Как найти дискриминант квадратного уравнения. Найдите дискриминант квадратного уравнения


Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax2 + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.-Уравнения с двумя разными корнями.-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения -

D = b2 - 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

- Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.- Когда D равно нулю, имеется только один корень.- Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х2 - 8х + 12 = 02 )5х2 + 3х + 7 = 03) х2-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.а = 1, b = -8, c = 12D = (-8)2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнениемa = 1, b = 3, c = 7D = 32 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.а = 1, b = -6, с = 9D = (-6)2- 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0 как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.Рассмотрим еще один пример:

1) х2 - 2х - 3 = 02) 15 - 2х - х2 = 03) х2 + 12х + 36 = 0

Раскладываем первоеа = 1, b = -2, с = -3D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем ихх1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второеа = -1, b = -2, с = 15D = (-2)2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:х1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третьеа = 1, b = 12, с = 36D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один кореньх = -12 + ?0/2 * 1 = -6.Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х2 + 9х = 02х2 - 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Решение (корни) квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x - переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c - некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² - 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = - 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом, c - свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

ax² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² - 4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

- для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

- для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c - левой части квадратного уравнения - представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная - в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x.

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

и

.

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое - два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается - в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

.

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна - b/a, а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

.

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

.

Решение. И числитель, и знаменатель - квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Формула корней квадратного уравнения "переоткрывалась" неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень - положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.

Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Другие темы в блоке "Школьная математика"

function-x.ru

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Уравнение вида

ax2 + bx + c = 0

называется квадратным. В нём a, b, c – числа и "а" не равно нулю. Числа a, b называются коэффициентами, а число "с" называется свободным членом.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение:

ax2 + bx + c = 0

Дискриминант – это число, определяемое так:

D = b2 – 4ac

Имеются три случая:

  1. Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных корня, эти корни вычисляют по формулам:   и  
  2. Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле:иногда говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня
  3. Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Приведенное квадратное уравнение

Если коэффициент «a» в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 равен единице, такое квадратное уравнение называется приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение записывают в виде:

x2 + px + q = 0

Дискриминант приведенного квадратного уравнения:

D = b2 – 4ac = p2 – 4q

Если дискриминант больше нуля, то корни квадратного уравнения находим по формуле:

Если дискриминант равен нулю, то корни квадратного уравнения находим по формуле:

Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» или свободный член «c» равны нулю, то такое квадратное уравнение называется неполным.

Находить корни такого уравнения можно по тем же формулам, что и для обычного квадратного уравнения.

www.sbp-program.ru

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х1= 3      х2= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x2+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b2–4ac = 82–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х1= 8   х2= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x2–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b2–4ac =(–22)2–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х1= 11  и   х2= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x2–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b2–4ac =(–8)2–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x2–16 = 0     =>   4x2 =16     =>   x2 = 4    =>      x1 = 2     x2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x2–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x1 = 0     x2 = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x2–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x2+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 + (а2 +1)∙х+ а= 0    = >   х1= –а    х2= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х2 +37х+6 = 0.

х1= –6    х2= –1/6.

2. Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 – (а2 +1)∙х+ а= 0      = >   х1= а    х2= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

х1= 15    х2= 1/15.

3. Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx2 + (а2 –1)∙х – а= 0    = >    х1= – а    х2= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.

х1= – 17    х2= 1/17.

4. Если в уравнении  ax2 – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 –  (а2 –1)∙х – а= 0      = >   х1=  а    х2= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2– 99х –10 = 0.

