Может ли наибольшим общим делителем двух натуральных чисел быть 1


Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел

Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны.

Произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. D(a,b)∙K(a,b)= ab. Из этого утверждения вытекают следующие следствия:

а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чиселравно произведению этих чисел, т.е. D(a,b)=1 и K(a,b)=ab.

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно их перемножить, так как D(14,15) = 1.

б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произ-ведение взаимно простых чисел 14 и 15 необходимо и доста-точно, чтобы оно делилось и на 14 и на 15.

Лекция 46. Простые и составные числа

План:

1. Признак делимости на составное число

2. Простые и составные числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел.

Критерий определения простого числа. Распределение простых чисел в натуральном ряду.

Признак делимости на составное число

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

Например, так как 6 = 2∙3 и D (2, 3) = 1, то получаем при­знак делимости на 6. Для того, что бы натуральное число де­лилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 2 и на 3.

Заметим, что данный признак можно применять много­кратно.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел и их наибольший общий делитель, являются взаимно простымичислами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке пра­вильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наиболь­шим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно по­следнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно просты­ми. Следовательно,

D (24, 36) = 12.

 

Упражнения

1. Даны числа 36 и 45.

а) Найдите все общие делители этих чисел.

б) Можно ли назвать все их общие кратные?

в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.

г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?

2. Верны ли записи:

а) D(32, 8) = 8 и K(32,8) = 32;

б) D(17,35)= 1 и K(17,35) = 595;

в) D(255,306) = 17 и K(255,306),= 78030,

3. Найдите К(а, b), если известно, что:

а) а = 47,b=105 и D(47,105)= 1;

б) а = 315,b = 385 и D (315,385) = 35.

4. Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.

5. Из множества чисел 1032, 2964,5604,8910, 7008 выпиши­те те, которые делятся на 12.

6. Делятся ли на 18 числа 548 и 942?

7. К числу 15 припишите слева и справа по; одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

8. Найдите цифры а и 6 числа 72, если известно, что это число, делится на 45.

9 Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30:

а) 105∙20; 6)47∙12∙5; в) 85∙33∙7.

10. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений, делятся на 36.

а) 72 + 180 + 252; в) 180 + 252 + 100;

б) 612-432; г) 180 + 250 + 200.

 

91. Простые числа

Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные начала. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства:

Теорема: Любое составное число можно единственным об­разом представить в виде произведения простых множителей.

Например, запись 110 = 2∙5∙11 есть представление чис­ла 110 в виде произведения простых множителей или разло­жение его на простые множители.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь по­рядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по сущест­ву, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из спо­собов записи разложения чисел на простые множители. Раз­ложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит , 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 - под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 - простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложе­ние на множители закончено.

90 = 2∙3∙3∙5

При разложении числа на простые множители произведе­ние одинаковыx множителей представляют в виде степени: 90 = 2∙32∙5; 60 = 22∙3∙5; 72 = 23∙32. Такое разложение числа на простые множители называют каноническим.

В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необхо­димость определять, является данное число простым или со­ставным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие мате­матики, которым были известны многие свойства простых чи­сел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ по­лучения простых чисел, не превышающих натурального чис­ла а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.

Выпишем все натуральные числа от 1 до 50 и зачеркнем число 1 - оно не является простым. Число 2- простое, обведем его кружком. После этого зачеркиваем каждое второе число, стоящее после 2, т.е. числа 4,6,8,...

Первое не зачеркнутое число 3 является простым, обведем его кружком. И вычеркнем каждое третье число, стоящее по­сле 3, т.е. числа 9, 15,... (числа 6,12 и др. зачеркнуты раньше).

Первое не зачеркнутое число 5 является простым, его также обведем кружком. Зачеркнем каждое пятое число после 5 и т.д

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. По­скольку 72 = 49, а 49 < 50, то все оставшиеся числа - простые.

Итак, простыми числами, не превосходящими 50, являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Описанный способ получения простых чисел называется решетом Эратосфена, так как позволяет отсеивать одно за другим составные числа.

С помощью метода, предложенного Эратосфеном, можно отыскивать все простые числа, не превосходящие заданного числа а. Но он не дает ответа на вопрос, конечно или нет множество простых чисел, - ведь могло бы оказаться, что все числа, начиная с некоторого, составные и множество простых чисел конечно. Решением этой проблемы занимался другой греческий математик - Евклид. Он доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Действительно, предположим, что множество простых чисел конечное и исчерпывается числами 2, 3, 5, 7, 7 - самое большое простое число. Перемножим все про­стые числа и их произведение обозначим через а. Прибавим к этому числу 1. Каким будет полученное число

а + 1 - про­стым или составным?

Простым число а+1 быть не может, потому что оно больше самого большого простого числа, а по предположе­нию таких чисел не существует. Но составным оно тоже быть не может: если а + 1 .составное, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель q. Так как число

а = 2∙3∙5∙...∙р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) - а, т.е. число 1, делится на q, что невозможно.

