МАТАН ЭКЗАМЕН / 34 / возрастание и убывание функции в точке. Когда функция убывает


Возрастающие функции, убывающие функции | Cubens

Возрастающая функция

Определение: Функция называется возрастающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

— растет, если для любых

Свойства возрастающей функции

  1. Если функция возрастает на некотором множестве , то большему значению функции соответствует большее значение аргумента из этого множества
  2. Сумма нескольких возрастающих на данном множестве функций является возрастающей функцией на этом множестве.
  3. Если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает.
  4. Если в составленной функции функция возрастает функция возрастает, то и функция возрастает. Результат последовательного применения двух возрастающих функций - возрастающая функция.
  5. Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.
  6. Любая растущая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.
  7. — возрастающая функция

    — возрастающая функция

Признак возрастания функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале.

Примеры функций возрастают на всей области определения

Нисходящая функция

Определение: Функция называется убывающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

— приходит, если для любых

Свойства убывающей функции

  1. Если функция спадаєна некотором множестве , то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента из этого множества
  2. Сумма нескольких нисходящих на данном множестве функций является убывающей функцией на этом множестве.
  3. Если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.
  4. Если в составленной функции функция убывает и функция убывает, то функция убывает. Результат последовательного применения двух убывающих функций - возрастающая функция.
  5. Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.
  6. Любая нисходящая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.
  7. — убывающая функция

    — убывающая функция

Признак убывания функции

Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

Примеры функций, спадающими на всей области определения

cubens.com

возрастание и убывание функции в точке

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале. В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач. Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной. 

Необходимые определения.

Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X. К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке . Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают . Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.  Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции. На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a; b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x = b, которая не является точкой максимума.

К началу страницы 

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма. Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции:   Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.   Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.   Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].  К началу страницы 

Достаточные признаки экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

  • Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

  • Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

  • Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров.

studfiles.net

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ — Юнциклопедия

Ход изменения функции становится наиболее ясным, если перед глазами есть график этой функции. Для примера рассмотрим график на рис. 1.

Если при возрастании аргумента на некотором промежутке функция у = f(ч) в свою очередь возрастает, так что большему значению х соответствует большее значение у, то функция называется возрастающей в этом промежутке. Если же с возрастанием аргумента функция убывает, так что большему значению х соответствует меньшее значение у, то ее называют убывающей. Так, например, функция на рис. 1 — возрастающая в промежутках от a до b, от c до d и от f до g и убывающая в промежутках от b до c, от e до f и от g до h. На промежутке от d до e функция принимает постоянное значение, не изменяется, можно сказать, что на промежутке от c до d функция f(x) не убывает, а на промежутке от e до f не возрастает. Функции возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие объединяются общим названием «монотонные».

Для функции, заданной аналитически (формулой), построение ее графика может потребовать большого труда. Исследование характера изменения функции, нахождение промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции можно осуществить с помощью ее производной.

Пусть функция y = f(x) в каждой точке некоторого интервала имеет производную. Для того чтобы функция возрастала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная f'(x) была положительна на этом интервале, за исключением лишь отдельных точек, где эта производная может обращаться в нуль. Для того чтобы функция убывала на интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была отрицательна на этом интервале, опять же за исключением лишь отдельных точек, где производная может равняться нулю.

Геометрически этот факт почти очевиден. Производная, как известно, равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Если функция возрастает, то при движении слева направо ее график поднимается, а график убывающей функции опускается (рис. 2 и 3). Ясно, что в первом случае касательная к графику образует с осью Ох острый угол, а во втором случае — тупой. Лишь в отдельных точках касательная может оказаться горизонтальной, т.е. производная в соответствующих точках обратится в нуль.

yunc.org

Возрастание и убывание функций

Математика Возрастание и убывание функций

просмотров - 726

Общая схема исследования функции и построения графика

С помощью производной

Исследование функции

1. Найти область определœения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность, ᴛ.ᴇ. определить возможную симметрию графика. В случае симметрии достаточно построить график на правой части координатной плоскости и затем симметрично отобразить его.

3. Найти асимптоты.

4. Найти точки пересечения с осями, ᴛ.ᴇ. решить уравнения y=f(0) и f(x)=0.