х1= 10    х2= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх2 + bx + c = 0   имеет корни  х1  и  х2, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х2– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х2 – 11х+5 = 0  (1)      =>     х2 – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х1 = 10  х2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х2 «перебрасывали» двойку), получим

х1 = 5  х2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х1 = 5  х2 = 0,5

 

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x2- 45x = 0  или  15х+42+9x2- 45x=0  или   15 -5x+10x2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Вычисление дискриминанта – самый распространенный способ, применяемый в математике для решения квадратного уравнения. Формула для расчета является следствием метода выделения полного квадрата и позволяет быстро определить корни уравнения.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти дискриминант квадратного уравнения" Как разложить квадратное уравнение Как решить дискриминант Как найти отрицательный корень уравнения

Инструкция

1

Алгебраическое уравнение второй степени может иметь до двух корней. Их количество зависит от значения дискриминанта. Чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, следует воспользоваться формулой, в которой задействованы все коэффициенты уравнения. Пусть задано квадратное уравнение вида а•х? + b•х + с = 0, где а, b, с – коэффициенты. Тогда дискриминант D = b? – 4•а•с.

2

Корни уравнения находятся следующим образом: х1 = (-b + vD)/2•а; х2 = (-b - vD)/2•а.

3

Дискриминант может принять любое значение: положительное, отрицательное или нулевое. В зависимости от этого, варьируется количество корней. Кроме того, они могут быть как вещественными, так и комплексными: 1. Если дискриминант больше нуля, то корней у уравнения два. 2. Дискриминант нулевой, значит, у уравнения есть только одно решение х = -b/2•а. В некоторых случаях применяют понятие кратных корней, т.е. в действительности их два, но у них общее значение. 3. При отрицательном значении дискриминанта говорят, что вещественных корней уравнение не имеет. Для того чтобы найти комплексные корни, вводится число i, квадрат которого равен -1. Тогда решение выглядит так: х1 = (-b + i•vD)/2•а; х2 = (-b – i•vD)/2•а.

4

Пример: 2•х? +5•х – 7 = 0. Решение: Найдите дискриминант: D = 25 + 56 = 81 > 0 > х1,2 = (-5 ± 9)/4; х1 = 1; х2 = -7/2.

5

Некоторые уравнения четных высших степеней могут быть приведены ко второй степени путем замены переменной или группировкой. Например, уравнение 6 степени может быть преобразовано в такой вид: а•(х?)? + b•(х?) + с = 0 х1,2 = ?((-b + i•vD)/2•а). Тогда метод решения с помощью дискриминанта подходит и здесь, нужно лишь не забыть извлечь кубический корень на последнем этапе.

6

Существует также дискриминант для уравнений высоких степеней, например кубического многочлена вида а•х? + b•х? + с•х + d = 0. В данном случае формула нахождения дискриминанта выглядит так: D = -4•а•с? + b?•с? – 4•b?•d + 18•а•b•с•d – 27•а?•d?. Как просто

masterotvetov.com

Решение квадратного уравнения через дискриминант формулы

угол а треугольника авс равен 64 градуса.Найдите меньший из углов между биссектрисами углов в и с — Узнаем ответы на поставленный вопрос!

Методы решения квадратных уравнений. Примеры

Квадратные уравнения отличаются от линейных наличием одного неизвестного, возведенного во вторую степень. В классическом (каноническом) виде множители a, b и свободный член c – не равны нулю.

Определение квадратного уравнения

Квадратное уравнение – это уравнение, в котором левая часть равна нулю, а правая — представляет собой трехчлен второй степени вида:

Решить трехчлен или отыскать его корни значит найти значения x, при которых равенство становится верным. Отсюда следует, что корнями такого уравнения называют значения переменной x.

Поиск корней через формулу дискриминанта

Пример может иметь одно или два корня, а может не иметь ни одного. Есть очень простой и понятный алгоритм действий для определения количества решений. Для этого достаточно найти дискриминант – специальную расчетную величину, используемую при поиске корней. Формула для вычислений выглядит следующим образом:

В зависимости от полученного результата можно сделать следующие выводы:

    имеется два корня, если D > 0; имеется одно решение, если D = 0; корней нет, если D < 0.

