Примеры решения неравенств с модулем. Неравенства с модулем решение


Неравенства с модулем, примеры решений

Схема решения простейших неравенств:

1) неравенство вида при равносильно системе ; при неравенство решений не имеет.

2) неравенство , при равносильно совокупности неравенств

   

при решением неравенства является множество ; – вся числовая ось, то есть .

При решении неравенства вида или , обе части неравенства возводят в квадрат. Если неравенство содержит несколько выражений под знаком модуля, то применяется метод интервалов.

Примеры

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Решение неравенств с модулем. Модуль раскрытие. Неравенства содержащие модуль. Неравенства с модулем примеры решения.

Как решать неравенства с модулем?

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений тем, что знаки неравенства не позволяют выполнять подстановку, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы решаем по определенной системе. Система линейных неравенств включает в себя несколько выражений, которые при решении могут дать ряд решений.

 

\(|x|\)— расстояние на числовой прямой от  \(0\) до точки \(a\).

  1. \(|u|=u\) \(-->\) \(u\geq0\)
  2. \(|u|=-u\) \(-->\) \(u\le \: 0\)
  3. \(|u|=|v|\)     \(-->\) \(v^2=u^2\)
  4. \(|x|<a \)  \(-->\)  \(-a<x<a\)    Система
  5. \(|x|\le \:a \) \(-->\)  \(-a\le \:x\le \:a\)  
  6. \(|x|> a \) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x < -a \\ x >a \\ \end{gathered} \right.\)  Совокупность
  7. \(|x|\geq a \) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x \le \: -a \\ x \geq a \\ \end{gathered} \right.\)  

Пример 1. Решить неравенство  \(|3+x| \geq|x|\). 

Решение.  \(|3+x| \geq|x|\)\(-->\) \((3+x)^2\geq x^2\) \(-->\) \(x^2+6x+9\geq x^2\)  \(-->\) \(6x\geq -9\) \(-->\) \(x\geq -1,5\)

Ответ: \([-1,5; +∞)\)

Пример 2. Решить неравенство \(\left|3+2x\right|\le \:7\).  Система

Решение.  \(\left|3+2x\right|\le \:7\)     \(-->\)    \(3+2x\le \:7\) и  \(3+2x\ge \:-7\)  или  \(-7\le \:3+2x\le \:7\)

                                                          \(x\le \:2\)         и   \(x\ge \:-5\)                       \(-5\le \:x\le \:2\)

Ответ: [-5;2];

  Пример 3. Решить неравенство \(\left|3x-5\right|<\:4\)

Решение:         \(-4<3x-5<4\)  \(-->\) \(\frac{1}{3}<x<3\)

   

                         

Ответ: \((\frac{1}{3};3)\);

Пример 4. Решить неравенство \(\left|x-8\right|\ge \:\:3\)

Решение: Совокупность  \(\) \(\left[ \begin{gathered} x-8\le \:-3\\ x-8\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\)  \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x\le \:5\\ x\ge \:11 \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \((+∞;5)⋃ (11;+∞)\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

5.4. Неравенства с модулем

Рассмотрим некоторые виды неравенств, содержащих знак модуля, и методы их решения.

1.

В частности, , где,. Принеравенство решений не имеет.

2.

В частности, ,. Принеравенство выполняется для всехпри которых функцияопределена.

3.

.

Последнее неравенство решается методом интервалов.

4. Неравенство вида решают с помощью замены.

Пример 5.6. Решить неравенство .

Решение. .

Ответ: .

Пример 5.7. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.8. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.9. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.10. Решить неравенство .

Решение. Из свойств модуля следует, что . Поэтому

.

Ответ: .

Пример 5.11. Решить неравенство .

Решение.

Ответ: .

Пример 5.12. Решить неравенство .

Решение. Введем замену , тогда исходное неравенство имеет вид:

.

Переходя обратно к переменной , получим:

.

Ответ: .

