Метод координат. Координаты вектора. Как построить векторы по координатам


Метод координат. Координаты вектора

Вопросы занятия:

·  вспомнить, как определяют координаты векторов;

·  рассмотреть три вспомогательные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам и определение расстояния между точками.

Материал урока

Итак, построим прямоугольную систему координат. От точки О начала координат отложим единичные векторы  и . Т.е. векторы длины, которых равны единице.

Причём, направление вектора  совпадает с направлением оси , а направление вектора  совпадает с направлением оси .

Векторы  называются координатными векторами.

Понятно, что любой вектор  можно разложить по векторам . Причём коэффициенты разложения, числа , определяются единственным образом.

Коэффициенты разложения вектора  по координатным векторам называют координатами вектора  в данной системе координат.

Напомним, что координаты вектора записывают в фигурных скобках через точку с запятой. При этом первым указывают коэффициент разложения , а вторым — .

Задание.

Записать координаты векторов, указанных на экране.

Решение.

Обратите внимание, что такие координаты данные векторы будут иметь только в конкретной системе координат и при конкретных координатных векторах .

Коэффициенты разложения нулевого вектора по векторам  и  равны нулю.

Тогда получаем, что нулевой вектор имеет координаты , причём в любой системе координат и при любых координатных векторах.

Если векторы равны, то их разложения по векторам  и  также будут равны, а значит, равны будут и коэффициенты разложения.

Таким образом, получаем, что координаты равных векторов соответственно равны.

Вспомним ещё один особенный случай — противоположные векторы. Их разложения противоположны.

Значит, противоположны будут и соответственные координаты.

Задание.

Разложить векторы по координатным векторам  и  и указать их координаты.

Решение.

Задание.

Построить векторы по их координатам.

Координатами вектора  являются числа 8 и –1. Значит, чтобы переместиться из точки О на вектор , сначала нужно переместиться на вектор , а затем на вектор . Соединив точку О с конечной точкой, получим вектор .

Далее изобразим вектор . Для этого из точки О переместимся на вектор . Тем самым получим искомый вектор .

Чтобы из точки О переместиться на вектор , сначала переместимся на вектор , а затем на вектор . Проведём вектор из точки О в конечную точку. Так мы получили вектор .

Теперь давайте вспомним правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

Сначала рассмотрим сумму двух векторов  и , координаты которых равны:

Пользуясь их координатами, можем записать разложения данных векторов по координатным векторам  и .

Сложим полученные равенства. Пользуясь свойствами сложения векторов и произведения вектора на число, получаем, что координаты вектора суммы векторов  и  равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Задание.

Найти координаты векторов суммы, если , , , .

Координаты вектора суммы  равны:

Координаты вектора суммы  равны:

Перейдём к разности векторов  и .

Из разложения вектора  вычтем разложение вектора .

Получаем, что координаты вектора разности равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов.

Задание.

Найти координаты векторов разности, если , , , .

Разность векторов  имеет координаты:

Разность векторов  имеет координаты:

Далее получим координаты произведения вектора  на число .

Получаем, что координаты произведения равны:

Сформулируем правило.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Задание.

Найти координаты произведения вектора на число.

Координаты вектора . Они равны:

Координаты вектора  равны:

Вектор  имеет координаты:

Ну, а вектор  имеет координаты:

Рассмотрим прямоугольную систему координат и какую-нибудь точку .

Проведём вектор из точки О к точке М. Такой вектор  называют радиус-вектором точки М.

Давайте докажем, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора .

Понятно, что вектор  по правилу параллелограмма. Теперь необходимо доказать, что вектор , а вектор . Тем самым мы докажем, что вектор .

Если , то длина отрезка . А так как векторы  и  сонаправлены, то вектор , а длина .

Если же , то длина отрезка . Так как векторы  и  противоположно направлены, можно записать, что вектор . А .

Ну, и если , то точка М лежит на оси  и вектор . Тогда его можно выразить как . А это значит, что справедливо равенство .

Абсолютно аналогично проводят доказательство того, что вектор .

Итак, мы доказали, что вектор . То есть координаты вектора , так же как и у точки М.

Что и требовалось доказать.

Задание.

Назвать координаты вектора.

Решение.

Итак, мы доказали, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Радиус-вектором точки называют вектор, начало которого совпадает с точкой начала координат, а конец — с данной точкой.

Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора  через координаты его начала и конца. Пусть точка А имеет координаты , а точка В имеет координаты .

Вектор . А они в свою очередь являются радиус-векторами точек В и А соответственно. А это значит, что координаты вектора , а координаты вектора . Можем найти координаты вектора разности: . Понятно, что эти значения и будут координатами вектора .

Так мы доказали, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Задание.

По координатам точек  и  найти координаты вектора

.

Решение.

Теперь давайте рассмотрим три вспомогательных задачи, которые используют при решении геометрических задач методом координат.

Первой решим задачу на определение координат середины отрезка.

Пусть точка  и точка  — некоторые точки координатной плоскости. Точка  — середина отрезка . И нам необходимо определить её координаты.

Воспользуемся ранее доказанным утверждением и на основании того, что  — середина отрезка , запишем, что вектор .

Векторы  и  являются радиус-векторами точек А и В соответственно. Значит, координаты вектора , а координаты вектора .

Вектор их суммы будет иметь координаты .

Координаты вектора их полусуммы равны .

Эти значения и будут координатами вектора , который в свою очередь является радиус-вектором точки С. А это значит, что координаты точки  равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Таким образом, мы получили, что каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Далее рассмотрим вторую вспомогательную задачу — задачу на вычисление длины вектора по его координатам.

От начала координат отложим вектор . Проведём перпендикуляры  и  к осям.

Если точка , то и её радиус-вектор . При этом координаты вектора , ведь векторы .

Итак, можно сказать, что длина отрезка , а длина отрезка . Длину отрезка  можем выразить из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора, как

Но ведь векторы , а значит, . Получаем, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, причём от какой бы точки он не был отложен.

Далее решим последнюю вспомогательную задачу — задачу на определение расстояния между двумя точками.

Пусть точка , а точка . Выразим расстояние  между этими точками через их координаты.

Для начала рассмотрим вектор . Его координаты равны разностям соответствующих координат конца М2 и начала М1.

Тогда длина этого вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Но с другой стороны, длина вектора . Отсюда получаем, что расстояние между двумя точками находят, как корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат данных точек.

Итоги урока

На этом уроке мы поговорили о «методе координат». Вспомнили, как определяют координаты векторов. Рассмотрели три вспомогательные задачи: определение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам и определение расстояния между точками.

 

videouroki.net

Как построить вектор?

Вектором принято называть отрезок, который имеет заданное направление. Как начало, так и конец вектора имеют фиксированную позицию, с помощью которых и определяется направление вектора. Рассмотрим подробнее, как построить вектор по заданным координатам.

  1. Начертить систему координат (x, y, z) в пространстве, отметить на осях единичные отрезки.
  2. Отложить на двух осях нужные координаты, провести от них пунктиром линии, параллельные осям, до пересечения. Поучится точка пересечения, которую нужно соединить пунктиром с началом координат.
  3. Провести вектор из начала координат до полученной точки.
  4. Отложить на третьей оси нужное число, через данную точку провести пунктирную линию, которая будет параллельна построенному вектору.
  5. Из конца вектора провести пунктиром линию, параллельную третьей оси до пересечения с линией из прошлого пункта.
  6. В завершении соединить начало координат и полученную точку.

Иногда требуется построить вектор, который будет результатом сложения или вычитания других векторов. Поэтому сейчас мы рассмотрим операции с векторами, узнаем, как их складывать и вычитать. 

Операции над вектором

Геометрические векторы можно складывать несколькими способами. Так, например, наиболее распространенным способом сложения векторов является правило треугольника. Чтобы сложить два вектора по этому правилу, необходимо расположить векторы параллельно друг другу таким образом, чтобы начало первого вектора совпадало с концом второго, при этом третья сторона полученного треугольника будет являться вектором суммы.

Также можно рассчитать сумму векторов по правилу параллелограмма. Векторы должны начинаться из одной точки, параллельно каждому вектору нужно начертить линию так, чтобы в итоге получился параллелограмм. Диагональ построенного параллелограмма будет являться суммой этих векторов.

Для вычитания двух векторов нужно сложить первый вектор и вектор, который будет противоположным второму. Для этого также используется правило треугольника, которое имеет следующую формулировку: разность век

elhow.ru

Координаты точки и вектора — урок. Геометрия, 11 класс.

