Примеры решения комплексных чисел. Как решаются комплексные числа

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Комплексные числа, примеры с решением

Примеры с решением комплексных чисел даны в конце статьи, а пока разберемся с тем, что же такое комплексные числа.

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом .

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: , в котором мнимая единица , числа вещественные. 

Если положить , то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества . К слову говоря также возможно, что .

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как , а действительную .

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу существует такое, что , которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

  1. Алгебраическая
  2. Показательная
  3. Тригонометрическая

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что расположены на соответствующих осях плоскости. 

Комплексное число представляется в виде вектора .

Аргумент обозначается .

Модуль равняется длине вектора   и находится по формуле

Аргумент комплексного числа нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Если:

  1. , то
  2. , то 
  3. , то 

Операции

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

  • Складывать и вычитать
  • Умножать и делить
  • Извлекать корни и возводить в степень
  • Переводить из одной формы в другую 

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

Умножение в алгебраической форме:

Умножение в показательной форме:

Деление в алгебраической форме:

Деление в показательной форме:

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если , то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

Пример 1
Перевести из алгебраической в тригонометрическую и показательную форму:
Решение

Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:

Осталось найти аргумент:

Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:

Тут же можно записать показательную форму:

Ответ
Пример 2

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Решение

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Ответ
Пример 3

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Решение

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что :

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Ответ
Пример 4
Возвести комплексное число в степень: a) б)
Решение

1)

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

Получили ответ, что

2)

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень :

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Ответ

 

Пример 5
Извлечь корень над множеством
Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Получаем:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень , то по формуле :

Ответ
Пример 6
Решить квадратное уравнение над
Решение

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант

Получили, что и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:

Заметим, что и продолжим вычисление:

Получили комплексно-сопряженные корни:

Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.

Ответ

В статье "Комплексные числа: примеры с решением" было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Комплексные числа, примеры решений

Теория про комплексные числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комплексным числом называется число вида , где и действительные числа, а – мнимая единица такая, что .

При этом такая запись комплексного числа называется алгебраической; является действительной частью комплексного числа, а – мнимою. Каждое комплексное число может быть так же представлено в тригонометрической форме

   

или показательной форме:

   

где – модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа такой, что , где или .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости. Для них введены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Так же их можно возводить в степень и извлекать из них корень, для этого используют формулу Муавра.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Представить в показательной и тригонометрической формах комплексное число .
Решение Найдем модуль заданного комплексного числа, по условию действительная часть , а мнимая , тогда подставляя в формулу для нахождения модуля, получим

   

Вычислим аргумент заданного комплексного числа:

   

Тогда тригонометрическая форма этого комплексного числа будет иметь вид:

   

показательная:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти разность и сумму комплексных чисел и .
Решение Найдем сумму комплексных чисел, при этом отдельно складываем действительные и мнимые части заданных чисел:

   

Вычислим разность заданных комплексных чисел, при этом действительные и мнимые части чисел вычитаются отдельно:

   

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти произведение и частное чисел и .
Решение Найдем произведение заданных комплексных чисел:

   

Учитывая, что , окончательно получим:

   

Вычислим частное комплексных чисел и :

   

умножим числитель и знаменатель полученной дроби на сопряженное комплексное число к знаменателю, то есть на , получим:

   

Учитывая, что , окончательно получим:

   

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Возвести комплексное число в степень : а) ; б) .
Решение а) Возведем заданное комплексное число в квадрат, используя формулы сокращенного умножения:

   

б) Для возведения комплексного числа в шестую степень, воспользуемся формулой Муавра. Чтобы её применить, необходимо представить комплексное число в тригонометрической или показательной формах. Найдем модуль заданного комплексного числа:

   

Далее находим его аргумент:

   

Запишем тригонометрическую форму заданного комплексного числа:

   

По формуле Муавра

   

Преобразовывая это выражение, получим алгебраическую форму шестой степени заданного комплексного числа :

   

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить и изобразить корни на комплексной плоскости.
Решение Представим число в тригонометрической форме, для этого найдем его модуль и аргумент:

   

   

Тогда

   

Корни четвертой степени найдем, используя формулу Муавра

   

В нашем случае . Найдем значения этого выражения для каждого :

   

   

   

   

Полученные корни можно изобразить на комплексной плоскости. Они будут точками, лежащими на окружности с центром в начале координат и радиусом , а центральные углы между радиусами, проведенными в соседние точки, равны (рис. 1).

Ответ

ru.solverbook.com

Примеры действий над комплексными числами

Формулы и уравнения с комплексными числами здесь.

Пример. Сумма комплексных чисел.

Дано: Найти:

Решение:Исходя из того, что сумма комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей, а мнимая часть равна сумме мнимых частей суммируемых комплексных чисел , получим:

.

Ответ: .

Пример. Разность комплексных чисел.

Дано: Найти:

Решение:Исходя из того, что разность комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна разности действительных частей, а мнимая часть равна разности мнимых частей вычитаемых комплексных чисел , получим:

.

Ответ: .

Пример. Произведение комплексных чисел.

Дано: Найти:

Решение:Исходя из того, что перемножение комплексных чисел выполняется с помощью обычного раскрытия скобок с последующим выделением вещественной и мнимой частей (следует учесть i2=-1)

получим:

Ответ: .

Пример. Деление комплексных чисел.

Дано: Найти:

Решение:Исходя из того, что при делении комплексных чисел результат представляют в виде дроби, после чего числитель и знаменатель этой дроби умножают на число, комплексно сопряженное знаменателю:

получим:

Ответ: .

Пример. Возведение комплексного числа в степень.