5. Найти интервалы знакопостоянства (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x)<0).

6. Найти интервалы монотонности и точки экстремума.

7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

8. Найти дополнительные точки, уточняющие вид графика, если в этом есть крайне важность.

9. Построить график.

Ранее рассматривалось свойство монотонности функции. Повторим.

Функция принято называть возрастающей на промежутке IÎD(f), если выполняется условие: и неубывающей, если . Функция принято называть убывающей на промежутке IÎD(f), если выполняется условие: и невозрастающей, если .

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке IÎD(f) называются монотонными на этом промежутке, а возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Установим условие возрастания и убывания функции.

Теорема: В случае если функция y=f(x) дифференцируема и f¢(x)³0 (f¢(x)£ 0) на интервале (a;b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале. При f¢(x)>0 (f¢(x)<0) функция возрастает (убывает).

Пример: Найти промежутки монотонности функции .

Функция определœена при . Её производная равна Значит данная функция возрастает на интервалах , убывает на интервале

Замечание 1: В случае если функция непрерывна в каком-либо из концов интервала возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2: В случае если функция в какой-либо точке интервала имеет производную, равную 0, то эту точку можно присоединить к промежутку возрастания (убывания).

К примеру, .

Пример: Найти промежутки монотонности функции .

функция возрастает при в силу замечания 1, функция убывает при .

Замечание 3: В случае если функция возрастает (убывает) на интервалах , то она может не обладать этим свойством на объединœении промежутков. К примеру, функция

Замечание 4: В случае если функция во всœех точках интервала имеет производную, равную 0, то f(x) – постоянная.

Читайте также

  • - Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции

    Одно из самых важных применений производных состоит в том, что с их помощью можно проводить исследования функций, находить промежутки возрастания и убывания, экстремальные значения функции, а также наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на отрезке. ... [читать подробенее]

  • - Возрастание и убывание функций

    Тема 5. Исследование функций с помощью производной Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема... [читать подробенее]

  • - Возрастание и убывание функций

    Общая схема исследования функции и построения графика С помощью производной Исследование функции1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность – нечетность, т.е. определить возможную симметрию графика. В случае симметрии достаточно... [читать подробенее]

  • - ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ИНТЕРВАЛЕ

    ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ ТЕМА №2 Умение применять производные к исследованию функций позволяет исследовать весь ход изменения функции и строить её график. При математических расчетах часто требуется определить... [читать подробенее]

  • - Возрастание и убывание функций.

    Исследование функций с помощью производной. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на... [читать подробенее]

  • - Возрастание и убывание функций.

    Исследование функций с помощью производной. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на... [читать подробенее]

  • - Возрастание и убывание функций.

    Исследование функций и построение графиков теоремы. Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций.По поведению производной функции на промежутках можно судить о ее монотонности на них. Необходимые условия возрастания (убывания)... [читать подробенее]

  • - Возрастание и убывание функций.

    Применение производной в исследовании функций. Политика и ее функции Политическая социализация Политическое лидерство Концепции лидерства: · Этико-мифологическая o Особые физические качества o Нравственные достоинства личности o Богоизбранность ·... [читать подробенее]

  • - Тема V. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

    Тема IV. Производная и дифференциал. 1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл? 2. Какой класс функции шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры. 3. Приведите формулы производных суммы,... [читать подробенее]

  • - Тема V. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

    Тема IV. Производная и дифференциал. 1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл? 2. Какой класс функции шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры. 3. Приведите формулы производных суммы,... [читать подробенее]

  • oplib.ru

    График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность

    Пусть на некоторой плоскости задана прямоугольная система координат. Графиком некоторой функции , (X- область определения) называется множество точек этой плоскости с координатами , где .

    Для построения графика нужно изобразить на плоскости множество точек, координаты которых (x;y) связаны соотношением .

    Чаще всего графиком функции является некоторая кривая.

    Самый простой способ построения графика - построение по точкам.

    Составляется таблица, в которой в одной ячейке стоит значение аргумента, а в противоположной ей значение функции от этого аргумента. Затем полученные точки отмечаются на плоскости, и через них проводится кривая.

    Пример построения по точкам графика функции :

    Построим таблицу.

