Возрастание, убывание и монотонность функции. Найти интервалы убывания и возрастания функции


Возрастание, убывание и монотонность функции

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) > f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) < f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка производная функции равна нулю (f '(x) = 0), то функция f(x) сохраняет в этом промежутке постоянное значение.

Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.

Теорема 2 (достаточный признак возрастания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции больше нуля (f '(x) > 0), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля (f '(x) < 0), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю (f '(x) ≥ 0) или меньше или равна нулю (f '(x) ≤ 0), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Возрастание и убывание функций | Алгебра

Определения

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). \]

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) < f(x_1 ). \]

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пример 1.

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x1;x5]:

vozrastanie-i-ubyvanie-funkcii

Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x2;x3] и [x4;x5]

Функция y=f(x) убывает на промежутках [x1;x2] и [x3;x4].

Кратко это записывают так:

    \[ f(x) \nearrow npu\_x \in \left[ {x_2 ;x_3 } \right]u\left[ {x_4 ;x_5 } \right], \]

    \[ f(x) \searrow npu\_x \in \left[ {x_1 ;x_2 } \right]u\left[ {x_3 ;x_4 } \right]. \]

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.

 

5) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \ge f(x_1 ), \]

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \le f(x_1 ), \]

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пример 2.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x1;x3], является невозрастающей и неубывающей:

neubyvayushchaya-funkciya

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x2;x3].

 

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

Для этого при условии x2>x1 на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x2)>f(x1) либо f(x2)>f(x1), то есть определить f(x2)-f(x1)>0 или f(x2)-f(x1)<0.

Примеры.

1) Доказать, что функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Доказательство:

Функция определена на всей числовой прямой.

Пусть x2>x1.

f(x1)=x1²+4x1, f(x2)=x2²+4x2,

f(x2)-f(x1)=(x2²+4x2)-(x1²+4x1)=x2²+4x2-x1²-4x1=

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

=(x2²-x1²)+(4x2-4x1)=(x2-x1)(x2+x1)+4(x2-x1)=

Теперь выносим общий множитель (x2-x1) за скобки:

=(x2-x1)(x2+x1+4).

Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x1, x2 ∈(-∞;-2) x2+x1+4<0. Значит, (x2-x1)(x2+x1+4)<0 и f(x2)<f(x1). Отсюда следует, что функция функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что функция

    \[ y = \frac{4}{{2 - x}} \]

возрастает на промежутке (2;+∞).

Доказательство:

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Пусть x2>x1.

    \[ y(x_2 ) - y(x_1 ) = \frac{{4^{\backslash (2 - x_1 )} }}{{2 - x_2 }} - \frac{{4^{\backslash (2 - x_2 )} }}{{2 - x_1 }} = \]

    \[ = \frac{{4(2 - x_1 ) - 4(2 - x_2 )}}{{(2 - x_1 )(2 - x_2 )}} = \frac{{4(x_2 - x_1 )}}{{(2 - x_1 )(2 - x_2 )}}. \]

Так как x2>x1, то x2-x1>0.

Для x1, x2 ∈ (2;+∞) (2-x1)(2-x2)>0. Значит,

    \[ \frac{{4(x_2 - x_1 )}}{{(2 - x_1 )(2 - x_2 )}} > 0. \]

Отсюда y(x2)-y(x1)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

 

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

www.algebraclass.ru

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких, что x_{1} >\; x_{2} справедливо неравенство f\left(x_{1} \right)>\; f\left(x_{2} \right). ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется убывающей в промежутке \left(a,\; b\right), если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких что x_{1} >\; x_{2} справедливо f\left(x_{1} \right)<\; f\left(x_{2} \right).

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция f\left(x\right) определена и дифференцируема в промежутке \left(a;\; b\right). Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), достаточно, чтобы f'\left(x\right)>0 для всех x\in \left(a,\; b\right)

Для убывания функции достаточно, чтобы f'\left(x\right)<0 для всех x\in \left(a,\; b\right).

