Как считается пропорция. Как составляется пропорция формула


Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена быть хромой  и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти. 

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b,  c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях "Задачи на проценты. Часть 1!" и "Задачи на проценты. Часть 2!".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

    > теорема синусов

    > отношение элементов в треугольнике

    > теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:

  —  часы в минуты (и наоборот).

  —  единицы объёма, площади.

  —  длины, например мили в километры (и наоборот).

  —  градусы в радианы  (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700    –    100%

х       –     35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1    –    60

х    –    50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1    –    1,6

х    –    3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы  и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Пропорции | Формулы с примерами

Что такое пропорция?

Определение Пропорция - это верное равенство двух отношений.

Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.

a и d - называют крайними членами пропорции; b и c - называют средними членами пропорции.

Пример
3  =  18   или 3 : 5 = 18 : 30;
5 30
7  =  21   или 7 : 3 = 21 : 9;
3 9
12  =  48   или 12 : 15 = 48 : 60.
15 60

Основное свойство пропорции

Свойство

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример
12  =  24 , значит 12 • 8 = 4 • 24;
4 8
11  =  33 , значит 11 • 21 = 7 • 33;
7 21
23  =  69 , значит 23 • 42 = 14 • 69.
14 42

Обратное свойство

Свойство Пример
11 • 4 = 2 • 22 значит,  11  =  22 ;
2 4
21 • 6 = 42 • 3 значит,  21  =  42 ;
3 6
33 • 21 = 7 • 99 значит,  33  =  99 .
7 21

Производные пропорции

Правило Пример
4  =  8  или  7  =  14  или  8  =  17  или  4  =  7 ;
7 14 4 8 4 7 8 14
5  =  10  или  6  =  12  или  10  =  12  или  5  =  6 ;
6 12 5 10 5 6 10 12
9  =  18  или  3  =  6  или  6  =  18  или  9  =  3 .
3 6 9 18 3 9 18 6

Правило ! По трем известным членам пропорции всегда можно найтиее неизвестный член.

Пример
15  =  x , значит x = 15 • 14  = 15 • 2 = 30;
7 14 7
21  =  x , значит x = 21 • 9  = 21 • 3 = 63;
3 9 3
33  =  99 , значит x = 4 • 99  = 4 • 3 = 12.
4 x 33

Отношения

Определение Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.

Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1

Примеры отношений

Пример 1 Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем,чем 4.

Пример 2 Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет третьот числа 12.

Пример 3 Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г. Какую часть всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с жидкостью больше массы жидкости?

Решение:

Масса стакана составляет 40 : 440 =  1 11 часть полной массы. Масса жидкости равна 440 - 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.

formula-xyz.ru

Как составить и рассчитать пропорцию: онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор пропорций

Формула пропорций

Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

средние
члены
1:10=7:70
крайние члены
0,1=0,1
1 10 = 7 70

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

1 : 10 = x : 70 1 10 = x 70

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Как посчитать пропорцию

Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию: 1 таблетка — 10 кг x таблеток — 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток

Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию: 2 статьи — 5 часов x статей — 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и при расчёте процентов, и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

shpargalkablog.ru

составление пропорции по условию задачи

Записи с меткой "составление пропорции по условию задачи"

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

 Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение. 

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

www.mathematics-repetition.com

Как составить пропорцию?

С точки зрения математики, пропорцией является равенство двух отношений. Взаимозависимость характерна для всех частей пропорции, также как и их неизменный результат. Понять, как составить пропорцию можно, ознакомившись со свойствами и  формулой пропорции. Чтобы разобраться с принципом решения пропорции, достаточным будет рассмотреть один пример. Только непосредственно решая пропорции, можно легко и быстро обучиться этим навыкам. А данная статья поможет читателю в этом.

Свойства пропорции и формула

  1. Обращение пропорции. В случае, когда заданное равенство выглядит как 1a : 2b =3c : 4d, записывают 2b : 1a = 4d : 3c. (Причем 1a, 2b, 3c и 4d являются простыми числами, отличными от 0).
  2. Перемножение заданных членов пропорции крест-накрест. В буквенном выражении это имеет такой вид: 1a : 2b = 3c : 4d, а запись 1a4d = 2b3c будет ему равносильна. Таким образом, произведение крайних частей любой пропорции (числа по краям равенства) всегда является равным произведению средних частей (чисел, расположенных посредине равенства).
  3. При составлении пропорции может пригодиться и такое её свойство, как перестановка крайних и средних членов. Формулу равенства 1a : 2b = 3c : 4d, можно отобразить такими вариантами:
    • 1a : 3c = 2b : 4d (когда переставляют средние члены пропорции).
    • 4d : 2b = 3c : 1a (когда переставляют крайние члены пропорции).
  4. Прекрасно помогает в решении пропорции её свойство увеличения и уменьшения. При 1a : 2b = 3c : 4d, записывают:
    • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (равенство по увеличению пропорции).
    • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (равенство по уменьшению пропорции).
  5. Составить пропорцию можно сложением и вычитанием. Когда пропорция записана как 1a : 2b = 3c : 4d, тогда:
    • (1a + 3с) : (2b + 4d) = 1a : 2b = 3c : 4d (пропорция составлена сложением).
    • (1a – 3с) : (2b – 4d) = 1a : 2b = 3c : 4d (пропорция составлена вычитанием).
  6. Также, при решении пропорции, содержащей дробные или большие числа, можно разделить или умножить оба её члена на одинаковое число. К примеру, составные части пропорции 70:40=320:60, можно записать так: 10*(7:4=32:6).
  7. Вариант решения пропорции с процентами выглядит так. К примеру, записывают, 30=100%, 12=x. Теперь следует п

elhow.ru

Пропорция

Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение  равно отношению 

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

10 : 5

Преобразуем данное отношение в дробь

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть, десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

