Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари. Как решить 4 в 4 степени


Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 ++ a3x + a4 = 0,(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 ++ cx + d = 0,(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, - в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2 –– 20x – 5 = 0.(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 == (y – 1)4 + 4(y – 1)3 –– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 == y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 ++ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –– 4y2 + 8y – 4 –– 20y + 20 – 5 == y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 == (y2 – 2y – 4) (y2 ++ 2y – 2).(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение уравнений четвертой степени

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 4-ОЙ СТЕПЕНИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 ∙ 2 + 5 = 9
2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6
2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x3 + 9x2 + 7x - 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x3 + 9x2 + 7x - 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5
-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3
-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x2 + 5x - 3)

Многочлен 2x2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-3 2
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-3 2 -1
-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12
2 2 9 7 -6 0
-2 2 5 -3 0
-3 2 -1 0
-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)

А корнями уравнения являются:

x = ±2; 3; 0.5

tutata.ru

Калькулятор уравнения четвертой степени

Уравнения четвертой степени имеет вид ах4; + bх3 + сх2 + ах + е = 0. Общее уравнение четвертой степени (также называемый биквадратным) является четвертой степени полиномиального уравнения. Бесплатный онлайн калькулятор расчета уравнения четвертой степени, используемый для нахождения корней уравнения.

Вычисление корней:

Например, Введите a=3, b=6, c=-123, d=-126 и e=1080

Формула уравнения четвертой степени:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

  • Примечание : Допустим что p и q квадратные корни из 2 ненулевых корней.
  • p = sqrt(y1)
  • q = sqrt(y3)
  • r = -g / (8pq)
  • s = b / (4a)
  • x1 = p + q + r — s
  • x2 = p — q — r — s
  • x3> = -p + q — r — s
  • x4 = -p — q + r — s

Уравнением четвертой степени называется полиномиальное уравнение четвертого порядка вида, ax4+ bx3 + cx2 + dx + e = 0:

Формула уравнения четвертой степени:

ax4 + bx3+ cx2 + dx + e = 0

где,

  • a = коэффициент для  x4
  • b = коэффициент для x3
  • c = коэффициент для x2
  • d = коэффициент для x
  • e = константа.
Решение уравнения четвертой степени:
  • x1 = p + q + r — s
  • x2 = p — q — r — s
  • x3 = -p + q — r — s
  • x4 = -p — q + r — s

Пример 1:

Вычислить корни (x1, x2, x3, x4) уравнения четвертой степени, 3X4 + 6X3 — 123X2 — 126X + 1080 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значения a=3, b=6, c=-123, d=-126, e=1080.

Шаг 2:

Найдем x : Подставьте значения в приведенных ниже формул.

  • f = c — ( 3b ² / 8 )
  • g = d + ( b ³ / 8 ) — ( b x c / 2 )
  • h = e — ( 3 x b4 / 256 ) + ( b ² x c / 16 ) — ( b x d / 4 )
Шаг 3:

Представим как уравнение третьей степени : y ³ + ( f / 2 ) y ² + (( f ² — 4 x h ) / 16 ) y — g ² / 64 = 0

где,

  • a = коэффициент для y ³
  • b = коэффициент для y²
  • c = коэффициент для y
  • d = константа
Шаг 4:

Из приведенного выше уравнения, значения:

  • a = 1,
  • b = f/2,
  • c = (( f ² — 4 x h ) / 16 ),
  • d = — g² / 64.
Шаг 5:

Найдем y: Подставьте значения в формулу, чтобы найти корни.

дискриминант (Δ) = q3 + r2

  • q = (3c — b2) / 9
  • r = -27d + b(9c — 2b2)
  • s = r +√ (дискриминант)
  • t = r — √(дискриминант)
  • term1 = √(3.0) * ((-t + s) / 2)
  • r13 = 2 * √(q)
  • y1 = (- term1 + r13*cos(q3/3) )
  • y2 = (- term1 + r13*cos(q3+(2∏)/3) )
  • y3 = (- term1 + r13*cos(q3+(4∏)/3) )
Шаг 6:

Получим корни, y1 = 20.25 , y2 = 0 и y3 = 1.

Шаг 7:

После решения уравнения третьей степени решим уравнение четвертой степени.

Подставим y1, y2, y3 в p, q, r, s.

