8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. Нахождение наименьшего значения функции


Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-".

В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Находим значение функции в концах отрезка,

  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее - в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  - множество действительных чисел.

2. 

3. , если  или

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание - убывание, можно схематично изобразить ее график:

 

Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2.

3. 

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [].

1. ОДЗ функции  

2. 

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [].

1.  ОДЗ функции :

2. 

3.

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку  принадлежат два числа:  и 

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки  и  производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции  на координатной прямой:

Очевидно, что точка  является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции  на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а  таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции 

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Репетитор по математике и физике » Решаем задачи B14 из ЕГЭ

Автор Сергей

Воскресенье, Декабрь 18, 2011

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
  • Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
  • Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функцииy = x3 – 18x2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

  • Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
  • Производная функции равна: y’ = 3x2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
  • Нули производной: y’ = 3x2 – 36x + 81 = 0, значит x2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x3 – 18x2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:
    •  y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;
    • y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;
    • y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции:.

Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

  • Область определения функции задается неравенством:, которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
  • Производная функции равна:,область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x2 – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
  • Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
  • Находим это значение:.

Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.

Репетитор по математикеСергей Валерьевич

yourtutor.info

Наибольшее и наименьшее значение функции.

В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить производную сложной функции к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике.

Как обычно,  сначала вспомним теорию.

В начале любого исследования функции находим ее область определения.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции , нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции  и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1. Решим задание В15 (№ 245184)

Найдите наибольшее значение функции 

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения  функции 

б) Найдем производную функции .

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачатьFirefox

2. Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [1;3]

а) Найдем область определения функции  . Эта функция определена при любом действительном значении  

б) Найдем производную функции  . Для этого удобно  правую часть уравнения функции преобразовать в многочлен. Можно, конечно, использовать формулу для нахождения производной произведения, но в этом случае, мне кажется, что это нецелесообразно.

в) Приравняем производную к нулю:

,  

г) Исследуем знаки производной:

Мы исследуем поведение функции на отрезке [1;3]:

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке  [1,3] функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:

Ответ: 5

3. Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции 

a) Найдем область определения функции . Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля: . Пока на этом остановимся, решим  неравенство, если  в этом возникнет необходимость в процессе решения.

а) Найдем производную функции :

В таблице производных найдем производную логарифмической функции:

Для   производной сложной функции эта формула выглядит так:

Выясним  промежутки знакопостоянства выражения 

Воспользуемся методом интервалов.

1. , , т.к.  , поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции  , следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при . Проверим, принадлежит ли   ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие    при .

,  

значит, точка   принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки :

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке . Теперь найдем значение функции при :

Ответ: 4

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения  функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

  • если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
  • если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

 В нашем примере внешняя функция - возрастает на всей области определения.  Под знаком логарифма стоит выражение  - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке . Далее подставляем это значение х в уравнение функции  и находим ее наибольшее значение.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].

Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции, равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее, равно 9, - в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим - в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее - в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3].

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3]. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного -5/13, в точке и наибольшего значения, равного 1, в точке .

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A, находящегося на линии железной дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть , , (см. рисунок ниже).

Тогда , , . Стоимость провоза p единиц груза по шоссе СМ составит , а по железной дороге МА она составит . Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение , решение которого даёт единственную критическую точку (так как точка не входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и слева и справа от критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при стоимость провоза груза из А и С является наименьшей, если . Если же , т. е. , то шоссе должно пройти по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть на отрезке задана непрерывная функция , достигающая на данном отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Это может произойти как внутри отрезка, так и на его кон-цах. Отсюда вытекает способ нахождения точек, в которых функция приобретает наибольшее и наименьшее значение на отрезке :

1) найти критические точки функции;

2) вычислить значение функции в критических точках, которые принадлежат отрезку, и на концах отрезка;

3) наибольшее (наименьшее) значение среди образованного множества и будет наибольшим (наименьшим) значением функции, заданной на отрезке .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Находим стационарные точки. Для этого найдем производную:

Приравнивая эту производную к нулю и решая уравнение

,

получаем стационарные точки: . Точек, в которых функция не существует, нет.

