Как найти коэффициент подобия треугольников. Коэффициент подобия площадей треугольников


§ 1. Подобие треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. Свойства медиан, биссектрис и высот — ЗФТШ, МФТИ

Две фигуры FF и F`F`  называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры FF и F`F`  подобны, то пишется F~F`F\sim F`Напомним, что в записи подобия треугольников ∆ABC~∆A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием  подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. AA переходит в A1A_1, BB - в B1B_1, CC - в C1C_1. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если ∆ABC~∆A1B1C1\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1,\;\angle C=\angle C_1,\;\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}

Два треугольника подобны:

  • 1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
  • 2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
  • 3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач: 

1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

Рис. 5

2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам,   т. е. если  MN||ACMN||AC (рис. 5), то

mn=pq=m+pn+q\frac mn=\frac pq=\frac{m+p}{n+q}

3°. Если  прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

mn=m+pn+q\frac mn=\frac{m+p}{n+q} или mn=pq\frac mn=\frac pq,

то MNMN параллельна ACAC (доказательство было дано в задании для  9 класса).

Рис. 6

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках MM и NN. Найти длину отрезка  если  основания  трапеции равны aa и bb.

Δ Пусть OO точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

1. BC~AD△BOC~△DOA (по двум углам)⇒ba=pq1.\;\left\{\begin{array}{l}BC\sim AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(по\;двум\;углам)\end{array}\right.\Rightarrow\frac ba=\frac pq

2. MO~AD△MBO~△ABD⇒xa=pp+q2.\;\left\{\begin{array}{l}MO\sim AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right.\Rightarrow\frac xa=\frac p{p+q}

Из (1) и (2) следует x=app+q=qp/qp/q+1=aba+b⇒MO=aba+b.x=a\frac p{p+q}=q\frac{p/q}{p/q+1}=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MO=\frac{ab}{a+b}.

Аналогично устанавливаем, что NO=aba+b⇒MN=2aba+bNO=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MN=\frac{2ab}{a+b}.

Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить. ▲

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные  элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Рис. 7

В прямоугольном треугольнике  ABCABC из вершины CC прямого угла проведена высота CDCD (рис. 7). Радиусы  окружностей, вписанных в треугольники ACDACD и BCDBCD равны соответственно r1r_1 и r2r_2 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABCABC.

Δ Обозначим искомый радиус rr, положим AB=cAB=c, AC=bAC=b, BC=aBC=a. Из подобия прямоугольных треугольников ACDACD и ABCABC (у   них   равные углы при вершине AA) имеем rr1=cb\frac r{r_1}=\frac cb, откуда b=r1rcb=\frac{r_1}rc. Прямоугольные треугольники  BCDBCD и  BACBAC также  подобны,  поэтому rr2=ca\frac r{r_2}=\frac ca, - откуда a=r2rca=\frac{r_2}rc. Так как a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 то, возводя в квадрат выражения для  aa и bb и складывая их, получим r1r2c2+r2r2c2=c2 ⇒r12+r22r2=1\left(\frac{r_1}r\right)^2c^2+\left(\frac{r_2}r\right)^2c^2=c^2\;\Rightarrow\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=1.  Находим  r=r12+r22r=\sqrt{r_1^2+r_2^2} ▲

Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Рис. 8

Через точку MM, лежащую внутри треугольника ABCABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны S1S_1, S2S_2  и S3S_3. Найти  площадь треугольника ABCABC.

Легко видеть, что треугольники EKMEKM, MQFMQF и PMNPMN подобны треугольнику ABCABC.

Пусть SS -площадь треугольника ABCABC, тогда

S1S=EMAC2; S2S=MFAC2; S3S=PNAC2.\frac{S_1}S=\left(\frac{EM}{AC}\right)^2;\;\frac{S_2}S=\left(\frac{MF}{AC}\right)^2;\;\frac{S_3}S=\left(\frac{PN}{AC}\right)^2.

Откуда находим

EM=S1SAC, MF=S2SAC, PN=S3SAC.EM=\sqrt{\frac{S_1}S}AC,\;MF=\sqrt{\frac{S_2}S}AC,\;PN=\sqrt{\frac{S_3}S}AC.