Примечание : Пусть p и q квадратные корни 2 ненулевых корней.

  • p = sqrt(y1) = 4.5
  • q = sqrt(y3) = 1
  • r = -g / (8pq) = 0
  • s = b / (4a) = 0.5
Шаг 8:

Мы получили корни, x1 = 5, x2 = 3, x3 = -4 и x4 = -6.

Практический пример решения уравнения четвертой степени.

wpcalc.com

42

42. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 4-ой СТЕПЕНИ

Тип игры:                             граф

Класс:                                   8, 9

Тема:                                     Уравнения, приводящиеся к квадратным

Комментарий. Эта игра интересна тем, что важными и полезными являются различные пути получения результата. Это как раз пример на воплощение дидактической идеи – процесс важнее результата.

Кроме обычной организации игры с разбивкой учащихся на группы, идущие различными путями, можно предложить и фронтальный вариант, в котором учитель показывает и комментирует различные этапы решения. Разумеется, при этом ослабляется игровой характер задания, не появляется возможность в деятельностной форме ознакомить учащихся с несколькими важными алгебраическими идеями.

Тип игры: граф (выбор пути решения).

Дано уравнение x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 360.

Шаг 1

Выберите один из возможных способов преобразования уравнения.

1. Перемножить сомножители в левой части.

2. Сгруппировать сомножители по два.

3. Использовать симметрию множителей и сделать замену .

4. Воспользоваться известным тождеством для преобразования произведения четырех подряд идущих целых чисел.

 

Реакция на выбор способа преобразования

1. Этот способ самый прямой, однако не ясно, приведет ли он к цели. Тем не менее, попробуйте перемножить и получить уравнение 4-ой степени вида x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Закончив вычисления, перейдите к шагу 2.

Сверьте свои вычисления с правильным ответом.

Шаг 2

x4 + 6x3 + 11x2 + 6x – 360 = 0

Выберите один из двух известных вам типов решения уравнения 4-ой степени.

1.1. Приведение к биквадратному уравнению с помощью удачной замены неизвестного.

1.2. Приведение к возвратному уравнению, используя симметрию коэффициентов.

 

Реакция на второй шаг

1.1. Это хороший путь. Чтобы подобрать замену, советуем выделить полный квадрат, используя первые два слагаемых.

Предлагайте выкладки, подберите необходимую замену и сверьте с ответом.

 

Шаг 3

1.1.1. У вас должно получиться следующее уравнение:

(x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) –360 = 0.

Теперь замена ясна. Обозначьте новое неизвестное через y и сверьте ответ.

 

Шаг 4

y2 + 2y – 360 = 0

Решите это квадратное уравнение и запишите два его корня: y1 = (–20), y2 = (18).

Реакция: верно – неверно.

Для каждого найденного значения y решите уравнение x2 + 3x = y. До записи ответа укажите число корней.

 

Шаг 5

Уравнение имеет (2) корня.

Запишите ответ.

 

Шаг 6

x1 = (–6), x2 = (3)

 

1.2. Этот путь хороший, но нелегкий. Мешает свободный член – 360. Советуем продолжить путь обычным образом – поделить на x2 и заменить . Не пугайтесь того, то x не исчезнет – останется слагаемое вида .

Сверьте с правильным ответом.

 

Шаг 2

Слева и справа стоят полные квадраты. Воспользуйтесь этим, извлеките корни из обеих частей и перейдите к следующему шагу.

 

Шаг 3

Проверьте себя, что вы не забыли извлечь корень с двумя знаками и получить два уравнения:  и .

Вернитесь к неизвестному x и получите два квадратных уравнения.

 

Шаг 4

x2 + 3x + 20 = 0

x2 + 3x – 18 = 0

До записи ответа укажите число корней исходного уравнения.

Шаги 5 и 6 совпадают с этими шагами в пути 1.1.

 

2. Этот путь самый естественный. Решите, какие пары множителей вы будете объединять.

Шаг 2

Первый и второй

 

Неудачно, попробуйте другой способ

Третий и четвертый

 

Первый и третий

 

Второй и четвертый

 

 

Первый и четвертый

 

Это удачный способ, подсказанный соображениями симметрии. Сверьте ответ

Второй и третий

 

 

Шаг 3

(x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 360

Сделайте замену.

