продолжи фразу: я сегодня на уроке … .

VII. Домашнее задание. (Слайд 16)

I уровень: п. 16,17, знать основные определения и формулировки утверждений и теорем. На альбомных листах (А4) в каждом из треугольников (остроугольном, прямоугольном и тупоугольном) провести медианы, биссектрисы и высоты.

II уровень: п. 16,17, знать основные определения и формулировки утверждений, и доказательство теорем. На альбомных листах (А4) в каждом из треугольников (остроугольном, прямоугольном и тупоугольном) провести медианы, биссектрисы и высоты.

Литература:

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 – 9. М., «Просвещение», 2011 г.
  2. Елизарова С. Ребятам о зверятах. // Народное образование. № 9 – 10, 1993 г.
  3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М., «Просвещение», 2009 г. – № 63.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

"Биссектриса, медиана и высота треугольника"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “ Медиана, биссектриса и высота треугольника ”; выработка основных навыков.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

  • Формировать навыки в построении медианы, биссектрисы и высоты треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
  • проверить умение учащихся решать задачи на доказательство равенства треугольников.

Тип урока: комбинированный.

Форма урока:  урок с компьютерной поддержкой.

Оборудование:

  • Доска и мел.
  • Компьютер и проектор.
  • Бумажный вариант всех заданий.
  • Транспортир, масштабная линейка, чертёжный треугольник.

Ход урока

"Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным". Б.Паскаль

Презентация 1 (слайд 1)

  1. Организационный момент (4 минуты)
  • приветствие;
  • отметка отсутствующих;
  • с помощью учащихся сообщение темы урока

(Слайд 2- 5)

  1. Повторение изученного материала (15 минут)
  1. Актуализация опорных знаний (8 минут)

Цель: проверить уровень усвоения учащимися теоретического материала.

  • Какую фигуру называют треугольником?
  • Какие виды треугольника мы уже знаем?
  • Что такое периметр треугольника?
  • Какая точка называется серединой отрезка?
  • Дать определение медианы треугольника?
  • Какие построения необходимо выполнить? (Слайд 7)
  • Дать определение биссектрисы треугольника?
  • Какие построения необходимо выполнить? (Слайд 8)
  • Дать определение высоты треугольника?
  • Какие построения необходимо выполнить? (Слайд 9)
  • Сколько существует медиан, биссектрис и высот в треугольнике?
  • Где находится их точка пересечения?
  1. Сообщение учащегося о биссектрисе, медиане и высоте треугольника. (Слайд 6)

После того, как учащиеся вспомнили определения биссектрисы, медианы и высоты треугольника, учитель через проектор демонстрирует на примерах построение биссектрисы, высоты и медианы треугольника. (Слайд 10 – 15)

Учащимся предлагается построить по вариантам биссектрису, и медиану треугольников. (На заранее приготовленных листочках, не в клетку). Построение берётся выборочно у 10 учащихся класса.

  • 1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника.
  • 2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника.
  • 3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника.
  • 4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника.
  • 5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника.
  • 6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.

В это же время у доски 3 учащимися выполняется построение высоты в прямоугольном треугольнике, остроугольном треугольнике, тупоугольном треугольнике.

  1. Физ. минутка (2 минуты)
  2. Самостоятельная работа (7 минут)

Цель: проверить умение учащихся применять теоретический материал на практике.

1 вариант.

  1. Чем является линия AR , BL , CF на рисунках?

  1. Верны ли утверждения? (В случае “нет” запишите верный ответ)
Утверждение “да”, “нет”, “ не знаю”, верный ответ
1. Точка пересечения биссектрис любого треугольника находится внутри треугольника.  
2. Все высоты треугольника пересекаются в двух точках.  
3. Точка пересечения медиан тупоугольного треугольника находится вне треугольника.  
  1. Среди треугольников изображенных на рисунке:

  • Найдите треугольники, в которых проведены высоты:________________
  • Найдите треугольники, в которых проведены медианы:_______________
  1. Назовите верное высказывание:

А) Биссектрисой треугольника называется ……………

  • луч, делящий угол на две равные части;
  • отрезок, делящий его угол на две равные части;
  • отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения противоположной стороны;
  • отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Б) Высотой треугольника называется………

  • перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону;
  • перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне;
  • отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны;
  • отрезок, делящий угол на две равные стороны.

2 вариант.

  1. Верны ли утверждения? (В случае “нет” запишите верный ответ)
Утверждение “да”, “нет”, “ не знаю”, верный ответ
1. В любом треугольнике можно провести три медианы.  
2. Точка пересечения высот любого треугольника лежит внутри треугольника.  
3. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.  
  1. Чем является линия AR , BL , АF на рисунках?

