Матрицы: основные понятия и определения. Матрицы это

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,...m; j=1,2,...n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a11, a22 ,..., ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i=1,2,...,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a1n, a2n-1 ,..., an1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n, где n - порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x- вектор длины n - образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

AT=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A0=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q- произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

aij=aji ;   i=1,2,...n,   j=1,2,...n

matworld.ru

Матрицы в математике, основные понятия и определения

При этом говорят, что эта матрица имеет размер .

Способы обозначения матриц

Матрицы обозначают:

Виды матриц

В зависимости от размера матрицы, вида и размещения элементов выделяют такие виды матриц:

  • если число строк и столбцов в матрице совпадает и равно то такая матрица называется квадратной порядка ;
  •    

  • если число строк не совпадает с числом столбцов, то матрица называется прямоугольной;
  •    

  • если матрица состоит из одной строки, то её называют вектор-строка;
  •    

  • если матрица состоит из одного столбца, то её называют вектор-столбец;
  •    

  • матрицу размером называют скаляром;
  •    

  • если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов стоящих на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной:
  •    

  • диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной и обозначается буквой
  •    

  • если все элементы матрицы нули, то её называют нулевой матрицей;
  • квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Если нули расположены ниже главной диагонали, то матрица верхнетреугольная, а если выше – нижнетреугольная.

Равные матрицы

Две матрицы и равны, если

  1. обе они имеют одинаковый размер;
  2. их соответствующие элементы равны.
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .
  2. - нельзя, т.к. размеры матриц различны.
  3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

  1. .

Примеры.

  1. .
  2. Найти 2A-B, если , .

    .

  3. Найти C=–3A+4B.

    Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

    Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

  2. Найти произведение матриц.

    .

  3. .
  4. - нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
  5. Пусть

    Найти АВ и ВА.

  6. Найти АВ и ВА.

    , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  1. .
  2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .
  2. .
  3. Решите уравнение..

    .

    (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

    (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

    (x-4)(x-1)=0.

    x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

www.toehelp.ru

1. Матрицы. Виды матриц | spiruk

1. Матрицы. Виды матриц

Понятие / определение матрицы. Виды матриц

Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение: Хотя иногда в литературе встречается обозначение: 

spiruk.wordpress.com

Матрицы - что такое? Типы матриц

Сегодня уже практически невозможно найти человека, который бы до сих пор пользовался ЭЛТ-монитором или старым кинескопным телевизором. Эту технику быстро и успешно вытеснили ЖК-модели, в основе которых лежат жидкие кристаллы. Но не менее важны матрицы. Что такое жидкие кристаллы и матрицы? Все это вы узнаете из нашей статьи.

Предыстория

Впервые о жидких кристаллах мир узнал в 1888 году, когда известный ботаник Фридрих Райнитцер обнаружил существование странных веществ в растениях. Его изумило, что некоторые вещества, изначально обладающие кристаллическим строением, при нагревании полностью изменяют свои свойства.

Так, при температуре в 178 градусов Цельсия вещество это сначала мутнело, а затем и вовсе превращалось в жидкость. Но открытия на этом не закончились. Выяснилось, что странная жидкость в электромагнитном отношении проявляет себя как кристалл. Именно тогда появился термин «жидкий кристалл».

Принцип работы ЖК-матриц

На этом и основана работа матрицы. Что такое матрица? Это многозначный термин. Одно из его значений - дисплей ноутбука, ЖК-монитор или экран современного телевизора. Сейчас мы узнаем, на чем основан принцип их работы.

А зиждется он на обычной поляризации света. Если вы помните школьный курс физики, то там как раз рассказывается о том, что некоторые вещества способны пропускать свет только одного спектра. Именно поэтому два поляризатора под углом 90 градусов вообще могут не пропускать свет. В случае, когда между ними расположено какое-то устройство, которое может свет поворачивать, мы получим возможность регулировать яркость свечения и прочие параметры. В общем-то, это и есть простейшая матрица.