2.1. y = (x2 + 3x)

2.2. y = (x2 + 3x + 1)

2.1. Эта замена естественная, хотя и не самая лучшая. Лучше было бы заменить x2 + 3x + 1 = y. Продолжите свой способ и получите квадратное уравнение относительно y.

 

Шаг 4

Совпадает с шагом 4 в 1.1 и дальше до конца.

 

2.2. Это очень толково. Сразу замечаете симметрию. Сверьте уравнение.

 

Шаг 4

y2 – 1 = 360; y2 = 361

До записи окончательного ответа укажите число корней исходного уравнения.

 

Шаг 5

как в 1.1

 

3. Это способ наиболее короткий. Сверьте запись получающегося биквадратного уравнения.

 

Шаг 2

Запишите квадратное уравнение относительно z2 = y.

 

Шаг 3

Решите это квадратное уравнение. Сверьте корни.

 

Шаг 4

,

Вспомните, что y = z2.

До записи ответа найдите число корней исходного уравнения.

 

Шаг 5 и далее – тот же, что и в 1.1

 

4. Этот способ хорош, если вы действительно помните тождество x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + ___x + ___)2

Сверьте ответ.

 

Шаг 2

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2

Извлеките корень и перейдите к двум уравнениям относительно x.

Сверьте ответ.

 

Шаг 3

x2 + 3x + 1 = –19

x2 + 3x + 1 = +19

До записи окончательного ответа укажите число корней исходного уравнения.

 

Шаг 4 = Шаг 5 в 1.1

 

________________________

 

Граф

 

 

files.school-collection.edu.ru

Вывод формул решения алгебраического уравнения четвёртой степени.



1. Приведение уравнения к каноническому виду.

Сделаем замену переменного по формуле:

Получим уравнение:

Раскроем скобки:

Получим уравнение:

Уравнение приведено к каноническому виду:

         

2. Решение уравнения

Способ №1. Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Рассмотрим случай, когда q не равно нулю.

Верно тождество:

Поэтому:

Получили уравнение:

Выберем параметр z так, чтобы правая часть этого уравнения была полным квадратом относительно y. Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант из коэффициентов трехчлена относительно y, стоящего справа, обращался в нуль:

Мы получили кубическое уравнение.Вывод формул кубичекого уравнения. Если z - один из корней кубического уравнения:

то уравнение

запишется в виде:

Отсюда следует:

Необходимо решить два квадратных уравнения:

Получаем четыре корня:

Корни этих квадратных уравнений y1, y2, y3, y4 являются решением исходного уравнения

Рассмотрим случай, когда q=0

Уравнение

имеет четыре корня:

Способ №2. Решение Декарта-Эйлера.

Обоснование этого способа решения уравнения четвёртой степени находится в стадии разработки.

Эта программа находит четыре корня уравнения четвёртой степени двумя способами

Способ №1. Решение при помощи разложения на два квадратных уравнения

Если q не равно нулю, то кубическое уравнение

всегда имеет положительный действительный корень, так как при z=0 значение многочлена в левой части уравнения отрицательно: -q^2/8, а при стремлении z к плюс бесконечности значение многочлена в левой части уравнения также стремится к плюс бесконечности, то есть становится положительным при некотором положительном z=M, и так как непрерывная на отрезке [0; M] функция принимает на интервале (0; M) любое промежуточное, в том числе и нулевое, значение, то существует положительный корень этого кубического уравнения. Таким положительным корнем является либо первый корень в программе решения кубического уравнения, где под знаком косинуса стоит аргумент F/3, так как Cos(F/3)≥0 при 0≤F≤3/2*Pi, если кубическое уравнение имеет три различных действительных корня, либо единственный действительный корень этого кубического уравнения.

Если какой-то из действительных корней кубического уравнения принимает нулевое значение, то решается биквадратное уравнение

Способ №2. Решение Декарта-Эйлера.

После приведения алгебраического уравнения четвёртой степени к каноническому виду программа находит три корня кубического уравнения

Если это кубическое уравнение имеет три действительных положительных корня, то уравнение четвёртой степени имеет четыре действительных корня.

Если это кубическое уравнение имеет три действительных корня, один положительный и два отрицательных, то уравнение четвёртой степени имеет две пары комплексно-сопряжённых корней.