В последнем случае ответ можно считать найденным — «решений нет». Дело в том, что дальнейшие вычисления потребуют извлечь корень квадратный дискриминанта, чего абсолютно точно нельзя сделать с отрицательным числом.

Если же D ≥ 0, то нужно продолжить расчеты по формуле:

Примеры решения квадратного уравнения

Алгоритм решения многочлена очень прост:

Привести выражение к классическому виду. Определить имеются ли корни квадратного уравнение (формула дискриминанта). Если D ≥ 0, то найти значения переменной x с помощью любого из известных способов.

Приведем наглядный пример, как решить квадратное уравнение.

Задача 1. Найти корни и графически обозначить область решения уравнения 6x + 8 — 2×2 = 0.

Сначала, необходимо привести равенство к каноническому виду ax2+bx+c=0. Для этого переставим слагаемые многочлена местами.

Затем, упростим выражение, избавившись от коэффициента перед x2. Умножим левую и правую часть на (-1)⁄2, в результате получим:

Преимущества формул для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант заключается в том, что с их помощью можно решить любой трехчлен второй степени.

Итак, в приведенном многочлене a=1, b=-3, а c=-4. Вычислим значение дискриминанта для конкретного примера.

Графики выражения будут выглядеть следующим образом:

В рассматриваемом примере D>0, следовательно, корней – два.

Совет 1: Если множитель a – отрицательное число, необходимо умножить обе части примера на (-1).

Совет 2: Если в примере присутствуют дроби, постарайтесь избавиться от них, помножив левую и правую сторону выражения на обратные числа.

Совет 3: Всегда следует приводить уравнение к каноническому виду, это поможет исключить вероятность путаницы в коэффициентах.

Теорема Виета

Существуют методы, позволяющие значительно сократить вычисления. К ним относят теорему Виета. Данный способ можно применить не ко всем типам уравнений, а только если множитель при переменной x2 равен единице, то есть a = 1.

Рассмотрим данное утверждение на конкретных примерах:

5×2 — 2x + 9 = 0 − применение теоремы в данном случае нецелесообразно, так как a = 5; –x2 + 11x — 8 = 0 − a = -1, значит решать уравнение способом Виета можно только после приведения к классическому виду, т. е. умножив обе части на -1; x2 + 4x – 5 = 0 − это задание идеально подходит для разбора метода решения.

Для того, чтобы быстро найти корни выражения, необходимо подобрать пару значений x, при которых справедлива следующая система линейных уравнений:

Решать такую систему следует методом подбора, иначе вычисления только усложнятся. Например, для выражения x2 +4x – 5 = 0 условия выглядят так:

Подбираем вероятные значения и получаем x1 = 1 и x2 = -5.

Выполним проверку найденных ответов, поочередно подставив x1 и x2 в первоначальный пример.

Частные случаи решения

Существует вариант формул дискриминанта для уравнений с четным значением второго коэффициента — b.

Данные формулы не обязательны для запоминания и о них не всегда пишут в учебниках, однако, их применение может сэкономить время при поиске решения. Чем проще формулы для расчета, тем меньше вероятность совершить ошибки в вычислениях.

Решение квадратного уравнения через дискриминант формулы

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a не равно 0 .

Для решения квадратного уравнения можно использовать формулы:

Где D = b 2 — 4ac — дискриминант многочлена ax 2 + bx + c.

Если D > 0 , то уравнение имеет два различных вещественных корня.

Если D = 0 , то оба корня вещественны и равны.

Если D < 0 , то оба корня являются комплексными числами.

Чтобы не проводить все вычисления вручную, просто подставьте значения коэффициентов в приведенную ниже форму.

Также для нахождения корней квадратного уравнения можно применять теорему Виета.

Решение квадратного уравнения через дискриминант формулы

Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.

Как решить квадратное уравнение?

Как выглядит формула квадратного уравнения?

Какие бывают квадратные уравнения?

Что такое полное квадратное уравнение?

