Как вычесть корень из числа? Корень из разности чисел


Как вычесть корень из числа?

Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

Поможет также таблица квадратных корней:

Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

Разложение на простые множители

1

Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число.1 Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.

Запишите это как: 400 = (25 х 16).

2

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b2. Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.

(25 х 16)

25 х 16

5 х 4 = 20

3

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:

147

= (49 х 3)

= 49 х 3

= 73

4

Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.

Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.

5

Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.

Рассмотрим другой пример: 88.

88

= (2 х 44)

= (2 х 4 х 11)

= (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.

= 2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

info-4all.ru

Устройство для извлечения корня квадратного из разности известной и квадрата неизвестной величин

 

Устройство относится к области измерительной техники и может быть использовано в качестве прецезионного функционального преобразователя. Цель изобретения - повышение быстродействия при упрощении конструкции. Предлагаемое устройство реализует соотношение: , где C2 - известная величина; Y - неизвестная величина; а, m - коэффициенты; K=C/Y, при 1,4142 Y <C. Устройство содержит управляемый делитель напряжения и сумматор с соответствующими связями. 1 ил.

Изобретение относится к измерительной технике и может применяться в качестве функционального преобразователя, когда требуется измерять с высоким быстродействием и высокой точностью значения корня квадратного из разности известной и квадрата неизвестной величин, изменяющихся в большом динамическом диапазоне при определенных соотношениях между этими величинами.

