Решение уравнений с комплексными числами. Комплексные числа как решать примеры


Действия с комплексными числами

Комплексные числа - числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чиселобозначается $\mathbb{C}.$

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$

Умножение двух комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$

 

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

 

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.421.  $(2+3i)(3-i).$

Решение:

$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$

Ответ: $9+7i.$

 

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$

Ответ: $24+22i.$

 

1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$

Решение.

$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$

 {jumi[*4]}

1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$

Решение.

$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$

Ответ: $\frac{14}{5}i.$

 

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$

$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$

$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$

Ответ: $x=2; y=3.$

 

Домашнее задание.

 

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.422.  $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

 

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

Ответ: $-4i.$

 

1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$

Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$

 

1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$

Ответ: $i.$

 

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

 

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

 

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

mathportal.net

Операции над комплексными числами, с примерами

Рассмотрим операции над комплексными числами записанными в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Сравнение

Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.

Два комплексных числа в тригонометрической форме и называются равными, если . То есть, если равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное .

Аналогично для чисел в показательной форме : два комплексных числа равны, если .

Сложение

Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме и определяется следующим образом: суммой чисел и является число

   

Т.е. выполняется непосредственное суммирование действительных и мнимых частей.

Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел также осуществляется в алгебраической форме. Разность двух чисел и является число

   

Таким образом, чтобы вычесть из одного числа другое, выполняется непосредственное вычитание действительных и мнимых частей.

Умножение

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме и выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы :

   

   

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

   

Для произведения комплексных чисел в показательной форме выполняется следующее равенство:

   

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в алгебраической форме и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число:

   

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

   

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

   

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула Муавра:

   

В показательной форме комплексные числа возводятся в степень по следующей формуле:

   

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа

Для извлечения корня из комплексного числа применяют аналогичным образом формулу Муавра (если число не равно нулю):

   

   

Подробнее про извлечение корня читайте в отдельной статье: Извлечение корня из комплексного числа.

ru.solverbook.com

Комплексные числа: определения и основные понятия

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексные числа – это числа вида , где – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению .

Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение .

Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .

Например. — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число , а мнимой частью – вещественное число .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю комплексное число называется чисто мнимым.

Например. , где .

Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел. Любое действительное число может быть записано в форме комплексного числа: .

Например. Комплексные числа обозначают действительное число .

Равенство комплексных чисел

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.

В противном случае комплексные числа называются неравными.

ПРИМЕР
Задание Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными.
Решение По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. .
Ответ

Комплексно сопряженные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплексному числу называется число . ПРИМЕР
Задание Найти для комплексного числа его сопряженное число.
Решение Комплексно сопряженным числом является число вида . Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является .

Следовательно, сопряженное число имеет вид: .

Ответ

Подробнее про комплексно сопряженные числа читайте в отдельной статье: Комплексно сопряженные числа.

Противоположные комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Противоположным к комплексному числу является комплексное число . ПРИМЕР
Задание Найти противоположное число к комплексному числу .
Решение Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью – число .

Следовательно, противоположным числом будет являться число .

Ответ
Читайте также:

Формы записи комплексных чисел

Алгебраическая форма КЧ

Тригонометрическая форма КЧ

Показательная форма КЧ

Модуль комплексного числа

Комплексно сопряженные числа

ru.solverbook.com

Как решать комплексные уравнения. Примеры

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа. 

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:где |z| — модуль числа, φ = arg z  — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = {0, 1, 2, 3, …n-1 }.

Пример 1. Найти все корни уравнения z3 + 2 - 2i = 0

Посмотреть решение

Пример 2. Найти все корни уравнения z2  - z + 5 = 0

Посмотреть решение

Найдем дискриминант уравнения: Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта: Найдем корни уравнения: Ответ: Пример 3. Найти все корни уравнения z4  + 16 = 0

Посмотреть решение

Пример 4. Найти корни уравнения

Посмотреть решение

Ответ: Пример 5. Решить уравнение

Посмотреть решение

Как видно, исходное уравнение задано в непривычном виде, переменная z "спрятана" и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно "вытащить" z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа: После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем "голый" z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции arccos(). Чтобы преобразовать данное выражение, использовали формулу разложения арккосинуса в логарифм, формула выглядит следующим образом: Надеюсь, здесь все понятно. Вместо z - выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i. Получили выражение: Как быть далее? Теперь, точно также, как мы разрешали ситуацию с arccos (), теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом. Формула выглядит следующим образом: Как видим по формуле, для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число: Сделав необходимые расчеты, подставим найденные результаты в формулу: Ответ:

В конце примера предлагаю ознакомиться с перечнем формул, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

mathbaza.ru

Показательная форма комплексного числа

Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме , где — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем

   

Формула Эйлера

Формула Эйлера связывает между собой тригонометрические и показательные функции:

   

где – экспонента, – мнимая единица.

Для комплексного числа выполняется:

   

В случае, когда – вещественное число , верно

   

Если – чисто мнимое число , верно

   

Используя формулу Эйлера, получаем:

   

Подробнее про формулу Эйлера читайте в отдельной статье: Формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения задач

Действия над комплексными числами в показательной форме

Умножение

Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

   

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Деление

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

   

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в показательной форме верна формула:

   

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Деление комплексных чисел, формула и примеры

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Рассмотрим деление комплексных чисел в каждой из форм.

Деление в алгебраической форме

Частное комплексных чисел и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

   

Деление в тригонометрической форме

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

   

Таким образом, чтобы поделить два комплексных числа, нужно поделить их модули и найти разность аргументов.

Деление в показательной форме

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

   

Т.е. чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно найти частное их модулей, а в показателе степени экспоненты найти разность их аргументов.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Формы записи комплексных чисел, определения и примеры

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения своих задач, соответственно вы можете переводить комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от решаемой задачи.

Алгебраическая форма комплексного числа

Например:

  1. Комплексное число и его сопряженное число записаны в алгебраической форме.
  2. Мнимое число записано в алгебраической форме.

Подробнее про алгебраическую форму читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Тригонометрической формой комплексного числа , не равного нулю, называется запись где — модуль комплексного числа .

Ниже мы подробно распишем, как вычислять модуль и аргумент комплексного числа и приведем примеры.

Подробнее про тригонометрическую форму читайте в отдельной статье: Тригонометрическая форма комплексного числа.

Модуль и аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Модулем комплексного числа называется выражение .

Если является действительным числом, то его модуль равен абсолютной величине этого действительного числа.

Например.

Показательная форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Показательной формой комплексного числа называется выражение , где — модуль комплексного числа, — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

Подробнее про показательную форму читайте в отдельной статье: Показательная форма комплексного числа.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"