Упрощенное устройство матриц

Обычный ЖК-дисплей всегда будет состоять из нескольких постоянных частей:

  • Лампы подсветки.
  • Отражатели, которые обеспечивают равномерность упомянутой выше подсветки.
  • Поляризаторы.
  • Подложка из стекла, на которую нанесены проводящие контакты.
  • Некоторое количество пресловутых жидких кристаллов.
  • Еще один поляризатор и подложка.

Каждый пиксель такой матрицы формируется из красной, зелёной и синей точек, комбинация которых позволяет получать любой из имеющихся цветов. Если включить все одновременно, в результате получается белый. Кстати, а что такое разрешение матрицы? Это количество пикселей на ней (1280х1024, к примеру).

Какие бывают матрицы?

Если упрощенно, то они бывают пассивные (простые) и активные. Пассивные – самые простые, в них пиксели срабатывают последовательно, от строки к строке. Соответственно, при попытках наладить производство дисплеев с большой диагональю выяснилось, что приходится несоразмерно увеличивать длину проводников. В результате не только значительно повышалась стоимость, но и увеличивалось напряжение, что приводило к резкому росту числа помех. А потому пассивные матрицы могут быть использованы только лишь при производстве недорогих мониторов с небольшой диагональю.

Активные разновидности мониторов, TFT, позволяют управлять каждым (!) из миллионов пикселей по отдельности. Дело в том, что каждым пикселем управляет отдельный транзистор. Чтобы ячейка преждевременно не теряла заряд, к ней добавляют отдельный конденсатор. Разумеется, за счет подобной схемы удалось многократно уменьшить время отклика каждого пикселя.

Математическое обоснование

В математике матрицей называется объект, записанный в виде таблицы, элементы которой находятся на пересечении ее строк и столбцов. Нужно отметить, что матрицы вообще широко используются в компьютерах. Тот же дисплей можно трактовать как матрицу. Поскольку каждый пиксель обладает определенными координатами. Таким образом, любое изображение, которое образуется на дисплее ноутбука, есть матрица, в ячейках которой содержатся цвета каждого пикселя.

Каждое значение занимает ровно 1 байт памяти. Немного? Увы, но даже в этом случае один только кадр FullHD (1920×1080) будет занимать пару Мб. А сколько места потребуется для фильма на 90 минут? Именно поэтому изображение сжимают. Огромное значение при этом имеет определитель.

Кстати, а что такое определитель матрицы? Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Под матрицей в этом случае понимается математическое выражение, описывающее расположение пикселей, в котором закодированы их цвета. Квадратной она называется потому, что число строк и столбцов в ней одинаково.

Почему это так важно? Дело в том, что при кодировании используется преобразование Хаара. По сути, преобразование Хаара — это поворот точек таким образом, чтобы их можно было удобно и компактно закодировать. В результате получается ортогональная матрица, для декодирования которой как раз используется определитель.

Сейчас мы рассмотрим основные типы матрицы (что такое сама матрица, мы уже выяснили).

TN+film

Одна из наиболее дешевых и распространенных сегодня моделей дисплеев. Отличается сравнительно быстрым временем отклика, но довольно плохой цветопередачей. Проблема в том, что кристаллы в этой матрице расположены так, что углы обзора получаются незначительными. Чтобы бороться с этим явлением, была разработана специальная пленка, которая позволяет несколько расширить углы обзора.

Кристаллы в этой матрице выстроены в колонну, тем самым напоминая солдат на параде. Кристаллы скручены в спираль, благодаря чему идеально плотно цепляются друг за друга. Чтобы слои хорошо прилегали к подложкам, на поверхности последних делаются специальные выемки.

К каждому кристаллу подведен электрод, регулирующий напряжение на нем. Если напряжения нет, то кристаллы поворачиваются на 90 градусов, в результате чего свет свободно проходит через них. Получается обычный белый пиксель матрицы. Что такое красный или зеленый цвет? Как он получается?