Вычисляем значение функции в точках , а также на концах отрезка, т.е. в точках :

Итак, наибольшее значение , наименьшее есть .

 

Интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба

График функции может быть выпуклым или вогнутым.

Определение 1.График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже ее любой касательной на этом интервале.

Определение 2.График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше ее любой касательной на этом интервале.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы:

Теорема 1. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график в этом интервале выпуклый. Если – график вогнутый.

Определение 3.Точка, при переходе через которую кривая изменяет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема:

Теорема 2. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Пример 1. Найти интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба кривой, заданной уравнением .

Решение. Найдем производные первого и второго порядков:

.

Приравняем к нулю:

,

отсюда находим корни:

.

Решая неравенство с помощью метода интервалов, имеем: ,

 

 

таким образом, на интервалах производная , кривая вогнута, а на интервале кривая выпукла.

Точки есть точки перегиба кривой.

Асимптоты

Определение 1. Асимптотой кривой называют прямую, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Определение 2. Вертикальной асимптотой графика функции называют прямую , когда , или , или .

Определение 3. Наклонной асимптотой графика функции при называют прямую , если функцию можно изобразить в виде , где , когда ( ).

Если , то . Тогда – уравнение горизонтальной асимптоты.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Функция определена и непрерывна в интервалах и . Ось функция пересекает в точке . С осью точек пересечения нет. Найдем асимптоты графика функции:

1) , т.е. — вертикальная асимптота;

2) ,

,

итак,

– наклонная асимптота;

3) , таким образом, горизонтальной асимптоты нет.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя-Бернулли является эффективным средством нахождения пределов функции при раскрытии неопределенностей.

Раскрытие неопределенностей типа или .

Если функции и :

1) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, возможно, самой точки , причем в этой окрестности;

2) функции и есть одновременно или бесконечно малыми, или бесконечно большими при ;

3) существует конечный предел , тогда:

.

Раскрытие неопределенностей типа: .

1) Неопределенность когда сводится к неопределенности или таким образом:

2) Неопределенность когда сводится к неопределенности или .

Так, например, преобразив разность функций и в виде , имеем неопределенность .

3) Неопределенности типа сводятся к виду с помощью логарифмирования функции вида или представляя функцию в виде .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Если , то имеем неопределенность .

Прологарифмируем:

.

Если , то , а . Тогда:

.

Тогда .

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Проверим выполнение условий теоремы Лопиталя.

Пусть . Будем рассматривать полуинтервал , где b > 1 — произвольное число. Тогда

.

Находим производные: для любого , поэтому

Выполняются все три условия теоремы Лопиталя. Поэтому

 



infopedia.su

13. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. (Пример из т.Р.II, задача №13)

Пусть функция y=f(x)непрерывна на отрезке. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точкеx0отрезка, либо на границе отрезка, т. е. приx0=a илиx0=b. Еслиx0, то точкуx0следует искать среди критических точек данной функции.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

  1. Найти критические точки функции на интервале ;

  2. Вычислить значения функции в найденных критических точках;

  3. Вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках x=a иx=b;

  4. Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 1. Если функция y=f(x)на отрезкеимеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x)на отрезкене имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

Пример нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке – задача №13 из тип. Расчета II (Вариант 6).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

  1. Находим критические точки. Для этого находим производную от данной функции, приравниваем её к нулю и находим корни полученного уравнения:

x1=0, x2=2

x1, x2.

  1. Вычисляем значение функции в найденной критической точке: .

  2. Вычисляем значение функции на концах отрезка: ,

  3. Ответ: yнаиб=-2приx=1,yнаим=3приx=2.

14. Понятия периодической, четной, нечетной, монотонной, ограниченной функций. Графики элементарных функций. Привести примеры.

  1. Функция y=f(x), определенная на множествеD, называетсяпериодической на этом множестве, если существует такое число, что при каждомзначениеи. При этом числоназываетсяпериодом функции. Если- период функции, то ее периодами будут также числа, гдеТак например, дляпериодами будут числаОсновной период (наименьший положительный) – это период. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству.