    Теперь строим график.

    Но таким способом не всегда возможно построить достаточно точный график - для точности нужно брать очень много точек. Поэтому используют различные методы исследования функции.

    С полной схемой исследования функции знакомятся в высших учебных заведениях. Одним из пунктов исследования функции является нахождение промежутков возрастания (убывания) функции.

    Функция называется возрастающей (убывающей)  на некотором промежутке, если , для любых x2 и x1 из этого промежутка, таких, что x2>x1.

    Например, функция, график которой изображен на следующем рисунке, на промежутках возрастает, а на промежутке (-5;3) убывает. То есть, на промежутках график идет «в гору». А на промежутке (-5;3) «под гору».

    Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность.

    Функция называется периодичной, если существует такое число T, что .

    Число T называют периодом функции. Например, функция периодична, здесь период равен 2П, так

    Примеры графиков периодичных функций:

    Период первой функции равен 3, а второй – 4.

    Функция называется четной, если  Пример четной функции y=x2.

    Функция называется нечетной, если  Пример нечетной функции y=x3.

    График четной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия).

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

    Примеры графиков четной (слева) и нечетной (справа) функции:

    studyport.ru

    Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

    Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

    Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

    Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0).

    Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций.

    Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка

    Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

    Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

    Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

    Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

    Достаточные условия наличия точки перегиба.

    Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

    асимптоты прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

    Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.

    Первообра́зной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так, например, функция является первообразной .

    Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

    Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

    ;

    Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям.

    Вычислить интеграл .

    Решение.

    Сделаем замену переменной tg x = t, тогда . Получим табличный интеграл , где C - произвольная постоянная. Производя обратную замену переменной, получим:

    Пусть функции и(х), v(x) имеют непрерывные производные, тогда — формула интегрирования по частям. Она применяется, если более прост для интегрирования, чем . для неопределённого интеграла:

    для определённого:

     

    Пример:

    Определенный интеграл и его геометрический смысл.

    Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.

    Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

    Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

    представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

    Основные свойства определенного интеграла.

    I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

    II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

    III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

    IV. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

    V.

    Формула Ньютона-Лейбница

    Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

    Экстремум функции многих переменных

    Безусловный экстремум

    Точка x0, y0 наз-ся точкой локального min(max), если сущ. Такая окрестность U(x0,y0) этой точки, что f(x,y) f(x0,y0),

    Теорема. Если u=f(x,y) имеет в x0,y0 локальный экстремум и диф-ма в этой же точке, то .

    Теорема. Пусть u=f(x0,y0) диф-ма в окрестности точки x0,y0 и дважды диф-ма x0,y0. Обозначим

    D=a11a22- 12

    Тогда если: 1) D>0,то ф-ция имеет локальный экстремум

    2) D<0-экстремума нет

    3) D=0- требуются дополнительные исследования

    Условный экстремум

    (x0,y0) наз-ся точкой условного лок-ого min(max), если сущ-ет такая окрестность U, что f(x,y) f(x0,y0), f(x,y) f(x0,y0), (x,y) U(x0,y0)/

    Задача отыскания точек условного эк-ма равносильна поиску точек безусловного эк-ма, так наз-ой ф-ции Лангранжа:

    -составим ф-цию:

    где - вектор Лангранжа.

     

    -Составим систему из уравнений

    -Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи

     

    Площадь фигуры и объём тела

    Под фигурой в будем понимать любое множество точек. Прямоугольник П= . Площадь будем обозначать , тогда площадь прямоуг. .

    Фигура F наз. эл-ой, если она сост. из конечных прям-ов Пi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. Элементарные фигуры , наз. соответственно описанными и вписанными в фигуру D, если .Внутренняя площадь S -sup, внешняя S -inf. Фигура D наз. квадрируемой, когда площадь её границы равна 0.

    Объём. Под телом в будем понимать произвольное множество точек. Параллелепипед P= . . Эл-ым телом F наз. тело сост. из объединения конечного числа парал.Fi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. , наз. соответственно описан. и вписанным в тело D, если . Внутренний наз. sup, внешний -inf. Тело D будет кубируемым , когда объём его границы равен 0.

     

    Тройной интеграл.