Пример 5.13. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.14. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

5.5. Иррациональные неравенства

К основным методам решения иррациональных неравенств относятся:

1. сведение исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или к совокупности неравенств:

a) ,

в частности, для

,

б) ,,

в частности, для

,

б) ,

в частности, для

, ;

2. введение новой переменной;

3. ,

4.

Пример 5.15. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.16. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 5.17. Решить неравенство

.

Решение.

,

последняя система, а, следовательно, и исходное неравенство, решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 5.18. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения Группа а

1. Укажите длину промежутка, который является решением неравенства:

(Ответ: .)

2. Найти произведение всех целых решений неравенства:

. (Ответ: .)

Решить неравенство (3-15)

3. . (Ответ: .)

4. (Ответ: .)

5. (Ответ: .)

6. . (Ответ: .)

7. . (Ответ: .)

8. . (Ответ: .)

9. . (Ответ: .)

10. . (Ответ: .)

11. . (Ответ: .)

12. . (Ответ: .)

13. . (Ответ: .)

12. . (Ответ: .)

13. . (Ответ: .)

14. . (Ответ: .)

15. . (Ответ: .)

studfiles.net

Решение неравенств с модулем | Математика, которая мне нравится

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

   

Решение. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

   

Преобразуя первое неравенство к виду , получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства (-\infty;0]\cup[5;+\infty).

Преобразуя второе неравенство , получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

   

Решение первого неравенства (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к , его решение (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть .

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

   

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства — объединение трех полученных ответов.

Ответ. .

Задачи. Решите неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

hijos.ru

Репетитор по математике и физике » Уравнения и неравенства с модулем

Репетитору по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной статье рассмотрены некоторые способы их решения. Присутствует также видеоразбор решения одного уравнения, содержащего модуль.

Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Уравнения и неравенства с модулями можно поэтому смело назвать интересными. Рассмотрим пример.

Решите уравнение:

   

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.

Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.

   

   

   

Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.

Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль:  Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.

Числовая прямая

Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:

Способ №3. Замена уравнения смешанной системой. Известно, что:

   

Для тех, кто не знает, какой именно смысл вкладывается в математике в фигурные и квадратные скобки, рекомендую ознакомиться со статьей «Решение систем логарифмических и показательных неравенств». То есть в нашем случае:

   

Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:

   

Способ №4. Графический. Строим в одной системе координат графики функции и Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же и

Соответствующие графики функций на одном координатном поле.

На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.

Простейшие уравнения с модулем

Пример 1. Решите уравнение:

   

Решение. Перепишем уравнение в виде:

   

Получается, что модуль выражения равен этому выражению, взятому с противоположным знаком. Такое возможно только в том случае, если данное выражение отрицательно или равно нулю:

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение

   

Показать ответ

Ответ:

   

Пример 2. Решите уравнение:

   

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

   

Обе части последних двух уравнений разделили на В данном случае В противном случае а это невозможно, поскольку

Окончательно, получаем:

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение:

   

Примечание. Для решения этого задания потребуется знание формулы суммы и разности синусов.

Показать ответ

Ответ:

   

   

Пример 3. Решите уравнение:

   

   

Решение. Перепишем уравнение в виде:

   

   

Сумма модулей равна сумме подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения неотрицательны:

   

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение:

   

Показать ответ

Ответ:

   

   

Пример 4. Решите уравнение:

   

Решение. Сумма модулей равна модулю суммы подмодульных выражений. Это возможно только в том случае, когда оба подмодульных выражения одновременно либо неотрицательны, либо неположительны. То есть:

   

   

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №4. Решите уравнение:

   

Показать ответ

Ответ:

Простейшие неравенства с модулем

   

Пример 5. Решите неравенство:

   

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Решите неравенство:

   

Показать ответ

Ответ:

   

Пример 6. Решите неравенство:

   

Решение. Исходное неравенство равносильно следующей совокупности неравенств:

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №6. Решите неравенство:

   

Показать ответ

Ответ: Пример 7. Решите неравенство:

   

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №8. Решите  неравенство:

   

Показать ответ

Ответ:

   

   

Пример 9. Решите неравенство:

   

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

   

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №9. Решите неравенство:

   

Показать ответ

Ответ:

Сергей ВалерьевичЧастный преподаватель по математике

yourtutor.info

Метод интервалов – универсальный метод решения неравенств с модулем

Чем больше человек понимает, тем сильнее в нем желание понимать

Фома Аквинский

Метод интервалов позволяет решать любые уравнения, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно. Поэтому каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.

