Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства? Как решить логарифмическое неравенство


Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения  можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении  логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

V , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

равносильно системе:

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

равносильно системе:

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим  неравенство:

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

Корни квадратного трехчлена: ,  

Отсюда:

Ответ:

2. Решим неравенство:

Мы видим, что  в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

Отсюда:

Ответ: 

 

3. Решим неравенство:

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство  мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

Введем замену переменных:

.

Получим квадратное неравенство:

Значит, .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем  вернуться к исходной переменной.

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду , отсюда 

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Логарифмические неравенства, примеры решений

Теория по логарифмическим неравенствам

Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции: функция монотонно возрастает, если , и монотонно убывает, если . При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, для неравенства вида

   

при потенцировании, для значений знак неравенства сохраняется; а для значений , меняется на противоположный.

В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например , решение разбивается два случая, когда и, когда , то есть

   

Так же некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной.

Примеры

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства?

Если проще: это неравенства, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\) \(\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}\) \(\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2\) \(\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из знаков сравнения). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость: \(-\) если основание логарифма - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним, \(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}<1\) ОДЗ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\)

Решение: \(\log\)\(_2\)\((8-x)<\log\)\(_2\)\({2}\) \(8-x\)\(<\)\(2\) \(8-2<x\) \(x>6\) Ответ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_{0,5⁡}\)\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)⁡\({(x+1)}\) ОДЗ: \(\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}\) \(\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x\in(2;\infty)\)

Решение: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

\(-\) вы написали ОДЗ для исходного неравенства. Напоминаю ОДЗ для логарифма \(\log_a⁡b\):

\(b>0\), \(a>0\), \(a≠1\).

\(-\) число в основании логарифмов слева и справа одинаково;

\(-\) логарифмы слева и справа - «чистые», то есть нет никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы и слева, и справа;

Кстати, в конце (после решения) не забудьте пересечь решения неравенства с ОДЗ.

Например:

1) \(\log_3⁡{(x^2-3)}>\log_3⁡{(2x)}\) \(x^2-3>2x\) \(x^2-2x-3>0\) \(x∈(-∞;-1)∪(3;+∞)\)

Не написали ОДЗ и не пересекли с ним решение. Неравенство решено неверно.

2) \(\log_5⁡{(x-7)}≤\log_3{⁡4} \)

Основания логарифмов разные, переход к \(x-7≤4\) невозможен.

3) \(\log_6⁡{(x-2)}-\log_6⁡{x}<\log_6⁡{(2x)}\)

Логарифмы не «чистые», так как слева есть разность логарифмов. Переход к \((x-2)-x<2x\) невозможен.

4) \(\log_2⁡{(x^2-24)}≥-\log_2⁡x\)

Логарифмы не «чистые» т.к. справа есть минус перед логарифмом. Переход к \(x^2-24≥-x\) невозможен.

Заметим, однако, что неравенства 3 и 4 можно легко решить, если воспользоваться свойствами логарифмов.

Пример. Решить неравенство: \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)  

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)\(>0\)

 

ОДЗ представляет собой дробно-рациональное неравенство. Решим его с помощью метода интервалов. Вынесем в числителе за скобки \(3\), а в знаменателе \(2\), чтобы убрать коэффициенты перед иксами.        

\(\frac{3(x-\frac{2}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(>0\)

 

Теперь очевидно, что корни у нас – числа \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) Построим числовую ось и отметим на ней эти точки.

 

Запишем ОДЗ в виде интервалов.

\(x∈(-∞;\)\(\frac{2}{3}\)\()∪(\)\(\frac{3}{2}\)\(;∞)\)

С ОДЗ закончили, переходим к решению.

Решение:  \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Воспользовавшись свойствами логарифмов и свойствами степени, преобразуем правую часть: \(-1=-1 \cdot 1=-1 \cdot \log\) \(_\frac{1}{3} \frac{⁡1}{3}\)\(=\log\)\(_\frac{1}{3}⁡ {\frac{1}{3}}^{-1}\) \(=\log\) \(_\frac{1}{3}\) \(⁡3\).

