Как найти длину дуги окружности. Как узнать длину дуги окружности

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Определение длины дуги

Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.

Определение длины дуги

 

 

Расчет длины дуги производится по следующей формуле:

 

r – радиус окружности

α – угол

L – длина дуги

π – 3.14

 

Расчет длины дуги

 

Задача:

Нужно определить длину дуги окружности радиусом 10 сантиметров при центральном угле, равном 85°.

Решение:

Воспользуемся формулой

где L – искомая длина дуги, π = 3,14, r – радиус окружности, α – центральный угол.

L

=

3,14 × 10 × 85

180°

=

14,82
Ответ:

Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.

В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.

Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.

Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.

Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.

Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.

simple-math.ru

Длина дуги окружности - формула, пример расчета, калькулятор

Длина дуги, которую описывают концы радиусов, пропорциональна величине центрального угла, образованного этими же радиусами. Именно поэтому длину дуги можно измерять в градусах. За 1° дуги принимают часть окружности.Необходимо понимать, что величина центрального угла никак не зависит от дины дуги.

Формула длины дуги окружностиНайдем длину дуги окружности, центральный угол которой равен n°Так как длина окружности равна , то развернутому углу будет соответствовать длина дуги . Тогда длина дуги центрального угла 1° будет равна .Следовательно, длина дуги центрального угла n° будет выражаться по формуле

Очень часто в задачах на вычисление длины дуги окружности используется радиальная мера угла. Радиальная мера угла – это отношение длины дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности получаем Чтобы получить радиальную меру угла необходимо градусную меру умножить на .Радиальная мера угла 180° равна .Радиальная мера угла 90° равна .

Тогда длину дуги окружности центрального угла имеющего радиальную меру θ можно выразить формулой .

Пример задачи на нахождение длины дуги окружности

Вычислите длину дуги окружности с радиусом 3, если ее градусная мера составляет 150°

Формула длины дуги центрального угла n° выражается формулой Подставив значения из условия задачи, получаем

2mb.ru

Как найти длину дуги окружности

Как найти длину дуги окружностиДлину дуги окружности принято измерять в градусах, так как она описывается концами радиусов и пропорциональна величине центрального угла, который образован этими же радиусами.

1 градус дуги окружности равен части этой окружности.Обратим внимание, что величина центрального угла никоим образом не зависит от длины дуги.Рассмотрим формулу для вычисления длины дуги окружности.Запишем длину дуги окружности, для которой центральный угол равен n:Поскольку длина окружности равна, то соответствовать развернутому углу будет длина дуги. В таком случае длина дуги центрального угла в 1 градус будет равна.Таким образом, длина дуги центрального угла n градусов будет рассчитываться по формуле:

   

Пример.Вычислить длину дуги окружности, радиус которой равен 3 см, а градусная мера составляет 150 градусов.

Решение.Запишем формулу длины дуги центрального угла в n градусов:

   

Подставим известные значения:(см).

Ответ. 7,85 см.

Еще используется понятие радиальной меры угла. Если понадобится такая информация — пишите.Всего хорошего!

ru.solverbook.com

Как найти длину дуги окружности

Дуга – это некоторая часть окружности. Длина дуги равна расстоянию между двумя точками, которые лежат на окружности. Чтобы вычислить длину дуги, необходимо иметь некоторое представление о геометрии окружности. Так как дуга представляет собой часть окружности, нужно найти величину центрального угла (в градусах или радианах), а затем вычислить длину дуги.

Расчет длины дуги производится по следующей формуле:

 

r – радиус окружности

α – угол

L – длина дуги

π – 3.14

Расчет длины дуги

Задача:

Нужно определить длину дуги окружности радиусом 10 сантиметров при центральном угле, равном 85°.

Решение:

Воспользуемся формулой

где L – искомая длина дуги, π = 3,14, r – радиус окружности, α – центральный угол.

L

=

3,14 × 10 × 85

180°

=

14,82

 

Ответ:

Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.

 

В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длиныинженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.

Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.

Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.

Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.

Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.

bichka.info

Окружность. Длина окружности. Касательная, дуга

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга: S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

  1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
  2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ}.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left ( \cup DmC + \cup AlB \right )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left ( \cup DmC - \cup AlB \right )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p},

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ}.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

где:

a, b, c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

academyege.ru

Как найти дугу окружности?

Как найти дугу окружности?

Дуга окружности - это одна из частей окружности, которые получаются после постановки на этой окружности точек.

Как найти дугу окружности, если мы знаем длину всей окружности и длину или сумму длин других дуг? Для этого нужно из длины всей окружности вычесть известную длину других дуг. Но это слишком простые условия, в заданиях такие практически не встречаются.

Как найти длину други окружности в других случаях?

Для этого существуют специальные формулы. Прежде чем к ним перейти и рассмотреть конкретный пример, надо помнить, что дугу окружности можно измерять не только в сантиметрах, но и в градусах. 

Для того чтобы найти и определить градусную меру дуги окружности, нужно провести радиусы от точек, которые образуют эту дугу, к центру окружности. У нас получится угол. Величина этого угла и есть градусная мера дуги.

Формула нахождения длины дуги

Где:

  • L - длина дуги окружности
  • π - число Пи = 3,14
  • r - радиус окружности
  • n- градусная мера дуги, или величина угла, образующего дугу

Пример:

Вычислите длину дуги окружности, если ее градусная мера 120°, а радиус окружности 2 см.

Решение:

Подставляем значения в формулу:

  • L = (3,14 *2 *120) / 180 = 4,71

Ответ: длина дуги 4,71 см.

Если в задаче указан диаметр, на забудьте поделить его пополам, прежде чем подставить в формулу.

Также важно не путать радиус с хордой. О том, что такое хорда и как ее найти, читайте здесь - Как н

elhow.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Планиметрия

Основные определения и свойства

ФигураРисунокОпределения и свойства
Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки - центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Рис.1

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

      Следовательно,

      Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.

      Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Рис.2

      Поскольку площадь n – угольника   B1B2…Bn   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

      Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.3

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

      Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.4

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

      Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.5

      Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

      Следовательно,

      В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"