Для исследования функции f\left(x\right) на монотонность необходимо:

  1. найти её производную f'\left(x\right);
  2. найти критические точки функции как решения уравнения f'\left(x\right)=0;
  3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
  4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

9.Возрастание и убывание функции

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;

  • найти производную функции;

  • решить неравенства и на области определения;

  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

функция возрастает при , убывает на интервале (0;2].

studfiles.net

Исследование функции с помощью производной онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Вы можете выполнить исследование функции с помощью производной. Для этого воспользуйтесь онлайн калькулятором с подробным решением, как исследовать функцию.

Для это введите свою функцию в калькулятор:

Исследование функции с помощью производной онлайн

Где при исследовании функции пригодится помощь производной?

Здесь перечислим, где используется производная, чтобы исследовать функцию:

  • Чтобы найти точки экстремумов: найти наименьшее или наибольшее значение функции, а также промежутки возрастания и убывания функции
  • Также чтобы найти точки перегибов функции - интервалы выпуклости и вогнутости (здесь используется производная второго порядка).

Рассмотрим пример

Найдём с помощью производной экстремумы и точки перегибов для функции (x^2 - 1)/(x^2 + 1):

Получим результат:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

(производная равна нулю),

и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

Первая производная

/ 2 \ 2*x 2*x*\x - 1/ ------ - ------------ = 0 2 2 x + 1 / 2 \ \x + 1/

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

Зн. экстремумы в точках:

 

Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

Минимумы функции в точках:

Максимумов у функции нет

Убывает на промежутках

Возрастает на промежутках

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

(вторая производная равняется нулю),

корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:

Вторая производная

/ 2 2 2 / 2\\ | -1 + x 4*x 4*x *\-1 + x /| 2*|1 - ------- - ------ + --------------| | 2 2 2 | | 1 + x 1 + x / 2\ | \ \1 + x / / ----------------------------------------- = 0 2 1 + x

Решаем это уравнение

Корни этого ур-ния

 

Интервалы выпуклости и вогнутости:

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Вогнутая на промежутках

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo)

www.kontrolnaya-rabota.ru

§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 <x2, то f(x1) > f(x2).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а 

Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то естьf '(x)≥0.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что . По условиюf '(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит, чтоf(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Еслина (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривойy=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.

Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

. Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).

. Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).

 

Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].

 

.

Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).

studfiles.net

Интервалы возрастания и убывания функции

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

y = x^3-3*x^2+9*x+2Область существования функции1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.f'(x) = 3 • x2-6 • x+9Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю3 • x2-6 • x+9 = 0Для данного уравнения корней нет.

 

16.Дана функция . Тогда

(Укажите интервал выпуклости вверх (вниз) функции).

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.f''(x) = 6 • x-6Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.6 • x-6 = 0Откуда точки перегиба:x1 = 1

(-∞ ;1) (1; +∞)
f''(x) < 0 f''(x) > 0
функция выпукла функция вогнута

 

17.Найти наибольшее значение функции в интервале [4,5].

Экстремумы функции

y = x^2-11*x+28[4;5]Необходимое условие экстремума функции одной переменной.Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.Достаточное условие экстремума функции одной переменной.Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:f'0(x*) = 0f''0(x*) > 0то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.Если в точке x* выполняется условие:f'0(x*) = 0f''0(x*) < 0то точка x* - локальный (глобальный) максимум.Решение.Находим первую производную функции:y' = 2 • x-11Приравниваем ее к нулю:2 • x-11 = 0Вычисляем значения функции на концах отрезкаf(4) = 0f(5) = -2Ответ:fmin = -2, fmax = 0

 

 

18.Пусть функции - непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства неопределенного интеграла).

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

 

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

 

Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

 

19.Таблица интегралов. ( ).

Sinx+C

20.Найдите интеграл , , , ,

21.Вычислить , , ,

22.Пусть функции - непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства определенного интеграла, 9 свойств).