  1. Среди треугольников изображенных на рисунке:

  • Найдите треугольники, в которых проведены медианы:_______________
  • Найдите треугольники, в которых проведены биссектрисы:___________
  1. Выберите один из верных ответов вместо пропуска.

А) Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется___________________ треугольника.

  • биссектриса;
  • медиана;
  • высота;
  • нет верного ответа.

Б) Медианой треугольника называется……….

  • перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону4
  • отрезок биссектрисы угла треугольника, делящий его на две равные части;
  • отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны;
  • отрезок, делящий его на две равные части.
  1. Закрепление материала (10 минут)

Цель: закрепить сформированные навыки, полученные на уроке при решении задач.

Задача: Дан равнобедренный треугольник АВС, ВN – медиана, < АВN=35°. Найдите < NВС.

Задача: В равнобедренном треугольнике KLM с основанием KM проведены биссектрисы углов при основании KN и MP , которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник КОМ равнобедренный.

  1. Подведение итогов урока (1 минута)
  2. Задание на дом (1 минута)

§ 17, № 106 (задание по учебнику Л.С. Атанасян и др. 12 изд.-М.: Просвещение, 2002 год.

Презентация 1

Презентация 2

Эффекты анимации в данной презентации настроены не для автоматического показа, а для управления вручную учителем в соответствии с ходом урока.

Эффекты анимации текстовых и иллюстративных фрагментов слайдов расположены последовательно, в соответствии с текстом , воспроизводимым учителем или учащимися, поэтому необходимо нажимать кнопку навигации один раз в соответствии с надписью СЛАЙД № … в конспекте урока.

Среди задач, которые в своё время были поставлены перед школьным предметом “ математика ”, есть общепедагогическая составляющая – учителем математики и его кабинет должен стать проводником новых компьютерных технологий обучения в своей школе.

Многие наши проекты и замыслы могут осуществляться особенно теперь с появлением новой мультимедийной техники. Сейчас разработано много профессиональных CD курсов по разным предметам и направлениям. В кабинете математики создана мультимедиотека, которая постоянно пополняется и используется учителями при проведении уроков, подготовки презентаций. Но при использовании готовых программ возникают проблемы: материала много, но что взять конкретно на этот урок? Часто материал подходит только для обобщения или повторения пройденного. Поэтому появилась потребность сделать что-то своё, нужное для определённого класса, чтобы потом это можно было доработать, дополнить.

Цель урока геометрии: развивать внимание, усидчивость, логическое мышление. Но для успешного урока, по мнению психологов, нужно, чтобы у учеников возникла потребность в коммуникации. Нестандартные способы организации уроков пробуждают интерес и живое участие школьников. Методическим средством организации, на мой взгляд может стать использование мультимедийных презентаций, которые вызывают любопытство детей , побуждают к обмену впечатлениями – общению. Так как мультимедийные презентации – это яркие, зримые образы.

На уроках геометрии изучаются форму, размеры, взаимное расположение предметов.

Используя материалы школьной мультимедиотеки, ресурсы ИНТЕРНЕТ, я разработала урок по теме: “ Медиана, биссектриса и высота треугольника”. При разработке данного урока я учитывала в первую очередь, активное стремление подростка к самостоятельным формам учебной деятельности. Весь урок строится на основе презентации, поэтому я последовательно выделила этапы урока, четко выстроив логику рассуждения от постановки цели к выводу.

ПОДВЕДЕМ ИТОГ.

Что даёт учителю математики использование информационно-коммуникационных технологий?

  • экономию времени на уроке;
  • глубину погружения в материал;
  • повышенную мотивацию обучения;
  • привлечение разных видов деятельности, рассчитанных на активную позицию учеников, получивших достаточный уровень знаний по предмету, чтобы самостоятельно мыслить, спорить ,рассуждать.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ ХОЧЕТСЯ СКАЗАТЬ, ЧТО В ХОДЕ ОСВОЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ УЧИТЕЛЬ ПОВЫШАЕТ СВОЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ (ОДНОВРЕМЕННО С УЧЕНИКАМИ).

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

"Медиана, биссектриса и высота треугольника"

«Медиана, биссектриса и высота треугольника»

 

 

 

 

открытый урок

по геометрии

в 7 классе

 

 

 

 

Подготовила

учитель математики

Каменской средней школы

Жуковская Н.И.

 

 

 

 

 

 

 

Цели урока

  1. Введение понятий высоты, медианы и биссектрисы треугольника.
  2. Развитие логического мышления учащихся.
  3. Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии. Воспитание отношений взаимопомощи и сотрудничества между учащимися в процессе познавательной деятельности.