Как только подается напряжение, спираль сжимается, причем степень сжатия напрямую зависит от силы тока. Если значение максимальное, то кристаллы вообще перестают пропускать свет, в результате чего получается черный фон. Чтобы получить серый цвет и его оттенки, положение кристаллов в спирали регулируется так, чтобы некоторое количество света они пропускали.

Кстати, по умолчанию в этих матрицах всегда активированы все цвета, в результате чего пиксель белый. Именно поэтому так легко определить сгоревший пиксель, который всегда проявляется в виде яркой точки на мониторе. Учитывая, что с цветопередачей у матриц этого типа всегда проблемы, очень сложно добиться также отображения черного цвета.

Чтобы хоть как-то исправить положение, инженеры расположили кристаллы под углом 210°, в результате чего качество цветопередачи и время отклика возросли. Но и в этом случае не обошлось без накладок: в отличие от классических TN-матриц, возникла проблема с оттенками белого, цвета получались размытыми. Так появилась технология DSTN. Суть ее в том, что дисплей делится на две половины, каждая из которых управляется по отдельности. Качество отображения резко улучшилось, но вырос вес и стоимость мониторов.

Вот что такое матрица в ноутбуке TN+film типа.

S-IPS

Компания Hitachi, как следует намучившись с недостатками предыдущей технологии, решила больше не пытаться усовершенствовать ее, а попросту изобретать что-то кардинально новое. Тем более что Гюнтер Баур в 1971 году выяснил, что кристаллы можно располагать не в виде скрученных колонн, а укладывать параллельно друг другу на стеклянную подложку. Разумеется, в этом случае туда же крепятся передающие электроды.

Если на первом поляризационном фильтре нет напряжения, свет свободно проходит через него, но задерживается на второй подложке, плоскость поляризации которой всегда расположена под углом 90 градусов по отношении к первой. За счет этого не только резко увеличивается скорость срабатывания монитора, но и черный цвет - действительно черный, а не вариация темно-серого оттенка. Кроме того, большим достоинством являются развернутые углы обзора.

Недостатки технологии

Увы, но на поворот кристаллов, которые расположены параллельно друг другу, требуется намного больше времени. А потому и время отклика на старых моделях достигало поистине циклопического значения, 35-25 мс! Порой можно было наблюдать даже шлейф от курсора, а уж про динамичные сцены в игрушках и фильмах пользователям лучше было забыть.

Так как электроды расположены на одной подложке, требуется намного больше электроэнергии для разворота кристаллов в требуемом направлении. А потому все мониторы на основе IPS-матриц редко получают звезду Energy Star за экономичность. Разумеется, для подсветки подложки также требуется применять более мощные лампы, а это никак не улучшает ситуацию с повышенным потреблением электроэнергии.

Технологичность изготовления таких матриц высока, а потому до недавнего времени они были очень и очень недешевыми. Словом, со всеми достоинствами и недостатками, такие мониторы прекрасно подходят для дизайнеров: качество цветопередачи у них превосходное, а временем отклика в некоторых случаях можно пожертвовать.

Вот что такое IPS-матрица.

MVA/PVA

Так как у обоих вышеописанных типов матриц есть недостатки, которые устранить фактически невозможно, в Fujitsu была разработана новая технология. Фактически MVA/PVA является доработанной версией IPS. Главное отличие – электроды. Они располагаются на второй подложке в виде своеобразных треугольников. Такое решение позволяет быстрее реагировать кристаллам на изменение напряжения, а цветопередача становится намного качественнее.

Фотоаппараты

А что такое матрица в фотоаппарате? В этом случае так называется кристалл проводника, который также известен под названием прибора с зарядовой связью (ПЗС). Чем в матрице фотоаппарата больше ячеек, тем она лучше. Когда затвор камеры открывается, через матрицу проходит поток электронов: чем их больше, тем возникающий ток сильнее. Соответственно, в темных частях тока не образуется. Участки матрицы, чувствительные к определенным цветам, в результате и формируют полноценное изображение.

