Область определения функции двух переменных. Найти область определения функции примеры решений


Область определения и множество значений

$ |x| = \begin{cases} x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0 \\ -x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x А графиком является

Свойства:

1) $|x| \geq 0$ 2) $|x|=0 \longleftrightarrow x=0$ 3) $|xy|=|x||y|$ 4) $|x+y| \leq |x|+|y|$ 5) $||x||=|x|$ 6) $|-x|=|x|$ 7) $|x-y|=0 \longleftrightarrow x=y$ 8) $|x-y| \leq |x-z|+|z-y|$ 9) $|\dfrac{x}{y}|=\dfrac{|x|}{|y|} \,\,\,\,\, y \neq 0$ 10) $ ||x|-|y|| \leq |x-y|$

Для того, чтобы найти область определения и множество значений функции, состоящей из абсолютных значений, необходимо учитывать вышеуказанные свойства. Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}$ Решение:

$|x|-2=0 \rightarrow |x|=2 \rightarrow x=\pm 2$

Таким образом

$D_f=\mathbb{R} - \lbrace \pm 2 \rbrace$

С другой стороны $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}= \begin{cases} \dfrac{x+2}{x-2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \geq 0 \\ \\ \dfrac{x+2}{-x-2}=-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, x So

$x \geq 0 \rightarrow y=\dfrac{x+2}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2(y+1)}{y-1} \geq 0$

Следовательно $\begin{cases} x \geq 0 \,\,\,\,\,\,\,\, y\in (-\infty,-1] \cup (1,+\infty) \\ \\ x

$\rightarrow R_f=(-\infty,-1] \cup (1,+\infty)$

Вот график $f$ Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}$. Решение: $|x+1|-4 >0 \,\, \rightarrow|x+1|>4 \rightarrow$ $\begin{cases} x+1>4 \rightarrow x>3 \\ x+1

$D_f=(-\infty,-5) \cup (3,+\infty)$

Отметим, что

$y=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}>0$

С другой стороны

$y^2=\dfrac{1}{|x+1|-4} \rightarrow |x+1|=\dfrac{1}{y^2}+4>4 \rightarrow \dfrac{1}{y^2}>0 \rightarrow y \in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

Следовательно

$y \in (\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace ) \cap ( \mathbb{R} ^+ )$

Значит

$R_f=(0,+\infty)=\mathbb{R}^+$

Вот график $f$
Упражнения
Найти область определения и множество значений.

1) $y=\dfrac{x}{|x-1|}$ 2) $y=\dfrac{x-4}{|x|-4}$ 3) $y=\dfrac{\sqrt{\sqrt{(x+1)^2}-1}}{\sqrt{|x+1|-1}}$ 4) $y=\dfrac{\sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ 5) $y=\sqrt{-|x+1|}$ 6) $y=\dfrac{\sqrt{(x^2-3x+2)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}}$ 7) $y=|x-1|+|x|+|x+1|$

Общий вид показательной функции $y=a^{u(x)}$, где $a>0$, а $u(x)$ - функция. Нахождение области определения и множества значений показательной функции зависит от $u(x)$. В специальном виде, если $a=e \simeq 2.71828\cdots$, то $y=e^{u(x)}$. Для лучшего понимания $y=a^{u(x)}$ его можно переписать как $y=e^{u(x)\log_e a}$. Отметим, что $\log_e a$ обозначается как $\ln a$. Следовательно,

$y=e^{u(x)\ln a}$

Согласно этому определению $a>0$ является достаточным условием для определения показательной функции, если $u(x)$ вещественная функция.