Дано: .Найти:

Решение:Исходя из того, что для возведения комплексного числа в степень его представляют в тригонометрической форме, после чего модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень: получим:

Модуль комплексного числа: .

Аргумент: .

Тригонометрическая форма числа: .

В итоге:

Ответ:

Действия над комплексными числами рассмотрены здесь.

matematika.electrichelp.ru

Комплексные числа · Калькулятор Онлайн

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Выполняет простые операции с комплексными числами.

Также умеет:

  • Выполнять деление с подробным решением
  • Находить разные формы комплексных чисел:
    1. Алгебраическую
    2. Тригонометрическую
    3. Показательную
  • Модуль и аргумент комплексного числа
  • Комплексно-сопряжённое к данному
  • Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Правила ввода комплексных выражений с примерами:

Комплексное число записывается в виде a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно) Комплексная единица (Мнимая) - должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать) (3+4j)/(7-5j) - деление (3.6+4j)*(7+5j) - умножение (3+56j)^7 - возведение в степень (5+6j) + 8j - сложение (5+6j) - (7-1j) - вычитание conjugate(1+4j) или conj(1+4j) Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j) Можно использовать следующие функции от x (например, x = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от xarccosh(x) Арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Арксинус от xarcsinh(x) Арксинус гиперболический от xarctg(x) Функция - арктангенс от xarctgh(x) Арктангенс гиперболический от xee число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от xcos(x) Функция - Косинус от xsinh(x) Функция - Синус гиперболический от xcosh(x) Функция - Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция - квадратный корень из xsqr(x) или x^2 Функция - Квадрат xtg(x) Функция - Тангенс от xtgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от xcbrt(x) Функция - кубический корень из xfloor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция - Знак xerf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание

Видео пример

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как решать комплексные числа

Математический анализ - обязательный предмет для студентов технических вузов России. Одной из наиболее трудных тем первого семестра для большинства студентов является решение комплексных чисел. Тем временем, при внимательном рассмотрении комплексных чисел, становится ясно, что их решение достигается при помощи довольно простых алгоритмов.

Вам понадобится

  • Пособие по математическому анализу

Инструкция

  • Комплексные числа используются для расширения множества вещественных чисел. Если вещественные числа можно графически представить на координатной прямой, то для того чтобы изобразить комплексное число, потребуется две координатных оси (абсцисс и ординат). Комплексные числа можно получить в том случае, например, если у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля.
  • Любое комплексное число можно представить в виде суммы x+yi, где число x - вещественная часть комплексного числа c, а число y - мнимая. Символ i в данном случае называется мнимой единицей, она равна квадратному корню из минус единицы (в вещественных числах операция извлечения корня из отрицательного числа запрещена).
  • Чтобы произвести операцию сложения (вычитания) над парой комплексных чисел, достаточно запомнить простое правило: вещественные части складываются отдельно, мнимые отдельно. То есть:(x1+y1*i)+(x2+y2*i)=(x1+x2)+(y1+y2)*i.
  • Умножать и делить комплексные числа значительно сложнее, чем складывать и вычитать, но в итоге все сводится к тривиальным формулам. Эти формулы представлены на рисунке и получены при помощи обычных алгебраических преобразований с учетом того, что складывать комплексные числа нужно по частям, а квадрат мнимой единицы равен отрицательной единице.
  • Иногда в заданиях требуется вычислить модуль комплексного числа. Сделать это нетрудно. Нужно извлечь квадратный корень из суммы вещественной и мнимой части комплексного числа. Это и будет численное значение модуля комплексного числа.

completerepair.ru

Деление комплексных чисел | Математика

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Определение

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z , при умножении которого на z2 получается z1:

z=z1/z2, если z∙z2=z1 (z2≠0).

Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

   

и

   

   

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю.

С помощью формулы правило деления комплексных  можно записать так:

   

   

Примеры.

Найти частное комплексных чисел:

   

   

   

   

Решение:

1) Чтобы выполнить деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, и делимое, и делитель умножаем на число, комплексно-сопряженное делителю (вариант: и числитель, и знаменатель умножаем на число, сопряженное знаменателю):

   

Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.

i² заменяем на -1.

   

 

   

   

 

   

 

   

   

 

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, будет рассмотрено позже.

www.matematika.uznateshe.ru

Комплексные числа избранные задачи

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Комплексные числа

(избранные задачи)

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

по специальности 050201.65 математика

(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)

Выполнила: студентка 5 курса

физико-математического

факультета

Научный руководитель:

ВОРОНЕЖ – 2008

Содержание

1. Введение……………………………………………………...…………..…

2. Комплексные числа (избранные задачи)

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме….……...……….….

2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..…

2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел

2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………

2.5. Комплексные числа и параметры………...……………………...….

3. Заключение…………………………………………………….................

4. Список литературы………………………….…………………...............

1. Введение

В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.

Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.

В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.

В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.

Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.

Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.

В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.

2. Комплексные числа (избранные задачи)

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

,

где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

.

Обозначим этот корень через

. Таким образом, по определению , или ,

следовательно,

.

Символ

называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел и составляется выражение вида .

Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

,

где

и – действительные числа, а – некоторый символ, удовлетворяющий условию . Число называется действительной частью комплексного числа , а число – его мнимой частью. Для их обозначения используются символы , .

Комплексные числа вида

являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.

Комплексные числа вида

называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства , .

Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Суммой двух комплексных чисел

и называется комплексное число вида .

Произведением двух комплексных чисел

и называется комплексное число вида .

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

.

3. Коммутативный закон умножения:

.

4. Ассоциативный закон умножения:

mirznanii.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"