А так как EM=AP, MF=NC⇒EM+PN+MF=AP+PN+NC=ACEM=AP,\;MF=NC\Rightarrow EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC.

Таким образом, AC=AC*S1S+S2S+S3S⇒S=S1+S2+S32AC=AC\ast\left(\sqrt{\frac{S_1}S}+\sqrt{\frac{S_2}S}+\sqrt{\frac{S_3}S}\right)\Rightarrow S=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2. ▲

Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них  мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

Рис. 9

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке  и  точкой пересечения каждая медиана делится в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на 6 треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

(На рис. 9 площадь каждого из 6 треугольников с вершиной  и основанием, равным половине стороны, равна 12SABC\frac12S_{ABC}. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника. 

Теорема 3. Пусть BDBD - медиана треугольника 

ABC (BC=a, AC=b, AB=c, BD=ma)ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a), тогда

mc2=a2+b22-c24m_c^2=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}4. (Доказательство приведено далее в §4 Задания).

Рис. 10

Медианы AA1AA_1 треугольника ABCABC пересекаются в точке OO, AA1=12AA_1=12 и CC1=6CC_1=6 и одна из сторон треугольника равна 12. (рис. 10). Найти площадь треугольника  ABCABC.

Δ 1. По теореме 1 имеем AO=23AA1=8, CO=23CC1=4AO=\frac23AA_1=8,\;CO=\frac23CC_1=4. 

Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна 12, сторона ACAC не может равняться 12, иначе AC=AO+OCAC=AO+OC - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться 12 сторона ABAB, так в этом случае AC1=6AC_1=6 и треугольник AOC1AOC_1  со сторонами 8, 2, 6 не существует. Значит,  BC=12BC=12 и AC1=6AC_1=6.

2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

p=7, SA1OC=7*1*3*3=37p=7,\;S_{A_1OC}=\sqrt{7\ast1\ast3\ast3}=3\sqrt7.

По теореме 2 площадь треугольника  ABCABC в 6 раз больше, находим SABC=187S_{ABC}=18\sqrt7.▲

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Были доказаны также две леммы о высотах

1-ая лемма.

Если AA1AA_1 и BB1BB_1 - высоты треугольника ABCABC, то треугольник A1B1CA_1B_1C подобен треугольнику ABCABC с коэффициентом подобия k=A1B1AB=cosCk=\frac{A_1B_1}{AB}=\left|\cos C\right|. Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот AA1AA_1 и BB1BB_1 треугольника ABCABC, то образуется треугольник, подобный данному: ∆A1B1C~∆ABC\triangle A_1B_1C\sim\triangle ABC. 

Из прямоугольных треугольников ACA1ACA_1 следует A1C=AC*cosCA_1C=AC*cosC или A1C=AC*cos(180°-C)=ACcosCA_1C=AC\ast cos(180^\circ-C)=AC\left|\cos C\right| (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников BCB1BCB_1 следует B1C=BC*cosCB_1C=BC*cosC или B1C=BC*cos(180°-C)=BCcosCB_1C=BC\ast cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right|. Далее рассуждения очевидны.

Рис. 11a Рис. 11б

2-ая лемма.

Если высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 (или их продолжения) пересекаются в точке HH, то справедливо равенство AH*HA1=BH*HB1AH*HA_1=BH*HB_1 (рис. 12а, б).

Рис. 12a Рис. 12б
Рис. 13

Высоты AA1AA_1 и BB1BB_1 пересекаются в точке HH (рис. 13), при этом AH=3HA1AH=3HA_1 и BH=HB1BH=HB_1. Найти косинус угла ACBACB и площадь треугольника ABCABC, если AC=aAC=a.  

 Δ Обозначим HA1=x, HB1=yHA_1=x,\;HB_1=y, 

1. Точка HH - середина высоты (рис. 13). Если отрезок MHMH проходит через точку HH и параллелен  основаниям,  то MN - средняя линия; MN=a/2MN=a/2.

2. ∆HA1N~∆AA1C⇒HNAC=x4x, HN=14a. \triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\Rightarrow\frac{HN}{AC}=\frac x{4x},\;HN=\frac14a.\;Значит, MH=HN=a4MH=HN=\frac a4 и AB1=B1C=a2AB_1=B_1C=\frac a2 Треугольник  ABCABC  равнобедренный, AB=BCAB=BC.