Кстати, а что такое размер матрицы, если говорить о компьютерах или ноутбуках? Все просто – так называется диагональ экрана.

fb.ru

Лекция 4. Матрицы и определители

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Пример 13. , ,,.

В общем случае матрица может содержать строк истолбцов

.

Числа называютсяэлементами матрицы, где - указывает номер строки,- указывает номер столбца.

Элементы образуютглавную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называетсяматрицей – го порядка.

Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда, для всех,.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Пример 14. .

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Пример 15. .

Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

Пример 16. , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

Пример 17. ,.

Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

Пример 18. ,.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

Пример 19. ;

Очевидно, что .

Действия над матрицами.

Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то, причем

, для всех .

Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

Пример 21. Пусть , тогда. Матрицаназываетсяпротивоположной к матрице.

Умножение матриц.

Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицыВ этом случае справедливо соотношение, причем элементы матрицыравны,,. Другими словами строки матрицыумножаются на столбцы матрицы

Пример 22. Пусть ,. Тогда

,

.

Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие, то матрицыиназываютсяперестановочными друг с другом.

Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

  1. под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;

  2. первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

  1. Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).

  2. Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.

  3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы называютсяэквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

Пример 24. Если , то. Так.

Если , то.

Так .

Если , то

. Так

.

При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.

Свойства определителей.

Пусть дана квадратная матрица

Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается

Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из негостроки истолбца. Например

, .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число. Например

, .

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.

22

studfiles.net

Что такое Матрица? | Вики Истины Сознания

Что такое матрица?

Матрица - это система, представленная в уме каждого человека набором шаблонов, которые обуславливают его поведение и влияют на все аспекты бытия. Шаблоны передаются путем информации - через воспитание, обучение, СМИ. "Зараженные" этими шаблонами взрослые, распространяют ее уже повсюду, даже путем обычного общения.

Матрица - абстрактна, и она не существует без людей, и контролируют её сами же люди, подключенные к ней. Этот процесс уже полностью автоматизирован. Человек подключенный к матрице (почти все люди), имеет ограниченное линейное мышление, построенное на причинно-следственной модели, и такое мышление делает диапазон восприятия людей очень узким.

Ум настолько привык к шаблонам мышления, что уже и не видит их. Даже, выезжая на природу, человек не может от них отключиться и он даже берет с собой часть матрицы, которая должна поддерживать, подпитывать эти шаблоны. Например, берет сотовый телефон, ну или делает конкретно то, для чего он и приехал, например позагорать (программа!). И каждый человек, сам того не подозревая, является "агентом", подкрепляющим матрицу практически любым своим действием, мнением. "Помогает"  другим не вылезти за рамки...Никакой человек не создает новую информацию в причинно-следственном мышлении, он лишь меняет ее. Размышляя, он анализирует уже имеющуюся информацию. Результат - мнение - лишь результат обработки информации. Она по сути - чужая. То есть получается, что "наше" мнение - это лишь наш анализ. Но анализ - это обработка ума информации при помощи шаблонов мышления - также чужими, навязанными матрицей. Чужие шаблоны, чужая информация - так чье же мнение в итоге?!..."Наше" мнение - это всего лишь результат работы общей системы разделений. То что, это мнение - наше - лишь иллюзия, получаемая из-за того, что процесс мышления происходил под нашим "контролем"... Но контроль - это лишь то состояние, что ощущает ум, эту хитрость и использует матрица. На самом деле - работа ума происходит не под нашим контролем, а под - "использованием нас". Вот что есть нашего в мнении... Человек - батарейка! Запрограммированная кукла... Чем мнение жестче (утверждения, уверенность), тем жестче программа.