Ход урока

  1. Организационный момент.
  2. Сообщение  темы урока, постановка цели и задач урока.
  3. Воспроизведение опорных знаний.
  4. Объяснение нового материала и его закрепление.
  5. Контроль усвоения учащимися нового материала.
  6. Подведение итогов урока.

Оборудование и наглядность урока

  1. Рисунок 1.
  2. Модели треугольников из цветной бумаги для каждого ученика.
  3. Чертёж прямоугольного треугольника с изображением 3-х его высот,

которые пересекаются в вершине прямого угла.

  1.  Весёлые рисунки геометрических зверят: биссектриса - крыса, медиана –

          обезьяна, высота похожа на кота.

  1.  Проверочные работы с элементами тестирования

Сообщениетемы урока, постановка цели и задач урока.

Какую геометрическую фигуру я изобразила на своём весёлом рисунке?(треугольник)

                        

А что называется треугольником?       (треугольником называется

                                                                геометрическая фигура, состоящая из  

                                                                трёх точек, не лежащих на одной прямой

                                                                и соединённых попарно отрезками)

Сколько в треугольнике элементов?   (6)

Назовите элементы треугольника       (три стороны и три угла)

Кто из вас слышал о Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают

корабли и самолёты?  Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими

островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида.

А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и

загадочного.

 Тема нашего сегодняшнего урока «Медиана, биссектриса и высота

треугольника».

  1. Медиана

Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны АС – точку  М

  Что называется серединой отрезка?  (Серединой отрезка называется   точка

                                                                 отрезка, которая делит его пополам, то

                                                                есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ =МС. Рис. 2.           

Соедините точку М с вершиной В.    Отрезок ВМ называется медианой

треугольника.

Определение.        Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой

                     противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Сколько вершин у треугольника?    (3)

Сколько у него сторон?      (3)

Сколько медиан можно провести в треугольнике?    (3)

"Проведите" три медианы на моделях треугольников.      (Учащиеся проводят

                                                                                 медианы и показывают учителю).

 

Какое свойство медиан вы заметили?   В любом треугольнике все медианы

                                                                  пересекаются в одной точке.

Эта точка называется центром тяжести треугольника.

2. Высота

Рис.3

С помощью чертёжного угольника из вершины В треугольника АВС проведём перпендикуляр ВН к прямой АС. Он называется высотой треугольника. (Рис.3)

Определение.     Высотой треугольника называется перпендикуляр,

                            проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей  противолежащую сторону.

Сколько высот имеет треугольник?  (3)

"Постройте" все три высоты на модели вашего треугольника.   Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы?      (Да).

 

Рассмотрим модель прямоугольного треугольника

Где пересекутся высоты прямоугольного треугольника?  (В вершине прямого

  угла)

Учащимся показывается ответ на рисунке (плакат на доске).( Рис 4)

Начертите треугольник АВС, у которого угол В - тупой. С помощью чертёжного угольника проведите его высоты.(Рис 5)

Вывод.          Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Эта  точка  называется      ортоцентром.

3. Биссектриса.

Вспомните определение биссектрисы угла.

                   Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных  угла, называется биссектрисой угла.

        

Постройте биссектрису ВК угла В с помощью транспортира. Она пересечёт

отрезок АС в точке К. Отрезок ВК называется биссектрисой угла В

треугольника АВС

Определение.    Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы   угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с  точкой противоположной стороны треугольника.

Покажите все три биссектрисы на вашей модели треугольника.

Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

 

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота похожа на кота.

Который, выгнув спину

И под прямым углом

 Соединит вершину

И сторону хвостом, 

Медиана – обезьяна,                    

У которой зоркий глаз.                                            

Прыгнет точно в середину

Стороны против вершины,

Где находится сейчас.

Биссектриса - это крыса.                         

Которая бегает по углам

И делит угол пополам.

Контроль усвоения учащимися нового материала.

  1. Заполните пропуски в  предложениях:
  1. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой  противоположнойстороны, называется  медианой  треугольника.
  2. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника   с точкой противоположной стороны треугольника.
  3. Высотой треугольника называется перпендикуляр,

проведённый из вершины треугольника к  противолежащей  стороне.

  1. На каждой парте лежат три треугольника, разносторонние, разных цветов. На одном из них изображены три медианы, на другом - высоты, на третьем - биссектрисы.
  1. Покажите треугольник с изображением высот.
  2. Поднимите треугольник, на котором изображены медианы.
  3. Покажите треугольник с изображением биссектрис.