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤\log\) \(_{\frac{1}{3}}\)\(3\)

Мы привели неравенство к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\). Теперь можно избавиться от логарифмов и оснований. Нужно только определиться, менять знак сравнения или нет. Основание \(\frac{1}{3}<1\), следовательно, знак меняем.

\(⁡\frac{3x-2}{2x-3}\)\(≥\) \(3\)

Переносим \(3\) и приводим к общему знаменателю, пользуясь свойствами дробей.

\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые.

\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)

Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\)\(≤\) \(0\)

Далее выносим \(3\) из числителя и \(2\) из знаменателя.

\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\)\(≤\) \(0\)

Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\). Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.

\(x∈(\)\( \frac{3}{2}\)\(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. 

Записываем окончательный ответ.

Ответ:   \(x∈(\)\( \frac{3}{2}\)\(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(x>0\)

 

Приступим к решению.

Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

 

Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем замену.

\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)

  Раскладываем левую часть неравенства на множители.

\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)

Решаем неравенство методом интервалов.

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\),    \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Делаем переход  к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.

Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

Смотрите также: Показательные неравенства

Скачать статью

cos-cos.ru

Логарифмические неравенства. Примеры и методы решения

Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл.

Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто.

Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям.

Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом.Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.

Логарифмические неравенства (определение)

Самое простое логарифмическое неравенство.

Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом.

 

Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство.

Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств

Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств.

Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее.

Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений.Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.

Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство.

Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом,

Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства.

Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств.

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими:

  • метод замены множителей;
  • декомпозиции;
  • метод рационализации.

В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства.

Примеры решения :

Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства.

В результате мы получаем неравенство:

Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+».

Ответ: х не может быть больше -4 и меньше -2.

Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области.

И только теперь начинаем решать само неравенство.

Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче.

Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ.

Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания.

Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств.

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером.

Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом.

Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства.

Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу,  х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю.

Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться.

В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле!

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием.

В этой статье мы поговорим о том, как решать логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную величину в основании логарифма.

Как мы помним, при решении логарифмических неравенств, мы сравниваем основание логарифма с единицей. Если в основании логарифма стоит выражение, зависящее от неизвестного, то нам надо рассмотреть два случая: когда это выражение больше единицы, и когда оно принимает значение от нуля до единицы.

Но есть и более простой способ.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.

Пусть неравенство имеет вид

Мы помним, что

Если основание логарифма больше единицы (p(x)>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<p(x)<1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.

Чтобы не рассматривать эти два случае по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:

Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:

если p(x)>1,  то f(x)>g(x) - знак неравенства сохраняется

если 0<p(x)<1, то f(x)<g(x) - знак неравенства меняется на противоположный.

Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство

будет равносильно системе:

Последние четыре неравенства системы - ОДЗ исходного неравенства.

Решим, для примера, такое неравенство: 

Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 

Получим неравенство:

Перейдем к равносильной системе неравенств:

Решим каждое неравенство системы по отдельности, на своей координатной прямой.

Сначала преобразуем первое неравенство системы к виду

и решим это неравенство методом интервалов.

Корни квадратного трехчлена в первых скобках:

,   

Корни квадратного трехчлена во вторых скобках:

,   .

Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки:

 

Решение второго неравенства системы:

Решение третьего неравенства: 

Теперь совместим решение всех неравенств на одной координатной прямой:

 

Нас интересует промежуток, над которым проходит три стрелки.

Ответ:  .

А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю решение логарифмического неравенства с переменным основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Логарифмические неравенства

1.Решить неравенство:

   

ОДЗ:

   

   

Решение:

   

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

   

   

   

Ответ:

 

2.Решить неравенство:

   

ОДЗ:

   

   

Решение:

   

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

   

   

   

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем:

 

3.Решить неравенство:

   

ОДЗ:

   

Решим методом интервалов. Корень числителя – , корень знаменателя – эта точка выколота всегда, корень числителя – тоже выколотая точка, так как знак строгий. Таким образом, .

