Преобразование, упрощение выражений с корнями (алгебра 8 класс). Как упрощать с квадратными корнями выражения


Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени,  полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим  свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например: 

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например: 

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике , воспользовавшись этим правилом.

1. Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

2. Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения  

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

3.  Задание В10( 26749) Найдите значение выражения   .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на  множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

4. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

 

Ответ: 42.

5. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  при  .

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Ответ: 0,25

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Как упростить сложный радикал

Автор Сергей

Четверг, Январь 26, 2017

В 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал.

Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Пример 1. Упростить сложный радикал:

   

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

   

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель . Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого представим в виде произведения на :

   

Тогда и . Осталось только обратить внимание на то, что . Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

   

Теперь вспоминаем, что . Именно модулю. Здесь это очень важно, потому что квадратный корень – положительное число. Тогда получаем:

   

Ну а поскольку

yourtutor.info

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Ранее с вами научились преобразовывать рациональные выражения. Тождественные преобразования, которые умеем выполнять: это приведение подобных слагаемых; раскрытие скобок; разложение на множители; приведение рациональных дробей к общему знаменателю. Также для преобразования рациональных выражений используют формулы сокращённого умножения.

Теперь же мы ввели новую операцию – операцию извлечения квадратного корня. Вы уже знаете, что арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Используя эти формулы,  можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Давайте рассмотрим примеры преобразований выражений, которые содержат квадратные корни.

Задание: упростите выражение.

Задание: преобразуйте выражения.

Задание: сократите дробь.

Очень важное место в преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, занимает избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Можно рассмотреть это на простом примере.

Например: преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.

Как сделать так, чтобы знаменатель дроби не содержал квадратный корень? Следует вспомнить основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же  число, не равное нулю, то значение дроби не изменится

Обратите внимание, дробь  мы заменили тождественно равной ей дробью . Причем, в знаменателе второй дроби нет знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Задание: освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

videouroki.net

Преобразование, упрощение выражений с корнями (алгебра 8 класс). Конспекты уроков

Дополнительные сочинения

На данном уроке мы будем решать различные примеры на преобразование и упрощение выражений с корнями. На этом уроке мы рассмотрим различные примеры, которые решаются с помощью использования определения и свойств квадратного корня.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование, упрощение выражений с корнями

1. Повторение определения и свойств квадратного корня

Ключ к решению примеров, содержащих квадратные корни, – определение и свойства корней.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .

Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:

.

Напомним также основные свойства квадратного корня:

1. (). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

2. (). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

3. , т. е.: .

4. Правило внесения множителя под знак корня: и .

2. Решение примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни

Решим несколько примеров на применение указанных свойств.

Пример

1. Упростить выражение:

а) .

б) .

в) .

Теперь рассмотрим более сложные примеры, в которых, в частности, встречаются буквенные переменные.

2. Упростить выражение:

а) .

б) . При этом необходимо указать ОДЗ данного выражения (так как знаменатель дроби не может равняться ), поэтому: .

       

в) . Формально на этом решение можно было бы закончить. Однако иногда в условии просят избавиться от иррациональности в знаменателе (то есть, чтобы в знаменателе не было бы корней). В этом случае сделать это очень легко:

.

г) . Прежде, чем упрощать данный пример, необходимо выписать ОДЗ данного выражения: , а, кроме того, обе переменные одновременно не должны равняться (иначе знаменатель равен ). Этот факт можно записывать по-разному, но чаще всего его записывают следующим образом: , так как сумма квадратов двух чисел может быть равна тогда и только тогда, когда они оба одновременно равны . Теперь можем перейти непосредственно к преобразованию данного выражения:

.

Рассмотрим теперь принципиально другой пример, в котором требуется разложить выражение на множители.

3. Разложить на множители:

.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести общие множители, получим:

.

Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

На следующем уроке мы рассмотрим более сложные примеры на упрощение таких выражений.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к единому государственному экзамену по математике .

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» .

Домашнее задание

1. №352-357 Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Упростить выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Упростить выражение: а) , б) , в) .

dp-adilet.kz

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (2)

Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Лекция.

- Вспомним основные понятия, связанные с квадратным корнем.

Теорема 1. Если , то .

Теорема 2. Если , то .

Теорема 3. При любом значении х верно равенство .

.

Теорема 4. , при .

- Рассмотрим простейшие примеры на применение свойств квадратного корня.

Пример 1. Найти значение выражения .

Для нахождения значения выражения, воспользуемся теоремой о корне из произведения:

Пример 2. Вычислить значение выражения .

- При вычислении значения выражения необходимо: во-первых, определить, можно ли применить теорему о корне из произведения, то есть можно ли извлечь корень из каждого множителя, если нет, то, во-вторых, следует подкоренное выражение представить в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа и применить теорему о корне из произведения.

Пример 3. Найти значение выражения

- По теореме о корне из дроби имеем

Пример 4. Найти значение выражения .

Применим тождество .

Получим: =4.

Пример 5. Найти значение выражения

Применим тождество

Получим:

Пример 6. Упростить выражение

Представим степень в виде и воспользуемся тождеством , получим:.

Так как при любом m, то . Итак, .

Также можно воспользоваться равенством .

.

Говоря простым языком, если под корнем степень с четным показателем, то при извлечении квадратного корня из этой степени, получаем степень с показателем в 2 раза меньшим.

Пример 7. Вычислить

Решение.

1 способ: Возведем в квадрат каждое число, из полученного уменьшаемого вычтем вычитаемое.

2 способ: Воспользуемся формулой сокращенного умножения

Пример 8. Вычислить , не используя таблицу квадратов чисел и микрокалькулятор.