2 : 1

Преобразуем данное отношение в дробь:

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть, две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:

Можно сделать вывод, что отношение  пропорционально отношению . Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».

В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.

Поэтому отношение  не пропорционально отношению .

Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция  состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2.

Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями  и  знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения    и    равны между собой:

Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2

2 = 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции    крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:

4 : 2 = 8 : 4

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.

Например, проверим правильно ли составлена пропорция . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.

4 × 4 = 2 × 8

16 = 16

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция  составлена правильно.

Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция

Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1

12 ≠ 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция  составлена неправильно.

Поэтому в пропорции  разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz

Химический сайт - Решение задач через составление пропорции

1) Расчетные задачи по уравнению реакции. Для начала необходимо составить «Дано»

Затем составить уравнение реакции и если необходимо уравнять.

Далее, если в условии значятся примеси, от них «избаляются»(например в этом вещ-ве содержится 5% примесей, т.е массовая доля вещ-ва = 100-5=95%) или если уже дана массовая доля вещества, то по ней вычисляют массу чистого вещества.

Далее, найденную массу чистого вещества записывают над химической формулой этого вещества в уравнении, а массу (или объем газообразного вещества), которую нужно найти записывают как х над соответствующей формулой.

Под формулами веществ записывают данные «по уравнению».

Где M – молярная масса, рассчитывается исходя из сумм отн. атомных масс (они даны в таблице Менделеева) Или вместо M, для газов (если нужно вычислить объем) Ставиться Vm. Vm для газов при н.у всегда = 22,4л/моль

n – количество вещества по уравнению. Определяется исходя из того, какой коэффициент стоит перед соответствующей химической формулой (например для 2NaCl+… n вещества по уравнению = 2, если коэффициента не стоит, тогда n = 1)

m – масса по уравнению, рассчитывается по формуле m=M*n Или если вычисляется объем газа, то V. Вычисляется по формуле: V=Vm*n

Теперь все готово к расчету! Для этого берем «верхнюю массу», делим ее на «нижнюю массу» и приравниваем это к «другой верхней массе», деленной на «другую нижнюю массу». В результате получаем пропорцию

Для примера возьмем простую задачу:

Сколько граммов хлорида натрия получится при взаимодействии 25%-ного раствора гидроксида натрия, массой 70г с избытком соляной кислоты? 1) Дано:          17,5г          х г. m(р-ра)=70г| NaOH+HCl=NaCl+h3O ώ(р-ра)=25%| M=40         M=58.5 ----------------| n=1            n=1 Найти m(NaCl)|m=40г       m=58.5г

Вычисляем массу чистого NaOH по формуле: m(в-ва)=m(р-р)* ώ Обратите внимание! Из процентов нужно перевести в массовые доли! 25% или 0,25!!!! mч(NaOH)=70*0.25=17.5г

17,5/40=х/58,5 х=17,5*58,5/40 х=25,59г

Так же может встретится задача на избыток-недостаток. В ней указаны массы/объемы веществ вступающих в реакцию. Необходимо вычилить какое из веществ находится в избытке и расчет вести по недостатку.

Примером данной задачи может служить такая:

Определить какой объем углекислого газа выделится при взаимодействии 30г серной кислоты и 36г карбоната натрия.

Алгоритм тот же.

Дано:                  30г           36г                                х л. m(h3SO4)=30г | h3SO4 + Na2CO3 = Na2SO4+h3O+CO2 m(Na2CO3)=36г| M=98       M=106                         Vm=22.4 -------------------| n=1          n=1                             n=1 Найти V(CO2) --| m=98г      m=106г                       V=22.4л

Сначала установим, кто в избытке, а не кинемся, как некоторые, через понравившееся вести расчет. Что бы это установить проведем простую, уже нам знакомую операцию. Составим пропорцию. Для этого одно из реагирующих веществ примем за х. (Принимать за х можно массу любого вещества) Примем за х массу карбоната натрия, тогда 30/98=х/106 х=30*106/98 х=32,4г Итак, у нас получилась масса карбоната натрия для полного реагирования с 30г серной кислоты = 32,4г. У нас же - 36г. Значит Na2CO3 взят в избытке, считаем по недостатку, т.е. через массу серной кислоты. И опять знакомая операция - составление пропорции. 30/98=х/22,4 х=30*22,4/98 х=672/98 х=6,86л

xumich.ucoz.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"