Решение:

   

   

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений, знак сохраняем: основание больше 1:

   

   

   

   

Корень числителя – , корень знаменателя – эта точка выколота всегда, корень числителя – точка закрашенная, она войдет в решение, так как знак неравенства не строгий. Таким образом, .

При наложении решения на ОДЗ получим:

Ответ: .

 

4.Решить неравенство:

   

ОДЗ:

   

   

Решение этой системы –

Решение:

   

   

   

   

   

   

Корни:

   

   

Поскольку знак неравенства нестрогий, то точки входят в решение: на рисунке их нужно изобразить закрашенными. Решение неравенства: .

Накладывая решение на область допустимых значений, получаем:

Ответ:

 5.Решить неравенство:

   

ОДЗ:

   

Решение этой системы –

Решение:

   

   

   

   

   

Точка 1 является выколотой – это корень знаменателя, точка 2 – корень четной кратности, а мы помним, что в таких точках знак интервала не изменяется! Поэтому решение будет выглядеть так:

Решение неравенства

Решение неравенства:

   

Это полностью укладывается в ОДЗ, поэтому ответ таким и будет:

Ответ:

 

6.Решить неравенство:

   

ОДЗ:

   

Допустимые значения :

Решение неравенства проведем методом рационализации:

   

   

   

Упрощаем:

   

   

Раскладываем на множители:

   

Отмечаем полученные точки на координатной прямой:

Решение неравенства

Наложив это решение на ОДЗ, имеем:

Ответ:

 

easy-physic.ru

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства. - Решение логарифмических неравенств.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств

Клю­чом к ре­ше­нию ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств яв­ля­ют­ся свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, т.е. функ­ции вида  (). Здесь t – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, а= кон­крет­ное число, у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции, . При  мо­но­тон­но убы­ва­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции,, .

Имен­но мо­но­тон­ность ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства.

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т.к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

 

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Со­глас­но ме­то­ди­ке ре­ше­ния про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ких нера­венств, пер­вым дей­стви­ем необ­хо­ди­мо урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вить пра­вую часть в виде ло­га­риф­ма с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

По­лу­ча­ем нера­вен­ство:

По­сколь­ку ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, в эк­ви­ва­лент­ной си­сте­ме знак нера­вен­ства со­хра­нит­ся:

Пре­об­ра­зу­ем:

Ответ: 

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма пре­об­ра­зу­ем в левой части сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Нам из­вест­но, что число Пи боль­ше еди­ни­цы (). По­это­му в эк­ви­ва­лент­ном нера­вен­стве знак ис­ход­но­го нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное нера­вен­ство:

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части, со­глас­но тео­ре­ме Виета . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас зна­че­ния на­хо­дят­ся между кор­ней урав­не­ния:

Ответ с уче­том ОДЗ:  

Све­де­ние к про­стей­ше­му ло­га­риф­ми­че­ско­му нера­вен­ству часто осу­ществ­ля­ет­ся с по­мо­щью за­ме­ны пе­ре­мен­ных.

 

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

При­ве­дем вто­рой член к ос­но­ва­нию 5:

По­лу­чи­ли нера­вен­ство:

Оче­вид­на за­ме­на: 

Имеем:

Со­глас­но тео­ре­ме Виета корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части: . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас ре­ше­ния на­хо­дят­ся в ин­тер­ва­ле между кор­ня­ми.

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Пре­об­ра­зу­ем со­глас­но опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Ответ: 

 

При­мер 4 – ре­шить нера­вен­ство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма пре­об­ра­зу­ем в левой части сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть в ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, по­лу­ча­ем эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство с тем же зна­ком:

Пре­об­ра­зу­ем:

www.kursoteka.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"