К примеру, при тригонометрических величинах часто требуется изменять значение, пропорциональное выражению: при Y0,707. Устройство должно реализовать следующее соотношение: при C > Y. Реализовать данное выражение можно с помощью устройств для извлечения корня квадратного из разности квадратов двух величин, где C=X, упростив его. Известно устройство для извлечения квадратного корня [1] содержащее операционные усилители, масштабные элементы и управляемые полевые транзисторы. Недостаток устройства низкая точность извлечения корня при изменении входных сигналов в широком динамическом диапазоне из-за увеличения погрешности, возникающей при линейной аппроксимации квадратных зависимостей малых амплитуд входных сигналов. Известно устройство [2] содержащее инверторы, три квадрата, три масштабных блока, блок умножения, ключевой элемент, сумматор. Устройство обладает высоким быстродействием, но использование нескольких квадратов и других функциональных преобразователей ограничивает точность вычисления сигналов малых величин. Известно устройство [3] содержащее операционный усилитель с масштабными резисторами, интегрирующий конденсатор, включенный в цепь обратной связи и ключа сброса, компаратор, RS-триггер, тактовый генератор, RC-фильтр и квадратичный импульсный измерительный преобразователь. Точность вычисления у такого устройства выше, чем у предыдущего, однако быстродействие недостаточно высокое. Известно устройство для извлечения квадратного корня из разности квадратов двух величин [4] содержащее сумматор, блок вычитания и множительно-делительный блок с использованием цепи обратной связи. Устройство характеризуется низкой точностью при малых значениях входных сигналов. Известно другое устройство [5] для извлечения корня квадратного из разности квадратов двух величин, содержащее два блока выделения модуля, выходы которых подключены к первому и второму входам трехвходового сумматора, осуществляющего операцию алгебраического суммирования, блок выделения наибольшего напряжения (амплитудный селектор), выход которого подключен к третьему входу трехвходового сумматора, один вход блока выделения наибольшего напряжения подключен к выходу одного из блоков выделения модуля, а другой вход к выходу трехвходового сумматора. При известной величине одного из сигналов устройство упрощается, при этом используется источник опорного напряжения и трехвходовый сумматор. Устройство довольно простое, обладает высоким быстродействием, однако недостаток такого устройства большая погрешность преобразования в несколько процентов при решении равенства: , где Uоп=C. Наиболее близким техническим решением к заявленному по большему количеству сходных существенных признаков и достигаемому эффекту является устройство для извлечения квадратного корня [6] содержащее преобразователь напряжение-длительность импульса, сумматор, управляемый импульсный делитель напряжения, блок выпрямления с соответствующими связями. Устройство обладает достаточно высокой точностью, однако оно довольно сложное и ограничено по быстродействию. Целью изобретения является повышение быстродействия при упрощении конструкции. Цель в устройстве для извлечения корня квадратного из разности известной и квадрата неизвестной величин, содержащем управляемый делитель напряжения и сумматор, выход которого является выходом устройства, достигается тем, что в нем информационный и управляемый входы управляемого делителя напряжения соединены с первым информационным входом устройства, подключенным к первому входу сумматора, второй и третий входы которого соединены соответственно с вторым информационным входом устройства и с выходом управляемого делителя напряжения. Функциональная схема устройства представлена на чертеже. Предлагаемое устройство содержит управляемый делитель 1 напряжения и сумматор 2. Блоки в устройстве соединены следующим образом. Первый информационный вход устройства соединен с первым входом сумматора, а также соединен с информационным и управляющим входами управляющего делителя 1 напряжения. Второй информационный вход устройства соединен с источником опорного напряжения Uоп и подключен к второму входу сумматора 2, выход которого является выходом устройства, а третий вход соединен с выходом управляемого делителя 1 напряжения. Устройство работает следующим образом. Напряжение Uоп поступает на второй вход сумматора 2 и по условию является максимальным напряжением по сравнению с входным напряжением Uy. Выбирают такой управляемый делитель 1 напряжения, чтобы его коэффициент передачи был равен "1" (единице) при значении управляющего напряжения Uy=Uоп, а при уменьшении управляющего напряжения Uy коэффициент передачи линейно уменьшается. На выходе такого управляемого делителя 1 напряжения получают напряжение U1= Uy (Uy/Uоп). Оно поступает на третий вход сумматора 2, а на его первый вход поступает входное напряжение Uy. Сигналы Uоп, Uy и Uy/K, где K=(Uоп/Uy), алгебраически суммируются в сумматоре 2 с определенным коэффициентом и на его выходе получают напряжение U2, численно равное величине: U2=Uоп-aUy/K+mUy, где U2= Z искомому значению корня квадратного из разности известной величины C2= U2оп и квадрата неизвестной величины Y=Uy. Покажем, что величина напряжения U2, равная алгебраической сумме значений Uоп, Uy и Uy/K с определенными коэффициентами a и m будет соответствовать корню квадратному из разности квадратов входных напряжений Uоп и Uy, где Uоп=C. Для этого рассмотрим два уравнения для Uвых=U2: U2=Uоп-a(Uy)/K+mUy (2), где K=Uоп/Uy, следовательно, Uоп=KUy. Приравняем (1) и (2) и определим коэффициенты a и m, тогда:, откуда получим: Коэффициенты a и m выбирают из условия минимизации погрешности равенства: К примеру, при a=0,655 и m=0,054 будет выполняться равенство где K > 1,4142, с погрешностью меньше 0,5% Установка коэффициента a и m осуществляется выбором сопротивлений резисторов обратной связи сумматора 2: коэффициент передачи сумматора по второму входу будет равен 1,00; коэффициент передачи сумматора по первому входу будет равен значению 0,054; коэффициент передачи по третьему входу будет равен 0,655. Устройство имеет небольшую инструментальную погрешность, которая не превышает методическую погрешность преобразования в 0,5% существенно проще по конструкции, чем прототип, и обладает повышенным быстродействием по сравнению с прототипом, так как оно не использует преобразований, связанных с интервалами времени. В заявленном устройстве управляемый двигатель напряжения практически не внесет дополнительную инструментальную погрешность, так как он работает в небольшом динамическом диапазоне. Для обеспечения погрешности не более j= 0,5% приемлема погрешность не более 1% что легко обеспечить в практической реализации. Устройство выполнено на стандартных элементах, приведено в известном источнике [7] управляемый делитель 1 напряжения выполнен аналогично управляемому делителю напряжения из [7а] сумматор 2 выполнен на операционном усилителе, как в [7б] Используемые источники информации 1. Патент Великобритании N 1484733, G4G, 1977г. 2. Авт. свид. СССР N 894734, G 06 G 7/20, 1981г. 3. Авт. свид. СССР N 955107, G 06 G 7/20, 1982г. 4. Авторское свидетельство СССР N 428760, G 06 G 7/20, 1974г. 5. Авт. свид. СССР N 441570, G 06 G 7/20, 1974г. 6. Авт. свид. СССР N 758186, G 06 G 7/20, 1980г. (прототип). 7. А. Г.Алексеенко, Е.А.Коломбет, Г.И.Стародуб. Применение прецизионных аналоговых интегральных схем. М. Сов. радио, 1980: а) с.63; б) с.77.

Формула изобретения

Устройство для извлечения корня квадратного из разности известной и квадрата неизвестной величин, содержащее управляемый делитель напряжения и сумматор, выход которого является выходом устройства, отличающееся тем, что в нем информационный и управляющий входы управляемого делителя напряжения соединены с первым информационным входом устройства, подключенным к первому входу сумматора, второй и третий входы которого соединены соответственно с вторым информационным входом устройства и выходом управляемого делителя напряжения.

