Решение уравнений с комплексными числами. Комплексные числа как решать примеры
Действия с комплексными числами
Комплексные числа - числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чиселобозначается $\mathbb{C}.$
Действия над комплексными числами.
Сложение комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$
Умножение двух комплексных чисел:
$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$
Умножение комплексного числа на действительное:
$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$
Деление комплексных чисел:
$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$
Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$
Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$
Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$
Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.
Примеры:
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.421. $(2+3i)(3-i).$
Решение:
$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$
Ответ: $9+7i.$
1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$
Решение.
$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$
Ответ: $24+22i.$
1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$
Решение.
$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$
Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$
{jumi[*4]}
1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$
Решение.
$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$
Ответ: $\frac{14}{5}i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$
Решение.
$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$
$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$
$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$
$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$
Ответ: $x=2; y=3.$
Домашнее задание.
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.422. $(1+2i)^2.$
Ответ: $-3+4i.$
1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$
Ответ: $-4i.$
1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$
Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$
1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$
Ответ: $i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Ответ: $x=1/3; y=1/4.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
Ответ: $z_1=1; z_2=i.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$
mathportal.net
Операции над комплексными числами, с примерами
Рассмотрим операции над комплексными числами записанными в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Сравнение
Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.
Два комплексных числа в тригонометрической форме и называются равными, если . То есть, если равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное .
Аналогично для чисел в показательной форме : два комплексных числа равны, если .
Сложение
Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме и определяется следующим образом: суммой чисел и является число
Т.е. выполняется непосредственное суммирование действительных и мнимых частей.
Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.
Вычитание
Вычитание комплексных чисел также осуществляется в алгебраической форме. Разность двух чисел и является число
Таким образом, чтобы вычесть из одного числа другое, выполняется непосредственное вычитание действительных и мнимых частей.
Умножение
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме и выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы :
Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:
Для произведения комплексных чисел в показательной форме выполняется следующее равенство:
Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.
Деление
Частное комплексных чисел в алгебраической форме и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число:
Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:
Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:
Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.
Возведение в степень
Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула Муавра:
В показательной форме комплексные числа возводятся в степень по следующей формуле:
Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.
Извлечение корня из комплексного числа
Для извлечения корня из комплексного числа применяют аналогичным образом формулу Муавра (если число не равно нулю):
Подробнее про извлечение корня читайте в отдельной статье: Извлечение корня из комплексного числа.
ru.solverbook.com
Комплексные числа: определения и основные понятия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексные числа – это числа вида , где – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению .Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение .
Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .
Например. — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число , а мнимой частью – вещественное число .
Если действительная часть комплексного числа равна нулю комплексное число называется чисто мнимым.
Например. , где .
Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел. Любое действительное число может быть записано в форме комплексного числа: .
Например. Комплексные числа обозначают действительное число .
Равенство комплексных чисел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.В противном случае комплексные числа называются неравными.
ПРИМЕР| Задание | Определить, при каких и два комплексных числа и являются равными. |
| Решение | По определению два комплексных числа являются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. . |
| Ответ |
Комплексно сопряженные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сопряженным (или комплексно сопряженным) числом к комплексному числу называется число . ПРИМЕР| Задание | Найти для комплексного числа его сопряженное число. |
| Решение | Комплексно сопряженным числом является число вида . Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью является .
Следовательно, сопряженное число имеет вид: . |
| Ответ |
Подробнее про комплексно сопряженные числа читайте в отдельной статье: Комплексно сопряженные числа.
Противоположные комплексные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Противоположным к комплексному числу является комплексное число . ПРИМЕР| Задание | Найти противоположное число к комплексному числу . |
| Решение | Действительной частью комплексного числа является число , мнимой частью – число .
Следовательно, противоположным числом будет являться число . |
| Ответ |
Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая форма КЧ
Тригонометрическая форма КЧ
Показательная форма КЧ
Модуль комплексного числа
Комплексно сопряженные числа
ru.solverbook.com
Как решать комплексные уравнения. Примеры
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = {0, 1, 2, 3, …n-1 }.
Пример 1. Найти все корни уравнения z3 + 2 - 2i = 0Посмотреть решение
Пример 2. Найти все корни уравнения z2 - z + 5 = 0Посмотреть решение
Найдем дискриминант уравнения: Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта: Найдем корни уравнения: Ответ: Пример 3. Найти все корни уравнения z4 + 16 = 0Посмотреть решение
Пример 4. Найти корни уравненияПосмотреть решение
Ответ: Пример 5. Решить уравнениеПосмотреть решение
Как видно, исходное уравнение задано в непривычном виде, переменная z "спрятана" и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно "вытащить" z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа: После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем "голый" z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции arccos(). Чтобы преобразовать данное выражение, использовали формулу разложения арккосинуса в логарифм, формула выглядит следующим образом: Надеюсь, здесь все понятно. Вместо z - выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i. Получили выражение: Как быть далее? Теперь, точно также, как мы разрешали ситуацию с arccos (), теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом. Формула выглядит следующим образом: Как видим по формуле, для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число: Сделав необходимые расчеты, подставим найденные результаты в формулу: Ответ:В конце примера предлагаю ознакомиться с перечнем формул, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
mathbaza.ru
Показательная форма комплексного числа
Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме , где — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получаем
Формула Эйлера
Формула Эйлера связывает между собой тригонометрические и показательные функции:
где – экспонента, – мнимая единица.
Для комплексного числа выполняется:
В случае, когда – вещественное число , верно
Если – чисто мнимое число , верно
Используя формулу Эйлера, получаем:
Подробнее про формулу Эйлера читайте в отдельной статье: Формула Эйлера для комплексных чисел.
Примеры решения задач
Действия над комплексными числами в показательной форме
Умножение
Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:
Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.
Деление
Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:
Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.
Возведение в степень
Для возведения в степень комплексных чисел в показательной форме верна формула:
Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Деление комплексных чисел, формула и примеры
Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Рассмотрим деление комплексных чисел в каждой из форм.
Деление в алгебраической форме
Частное комплексных чисел и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:
Деление в тригонометрической форме
Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:
Таким образом, чтобы поделить два комплексных числа, нужно поделить их модули и найти разность аргументов.
Деление в показательной форме
Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:
Т.е. чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно найти частное их модулей, а в показателе степени экспоненты найти разность их аргументов.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Формы записи комплексных чисел, определения и примеры
Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения своих задач, соответственно вы можете переводить комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от решаемой задачи.
Алгебраическая форма комплексного числа
Например:
- Комплексное число и его сопряженное число записаны в алгебраической форме.
- Мнимое число записано в алгебраической форме.
Подробнее про алгебраическую форму читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Тригонометрической формой комплексного числа , не равного нулю, называется запись где — модуль комплексного числа .Ниже мы подробно распишем, как вычислять модуль и аргумент комплексного числа и приведем примеры.
Подробнее про тригонометрическую форму читайте в отдельной статье: Тригонометрическая форма комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Модулем комплексного числа называется выражение .Если является действительным числом, то его модуль равен абсолютной величине этого действительного числа.
Например.
Показательная форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Показательной формой комплексного числа называется выражение , где — модуль комплексного числа, — расширение экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.Подробнее про показательную форму читайте в отдельной статье: Показательная форма комплексного числа.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