(учащиеся поднимают треугольники)

Точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести)

Точка пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения высоттреугольника (ортоцентр) называются замечательными точками треугольника.

Подведение итогов урока.

С какими новыми геометрическими понятиями вы сегодня познакомились? (медиана, биссектриса, высота)

Оценки за урок

Домашнее задание: начертить в тетради произвольные треугольники, указать 

                                  биссектрисы, медианы и высоты.

Просмотр содержимого документа «"Медиана, биссектриса и высота треугольника" »

Районный семинар учителей математики

«Медиана, биссектриса и высота треугольника»

открытый урок

по геометрии

в 7 классе

Подготовила

учитель математики

Каменской средней школы

Жуковская Н.И.

с.Белгородское

22 ноября 2013 г.

Цели урока

  1. Введение понятий высоты, медианы и биссектрисы треугольника.

  2. Развитие логического мышления учащихся.

  3. Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии. Воспитание отношений взаимопомощи и сотрудничества между учащимися в процессе познавательной деятельности.

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Сообщение темы урока, постановка цели и задач урока.

  3. Воспроизведение опорных знаний.

  4. Объяснение нового материала и его закрепление.

  5. Контроль усвоения учащимися нового материала.

  6. Подведение итогов урока.

Оборудование и наглядность урока

  1. Рисунок 1.

  2. Модели треугольников из цветной бумаги для каждого ученика.

  3. Чертёж прямоугольного треугольника с изображением 3-х его высот,

которые пересекаются в вершине прямого угла.

  1. Весёлые рисунки геометрических зверят: биссектриса - крыса, медиана –

обезьяна, высота похожа на кота.

  1. Проверочные работы с элементами тестирования

Сообщение темы урока, постановка цели и задач урока.

Какую геометрическую фигуру я изобразила на своём весёлом рисунке? (треугольник)

А что называется треугольником? (треугольником называется

геометрическая фигура, состоящая из

трёх точек, не лежащих на одной прямой

и соединённых попарно отрезками)

Сколько в треугольнике элементов? (6)

Назовите элементы треугольника (три стороны и три угла)

Кто из вас слышал о Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают

корабли и самолёты? Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими

островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида.

А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и

загадочного.

Тема нашего сегодняшнего урока «Медиана, биссектриса и высота

треугольника».

  1. Медиана

Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны АС – точку М

Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка

отрезка, которая делит его пополам, то

есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ =МС. Рис. 2.

Соедините точку М с вершиной В. Отрезок ВМ называется медианой

треугольника.

Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой

противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Сколько вершин у треугольника? (3)

Сколько у него сторон? (3)

Сколько медиан можно провести в треугольнике? (3)

"Проведите" три медианы на моделях треугольников. (Учащиеся проводят

медианы и показывают учителю).

Какое свойство медиан вы заметили? В любом треугольнике все медианы

пересекаются в одной точке.

Эта точка называется центром тяжести треугольника.

2. Высота

Рис.3

С помощью чертёжного угольника из вершины В треугольника АВС проведём перпендикуляр ВН к прямой АС. Он называется высотой треугольника. (Рис.3)

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр,

проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей

противолежащую сторону.

Сколько высот имеет треугольник? (3)

"Постройте" все три высоты на модели вашего треугольника. Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да).

Рассмотрим модель прямоугольного треугольника

Где пересекутся высоты прямоугольного треугольника? (В вершине прямого

угла)

Учащимся показывается ответ на рисунке (плакат на доске).( Рис 4)

Начертите треугольник АВС, у которого угол В - тупой. С помощью чертёжного угольника проведите его высоты.(Рис 5)

Вывод. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Эта

точка называется ортоцентром.

3. Биссектриса.

Вспомните определение биссектрисы угла.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных

угла, называется биссектрисой угла.

Постройте биссектрису ВК угла В с помощью транспортира. Она пересечёт

отрезок АС в точке К. Отрезок ВК называется биссектрисой угла В

треугольника АВС

Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы

угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с

точкой противоположной стороны треугольника.

Покажите все три биссектрисы на вашей модели треугольника.

Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота похожа на кота.

Который, выгнув спину

И под прямым углом

Соединит вершину

И сторону хвостом,

Медиана – обезьяна,

У которой зоркий глаз.

Прыгнет точно в середину

Стороны против вершины,

Где находится сейчас.

Биссектриса - это крыса.

Которая бегает по углам

И делит угол пополам.

Контроль усвоения учащимися нового материала.

  1. Заполните пропуски в предложениях:

  1. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположнойстороны, называется медианой треугольника.

  2. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с точкой противоположной стороны треугольника.