Итак, число а не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, наше предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество про­стых чисел бесконечное.

Упражнения

1. Из множества чисел 13, 27, 29, 51, 67 выпишите простыечисла, а составные разложите на простые множители.

2. Докажите, что число 819 не является простым числом.

3. Разложите на простые множители числа 124,588,2700,3780.

4. Какое число имеет разложение:

а) 23∙327∙13; б) 22∙3∙53?

 

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Даны числам a, b и c, причем a делится на b и b делится на с

www.birmaga.ru 1
  1. Даны числам a, b и c, причем a делится на b и b делится на с. Найдите НОД(a,b,c) и НОК(a,b,c).

  2. Докажите, что число делится на 2.
  3. Докажите, что число делится на 10.
  4. Если натуральное число делится на а и на b, то оно делится и на произведение ab. Каким свойством должны обладать натуральные числа a и b, чтобы это утверждение было верным?
  5. Определите, может ли сумма двух взаимно простых чисел иметь с одним из этих чисел наибольший общий делитель, больший единицы.
  6. Число а – натуральное число меньше 45, которое не делится на 2, на 3 и на 5. Верно ли, что а – простое число?
  7. Определите, может ли число, составленное из одних восьмерок, делиться на число, составленное из одних троек? А наоборот?
  8. Мальчик и девочка измерили одно и то же расстояние в 143 м шагами, причем 20 раз их следы совпали. Найдите длину шага мальчика, если шаг девочки равен 55 см.
  9. В числе сосчитали сумму цифр. В полученном числе вновь сосчитали сумму цифр и продолжили этот процесс до тех пор, пока не получили однозначное число. Какое это число?
  10. Известно, что a, b, c – простые числа, причем произведение abc четно. Докажите, что сумма a+b+c также четна.
  11. Найдите НОД и НОК чисел 70а и 55b, где a и b – простые числа, больше 10.
  12. Замените звездочки четырьмя одинаковыми цифрами так, чтобы числа 1** и *4* были взаимно простыми. Укажите все возможные решения.
  13. Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
  14. Цифры трехзначного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее. Докажите, что разность делится на 9 и на 11.
  15. Задумано пятизначное число, являющееся кубом натурального числа. Восстановите задуманное число, если известно, что оно должно делится на 3 и последняя его цифра 6.
  16. Перемножив четыре последовательных простых числа. Получили в результате число, цифра единиц которого 0. Какие числа перемножили?
  17. Существует ли такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552?
  18. Произведение некоторых простых чисел равно 30030. Каким числом является их сумма – простым или составным?
  19. Натуральные числа a и b таковы, что 31a=54b. Докажите, что число (a+b) – составное.
  20. Может ли НОД двух чисел быть больше их разности?
  21. Докажите, что любые два последовательных натуральных числа взаимно простые.
  22. Разность двух нечетных чисел равна 8. Докажите, что эти числа взаимно простые.
  23. Найдите НОД всех пятизначных чисел, записанных при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений.
  24. Среди первых 2000 натуральных чисел найдите три различных числа. НОД которых является наибольшим из всех возможных.
  25. Докажите, что произведение НОД и НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел.
  26. НОК двух чисел 360, а частное от деления этих чисел на их НОД соответственно равны 3 и 5. Найдите эти числа.
  27. Спортсменов построили в колонну по 6 человек, а затем перестроили, поставив по 4 человека. Сколько всего спортсменов, если их больше 90, но меньше 100?
  28. Миша ходит в бассейн один раз в 3 дня. Вася – в 4 дня, а Костя – в 5 дней. Они встретились в бассейне в понедельник (видимо прогуляли урок математики…). Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?
  29. Найдите наименьшее шестизначное число, делящееся на 3, 7 и 13 без остатка.
  30. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, а при делении на 3 дает в остатке 2.
  31. Наименьшее общее кратное двух чисел 720, их НОД в 12 раз меньше наименьшего общего кратного. Зная, что первое число равно 240, найдите второе число.

www.birmaga.ru

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа - урок 2 - ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ - ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ - ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС - разработки уроков - авторские уроки - план-конспект урока

ГЛАВА I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

 

§ 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ (20 ч)

 

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА (3 ч)

 

Урок 15. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

 

Цели: обобщить имеющиеся у учащихся знания о наибольшем общем делителе натуральных чисел, о взаимно простых числах; развивать умение самостоятельно работать: воспитывать умение внимательно выслушивать мнение других.

Ход урока

I. Организационный момент

 

II. Устный счет

— Может ли разложение на простые множители числа 14 652 содержать множитель 3? Почему? (Сумма цифр числа равна 18, 18 делится на 3, значит, данное число делится на 3.)

— Назовите все нечетные числа, удовлетворяющие неравенству 234 < x < 243.