Решение.

Разложим подкоренное число на простые множители:

Значит, . Получаем, что

Вынесение множителя за знак корня

Для того чтобы вынести множитель из под знака корня, необходимо, выражение, стоящее под знаком корня, разложить на множители так, чтобы корень извлекался хотя бы из одного множителя.

Пример 9.

а) ;

b) ;

c)

Внесение множителя под знак корня

Для того чтобы внести множитель под знак квадратичного корня, надо возвести в квадрат этот множитель и внести его под корень.

Пример 10. а) ;

b) ;

c) .

Пример 11. Расположите числа в порядке возрастания :

- Чтобы расположить числа в порядке возрастания, сначала в каждом из чисел внесем множитель под знак корня:

- Расположим в порядке возрастания полученные числа, т.е. больше то число, у которого подкоренное выражение больше:

Следовательно

Пример 12. Упростить выражение .

Решение.

Воспользуемся тождеством .

Раскроем знак модуля, т.е. воспользуемся тем, что . Значит,

. Но тогда .

Пример 13. Упростить выражение .

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби, применим формулы сокращенного умножения:

Пример 14. Упростить выражение .

Решение:

Воспользуемся свойством умножения корней, т.е. подкоренные выражения внесем под один корень, далее воспользуемся формулой разности квадратов:

.

gigabaza.ru

С1 ГИА по математике - упрощение выражений, содержащих корни

  

Рассмотрим задачи, связанные с упрощением выражений, содержащих иррациональные числа.

1.          

2.          

3.          

4.          

5.          

6.          

7.          

8.          

9.          

10.        

11.        

 

Решим несколько задач из задания С1:

1.Найдите значение выражения:

Избавимся от иррациональности в знаменателе. У нас там присутствует разность двух чисел, одно из которых иррациональное. Умножим дробь на сумму этих чисел, тогда в знаменателе окажется разность квадратов, что и позволит избавиться от иррациональности. Этот метод – умножения на сопряженное – используется также и в теории комплексных чисел.

Раскрываем скобки в числителе:

Ответ: -2

2.Найдите значение выражения:

Так же, домножая на сопряженное, избавляемся от иррациональности в знаменателе:

Ответ:1

В заданиях также часто встречаются такие:

3. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Способ решения может быть таким: возведем все эти числа в квадрат. Наибольший квадрат соответствует наибольшему числу:

а) 

б) 

в) 

г) 

Осталось выбрать из чисел б) и г). Здесь нужно вспомнить, что 

Тогда  

Значит, среди представленных чисел число  – наибольшее.

Ответ: б)

  

Решим еще одно такое задание:

4. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Возводим в квадраты:

а) 

б) 

в) 

г) 

Подумаем, к какому числу близко число ? Оно меньше 9, но больше 8, так как 

Тогда , и .

Число 6 – наибольшее.

Ответ: в)

Попробуем теперь упрощать выражения, содержащие корни.

5. Упростите выражение:

Воспользуемся свойствами корня. “Втащим” все под один корень:

Ответ: 

6. Найдите значение выражения:

Представим число 46 как 23*2:

Теперь переставим сомножители:

Ответ: 460.

Еще один тип заданий:

7. Какое из чисел является рациональным?

Рациональным является число, представимое сократимой дробью. Попробуем записать наши числа иначе:

Ни первое, ни третье числа не являются сократимыми дробями, значит, они иррациональны.

Ответ: 

  

easy-physic.ru

2. Функция y =√x. Свойства квадратного корня ⋆ Social AstroWay- Развлекательно-информационный портал

На данном уроке мы будем решать различные примеры на преобразование и упрощение выражений с корнями. На этом уроке мы рассмотрим различные примеры, которые решаются с помощью использования определения и свойств квадратного корня. 

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование, упрощение выражений с корнями

1. Повторение определения и свойств квадратного корня

Ключ к решению примеров, содержащих квадратные корни, – определение и свойства корней.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .

Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:

.

Напомним также основные свойства квадратного корня:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

2.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

3. , т. е.: .

4. Правило внесения множителя под знак корня:  и .

2. Решение примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни

Решим несколько примеров на применение указанных свойств.

Пример

1. Упростить выражение:

а) .

б) .

в) .

Теперь рассмотрим более сложные примеры, в которых, в частности, встречаются буквенные переменные.

2. Упростить выражение:

а) .

б) . При этом необходимо указать ОДЗ данного выражения (так как знаменатель дроби не может равняться ), поэтому: .

в) . Формально на этом решение можно было бы закончить. Однако иногда в условии просят избавиться от иррациональности в знаменателе (то есть, чтобы в знаменателе не было бы корней). В этом случае сделать это очень легко:

.

г) . Прежде, чем упрощать данный пример, необходимо выписать ОДЗ данного выражения: , а, кроме того, обе переменные одновременно не должны равняться  (иначе знаменатель равен ). Этот факт можно записывать по-разному, но чаще всего его записывают следующим образом: , так как сумма квадратов двух чисел может быть равна  тогда и только тогда, когда они оба одновременно равны . Теперь можем перейти непосредственно к преобразованию данного выражения:

.

Рассмотрим теперь принципиально другой пример, в котором требуется разложить выражение на множители.

3. Разложить на множители:

.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести общие множители, получим:

.

Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

На следующем уроке мы рассмотрим более сложные примеры на упрощение таких выражений.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к единому государственному экзамену по математике (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

1. №352-357 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Упростить выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Упростить выражение: а) , б) , в) .

Источник Редактор InternetUrok.ru

astroway.info



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"