Совет:

$y=e^x=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\dfrac{1}{n})^nx=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots\,\,\,\,\, (n \in \mathbb{N})$

Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=2^{-x^{-2}}$. Решение:Отметим, что если $x=0$, то знаменатель дроби неопределен. Следовательно,

$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$

Определим множество значений: Для начала отметим, что $y>0$. С другой стороны

$\log y=-\dfrac{1}{x^2}\log 2 \rightarrow x^2=-\dfrac{\log 2}{\log y} \rightarrow x=\pm \sqrt{-\dfrac{\log 2}{\log y}} \rightarrow \dfrac{\log 2}{-\log y}>0 \rightarrow$

$ \log y 0 \rightarrow 0 Значит

$R_f=(0,1)$

График этой функции

Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=3^{-x}$. Решени

www.math10.com

Область определения функции примеры решения

Область определения функции примеры решения

Как найти область определения функции?

Рассмотрим область определения функции в математике на примерах.

Найти область определения функции примеры решений

Рассмотрим простые примеры, как находить область определения функции.

Пример нахождения области определения функции.

Найти область определения функции

y = 2 / (x + 2)

Область определения функции – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

В данном примере область определения функции составляют все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя.

Значит мы должны найти значения икс, при которых знаменатель обратится в ноль и исключить их из области определения функции.

Для решения этой задачи приравняем знаменатель к нулю:

x + 2 = 0

Решим это уравнение:

x = -2

Итак, при x = -2 знаменатель будет равен нулю. На ноль делить нельзя, а значит при этом значении икс функция теряет смысл. Теперь мы можем найти область определения функции

y = 2 / (x + 2)

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме числа -2.

Пример нахождения области определения функции.

Найти область определения функции

y = 2 / (4x2 - 4x + 1)

Мы уже знаем, как находить область определения функции: надо указать значения аргумента, при которых она имеет смысл.

Здесь перед нами дробное выражение. Знаменатель не должен быть равен нулю.

Значит, область определения функции в данном случае – это все числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

Как найти такие числа? Приравнять знаменатель нулю:

4x2 - 4x + 1 = 0

и решить это квадратное уравнение.

Решаем и находим, что корень уравнения x = 0,5.

Теперь можно указать область определения функции – это вся числовая прямая, кроме числа 0,5.

А что значит указать область определения функции? Это значит указать все значения аргумента (т.е. икса), при которых функция имеет смысл.

В нашем случае это все числа, кроме 0,5.

www.sbp-program.ru

Понятие функции. Способы задания функции

Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Пусть X и Y - какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X со значениями на множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x∈X ставится в соответствие один и только один элемент y∈Y.

Это записывается в виде

y = f(x).

Другими словами, с помощью функции y = f(x) множество X отображается в множество Y. Поэтому функцию называют также отображением.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f : каждому пассажиру x∈X сопоставляется то кресло y = f(x), в котором он сидит.

Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.

Если, однако, какому-то пассажиру удастся сесть сразу в два кресла и , то нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало бы одно определённое значение y = f(x) функции.

В математическом анализе часто X обозначают как D (область определения функции), а Y как E (область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел). На сайте есть урок Как найти область определения функции.

Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления в функции.

Пример 1. Даны множества A = {a, b, c, d, e} и L = {l, m, n}. Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому соответствует.

Решение. Итак, множество A содержит 5 элементов, а множество L - 3 элемента. Если мы поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к элементам множества A, то некоторым элементам L будут соответствовать более одного элемента A. Такое соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов A к элементам L, то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те же элементы L, но при этом каждому элементу A будет соответствовать не более одного элемента L. Такое соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания - положительный.

Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных множеств, которое будет функцией:

Пример 2. Даны множества A = {70, 140, 30, 48} и В = {35, 15, 12}. Установить между элементами множеств соответствие, заданное правилом "элемент A можно нацело поделить на элемент В". Будет ли такое соответствие функцией?

Решение. Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие:

Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества A соответствует не более одного элемента из множества В.

Аналитическое задание функции.

Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

При аналитическом задании функции указывают область определения, либо не указывают. В первом случае функция задаётся в виде y = f(x), x∈D, где D - область определения функции, во втором случае - в виде y = f(x). Во втором случае областью определения функции считается наибольшее множество, на котором имеет смысл формула, которой задана функция, то есть наибольшее множество аргумента, которое приводит к действительным значениям функции.

Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x², x∈]-∞,+∞[ и y = x², x∈[2, 4], выраженные одной и той же формулой y = x², так как они имеют разные области определения.

Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения. Пусть, например,

Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой. При x≤0 значения этой функции определяются по первой формуле, а при x>0 - по второй.

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых значениях аргумента. Недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.

Графический способ задания функции

График функции даёт наглядное представление о её свойствах. Например, график линейной функции y = kx + b - прямая линия, график квадратичной функции y = ax² + bx + c - парабола и т. д. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. е. в виде формул или уравнений. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Графический способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это значит построить её график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму - кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графиком числовой функции y = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x; f(x)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая, параллельная оси 0y, пересекает её не более чем в одной точке.

Пример 4. На рисунке ниже - график параболы, заданной уравнением y² = 2x. Является ли этот график графиком функции?

Решение. График параболы, заданной уравнением y² = 2x, не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси 0y, пересекает его в двух точках при всех значениях x, кроме x = 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнениям , каждое из которых определяет функцию. Графиком функции служит верхняя половина параболы, а графиком функции - её нижняя половина.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций , , .

Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

Если функция y зависит от переменной u, то есть y = f(u), а u, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной x, то есть u = g(x), то переменная y называется функцией от функции или сложной функцией от x.

Это записывается в виде

y = f(u), u = g(x)

или

y = f[g(x)].

Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является не независимая переменная, а некоторая функция от неё.

Область определения сложной функции - это множество тех значений x из X, для которых соответствующие значения u принадлежат области определения U функции y = f(u). Ни для каких других значений x сложная функция не имеет смысла.

Из определения следует, что сложная функция y = f[g(x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций y = f(u), u = g(x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной x. Цепочка, составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев.

Например, функция состоит из трёх звеньев: , , .

Пример 5. Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев:

Пример 6. Представить сложную функцию в виде звеньев - простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих звеньев:

Если функция y задана уравнением вида f(x, y) =0, не разрешённым относительно y, то она называется неявной функцией аргумента x (Что такое разрешить уравнение относительно одной из переменных - в примере 8).

Пусть задана некоторая функция y = f(x), т. е. некоторое соответствие между множествами D(f) (область определения) и E(f) (множество значений). Если обратное соответствие есть функция, т. е. каждому значению y∈E(f) соответствует одно единственное значение x∈E(f), то её называют обратной функцией по отношению к функции f(x).

В этом случае уравнение y = f(x) определяет x как неявную функцию от y. Если это уравнение разрешимо относительно x, то получим явное выражение обратной функции: x = g(y).

Пример 7. Будет ли функцией соответствие, обратное функции ? А соответствие, обратное функции ?

Решение. Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии, также является функцией:

.

Соответствие, обратное функции, заданной во втором условии, не является функцией, так как , то есть значениям икса, кроме нуля, соответствуют два значения игрека.

Весь раздел "Исследование функций"

function-x.ru

Найти область определения функции - 22 Июля 2013 - Примеры решений задач

Калькулятор для для вычисления области определения функции.

Определение. Областью определения (ООФ) функции  y=f(x) называется множество значений переменной x, для которых существуют соответствующие значения y.

Для  нахождения  области  определения  элементарной  функции необходимо  рассмотреть  условие  существования  каждой  основной элементарной функции, входящей в данную функцию. Общим ООФ будет пересечение всех частных ООФ.

   Если функция составная (т.е. состоит из нескольких элементарных функций, каждая из которых определена на своем интервале), то нужно на каждом интервале определить ООФ для соответствующей функции, а после взять объединение полученных частных ООФ.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение.  Для того чтобы найти область определения (domain) функции  достаточно решить неравенство

 

 

Область определения вся действительная ось за исключением точки x=2:

Область определения функции можно найти с помощью калькулятора

Данный калькулятор находит также область определения функции двух переменных и изображает на плоскости Oxy

Пример 2. Найти и изобразить на плоскости Oxy область определения (domain) функции

 

Решение. Вставляем в калькулятор arccos(x^2+y^2), нажимаем Ok, получаем ответ.