РИСУНКИ

Рисунок 1

www.findpatent.ru

Извлечение корня | Математика

8. Займемся несколько первым из этих двух обратных действий, а именно – извлечением корня. Вместо записи

(?)3 = 64

пишут

Итак, знаком извлечения корня является знак √, причем данная степень (64) пишется под чертою этого знака, а данный показатель (3) над этим знаком.

Запись читается словами «извлечь корень третьей степени из 64». Также точно читают: . . . извлечь корень пятой степени из числа 32; . . . извлечь корень четвертой степени из 625 и т. п.

Вместо «корень второй степени» часто говорят «квадратный корень», причем можно показатель 2 пропускать (2 является самым маленьким показателем и следует помнить, что если никакого показателя над знаком корня не написано, то подразумевается показатель 2):

     √49 . . . квадратный корень из 49     √a . . . квадратный корень из числа a.

Также точно, вместо «корень третьей степени» читают «кубический корень»:

     (см. выше) . . . кубический корень из 64     . . . кубический корень из числа a.

Пусть требуется извлечь корень 4 степени из 625, что записывается так:

Принято называть данную степень (625) подкоренным числом, а данный показатель степени (4) – показателем корня. Мы можем, подбирая, найти, что искомое основание степени есть 5, – этот результат называется именем «корень (четвертой степени)» и записывается в виде

= 5.

Еще примеры: и т. д.

Примеры на чтение формул:

     . . . корень n-ой степени из числа a.     . . . корень квадратный из разности двух чисел (a и b).     . . . корень кубический из произведения двух чисел.     . . . сумма корней квадратных из чисел a и b.     . . . произведение квадратного корня из числа a на кубический корень из того же числа и на корень шестой степени из того же числа.

maths-public.ru

Как складывать и вычитать квадратные корни

Сейчас в школьной программе происходит, что-то не совсем понятно. Одно радует, что в математике все остается неизменной. Работа с корнями, а именно складывание и вычитание не очень сложное действие. Но у некоторых учеников вызывают определенные трудности.

И в этой статье мы разберем правила, как складывать и вычитать квадратные корни.

Вычитать и складывать квадратные корни можно если срабатывает условие, что у этих корней имеются одинаковые подкоренные выражения. Другими словами, мы можем проводить действия с 2√3 и 4√3, а не с 2√3 и 2√7. Но можно провести действия по упрощению подкоренного выражения, чтобы потом привести их к корням, которые будут иметь одинаковые подкоренные выражения. И только после этого уже начать складывать или вычитать.  

Теория складывания и вычитания квадратных корней

Сам принцип очень простой. И составит из трех действий. Нужно упростить подкоренной выражение. Найти получившиеся одинаковые подкоренные выражения и сложить или вычесть корни.

Как упростить подкоренное выражение

Для этого нужно разложить подкоренное число, что бы состояло из двух множителей. Главное условие. Одно из этих чисел должно быть квадратным числом (пример: 25 или 9). После этого действия мы извлекаем корень из данного квадратного числа. И записываем это число перед нашим корнем, а под корнем у нас остается второй множитель.

Например, 6√50 — 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Тут мы раскладываем 50 на два множителя 25 и 2. Потом из 25 мы извлекаем квадратный корень (получаем число 5) и выносим его из под корня. Далее 5 умножаем на 6 и получаем 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. В данном примеры мы 8 раскладываем на два числа 4 и 2. Из 4 извлекаем корень и выносим получившееся число за корень и умножаем его на то число которое было уже за корнем.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Тут мы, как и раньше число под корнем раскладываем на два числа 4 и 3. Из 4-х извлекаем корень. Получившееся число выносим за корень и перемножаем его на то число которое было за корнем.  

В итоге мы преобразовали уравнение 6√50 — 2√8 + 5√12 в такой вид 30√2 — 4√2 + 10√3

Подчеркиваем корни у которых одинаковы подкоренные выражения

В нашем примере 30√2 — 4√2 + 10√3 мы выделяем 30√2 и 4√2 Так, как у этих чисел одинаковое подкоренное число 2.Если в Вашем примере несколько одинаковых подкоренных выражений. Подчеркивайте одинаковые из них разными линиями.

Складываем или вычитаем наши корни

Теперь складываем или вычитаем числа которые имеют одинаковые подкоренные выражения. А то, что под корнем мы оставляем неизменным. Смысл в том, чтобы показать сколько всего корней с определенными подкоренными выражениями есть в заданном уравнении.

В нашем примере 30√2 — 4√2 + 10√3 мы от 30 отнимаем 4 и получаем 26√2

Ответ в нашем примере будет такой. 26√2 + 10√3

Sabibon - самое интересное в интернете

sabibon.info



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"