  3. Высотой треугольника называется перпендикуляр,

проведённый из вершины треугольника к противолежащей стороне.

  1. На каждой парте лежат три треугольника, разносторонние, разных цветов. На одном из них изображены три медианы, на другом - высоты, на третьем - биссектрисы.

  1. Покажите треугольник с изображением высот.

  2. Поднимите треугольник, на котором изображены медианы.

  3. Покажите треугольник с изображением биссектрис.

(учащиеся поднимают треугольники)

Точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести)

Точка пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр) называются замечательными точками треугольника.

Подведение итогов урока.

С какими новыми геометрическими понятиями вы сегодня познакомились? (медиана, биссектриса, высота)

Оценки за урок

Домашнее задание: начертить в тетради произвольные треугольники, указать

биссектрисы, медианы и высоты.

kopilkaurokov.ru

Медиана, высота, биссектриса треугольника

Урок геометрии в 7 классе. Тема: медиана, высота, биссектриса треугольника. Цели урока:
  • Ввести понятия медианы, высоты, биссектрисы треугольника, формировать навык в построении высоты, медианы, биссектрисы треугольника
  • Развивать внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь,
  • Посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, умение слушать товарищей, самостоятельность.

Форма урока: урок с компьютерной поддержкой. Методы и приемы: объснительно-иллюстративный. План урока.

  1. Организационный момент 2 мин.
  2. повторение изученного материала 15 мин.
    • фронтальный опрос,
    • работа за компьютером учащихся.
  3. Изучение нового материала. 12 мин.
  4. Физминутка. 1 мин.
  5. Закрепление изученного. 13 мин.
    • Решение задач на построение
    • Практическая работа.
    • Работа по карточкам.
  6. Задание на дом. 1 мин
  7. Итоги урока.(рефлексия) 1 мин.

Ход и содержание урока. Организационный момент:

      • Приветствие,
      • Сообщение темы, цели урока. Слайд 1-3

      Повторение изученного материала:

      • Фронтальный опрос.

      Цель: проверить уровень усвоение теоретического материала.

      • Какие прямые называются перпендикулярными? Слайд 4.
      • Какую фигуру называют треугольником? Слайд 5.
      • Перечислить элементы треугольника.
      • Что такое периметр треугольника?
      • Какие треугольника называются равными?
      • Сформулировать первый признак равенства треугольников. Слайд 6
      • Сформулировать второй признак равенства треугольников. Слайд 7
      • Тест на смежные углы. Слайд 8 (работа учащегося за компьютером)
      • Тест на заполнение пропусков (работа учащихся за компьютером) Слайд 9.
      • Самостоятельная работа в тетрадях Слайд 10.

      Физминутка: быстро встали, улыбнулись,

      Выше – выше потянулись,

      Ну-ка плечи распрямите,

      Поднимите, опустите,

      Вправо, влево повернитесь,

      Рук коленями коснитесь.

      (упражнения на показание углов с помощью рук). Объяснение нового материала. 1. Определение медианы треугольника Слайд 11.

      (учащиеся работают в тетрадях)

      2. определение высоты треугольника Слайд 12.

      Обратить внимание учащихся на слова в определении высоты треугольника: перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Рассмотреть случай с тупоугольным треугольником.

      (работа учащихся в тетрадях)

      Вопрос: с помощью, каких инструментов можно построить прямой угол?

      3. Определение биссектрисы угла треугольника. Слайд 13.

      Что называется биссектрисой угла?

      Пояснить разницу: биссектриса угла – это луч выходящий из вершины и делящий угол на два равных угла, а биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. 4. Ребята, сколько медиан, высот, биссектрис можно провести в треугольнике? Слайд 14,15,16. Что интересного вы заметили? Оказывается в треугольнике все медианы, высоты, или их продолжения, биссектрисы пересекаются в одной точке. Показ Слайда тупоугольный треугольник. Закрепление изученного материала: Цель: формировать навыки построения медиан, высот, биссектрис треугольника.

      1. Практическая работа: в треугольниках, лежащий на рабочих столах, без помощи инструментов построить биссектрисы углов.
      2. Решение задач:
        • Слайд 17 (дети работают в тетрадях)
        • Решение задач Слайд 18.
      1. Работа по карточкам:
        • Верны ли утверждения
        • Выберите один из верных ответов вместо пропусков.
      4. Домашние задание Слайд 19.
      1. Рефлексия:
        • Доволен ли ты тем, как прошел урок?
        • Было ли тебе интересно?
        • Сумел ли ты получить новые знания?
        • Ты был активен на уроке?
        • Ты с удовольствием будешь выполнять домашнее задание?

www.dereksiz.org



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"