 

www.reshim.su

Область определения функции с логарифмом

Третья распространённая функция – логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения «икс», которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно накладывается условие (так как ).

Пример 9

Найти область определения функции

Решение: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:

Графическое решение для чайников:Ответ: область определения:

Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию.

Пример 10

Найти область определения функции

Для решения задачи можно использовать метод предыдущего параграфа – проанализировать, как парабола расположена относительно оси абсцисс. Ответ в конце урока.

Как видите, в царстве логарифмов всё очень похоже на ситуацию с квадратным корнем: функция (квадратный трёхчлен из Примера №7) определена на интервалах , а функция (квадратный двучлен из Примера №6) на интервале . Неловко уже и говорить, функции типа определены на всей числовой прямой.

Полезная информация: интересна типовая функция , она определена на всей числовой прямой кроме точки . Согласно свойству логарифма , «двойку» можно вынести множителем за пределы логарифма, но, чтобы функция не изменилась, «икс» необходимо заключить под знак модуля: . Вот вам и ещё одно «практическое применение» модуля = ). Так необходимо поступать в большинстве случаев, когда вы снОсите чётную степень, например: . Если же основание степени заведомо положительно, например, , то в знаке модуля отпадает необходимость и достаточно обойтись круглыми скобками: .

Чтобы не повторяться, давайте усложним задание:

Пример 11

Найти область определения функции

Решение: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: , а выражение под знаком логарифма – строго положительным: . Таким образом, необходимо решить систему:

Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому условию.

Исследуя расположение параболы относительно оси , приходим к выводу, что неравенству удовлетворяет интервал (синяя штриховка):Неравенству , очевидно, соответствует «красный» полуинтервал .

Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, то решением системы является пересечение данных интервалов. «Общие интересы» соблюдены на полуинтервале .

Ответ: область определения:

Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически.

Найденная область определения не изменится для «похожих функций», например, для или . Также можно добавить какие-нибудь непрерывные на функции, например: , или так: , или даже так: . Как говорится, корень и логарифм – вещь упрямая. Единственное, если одну из функций «сбросить» в знаменатель, то область определения изменится (хотя в общем случае это не всегда справедливо). Ну а в теории матана по поводу этого словесного… ой… существуют теоремы.

Пример 12

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Использование чертежа вполне уместно, так как функция не самая простая.

Ещё пару примеров для закрепления материала:

Пример 13

Найти область определения функции

Решение: составим и решим систему:Все действия уже разобраны по ходу статьи. Изобразим на числовой прямой интервал, соответствующий неравенству и, согласно второму условию, исключим две точки:Значение оказалось вообще не при делах.

Ответ: область определения

Небольшой математический каламбур на вариацию 13-го примера:

Пример 14

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустил, тот в пролёте 😉

Завершающий раздел урока посвящен более редким, но тоже «рабочим» функциям:

 

Области определения функций с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Перед изучением параграфа рекомендую вновь вернуться к первой статье о графиках, чтобы освежить визуальную и аналитическую информацию о перечисленных в заголовке функциях.

Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки , где Z – множество целых чисел. В частности, как отмечалось в статьеГрафики и свойства элементарных функций, у функции выколоты следующие значения:То есть, область определения тангенса: .

загрузка…

Убиваться сильно не будем:

Пример 15

Найти область определения функции

Решение: в данном случае и в область определения не войдут следующие точки:Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:В результате :Ответ: область определения: .

В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой:

Аналитическое решение полностью согласуется с геометрическим преобразованием графика: если аргумент функции умножить на 2, то её график сожмётся к оси в два раза. Заметьте, как у функции уполовинился период, и точки разрыва участились в два раза. Тахикардия.