3. ∠B1BC=90°-∠C⇒∠BHA1=∠AHB1=∠C\angle B_1BC=90^\circ-\angle C\Rightarrow\angle BHA_1=\angle AHB_1=\angle C, а по второй лемме о высотах  AH*HA1=BH*HB1AH*HA_1=BH*HB_1 т. е.  3x2=y2, y=x33x^2=y^2,\;y=x\sqrt3.

     Далее, cosC=cos(∠AHB1)=y3xcosC=cos(\angle AHB1)=\frac y{3x}, находим cosC=13\cos C=\frac1{\sqrt3}.

4. △AHB1: AB12=(3x)2-y2, a24=6x2, x=a26, y=a22⇒⇒SABC=12AC*BB1=ay=a224\begin{array}{l}\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2,\;\frac{a^2}4=6x^2,\;x=\frac a{2\sqrt6},\;y=\frac a{2\sqrt2}\Rightarrow\\\Rightarrow S_{ABC}=\frac12AC\ast BB_1=ay=\frac{a^2\sqrt2}4\end{array}. ▲

Рис. 14

Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим  сторонам, т. е.  если ADAD - биссектриса треугольника  ABCABC (рис. 14), то

BDDC=ABAC xy=cb\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\;\left(\frac xy=\frac cb\right)

Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам ADBADB и ADCADC.

Теорема 6. Пусть ADAD - биссектриса треугольника ABCABC (рис. 14), тогда AD=AB*AC-DB*DCAD=\sqrt{AB\ast AC-DB\ast DC} (в обозначениях рисунка 14а) AD=bc-xyAD=\sqrt{bc-xy}.

Рис. 14а

□ Эту теорему докажем. Опишем около треугольника ABCABC окружность, точку пересечения прямой ADAD и окружности обозначим KK (рис. 14а).

Обозначим  AD=z, DK=m.△ABD~∆AKC (∠ABD=∠AKC и ∠1=∠2).Из подобия: ABAK=ADAC⇒cz+m=zb⇒⇒z2+zm=bc, z2=bc-zm.\begin{array}{l}AD=z,\;DK=m.\\\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC\;(\angle ABD=\angle AKC\;и\;\\\angle1=\angle2).\\Из\;подобия:\;\\\frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow\frac c{z+m}=\frac zb\Rightarrow\\\Rightarrow z^2+zm=bc,\;z^2=bc-zm.\end{array}По свойству пересекающихся хорд:

AD*DK=BD*CD, т.е. z*m=x*y⇒z2=bc-xy, z=bc-xyAD\ast DK=BD\ast CD,\;т.е.\;z\ast m=x\ast y\Rightarrow z^2=bc-xy,\;z=\sqrt{bc-xy}.  ■

В треугольнике ABCABC со сторонами AB=5AB=5, AC=3AC=3 биссектриса AD=158AD=\frac{15}8. Найти сторону BCBC и радиус вписанной окружности.

Δ По теореме 5 (см. рис. 14) имеем xy=53\frac xy=\frac53 Обозначим x=5zx=5z, тогда  y=3zy=3z. По теореме 6 выполнено равенство 1582=5*3-5z*3z.\left(\frac{15}8\right)^2=5\ast3-5z\ast3z. Легко находим z=78z=\frac78 значит BC=7.BC=7. Радиус вписанной окружности найдём по формуле S=prS=pr (S - площадь треугольника,  p -полупериметр). Имеем p=152p=\frac{15}2, по формуле Герона S=152*12*102*92=1532,S=\sqrt{\frac{15}2\ast\frac12\ast\frac{10}2\ast\frac92}=\frac{15\sqrt3}2, поэтому r=Sp=32.r=\frac Sp=\frac{\sqrt3}2.  ▲

zftsh.online

Отношение площадей подобных треугольников

На прошлом уроке мы с вами говорили, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Напомним, что подобие треугольников обозначается следующим образом .

На этом уроке мы докажем теорему об отношении площадей двух подобных треугольников.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство.

,  – коэффициент подобия.

, .

, .

, ,

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Задача. Площади подобных треугольников  и  равны соответственно  см2 и  см2. Сторона  см. Найдите сходственную ей сторону  треугольника .

Решение.

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. , , .

, ,  (см).

Ответ:  см.