Что такое неполное квадратное уравнение?

Что такое дискриминант?

Сколько корней имеет квадратное уравнение?

Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

Где X — переменная,

A, b,c — числовые коэффициенты.

Пример полного квадратного уравнения:

Решение Полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим Пример №1:

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент A всегда стоит перед x 2 , коэффициент B всегда перед переменной x, а коэффициент C – это свободный член.

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Записываем, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Далее находи дискриминант.

D=b 2 -4ac=(2) 2 -4∙1∙1=4-4=0

Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:

Записываем, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Далее находи дискриминант.

D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙7∙2=1-56=-55

Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим Неполное квадратное уравнение:

Ax 2 +bx=0, где числовой коэффициент C=0.

Пример как выглядят такие уравнения:

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

Выносим переменную x за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю,

Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.

Выносим переменную x за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю,

Рассмотрим Неполное квадратное уравнение:

Ax 2 +c=0, где числовой коэффициент B=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:

X 2 =c/a, если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.

А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

X 2 =-5, видно, что -5<0, значит нет решения.

Ответ: нет решения

4>0 следовательно, есть решение,

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

You may also like:

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.
Виды чисел.
Как построить окружность?

Навигация по записям

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Авторизация

Свежие записи

Социальные сети

Счетчик

Пожалуйста отключите блокировку рекламы или добавьте сайт в исключения блокировщика, если желаете чтобы проект развивался.

poiskvstavropole.ru

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Вычисление дискриминанта – самый распространенный способ, применяемый в математике для решения квадратного уравнения. Формула для расчета является следствием метода выделения полного квадрата и позволяет быстро определить корни уравнения.

Инструкция

  • Алгебраическое уравнение второй степени может иметь до двух корней. Их количество зависит от значения дискриминанта. Чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, следует воспользоваться формулой, в которой задействованы все коэффициенты уравнения. Пусть задано квадратное уравнение вида а•х² + b•х + с = 0, где а, b, с – коэффициенты. Тогда дискриминант D = b² – 4•а•с.
  • Корни уравнения находятся следующим образом: х1 = (-b + √D)/2•а; х2 = (-b - √D)/2•а.
  • Дискриминант может принять любое значение: положительное, отрицательное или нулевое. В зависимости от этого, варьируется количество корней. Кроме того, они могут быть как вещественными, так и комплексными: 1. Если дискриминант больше нуля, то корней у уравнения два. 2. Дискриминант нулевой, значит, у уравнения есть только одно решение х = -b/2•а. В некоторых случаях применяют понятие кратных корней, т.е. в действительности их два, но у них общее значение. 3. При отрицательном значении дискриминанта говорят, что вещественных корней уравнение не имеет. Для того чтобы найти комплексные корни, вводится число i, квадрат которого равен -1. Тогда решение выглядит так:х1 = (-b + i•√D)/2•а; х2 = (-b – i•√D)/2•а.
  • Пример: 2•х² +5•х – 7 = 0.Решение:Найдите дискриминант:D = 25 + 56 = 81 > 0 → х1,2 = (-5 ± 9)/4;х1 = 1; х2 = -7/2.
  • Некоторые уравнения четных высших степеней могут быть приведены ко второй степени путем замены переменной или группировкой. Например, уравнение 6 степени может быть преобразовано в такой вид:а•(х³)² + b•(х³) + с = 0 х1,2 = ∛((-b + i•√D)/2•а).Тогда метод решения с помощью дискриминанта подходит и здесь, нужно лишь не забыть извлечь кубический корень на последнем этапе.
  • Существует также дискриминант для уравнений высоких степеней, например кубического многочлена вида а•х³ + b•х² + с•х + d = 0. В данном случае формула нахождения дискриминанта выглядит так: D = -4•а•с³ + b²•с² – 4•b³•d + 18•а•b•с•d – 27•а²•d².

completerepair.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"