Похожая история с котангенсом. Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . В частности, для функции автоматной очередью расстреливаем следующие значения:Иными словами:

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 16

Найти область определения функции

Арксинус с арккосинусом, как всегда, выступают хедлайнером математического концерта, и этого стоило дождаться, поскольку кроме нахождения области определения вы сможете научиться решать двойные неравенства (или повторить их).

Если в некоторую функцию входит или , то на её область определения накладывается ограничение в виде двойного неравенства: .

Пример 17

Найти область определения функции

Решение: составим двойное неравенство:

Действия с двойным неравенством очень похожи на действия с «обычным» одинарным неравенством. Конечная цель преобразований – добиться, чтобы в середине остался только «икс».

Сначала избавимся в средней части от константы, для этого вычтем из каждой части неравенства «тройку»:

Умножим все три части неравенства на –1. Поскольку множитель отрицателен, то знаки самих неравенств необходимо «развернуть» в противоположную сторону:

Умножим все части неравенства на :

Запишем ответ, переставив знаки неравенств в привычном порядке, а то по-арабски как-то получилось – от «единицы» до «двух» справа налево.

Ответ: область определения: или

Несложный заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 18

Найти область определения функции

Хотелось разобрать более трудные примеры со сложными функциями когда, скажем, под квадратный корень вложена дробь или логарифм, но для этого нужно рассказывать прометод интервалов, который сейчас наверняка запутает значительную часть аудитории. В этой связи я решил перенести объяснения на урок о нулях и интервалах знакопостоянства функции, где постараюсь вернуться к нахождению области определения сложных функций. А на данный момент лучше усвоить меньше, да качественнее!

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Область определения:

Пример 4: Решение: найдём нули знаменателя: Ответ: область определения:

Пример 6:Решение: найдём область определения: Ответ:

Пример 8:Решение: решим неравенство . Парабола пересекает ось абсцисс в точках . Поскольку , то ветви параболы направлены вниз.Ответ: область определения: Примечание: Неравенства вида и (+ такие же строгие неравенства + неравенства с противоположными знаками), где – положительное число, легко решаются аналитически. Перенесём «единицу» в правую часть: . Умножим обе части неравенства на –1: .Из каждой части извлекаем квадратный корень, при этом «икс» необходимо заключить под знак модуля: .Согласно правилу раскрытия модуля, которое можно найти в школьных формулах: , то есть в итоге и получен наш отрезок .

Пример 10:Решение: решим неравенство . Парабола касается оси в точке , причём, ветви параболы направлены вверх. Таким образом, функция не определена в единственной точке.Ответ: область определения

Пример 12: Решение: составим и решим систему: Ответ: область определения:

Пример 14: Решение: составим и решим систему: Ответ: область определения Примечание: неравенство разрешимо как с помощью анализа расположения параболы относительно оси абсцисс, так и аналитически.Перенесём «двойку» в правую часть: . Из каждой части извлечём квадратный корень, при этом «икс» необходимо заключить под знак модуля: . Согласно правилу раскрытия модуля (см. Горячие формулы школьного курса математики): , что в точности соответствует объединению интервалов .

Пример 16: Решение: область определения функции задаётся системой: Ответ:

Пример 18: Решение: составим и решим двойное неравенство: Ответ: область определения:

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

refac.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

      Определение. Пусть   X   – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве   X   задана числовая функция,  если указано правило, с помощью которого каждому числу   x   из множества   X   ставится в соответствие некоторое число.

      Это принято обозначать так:

y = f (x),

причем в этой записи   x   называют аргументом функции  или независимой переменной, а   y   называют значением функции,  соответствующим аргументу   x .

      Множество   X   называют областью определения функции   f   и обозначают   D ( f ) .   Множество   Y   всех возможных значений функции   y = f (x)   называют множеством значений функции   f   и обозначают   E ( f )   (рис. 1).