Задача. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство.

,  – коэффициент подобия.

, , , , , .

, .

, ,

.

Что и требовалось доказать.

Задача. Треугольники  и  подобны. Сходственные стороны  и  соответственно равны  см и  м. Найдите отношение периметров треугольников  и .

Решение:

 м см.

.

.

Ответ: .

Итак, на этом уроке мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. А также решили несколько задач. Причём при решении одной из них установили, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

videouroki.net

Как найти коэффициент подобия треугольников

Подобные фигуры – это фигуры, одинаковые по форме, но разные по размеру.Треугольники являются подобными, если их углы равны, а стороны пропорциональны друг другу. Существуют также три признака, позволяющих определить подобие без соблюдения всех условий. Признак первый – у подобных треугольников два угла одного равны двум углам другого. Второй признак подобия треугольников - две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами у них равны. Третий признак подобия – это пропорциональность трех сторон одного трем сторонам другого.

Вам понадобится

  • - ручка;
  • - бумага для записей.

Инструкция

  • Коэффициент подобия выражает пропорциональность, это отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’. Сходственные стороны в треугольниках находятся напротив равных углов. Коэффициент подобия можно найти разными способами.
  • Например, в задании даны подобные треугольники и приведены длины их сторон. Требуется найти коэффициент подобия. Поскольку треугольники подобны по условию, найдите их сходственные стороны. Для этого запишите длины сторон одного и другого по возрастанию. Найдите отношение сходственных сторон, которое будет коэффициентом подобия.
  • Вы можете вычислить коэффициент подобия треугольников, если вам известны их площади. Одно из свойств подобных треугольников гласит, что отношение их площадей равняется квадрату коэффициента подобия. Разделите значения площадей подобных треугольников одно на другое и извлеките квадратный корень из результата.
  • Отношения периметров, длин медиан, медиатрис, построенных к сходственным сторонам, равны коэффициенту подобия. Если разделить длину биссектрис или высот, проведенных из одинаковых углов, вы также получите коэффициент подобия. Воспользуйтесь этим свойством для нахождения коэффициента, если в условии задачи даны эти величины.
  • По теореме синусов для любого треугольника отношения сторон к синусам противолежащих углов равны диаметру описанной вокруг него окружности. Из этого вытекает, что у подобных треугольников отношение радиусов или диаметров описанных окружностей равно коэффициенту подобия. Если в задаче известны радиусы этих окружностей, или их можно вычислить из площадей кругов, найдите коэффициент подобия этим путем.
  • Используйте аналогичный путь для нахождения коэффициента, если у вас имеются вписанные в подобные треугольники окружности с известными радиусами.

completerepair.ru

А). периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия

Б). площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате.

 

B

N

A

C M P

 

Δ ABC Δ MNP

Формулы площадей треугольника

1). Равносторонний треугольник

 

S = a – сторона треугольника

 

h = h – высота треугольника

 

2). Прямоугольный треугольник

 

S = a b a, b – катеты треугольника

 

3). Разносторонний треугольник

 

S = a h a – сторона треугольника

h – высота, проведенная к этой стороне

 

 

S = a b sin ά a, b – стороны треугольника

ά - угол между этими сторонами

 

S = a, b, c – стороны треугольника

p – полупериметр; p = (a + b + c)

 

S = a, b, c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

 

S = P r P –периметр треугольника

r – радиус вписанной окружности

 

 

Решение треугольников.

1). Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

 

 

 

 

2). Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

 

 

 

 

Прямоугольные треугольники.

Решение прямоугольного треугольника

2). Опорные прямоугольные треугольники

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них равны:

А). катет и гипотенуза

Б). гипотенуза и острый угол

Соотношение в прямоугольном треугольнике

 

 

Описанные и вписанные треугольники

 

 

1). Положения центра окружности.

 

а). Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Радиус вписанной окружности – перпендикуляр, опущенный из этой точки на сторону треугольника.

б). Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Радиус описанной окружности –отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника

в). В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают .

 

 

Формулы радиусов окружности

 

 

а). равносторонний треугольник б). прямоугольный треугольник

.

 

 

 

в). разносторонний треугольник

 

Опорные задачи.

1). Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

CM = AB или CM = AM = MB

 

2). Свойство высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

studopedya.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"