Координаты точки

Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.

 

 

Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс, \(Oy\) — ось ординат, \(Oz\) — ось аппликат. 

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и\((Oxz)\).

 

 

Положение точки \(A\) в пространстве определяется тремя координатами: \(x\), \(y\) и \(z\).

 

 

Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).

Записываются так: \(A(x; y; z)\).

Если точка находится на оси \(Ox\), то её координаты \(X(x; 0; 0)\).

Если точка находится на оси \(Oy\), то её координаты \(Y(0; y; 0)\).

Если точка находится на оси \(Oz\), то её координаты \(Z(0; 0; z)\).

 

Если точка находится в плоскости \(Oxy\), то её координаты A1x;y;0.

Если точка находится в плоскости \(Oyz\), то её координаты A20;y;z.

Если точка находится в плоскости \(Oxz\), то её координаты A3x;0;z.

Координаты вектора

 

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i→, j→ и k→, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в видеOA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→.

Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним единственным образом и называются координатами вектора.

 

Записываются так: OA→x;y;z.

Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:

 

- координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:

a→x1;y1;z1, b→x2;y2;z2, a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2

 

- координаты разности векторов, если даны координаты векторов: a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2

 

- координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:

n⋅a→n⋅x1;n⋅y1;n⋅z1

 

- длину вектора:

a→=x12+y12+z12

- координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точки вектора:

AxA;yA;zA, BxB;yB;zB, AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA

 

- расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:

AB→=AB=xB−xA2+yB−yA2+zB−zA2

 

- координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точки отрезка:

xC=xA+xB2;yC=yA+yB2;zC=zA+zB2

www.yaklass.ru

Векторы на координатной плоскости

Теорема

В прямоугольной системе координат расстояние между точками \(P(x_1; y_1)\) и \(Q(x_2; y_2)\) выражается формулой \(\rho(P, Q) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).

 

Доказательство

Если \(PQ\parallel Ox\), то он лежит на некоторой прямой \(y = C\), тогда \(y_1 = y_2 = C\), следовательно, \(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = |x_1 - x_2|\), что равно его длине.

 

Если \(PQ\parallel Oy\), то он лежит на некоторой прямой \(x = C\), тогда \(x_1 = x_2 = C\), следовательно, \(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = |y_1 - y_2|\), что равно его длине.

 

Если \(PQ\) не параллелен осям, то рассмотрим прямоугольный треугольник \(PQM\), в котором \(PM\parallel Ox\), \(QM\parallel Oy\). По теореме Пифагора \(PQ^2 = PM^2 + QM^2\). Так как \(PM\parallel Ox\), то \(PM\) лежит на некоторой прямой \(y = C\), откуда \(PM = |x_1 - x_2|\), аналогично \(QM = |y_1 - y_2|\), тогда \(PQ^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2\), откуда получаем требуемое равенство.

 

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Доказательство

Пусть \(M(a;b)\).

 

1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.

 

Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).

 

2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.

 

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).

 

Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

 

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).  

\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]

Лемма

Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).

 

Доказательство

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

 

Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).

 

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).

 

Определение

Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta \overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).

 

\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.  

Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

 

Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).

 

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

 

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

 

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).

 

Теорема

Если точки \(A(x_1;y_1), \ B(x_2;y_2)\), то \(\overrightarrow {AB}\{x_2-x_1;y_2-y_1\}\).То есть каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

 

Следствие

Если \(\overrightarrow a\{x;y\}\), то длина \(|\overrightarrow a|=\sqrt{x^2+y^2}\).  

\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами – это угол \(\angle BAC\), не превышающий развернутого угла.

 

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a, \overrightarrow b)}\]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

 

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.

 

3. Если угол между ненулевыми векторами тупой, то скалярное произведение отрицательно.

 

4.Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=|\overrightarrow a|^2\).

 

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}\) и \(\overrightarrow b\{x_2;y_2\}\) выражается формулой:

\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2\]

Доказательство

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow c\):

 

Т.к. \(\overrightarrow a+\overrightarrow c=\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow c=\overrightarrow b-\overrightarrow a \Rightarrow \overrightarrow c \{x_2-x_1; y_2-y_1\}\).