    Если сущ. Конечный предел не зависящий от разбиения

    и выбора точек ( , ) то этот предел назыв. тройным интегралом и обозна-ся

    Тройной интеграл изучают и используют по аналогам с двойным.

    Аналогично двойному интегралу сущ. формулы,позволяющие перейти от тройного интегр. к повторному(или двойному)

    Например,если T-парал-ед, а -его проекция на плоскость , то тройной интеграл

    = =

    Пусть ф-ция f(x,y,z)непрерывна на D,тогда тройной интеграл по D

    ,

    где I(u,v,w)-матрица Якоби отображения ,(u.v.w)

    Отметим основные классы интегрирования ф-ции:

    1.непрерывные на компакте

    2.оганиченные и непрерывные на мн-ве D,за исключением подмножества мн-ва D,объем которого равен 0.

    3. произведение интегрируемых ф-ций.

     

    Условие Эйлера

    -назыв. условием Эйлера

    Теорема.Пусть односвязное мн-во G ограничено кривой L,т.е. кривая L замкнутая.И пусть ф-ция P и Q непрерывно диференц. в области G.Тогда след. 4 услов. эквивалентны:

    1.

    2.Интеграл в области G не зависит от пути интегрирования.

    3.Выражение явл. полным дифференц. в области G.

    4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера

    Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во ,котор. сначало интегрир. по перемен. y,а затем дифференц. по перем. x.

     

    Комплексные числа.

    Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

    Модулем комплексного числа называется длина вектора OP.. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

     

    Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

    Рассм. 2 комплексн. числа,запис. в тригонометр. формуле:

    z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:

    1. z1+ z2= r1cos φ1+ r2cos φ2 +i( r1sin φ1+ r2sin φ2)

    2. z1* z2= r1r2(cos φ1+ isin φ1 )( cos φ2 + i sin φ2)= r1r2(cos φ1 cos φ2 +i cos φ1 sin φ2+

    isin r1r2cos φ2 -sin φ1 sin φ2)= r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)

    Из этой формулы след. формула Муавра:

     

    .

    3.

    4. +isin ,k=0,n-1

     

    25.Линейное пространство: определение и примеры.

    Определение1.Мн-во V с определ-ми на нем операц. сложен. вект. и умнож. вект. на число назыв.веществ.вектор.(линейн) простр-ом,если указанные операц. облад след св-ами:

    1.x+y=y+x(коммуникат)

    2.x+(y+z)=(x+y)+z(фссщциативность)

    3.сущ. нулевой элем. мн-ва V,обознач. 0,такой что 0+x=x, 0,х

    4.для сущ. противопол элем -х ,такой что х+-х=0

    5. , x

    6. , x

    7. , x,y

    8.1*x=x x

    Примеры:

    1.Если V есть мн-во своб вект.|R3 c обычным пониманием опер слож вект. и умнож.вект. на число.

    2.мн-во -мн-во матриц размера m , в кот. сложение вект и умнож вект на число понимаются всмысле сложен матриц и умножение матрицы на число.

    3.мн-во [x]-мн-во многочленов с действит коэффиц степени .Операции слож вект и умнож вектора на число поним. в обычном смысле слож многочлена и умнож многочленов на число.

    Замечание.комплексное вект. пр-во опред. так же,как и веществ. вект. пр=во,если только в опред.1 мн-во заменить на мн-во C.

     

    Матрица линейного оператора

    Пусть Vn векторные пространства, f – лин. Оператор,Е= ) – базис в Vn. Раз f:Vn в себя, то элементы f( ) , f( ) будут элементами пр-ва Vn , а значит их можно разложить по базису Е

    f( )= )

    ………………………………………………….. (1)

     

    g( )= )

    Составим матрицу А= Обозначим f(E)=f( …f( Тогда (1) можно записать в виде:f(E)=EA. Матрица А называется матрицей линейного оператора f в базисе Е. Заметим, что матрица А зависит от базиса. Итак, показали, что каждому лин. оператору соответствует в заданном базисе матрица, верно и обратное. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты элемента f( ).

