Графический способ решения систем уравнений. Как решать уравнения графическим способом


Графический способ решения уравнений: алгоритм и примеры графиков

 

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение задач с помощью рациональных уравнений: схема и примеры Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspФункция: область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Как графически решить уравнение? — Науколандия

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 — прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x, при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня — x1 = 0, x2 = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:x² – 2x = 0x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

scienceland.info

Графические методы решения уравнений

Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ. Все члены уравнения переносят в левую часть, т.е. уравнение представляют в виде f(x) = 0. После этого строят график функции y = f(x) , где f(x) - левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox и являются корнями уравнения, т.к. в этих точках y = 0 .

Второй способ. Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т.е. представляют его в виде j(x) = g(x). После этого строят графики двух функций y = j(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу xo, ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т.е. j(xо) = g(xo). Из этого равенства следует, что x0 - корень уравнения.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень x уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x3 - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x1 = -2 ; x2 = x3 = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 имеет корень x1 = x2 = x3 = 1).

Аналитический метод отделения корней. Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка [a,b] существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Если функция f(x) задана аналитически, то областью существования (областью определения) функции называется совокупность всех тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Функция y = f(x) называется возрастающей, если с возрастанием аргумента значение функции увеличивается, и убывающей, если с возрастанием аргумента значение функции уменьшается.

Функция называется монотонной, если она в заданном промежутке либо только возрастает, либо только убывает.

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак на интервале [a,b]. Тогда если во всех точках интервала [a,b] первая производная положительна, т.е. f '(x)>0, то функция f(x) в этом интервале возрастает. Если же во всех точках интервала [a,b] первая производная отрицательна, т.е. f '(x)<0, то функция в этом интервале убывает.

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) имеет производную второго порядка, которая сохраняет постоянный знак на всем отрезке. Тогда если f ''(x)>0, то график функции является выпуклым вниз; если же f ''(x)<0, то график функции является выпуклым вверх.

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими.

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f '(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Пример. Отделить корни уравнения 2х - 5х - 3 = 0.

Имеем f(x) = 2x - 5x - 3 . Область определения функции f(x) - вся числовая ось.

Вычислим первую производную f '(x) = 2xln(2) - 5 .

Приравниваем эту производную нулю:

2xln(2) - 5 = 0 ; 2xln(2) = 5 ; 2x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

x

2

3

sign f(x)

+

-

-

+

Уравнение имеет два корня, так как происходят две перемены знака функции.

Можно составить новую таблицу с более мелкими интервалами:

x

-1

0

1

2

3

4

5

sign f(x)

+

-

-

-

-

-

+

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).

studfiles.net

решение уравнений графическим способом

Примеры решаемых уравнений

Примеры решаемых уравнений (простых)
Система не умеет решать абсолютно все уравнения из ниже перечисленных, но вдруг Вам повезет :) Решение Алгебраических (по алгебре): Квадратных, кубических и других степеней уравнений x^4-x=0 Решение Тригонометрих уравнений sin(2*x)=1
Правила ввода уравнений
В поле 'Уравнение' можно делать следующие операции:
Правила ввода функций
В функции f можно делать следующие операции:Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание Функция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x) Функция - абсолютное значение x (модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от xarccosh(x) Функция - арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Функция - арксинус от xarcsinh(x) Функция - арксинус гиперболический от xarctan(x) Функция - арктангенс от xarctanh(x) Функция - арктангенс гиперболический от xe Функция - e это то, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (тоже самое, что и e^x) floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) log(x) or ln(x) Функция - Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sign(x) Функция - Знак xsin(x) Функция - Синус от xcos(x) Функция - Косинус от xsinh(x) Функция - Синус гиперболический от xcosh(x) Функция - Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция - Корень из от xx^2 Функция - Квадрат xtan(x) Функция - Тангенс от xtanh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Графический способ решения систем уравнений: алгоритм и пример решения

 

Рассмотрим следующие уравнения:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

3. x*y = -1;

4. 5*x3 + y2 = 8.

Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными.

График уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x2 + y2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.

У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая – нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.

Графический способ решения систем уравнения

Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{ x2 + y2 = 25

{y = -x2 + 2*x + 5.

Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.

Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.

Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое – точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Уравнения, приводимые к квадратным: биквадратные и рациональные Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПоследовательности: виды числовых последовательностей и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений

Расцвет, 2009

Введение

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2, у = – x2, в 8 классе – у = √x, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3√x, (x – a)2 + (у – b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b, где k и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k/x, где k ¹ 0. График этой функции называется гиперболой.

Функция (x – a)2 + (у – b)2 = r2, где а, b и r – некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а, b).

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c где а, b, с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2(a – x) = x2(a+ x). Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение (x2 + y2)2 = a (x2 – y2). График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение . График этого уравнения называется астроидой.

Кривая (x2 y2 – 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2). Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x3 – кубическая парабола, у = x4, у = 1/x2.

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f (x+m), у = f(x)+l и у = f (x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на │m│ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

  • Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

  • Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x2 – 2x – 3. Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x2 – 2x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y=x2 и y= 2x + 3. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение на две функции: y=x2 –3 и y =2x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнение x2 – 2x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y= (x –1)2 и y=4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравнения x2 – 2x – 3 = 0 на x, получим x – 2 – 3/x = 0, разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Пример 1. Решить уравнение x5 = 3 – 2x.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = x5, y = 3 – 2x.

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3√x = 10 – x.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3√x, y = 10 – x.