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) - любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

(11)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

(12)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 3:

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

(13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

откуда

и остается дважды применить формулу (12).

Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования.

Теорема 5. Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема 6. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.

___________________________________

* Если в интеграле будет a ≤ b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования - нормальный.

Последний результат можно несколько уточнить.

Теорема 7. Если a < b, а f(x) - непрерывная неотрицательная функция, которая хотя бы в одной точке [a, b] отлична от нуля, то

В самом деле, пусть x0 (a < x0 < b) - такая точка, что f(x0) > 0. Возьмем столь малое δ > 0, чтобы при | x - x0 | < δ было f(x) > 0, что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функции. Не ограничивая общности, можно принять, что a ≤ x0 - δ, x0 + δ ≤ b. Тогда

Первый и третий интегралы правой части по предыдущей теореме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме

и потому строго положителен.

Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так:

Теорема 8. Пусть f(x) - неотрицательная непрерывная функция, заданная в [a, b], причем a < b. Если

то f(x) всюду на [a, b] равна нулю.

В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя отбросить условия непрерывности подинтегральной функции. Например, функция, которая в конечном числе точек [a, b] равна единице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от нее (как показано в пунктеОпределенный интеграл) равен нулю.

Теорема 9. Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) - две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то

(15)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно.

Действительно,

Если бы мы допустили, что a < b и что хоть в одной точке оказывается f(x) < g(x), то смогли бы и в (15) исключить знак равенства.

Теорема 10. Если a ≤ b и f(x) непрерывна на [a, b], то

(16)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.

В самом деле, интегрируя неравенств

- | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) |,

находим:

а это равносильно неравенству (16).

 

23.Пусть - площадь фигуры, ограниченной линиями , . Тогда значение лежит в интервале

Приводим подобные:

2Решаем уравнение:

3Решаем уравнение:

4Решаем уравнение:

5Графики уравнений:

 

Ответ:

(Решение уравнения с учётом ОДЗ )

 

24.Формула для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной явно и параметрически.

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

 

25. ,

Частные производные

z = x^3/y^2+acos(sqrt(y))Находим частные производные:При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:Находим вторые частные производные:

Найдем смешанные частные производные:Для того, чтобы найти ∂2z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

 

26. ;

Частные производные

z = x^3/y^2Находим частные производные:При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:Найдем смешанные частные производные:Для того, чтобы найти ∂2z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

 

27. ;

z = 3*x^2*y*z^8+y^2*z^3/log(x)Находим частные производные по формулам:Для нашей функции F(x,y,z):При нахождении ∂F/∂x считаем y и z постоянными:При нахождении ∂F/∂y считаем x и z постоянными:При нахождении ∂F/∂z считаем x и y постоянными:По формулам находим частные производные:

 

∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8−y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8−y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)

или

 

∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)

 

или

Полный дифференциал функции.

 

dz=(−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dx+(−3⋅x2⋅z8−2⋅y⋅z3ln(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dydz=(−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dx+(−3⋅x2⋅z8−2⋅y⋅z3ln(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dy

 

28.Найти производную функции в точке М(1;-2) :

z = 5*x*y-y*yНаходим частные производные:При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:Полный дифференциал функции.dz = (5 • y)dx + (5 • x-2 • y)dyНайдем частные производные в точке А(1;-2)илиилиНаходим вторые частные производные:Найдем вторые частные производные в точке А(1;-2)илиилиНайдем смешанные частные производные:Для того, чтобы найти ∂2z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:Найдем значение производной в точке А(1;-2)или

29.Найти градиент функции в точке .

z = 3*x^2+x*y-2*y^2Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:Находим частные производные:Тогда величина градиента равна:Найдем градиент в точке А(2;1)илиМодуль grad(z) - наибольшая скорость возрастания функции:Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

30.Укажите сходящийся несобственный интеграл 1-го рода.

Читайте также:

lektsia.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"