    Возьмем Х Vn и положим у=f(х). Пусть Х, У координаты столбца-вектора х и у в базисе Е, тогда ЕУ=f(x)=f(EX)=f(E)X=EAX

    Из этого равенства на основании того, что базисные векторы линейно независимы, имеем У=АХ (2)

    (2) позволяет поставить в соответствие каждому опретору произведение матрицы на координатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)

     

     

    31. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы

    Пусть V – линейное пространство, заданное двумя базисами е= ) и е′=( ). Пусть S матрица перехода от базиса к базису e’, т.е. Е′=SE (1)Пусть f – линейный оператор, действующий в пр-ве Vn, матрица которого в базисе Е обозначена через А, а в базисе Е′ через В. Возьмем х Vn и положим у=f(x). Векторы х и у разложим по базисам Е и Е′

    x=EX=E′X′ (2)

    y=EY=E′Y′

    Используемые матрицы А и В запишем :У=АХ, У′=ВХ′

    SY=BSX SAX=BSX – это равенство справедливо для любого вектора х, поэтому S′A=BS

    A= BJ(или B=SA ) (3)

    (3) устанавливает связь между матрицами 1-ого и также лин. оператора в разных базисах.

    Определение: матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S , что A= BS, В= AS При этом матрица S называется трансформирующей. Ра-ва A= BJ называется преобразованием подобия или преобразованием матрицы.

    Свойства:

    1) Если А~В, В~С, то А~С

    А= BS

    B= С => A= C = C S= S

     

    2)определители и ранги подобных матриц равны

     

     

     

    Свойства

    · Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

    · Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

    · Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа

    Из коэффициентов квадратичной формы составим симметричную матрицу

    А=

    которую назовем матрицей квадратичной формы.

    36. Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду

    Метод Лагранжа - это просто метод выделения полных квадратов. Например:(собираем все слагаемые с )(обозначаем ) .Если на каком-то шаге нет квадрата очередной переменной, но есть смешанное произведение, то надо сделать замену типа , , чтобы квадрат появился.

     

    Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

    Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

    Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0).

    lektsia.com

    Внеклассный урок - Монотонность функции (возрастание или убывание функции)

    Монотонность функции

     

    Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.

    Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

    Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

    Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

    Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

    Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.

     

     

    Свойства монотонных функций:

    1) Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

    2) Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

    3) Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

    4) Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn тоже возрастает (n ∈ N).

    5) Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

    6) Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает (c – некоторая константа).

     

    Производная и монотонность функции.

    Зависимость между знаком производной и характером монотонности:

    Если на промежутке Х функция возрастает и имеет на нем производную, то производная неотрицательна.

    Если на промежутке Х функция убывает и имеет на нем производную, то производная неположительна.

     

    Условия возрастания или убывания функции y = f(x):

    Функция возрастает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) больше нуля:

    f ′(x) > 0.

    Говоря проще, функция возрастает, если производная положительна.

    Примечание: Равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

     

    Функция убывает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) меньше нуля:

    f ′(x) < 0.

    Говоря проще, функция убывает, если производная отрицательна.

    Примечание: равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

     

    Условие существования постоянной функции:

    Функция y = f(x) постоянна на промежутке Х, если во всех точках этого промежутка производная f ′(x) равна нулю:

    f ′(x) = 0

     

    Монотонность некоторых функций:

    Функция

    Производная

    Монотонность

    Линейная функция

    y = ax + b

    y' = a

    При a > 0 возрастает

    При a < 0 убывает.

    При a = 0 постоянна.

    Прямая пропорциональностьy = kx  (k ≠ 0)

    y' = k

    При k > 0 возрастает.

    При k < 0 убывает.

    Обратная пропорциональность

                         k            y = ——   (k ≠ 0)                     x

                          k         y' = – ——                     x2

    При k > 0 убывает на (–∞; 0) и (0; +∞).

    При k < 0 возрастает на (–∞; 0) и (0; +∞)

    Квадратичная функция

    y = ax2 + bx + c

     

    y' = 2ax + b

    При a > 0 убывает на (–∞; –b/2a]и возрастает на [–b/2a; +∞).

    При a < 0 возрастает на (–∞; –b/2a]и убывает на [–b/2a; +∞).

    Функция корня

    y = √x

                         1           y' = ——                   2√x

    Возрастает на промежутке [0; +∞)

     

    raal100.narod.ru



    О сайте

    Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"