Ответ: x = 8.

Заключение

Рассмотрев графики функций: у = ax2+bx+c, у = k /x, у = √x, у =|x|, у = x3, у = x4, у = 3√x, я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y.

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

Литература

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

baza-referat.ru

Урок по теме «Графический способ решения уравнений»

Мой университет – www.moi-amour.ru

Подробный конспект урока:

УРОК «Графический способ решения уравнений»

Урок начинается со слов: (Слайд №1)

Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи-

решайте их.

Д. Пойа

Устная работа.

Задание №1: Работая в парах, назовите функцию и укажите соответствующий график.

Проверка правильности ответа и необходимые комментарии представляются устно у доски, формулу переносят к графику.

Слайд №2

Ответ:

1) . (Линейная функция, графиком является прямая)

2) (Квадратичная функция, графиком является парабола.)

3) . (Функция называется обратной пропорциональностью, графиком является гипербола.)

ветви гиперболы располагаются в 1 и 3 четвертях;

ветви гиперболы располагаются в 2 и 4 четвертях.

4) . (Кубическая функция, графиком является кубическая парабола.)

5) (Графиком является ветвь параболы.)

Задание № 2: Угадайте, о каких функциях идет речь?

На доске появляется слайд № 3, затем №4. Графики функций изображены «под шторкой». После правильного ответа учащихся, учитель открывает их.

Слайд №3

Ответ: Функция называется обратной пропорциональностью, графиком является гипербола.

Слайд №4

Ответ: Линейная функция, графиком является прямая.

Учитель: Информация представляется по-разному: графически, словесно, в аналитической форме. Часто при решении заданий приходится переводить информацию с одного языка на другой. Для формирования этих умений учащимся предлагается выполнить следующие задания.

Задание № 3:

Слайд №5

(Появляется система уравнений, которая раньше была закрыта).

Задание № 4:

Слайд №6

Ответ: 2

Задание №5:

Слайд №7

(Появляется уравнение, которое было закрыто.)

Вывод делает учитель. На слайде № 5 и № 6 представлено графическое решение системы уравнений, а на слайде № 7 графическое решение уравнения.

На следующем этапе урока перед учащимися ставится проблемная ситуация (задание № 6), тем самым подводится необходимость к выявлению нового способа решения любого уравнения.

Задание №6: Решите уравнение.

Вопросы для учащихся.

Как называется такое уравнение? (Дробно рациональным).

Как его решаем? 1. находим общий знаменатель;

2. умножим обе части уравнения на .

Как решить это уравнение?

Вывод делает учитель: Уравнения третей степени решать не умеем, но мы научимся их сегодня решать, и вы убедитесь, что у нас уже есть для этого знания.

Тема нашего урока: «Графический способ решения уравнений». Цель нашего урока – научиться решать уравнения графическим способом.

Используя алгоритм решения систем уравнений графическим способом, учащиеся под руководством учителя составляют алгоритм решения уравнений графическим способом. Каждый шаг алгоритма решения появляется на интерактивной доске.

Слайд №8

  1. Преобразовать уравнение к виду - функции, графики которых уже умеем строить.

  2. Построить в одной координатной плоскости графики функций y=f(x) и y=g(x)

  3. Определить абсциссы точек пересечения графиков функций.

Далее учащиеся возвращаются к заданию № 6 и решают уравнение графическим способом. Учащиеся работают в индивидуальных рабочих карточках №1. Учитель работает на интерактивной доске.

Слайд №9.

Учащиеся строят графики функций, находят точку пересечения, определяют абсциссу и записывают ответ. Ответ сверяют.

Учитель: Заметили, что в результате есть погрешности при построении, т.е. при решении уравнения графическим способом, получаются приближенные значения корня.

Задание №7: Решите уравнение графическим способом

(Ученик работает на интерактивной доске , а все остальные в индивидуальной карточке №1).

Учащиеся работают по плану:

  1. выделяем в уравнении две известные функции, графики которых можем построить;

  1. Строим в одной координатной плоскости графики данных функций.

  2. Определяем абсциссы точек пересечения

Ответ:

Учитель: При выполнении этих двух заданий использовали графический способ для нахождения корней уравнений. Но существует достаточно много задач, в которых достаточно определить количество корней уравнения. Для их решения графический способ просто незаменим. Достаточно построить схематично графики функций и определить количество точек пересечения.

Задание №8: Определите, сколько имеет корней уравнение вида:

Учитель обращается к предыдущему решению. Двигая на интерактивной доске прямую, рассматривают разные расположения графиков

  1. Пересекаются в двух точках, значит два корня;

  2. Касаются в одной точки, один корень;

  3. Не пересекаются, нет корней.

Дается задание для самостоятельного выполнения с последующей проверкой.

(Ученики работают в индивидуальных карточках №2, после решения, учитель вместе с учащимися обговаривает этапы решения, проверяя их правильность используя слайды ).

Слайд №10.

Слайд №11.

Итог урока.

Ответьте на вопросы:

  1. Чему учились?

  2. В чем достоинство графического способа?

  3. В чем недостаток графического способа?

  4. Какой момент был наиболее интересен?

  5. Были у вас трудности, какие?

Выставление оценок.

Домашнее задание.

Урок заканчивается словами (Слайд №12).

Надо же, как все просто,

Как научиться ходить.

Потом ты начинаешь удивляться,

Что в этом было такого сложного.

Р.Бах.

www.metod-kopilka.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"