— Назовите 3 числа, кратных: а) 5; б) 15; с) числу а.

— Назовите по 3 числа, взаимно простых с числом: 3, 7, 10, 24.

3: 5, 7, 8;                                       

7: 12,24,43;

10: 3, 7, 13;                                   

24: 7, 13, 17.

— Петух, стоя на одной ноге, весит 5 кг. Сколько он будет весить, если встанет на обе ноги? (5 кг.)

 

III. Индивидуальная работа

1 карточка

1. Запишите два простых числа х, которые удовлетворяют неравенству 11 < х < 22.

2. Докажите, что числа 136 и 119 не взаимно простые.

3. Разложите на простые множители 252.

4. Найдите наибольший общий делитель:

а) 35 и 18;    б) 36, 54 и 72.

2 карточка

1. Запишите два простых числа х, которые удовлетворяют неравенству 21 < х < 37.

2. Докажите, что числа 209 и 171 не взаимно простые.

3. Разложите на простые множители 226.

4. Найдите наибольший общий делитель:

а) 49 и 48;    б) 12, 18 и 20.

 

IV. Сообщение темы урока

— Сегодня на уроке мы продолжим находить наибольший общий делитель натуральных чисел и будем решать задачи.

 

V. Закрепление изученного материала

1. Один ученик работает у доски, остальные — в тетрадях.

Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дробей.

Сначала проверьте, не будет ли большее число делиться на наименьшее из них число. Если да, то меньшее число и есть их наибольший общий делитель.

Ответ: НОД (20; 30) = 10, НОД (8; 24) = 8, НОД (15; 35) = 5, НОД (13; 26) = 13, НОД (8; 9) = 1, НОД (24; 60) = 12.

2. Устно докажите, что числа взаимно простые:

а) 7 и 13;   б) 25 и 64;     в) 12; 6 и 5.

 

VI. Физкультминутка

 

VII. Работа над задачей

1. № 153 стр. 26 (самостоятельно в тетрадях).

— Прочитайте задачу.

— Запишите решение.

— Кто не знает, как решать эту задачу, подойдите к доске.

2. Индивидуальная работа. (Учитель подробно разбирает задачу.)

— О ком говорится в задаче?

— О чем говорится в задаче?

— Расскажите задачу.

— Назовите первую часть вопроса задачи. (Сколько автобусов было выделено?)

— Можно сразу узнать, сколько автобусов было выделено? (Нет. Мы не знаем, сколько пассажиров в каждом автобусе.)

— Назовите вторую часть вопроса задачи. (Сколько пассажиров было в каждом автобусе?)

— Как это узнать? (Найти НОД чисел 424 и 477.)

Решение:

1) НОД (424; 477) = 53, значит, 53 пассажира в одном автобусе.

2) 424 : 53 = 8 (авт.) - в лес.

3) 477 : 53 = 9 (авт.) — на озеро.

4) 8 + 9 = 17 (авт.)

— Как по-другому можно найти количество автобусов? (Узнать, сколько всего пассажиров было, и общее количество пассажиров разделить на количество пассажиров в одном автобусе.)

424 + 477 = 901 (п.) — всего.

901 : 53 = 17 (авт.).

(Ответ: всего автобусов 17; в каждом автобусе 53 человека.)

3. № 165 (1) стр. 28.

— Прочитайте задачу.

— Что известно? Что надо найти? Составьте краткую запись.

Решение:

1) 820 : 5 · 2 = 328 (м) — отремонтировали во вторник.

2) 820 — 328 = 492 (м) — осталось отремонтировать.

3) 492 : 3 · 2 = 328 (м) — отремонтировали в среду.

4) 492 — 328 = 164 (м) — отремонтировали в четверг.

(Ответ: 164 м.)

 

VIII. Повторение изученного материала

1. Пока те учащиеся, которые разбирали задачу у доски, записывают решение, остальные выполняют № 154 стр. 26.

— Запишите промежуточные ответы.

Ответ:

а) 7; 3,5; 3,2; 8

б) 0,5; 0,1; 2,1; 3

в) 3,2; 4; 0,4; 0,2

г) 0,96; 3,2; 3; 0,3

д) 0,3; 1,5; 0,1; 10.

2. № 155 стр. 27 (устно).

— Так как расстояние от 5 до а, от а до с равно расстоянию от 0 до 5, следовательно, а = 10, с = 15, значит а, с — составные числа.

— Так как расстояние от 0 до в равно пяти расстояниям от 0 до 5 да еще 1 единичный отрезок, то в = 26, значит в - составное.

3. № 163 стр. 27 (взаимопроверка).

— Определите вид углов. (Угол ЛОВ - острый, угол DEF — тупой.)

 

IX. Историческая справка

— Где возникло градусное измерение углов? (В Древнем Вавилоне.)

— Еще Клавдий Птолемей (II в.) и

compendium.su



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"