Шаблоны матрицы записываются на "зеркало", которое есть у каждого рожденного человека. Зеркало имеет определенную структуру. Его основы -"чувство потребности" и "чувство собственности". Человек, как хищник, неявно говорит "дай!" даже когда делает добро. Он ожидает и реагирует, а не делает просто так, от себя, "беспрограммно". Чувство собственности генерирует ложное понимание собственного мнения, собственного тела, различного имущества. Человек отождествляет себя с ними. Вместе, эти два чувства генерируют разные страхи, страсти... Зеркало обрастает многочисленными слоями, которые снять очень непросто. В них содержится много всего - и такие как жадность, ревность, лень, и такие как вина, стыд, и даже такие как вера в бога, альтруизм, защита правды, ощущение несправедливости. Многие истинные вещи, как любовь, благодарность перекрываются зеркальными, построенными на реакции, ожидании. Все эти хитрые слои зеркала замутняют сознание. Когда человек неосознан, он не способен реально осознавать собственные программы.

Многие пытаются выйти из матрицы. Ищут путь к освобождению, просветления ищут... Но наталкиваются на иные уловки матрицы. Те же "вознесения", "переходы 2012" и тд. В Матрице-3 Нео сказал - "придумав избранного Матрица создала лишь еще одно средство контроля". Да, даже "выход из Матрицы" - это программа!Как же вы можете выйти, если ваше мышление изначально "программно"? Нужен переход на СОВЕРШЕННО ИНОЕ ВОСПРИЯТИЕ! Нужно рас-программировать ядро матрицы!

"Проблема в выборе!" (настоящий перевод от "problem is a choice", в дубляже перевод неверный) - это основное на что опирается к/ф Матрица через весь фильм. Выбор - это то на чем основывается Матрица... То есть, можно сказать ядро. Но от выбора нельзя отказаться не осознавая его! Пытаться уйти от выбора - это опять же выбор... Замкнутый круг... для ищущего... В к/ф Матрица дается лишь пища для размышления. Реального выхода там нет!

Ну что, я удовлетворил тебя по вопросу "что такое матрица?". Тогда можешь возвращаться в матрицу и продолжать жить с этим знанием. Именно так и поступает большинство. Как и в случае с кинофильмом Матрица. Неужели ты думаешь, что Матрица бы допустила выпуск фильма способный ее разрушить??? Фильм то популярный... Ответ прост. Даже сам интерес к выходу из матрицы возникает все равно в "прозомбированом" разуме... Как  удовлетворить всех этих людей безопасно для матрицы? Разумеется, надо дать им информацию таким образом, чтобы, продолжая искать выход, они продолжали работать на матрицу...Все что до этого - синяя таблетка, то что ниже - красная...Далее будет не информация, не пища для ума... Далее будет - покушение на твое состояние. Покушение на твою личность. Покушение на твою матрицу. Ты  входишь  в  зону  запредельного...

Который час?...  Нет, правда, остановись... Застынь... Замедлись...Какого цвета буквы?... Насколько сосредоточены твои глаза? Что чувствуют сейчас твои ноги... руки...Как же ты можешь освободится... Как же ты можешь увидеть матрицу, если ты действуешь как запрограммированная кукла... Обрабатываешь все информационно, ничего не чувствуя при этом...Разве ты оставляешь лазейку истине просочится к твоему сознанию? Все время перевариваешь, обрабатываешь...Дай информацию, дай, ням ням ням... Еще, еще, еще... Голодный что-ли? Кто голоден? Твой разум... Компьютер... Ты порабощен матрицей... Как же ты можешь выйти из нее... Выход из нее прямо ЗДЕСЬ. Но ты настолько разогнан что даже в упор его не видишь...  Ты живешь у себя в голове... В ее реальности... Ты как игрок, настолько вовлеченый в игру, что глядя в монитор слился с ним, не можешь от него оторваться... Это не просто. Но это воз'можно...Так до'говор'имся с тобой... Прямо сейчас, измени свое СОСТОЯНИЕ.СОБЕРИ СЕБЯ! Почувствуй себя в теле... Почувствуй свой ВЗГЛЯД...Сконцентрируйся... Не напрягайся. Это как раз обратно напряжению, но не есть расслабление все же... Это иное... Это выход из беспрерывности разума... Читай не слишком бегло, не программно. Читай осознанно каждое слово... Ощущай... Осознанно... Вопрос "что такое матрица" - "не там". СОСТОЯНИЕ - вот секрет! Объяснение - это то чего требует разум! Вот так миллионы людей веками ходят кругами. Поисками бога занимаются, просветлением, освобождением... Чем бы дитя не тешилось, лишь бы не останавливалось... продолжало находиться в том же СОСТОЯНИИ... ВОСПРИЯТИИ... ВНИМАНИИ... Все они по прежнему - ЛИЧНОСТИ, имеющие РАЗДЕЛЕНИЕ в сознании, и воспринимает у них - уже слабая разделенная часть, очень очень ограниченная часть... А бог там у них, добро ли, любовь - какая разница чем заполнить разум, лишь бы чем-то да занять... Матрица - гибкая штука, хитрая как черт... 