Рис.1

Примеры решения задач

      Часто в задачах известна формула, задающая функцию   f ,  и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции   y = f (x)». В некоторых задачах требуется найти не только область опредения функции, но и множество ее значений.

      Задача 1. Найти область определения функции

      Решение. Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа   x4   на число   (3 + x) .   Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число   0 ,   то число   (3 + x)   не может равняться   0 ,   то есть   .

      Ответ.   .

      Задача 2. Найти область определения функции

      Решение. Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

которое эквивалентно неравенству

и может быть записано в виде

.

      Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

      Ответ.   .

      Задача 3. Найти область определения функции

      Решение. Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

(1)

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

получим

      Таким образом, система (1) эквивалентна системе

      Решением этой системы является интервал

      Ответ. .

      Задача 4 . Найти множество значений функции

y = 3sin x + 4cos x

      Решение. Воспользовавшись формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента), получим

y = 5 sin (x + φ) ,

где

      Поскольку множеством значений функции   y = sin (x + φ)   является отрезок   [–1, 1],   то множеством значений функции   y = 5 sin (x +φ)   будет отрезок   [–5, 5].

      Ответ. .

      Задача 5 . Найти множество значений функции

y = x2 + 6x + 8

      Решение. Поскольку

и для каждого числа существуют решения уравнения

x2 + 6x + 8 = y ,

определяемые формулой

то множеством значений функции   y = x2 + 6x + 8   будет множество   .

      Ответ. .

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Область определения функции двух переменных

Разделы: Математика

Цели работы:

  • повторить и систематизировать нахождение области определения функции, закрепить это понятие и наглядно представить в координатной плоскости и в пространстве;
  • рассмотреть аналитические и геометрические методы не изолированно друг от друга, а в тесной взаимосвязи. Это позволит облегчить переход от стандартных решений конкретных математических задач к нестандартным;
  • воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности; восприятие компьютера, как инструмента обучения;
  • использование компьютера для нахождения области определения и построения графиков с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2, Copyright © 2000-2002 RomanLab Software и формирование информационной компетентности учащихся.

Определение функции двух переменных

Если каждой паре ( x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D.

Обозначается: z=f(x;y) или z=z(x;y).

Например, S=ab, S=S(a;b)- функции двух переменных; V=abc, V=V(a,b.c) – функция трех переменных;

A= – функция трех переменных.

Способы задания функций нескольких переменных

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто функция задается аналитически - это явное задание функции или неявное задание

Например, - это явно заданная функция двух переменных; уравнение задает неявно две функции двух переменных.

Область определения функции

Непрерывное множество пар значений независимых переменных , при которых функцияопределена, называется областью определения функции.

Область определения называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу; открытой областью, если она не включает в себя свою границу; ограниченной областью, если может быть помещена в круг конечного радиуса.

Геометрически изобразить область определения функции можно только для функций:

  • одной переменной – на прямой ,
  • двух переменных – на плоскости ,
  • трех переменных– в пространстве .

Геометрическое изображение самой функции возможно только для функции двух переменных.

Графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость в область D, которая является областью определения функции.

На рис. изображена поверхность графика функции и ее область определения.

В курсе учебного материала 9-го класса мы рассматриваем следующие задания на нахождение и построение области определения функции.

ПРИМЕРЫ

Найти область определения функции

Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость, т.к. нет ограничений на переменные x и y.

2. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена, когда xy > 0, т.е. в тех точках координатной плоскости, в которых знаки координат x и y - одинаковы. Это будут точки, лежащие в I и III координатных четвертях, т.е. множество точек, удовлетворяющих условиям:

и

3. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена при условии, когда

т.е. . Это множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат, радиус которого равен 2.

Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции .

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. следовательно, . Геометрическим решением неравенства служит полуплоскость, расположенная выше прямой и сама прямая.

5. Найти область определения функции и изобразить её графически.

.