 

По теореме косинусов: \(|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos\alpha\), но \(|a||b|\cos \alpha=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\), значит: \[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac12\left(|a|^2+|b|^2-|c|^2\right) =\dfrac12\left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2\right)=x_1x_2+y_1y_2\]

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов \(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c\) и любого числа \(\lambda\) справедливо:

 

1. Скалярное произведение вектора на себя всегда неотрицательно, причем равно нулю оно тогда и только тогда, когда вектор нулевой: \(\overrightarrow a^2\geqslant 0, \quad \overrightarrow a^2=0 \Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

 

2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

 

3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

 

4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).

shkolkovo.net

Урок Тема Координаты и векторы в пространстве. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка

Урок 6.Тема Координаты и векторы в пространстве.Прямоугольная система координат.Расстояние между точками.Координаты середины отрезка.

Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.

Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).

Рис. 1. Построение точки B в пространстве

Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.

Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).

Рис. 2.

Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.

Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.

Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.

 

Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс, единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат  (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.

Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам

Возьмем вектор , поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях -  векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов ,  и . Получаем: . Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор  лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . , а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами  и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:

Рис. 2.

Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор как разность векторов  и по свойству векторов. Причем,  и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора  как разность соответствующих координат векторов  и : . Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

Рис. 3.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы , , . Нас спрашивают вектор . В данном случае найти  это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:

У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

Ответ: 

Пример №2.

Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Рис. 4.

Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как координаты вектора  -  это разность координат его конца и начала, получаем:. Таким же образом находим координаты векторов и . ; .

Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим . MN – средняя линия, . Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: .

Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.

;

.

Вектора  и  - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: , .

 

.

 

Пример 1. Задача на нахождение координат середины отрезка (рис. 1). Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).

Рис. 1. Координаты середины отрезка

Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Вектор  является половиной суммы векторов  и , потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах   и . Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:

, , .

Пример 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты (рис. 2). Если у нас есть вектор , то его модуль вычисляется по формуле: .

Рис. 2.

 

Рассмотрим вывод этой формулы.

1) Начертим вектор  и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.

2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.

3) Рассмотрим . OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза ,  - по теореме Пифагора.

4) Рассмотрим  - прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. , MK=z.

 - по теореме Пифагора.

Пример 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.

Рис. 3.

Решение:

1) Найдем координаты вектора . .

2) Найдем модуль вектора  по его координатам:.

Задача №1.

Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, . Найти: m, n.

Решение: Так как , мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:

; ; .

Ответ: , .

Задача №2.

Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.

Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. .

Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как  - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки . Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:.

gigabaza.ru

Построение вектора по заданным координатам. П2

Данный модуль представляет собой задание исследовательского типа и состоит из 5 шагов. Задание направлено на формирование умения учащихся строить вектор по заданным координатам его начала и конца. При прохождении шагов учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. Задание данного учебного модуля параметризировано. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

Категория пользователейОбучаемый, Преподаватель

ДисциплиныМатематика / Проекция вектора на ось. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора

Уровень образованияПрофессионально-техническая подготовка, повышение квалификации

СтатусЗавершенный вариант (готовый, окончательный)

Тип ИР сферы образованияинформационный модуль

Ключевые словавектор

Издатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. - +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610Сайт - http://www.nmg.ru

Правообладатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. - +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610Сайт - http://www.nmg.ru

Внимание! Для воспроизведения модуля необходимо установить на компьютере проигрыватель ресурсов.

Характеристики информационного ресурса

Тип используемых данных:text/plain, text/html, image/jpeg

Объем цифрового ИР1 822 229 байт

Проигрыватель

Категория модифицируемости компьютерного ИР

Признак платностибесплатный

Наличие ограничений по использованиюнет ограничений

Рубрикация

Ступени образованияОсновное общее образование

Целевое назначениеУчебное

Тип ресурсаОткрытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

Классы общеобразовательной школы9

Уровень образовательного стандартаФедеральный

Характер обученияБазовое

fcior.edu.ru

Векторы и операции над векторами

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но и физическое и геометрическое - направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .

Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.

Умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат - требуемые в условии задачи векторы:

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать - в уроке "Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов".

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн "Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)".

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки "Скалярное произведение векторов" и "Векторное и смешанное произведения векторов".

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы -

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как "точки" некоторого абстрактного "n-мерного пространства", а сами числа - как "координаты" этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

-

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора

на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

-

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Аналитическая геометрия"

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

function-x.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"