  2. Функция y=f(x), определенная на множествеD, называетсячетной, есливыполняются условияи. Функцияy=f(x), определенная на множествеD, называетсянечетной, есливыполняются условияи. График четной функции симметричен относительно оси, а нечетной – относительно начала координат. Например,,,- четные функции;,- нечетные функции.

  3. Пусть функция y=f(x)определена на множествеDи пусть. Если для любых значенийx1, x2аргументов из неравенстваx1 x2вытекает неравенство:, то функция называетсявозрастающейна множестве;, то функция называетсянеубывающейна множестве;, то функция называетсяубывающейна множестве;, то то функция называетсяневозрастающейна множестве. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множественазываютсямонотоннымина этом множестве, а возрастающие и убывающие –строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называютсяинтервалами монотонности.

  4. Функция y=f(x), определенная на множествеD, называетсяограниченнойна этом множестве, если существует такое число, что для всехвыполняется неравенство(короткая запись:, называется ограниченной на, если). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия от функции, называется элементарной функцией.

Графики элементарных функций:

  1. Показательнаяфункция.

  2. Степеннаяфункция.

  3. Логарифмическаяфункция.

  4. Тригонометрические функции.

  5. Обратные тригонометрические функции.

Примерами элементарных функций могут служить функции:;;.

studfiles.net

8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку ;

2) Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение. 1) Найдем критические точки функции.

,

.

На отрезке знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

   .

Значит, – критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.

Найдем значение функции в критической точке:

.

2) Найдем значения функции на концах отрезка:

, .

3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

, .

9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

При решении задач на вычисление наименьших и наибольших значений величин надо прежде всего определить, для какой величины в задаче требуется найти наименьшее или наибольшее значение. Эта величина и будет исследуемой функцией. Затем одну из величин, от изменения которых зависит применение функции, следует взять за независимую переменную и выразить через неё функцию. При этом нужно в качестве независимой переменной выбрать ту величину, через которую исследуемая функция выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение наименьшего и наибольшего значения полученной функции в некотором промежутке изменения независимой переменной, которое обычно устанавливается из самого существа задачи.

Пример 9.1. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .

Решение. Обозначив радиус основания, высоту и объём конуса соответственно ,и, запишем. Это равенство выражает зависимость от двух переменныхи; исключим одну из этих величин, а именно. Для этого из прямоугольного треугольникавыводим (по теореме о квадрате перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):

Рисунок 6 – Иллюстрация к примеру 9.1.

или .

Подставив значение в формулу объёма конуса, получим:

.

Мы видим, что объём конуса, вписанного в шар радиуса,есть функция от высоты этого конуса. Найти высоту при которой вписанный конус имеет большой объём, это значит найти такое, при котором функцияимеет максимум. Ищем максимум функции:

1) ,

2) ,,, откудаили,

3) .

Подставив вместо сначала, а потом, получим:

В первом случае имеем минимум ( при ), во втором искомый максимум (так какпри).

Следовательно, при конус, вписанный в шар радиуса, имеет наибольший объём.

Пример 9.2. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома (рис. 7). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка м, а площадь м2, тогда:

Рисунок 7 – Иллюстрация к пр. 9.2.

.

Значения ине могут быть отрицательными, поэтому множитель , а .

Площадь есть функция, определим промежутки ее возрастания и убывания:

. , и функция возрастает, когда ; , и функция убывает, когда . Следовательно, точкаявляется точкой максимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу, то в точкефункция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина м, а длина м.

Пример 9.3. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 м2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна м, тогда ширина прямоугольника м, а периметр:

.

Периметр есть функция длины , определенная для всех положительных значений:.

Определим промежутки ее возрастания и убывания:

.

Знак производной определяется знаком разности . В промежутке

, а в промежутке .

Следовательно, точка является точкой минимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу:, то в точке функция имеет наименьшее значение.

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

studfiles.net



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"