Решение. Областью определения функции является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

6. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

Решение. Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. Данным соотношениям удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри кольца, образованного двумя окружностями с центрами в начале координат и радиусами R=3, R=4.

7. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

.

Решение. Учащиеся не могут найти область определения данной функции аналитически, но с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2 это выполняется легко.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся девятых классов.

Для учащихся 10-11 классов мы предлагаем систему упражнений по нахождению и построению области определения функции двух переменных. При этом отрабатываются свойства логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Данные упражнения можно использовать при изучении нового материала, при повторении, при решении уравнений и неравенств.

Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Решение. Область определения функции есть пересечение областей определения слагаемых функции. Для первой функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. Если значение логарифмической функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше или равно единице, т.е. отсюда . Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной окружности. Вторая функция определена при Следовательно, Имеем две параболы с вершиной в начале координат . Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при

Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых.

Покажите на координатной плоскости xOy область определения функции

.

Решение. Ограничения для функции имеют вид:

3. Изобразить область определения функции

Решение. Эта функция определена при , т.е.

Областью определения является часть плоскости, расположенная между двумя прямыми.

4. Найти область определения функции .

Решение. Областью определения функции является решение неравенства. Поэтому нужно решить неравенство

Решая данное неравенство, получим Это область, заключенная между двумя параболами и .

5. Построить область определения функции

Решение. Область определения данной функции определяется системой неравенств:

Первое неравенство определяет круг с центром в точке (-2;0) и радиусом равным 2 за исключением его границы:

Второе неравенство определяет I и III координатные четверти, за исключением осей.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся десятых и одиннадцатых классов.

Рассмотрим задание С5, используя функцию двух переменных.

Найдите все значения параметра а, при которых система , имеет ровно два решения.

Решение. Из второго уравнения находим y =. Первое уравнение принимает вид .

Пусть . В этом случае уравнение имеет единственное решение .

Запишем второе уравнение в виде = 0. Его дискриминант равен 4 , и он положителен, поскольку . Уравнение имеет два различных корня и Значит, в этом случае система имеет ровно два решения и .

Пусть теперь 1. В этом случае уравнение если и имеет корни, то только больше единицы Но тогда дискриминант уравнения = 0 отрицателен. Решений нет.

Ответ: .

С помощью графического редактора задаем функцию двух переменных , Находим значения а, при которых функция обращается в ноль.

На рисунке видно, что решением является интервал от 0 до 1.

При подготовке учащихся к итоговой аттестации мы сталкиваемся с тем, что задания уровня С5 решаются тяжело и не сразу. А ведь это функция двух переменных! Оперирование геометрическими образами упрощает решение задач с параметрами, а в некоторых случаях геометрический подход часто является единственно возможным методом решения. В сборнике ЕГЭ-2011 предложено задание.

Найдите все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство.

Решение. Рассмотрим функцию

Если то убывает.

Если то возрастает.

Значит, наименьшее значение функции равно или , или . Поэтому решение задачи получаем из решения системы

Решений нет.

Ответ: .

C помощью графического редактора мы построили график функции и определили значение параметра а при . График функции в системе координат выглядит следующим образом.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Список источников и литературы.

  1. Математика (математический анализ): учебно-методическое пособие для студентов нематематических специальностей / О.Ю. Ватюкова, Е.Е.Зайцева, Ю.В.Зайцева и др.; ВолГУ.-4-е изд., Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2009. – 238с.
  2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике / Сост.: А. В. Анкилов, Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько.- Ульяновск: УлГТУ, 2004.-32 с.
  3. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.Захаров, В.С. Панферов, и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: Издательство “Экзамен”, 2011.-63с.
  4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.- сост. И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: АСТ: Астрель, 2010.-93с.
  5. Мордкович А.Г. Алгебра . 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов .—11-е изд., стер. -М.: Мнемозина, 2009.-224 с.
  6. Смирнова И.М. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (гуманитарный профиль).- М.: Мнемозина,2004. -223с.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"