Рассмотрим данный метод на конкретном примере.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этого нужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения.

x + 1 = 0    2x – 4 = 0     x + 3 = 0

x = -1         2x = 4           x = -3

                  x = 2

2) Расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатной прямой. Они разобьют всю ось на четыре участка.

3) Определим на каждом из получившихся участков знаки выражений, стоящих в модулях. Для этого подставляем в них любые числа с интересующих нас интервалов. Если результат вычислений – число положительное, то в таблице ставим «+», а если число отрицательное, то ставим «–». Это можно изобразить так:

4) Теперь будем решать уравнение на каждом из четырех интервалов, раскрывая модули с теми знаками, которые проставлены в таблице. Итак, рассмотрим первый интервал:

I интервал (-∞; -3). На нем все модули раскрываются со знаком «–». Получим следующее уравнение:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Приведем подобные слагаемые, раскрыв предварительно скобки в полученном уравнении:

-x – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

-4x = -12

x = 3.

Полученный ответ не входит в рассматриваемый интервал, поэтому в окончательный ответ писать его не надо.

II интервал [-3; -1). На этом интервале в таблице стоят знаки «–», «–», «+». Именно так и раскрываем модули исходного уравнения:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Упростим, раскрыв при этом скобки:

-x – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Приведем в полученном уравнении подобные:

-5x = -6

x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.

III интервал [-1; 2). Раскрываем модули исходного уравнения с теми знаками, которые стоят на рисунке в третьей колонке. Получаем:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Избавимся от скобок, перенесем слагаемые, содержащие переменную x в левую часть уравнения, а не содержащие x в правую. Будем иметь:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

-4x = -8

x = 2.

В рассматриваемый интервал число 2 не входит.

IV интервал [2; +∞). Все модули раскрываем со знаком «+». Получим:

(x + 1) + (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6.

x + 1 + 2x – 4 – x – 3 = 2x – 6

0 = 0.

После преобразований уравнение превратилось в верное равенство. Это говорит о том, что любое число из рассматриваемого интервала будет являться решением исходного уравнения. Значит ответом,  как на этом интервале, так и во всем уравнении является множество чисел, удовлетворяющих условию x ≥ 2.

Ответ: x ≥ 2.

Метод интервалов хоть и является универсальным методом решения уравнений с модулем, его применение не всегда оправдано. Порой решить уравнение выходит гораздо быстрее, используя, например, определение модуля или какие-то другие методы.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Неравенства с модулем и их решение

Определение и формулы неравенств с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль числа a равен числу a, если число положительное и -a, если оно отрицательное.

Можно записать следующим образом, что

   

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.

Если под модулем находится функция , то

1. Неравенство вида равносильно системе неравенств , при условии ; при — решений нет.

2. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств , при условии, что . Если , то неравенство справедливо при всех допустимых значениях .

3. Неравенство равносильно двойному неравенству .

4. Неравенство равносильно совокупности неравенств

5. Неравенство вида выполняется тогда и только тогда, когда

   

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство
Решение Нулями подмодульных выражений являются значения и , которые разбивают числовую ось на три интервала.
  1. Если , то заданное неравенство принимает вид:

       

    В этом случае решений нет, так как получили неверное неравенство, то есть .

  2. Если , то

    Пересечением интервала, на котором рассматривается заданное неравенство, и полученного будет промежуток .

  3. Если , то

Поскольку в результате преобразований получили верное неравенство, то решением будет любое действительное значение переменной: . Пересекаем с промежутком, на котором рассматриваем, и в результате получаем, что .

Объединяя полученные интервалы в случаях 1-3, запишем решение заданного неравенства:

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"