Так, найдет ли таким способом человек настоящую дверь? Дверей не мало! Просто, эта дверь для него не существует. Он продолжит искать СВОЙ(!) выход - тот выход о котором он ИМЕЕТ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ. То что он СПОСОБЕН ВОСПРИНИМАТЬ... Для кого-то матрица приготовила революции и смену власти (какая разница какая власть, ведь власть - уже матрица), для другого - бога (власть тоже, неправда ли?), ну и тд...  Чтобы увидеть дверь нужно быть... Нет, не избранным (кто тебя может избрать? не матрица ли?)... Нужно иметь сильную Волю...Человек, по-настоящему идущий путем освобождения, допускает запредельное... Он допускает, что за пределами известного, он может столкнуться с вещами, с которыми не знает как себя вести. Это подобно тому, как если бы ты шел в темноте на ощупь... Именно так и происходит... Помни одну вещь, все что дает тебе КОНКРЕТНЫЕ знания - обман... Путь освобождения НИЧЕГО НЕ ДАЕТ. Он - отнимает... отбирает у тебя - иллюзии... Мало кто проходит это испытание. Большинство, побродив в темноте, не выдерживает неизвестного. Человек не привык жить в неопределенности. Ему нужен план, сроки, знать что его ждет ("планировщики"). А тут ему этого никто не дает. У него это - отбирают... Так они и возвращаются в свою клетку... В свой зоопарк... У тебя должна быть огромная сила воли... для борьбы с собой...Итак, невозможно не только рассказать, невозможно ПОНЯТЬ что такое матрица! Или, может быть, лучше сказать - бесполезно! Ты увидишь это сам... когда очистишь свой разум... Хотя в своих статьях мы даем понимания о матрице, это всего лишь подготовка и не более. В конечном итоге, когда твой разум будет достаточно подготовлен, для настоящего рывка за пределы матрицы ты должен от всего отрешиться... Статьи, практики на этом сайте - направлено на изменение состояния и разрушение РАЗДЕЛЕНИЯ (личности, матрицы)! Нет никакого порядка, плана, программы, последовательности как это читать. Это как раз то что мы разрушаем. Каждый путь - ИНДИВИДУАЛЕН. Удачи! (это пожелание как-то программно прозвучало, не заметил? :D )

Читай также:  Что такое Социум? (Что такое матрица 2)Что такое Личность? Зеркало личности...Matrix Killrer. Уничтожение матрицы. ИнструкцияОсознание Состояния - конкурент-убийца программного делания. Практика"Это Я делаю!" - Практика выхода из матрицы!Матрица: Новая встреча Нео с Архитектором (очень тонко)

Популярный видеоролик от wikimoments - Матрица - иллюзия ищущего

* * *

САЙТЫ СКОПИРОВАВШИЕ НАШУ СТАТЬЮ И НЕ ОСТАВИВШИЕ ССЫЛКИ:В нете всего более 800 цитирований(!) нашей статьи, спасибо google ))Вконтакте -  более 80 страниц и/или групп). Некоторые из них:Атео - За нашу статью получил аж 313 лайков, 66 человек ею поделились )))I L L V M I C O R PИное измерение

Зачем нужно оставлять ссылку? Ответ здесь

wikimoments.org



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"