Если это кубическое уравнение имеет один положительный действительный корень и два комплексно сопряжённые корня, то уравнение четвёртой степени имеет два действительных и два комплексно-сопряжённых корня. Программа на javascript «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0» Программа «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0». Код программы «Решение уравнения четвёртой степени Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E=0» Вывод корней кубического уравнения. На главную страницу.

ateist.spb.ru

Два в четвертой степени — Как решить уравнение:x4(в четвёртой степени)+4х-1=0 — 22 ответа



решение уравнения 4 степени

В разделе Дополнительное образование на вопрос Как решить уравнение:x4(в четвёртой степени)+4х-1=0 заданный автором Простак лучший ответ это Первый автор написал что-то странное 😉 Можно использовать, например, метод Феррари. Или догадаться о выделении полного квадрата каким-то другим способом 🙂 Попробуем выделить полный квадрат в левой части: x⁴+4x−1 = 0 a — пока не известное число (x²+a)²−2ax²−a²+4x−1 = 0 (x²+a)² = 2ax²−4x+(a²+1) В левой части стоит полный квадрат; попробуем подобрать число a так, чтобы в правой части тоже можно было выделить полный квадрат. Для этого дискриминант квадратного (относительно x) трёхчлена в правой части должен равняться нулю: 4−2a(a²+1) = 0; a³+a−2 = 0 Очевидным корнем уравнения является a=1. Итак, исходное уравнение равносильно следующему: (x²+1)² = 2x²−4x+2 (x²+1)² − [√2(x−1)]² = 0 Теперь левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов: (x²+1−√2·x+√2)) (x²+1+√2·x−√2) = 0 (x²−√2·x+(√2+1))·(x²+√2·x−(√2−1)) = 0 Таким образом, исходное уравнение 4-й степени распадается на два квадратных, которые уже можно решать стандартным способом (через дискриминант) : 1) x²+√2·x−(√2−1) = 0 D = (√2)² + 4(√2−1) = 4√2−2 > 0 Получаем два действительных корня: ______−√2 ± √4√2−2x₁,₂ = ––——–———.2 2) x²−√2·x+(√2+1) = 0 D = (√2)²−4(√2+1) = −(4√2+2) < 0 Действительных решений нет, но есть два комплексно сопряжённых: ______√2 ± i√4√2+2x₃,₄ = –——–———.2 ОТВЕТ: два действительных корня ______−√2 ± √4√2−2x₁,₂ = ––——–———2 + два комплексно сопряжённых: ______√2 ± i√4√2+2x₃,₄ = –——–———.2

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как решить уравнение:x4(в четвёртой степени)+4х-1=0

Ответ от Вровень[гуру]Прибавим и отнимем 4x^2, (x^4+4x^2+1)-4x^2=0, (x^2+1)^2-(2x)^2=0, (x^2+1-2x)*(x^2+1+2x)=0, приравниваем 0 каждый множитель, квадратные уравнения вы можете решать. Удачи!

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Уравнения 4 степени с помощью решателя

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решения данного рода уравнений можно выполнять по общей схеме решения уравнений высших степеней. Данного рода уравнения имеют решения в радикалах благодаря методу Феррари, позволяющему свести решения к кубическому уравнению. Однако в большинстве случаев с помощью разложения многочлена на множители удается быстро найти решение уравнения.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнения онлайн по алгебре решателем"

Допустим, дано двучленное уравнение четвертой степени:

\[4x^4 + 1 = 0\]

Выполним разложение \[4x^4+1\] на множители многочлена:

\[4x^4+1=4x^4+4x^2-4x^2+1=(2x^2+1)^2-4x^2=(2x^2-2x+1)(2x^2+2x+1)\]

Определяем корни первого квадратного трехчлена:

\[2x^2-2x+1=0\]

\[D=(-2)^2-4 \cdot2 \cdot1=-4\]

\[x_1= \frac{2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} +i\]

\[x_2=\frac{2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} -i\]

Определяем корни второго трехчлена:

\[2x^2+2x+1=0\]

\[D=2^2-4\cdot2\cdot1=-4\]

\[x_3= \frac{-2+ \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} +i\]

\[x_4= \frac{-2- \sqrt D}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2} -i\]

В результате, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня:

\[x=\frac{1}{2}\pm i\]

\[x=-\frac{1}{2}\pm i\]

Где можно решить уравнения 4 степени онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"