Как построить график функции y = f(x+l), если известен график функции y = f(x). Как построить график функции y f x


График функции y=f(|x|) | Алгебра

График функции y=f(|x|) может быть получен из графика функции y=f(x).

Для этого ту часть графика, которая лежит левее оси Oy, отбрасываем. Часть графика, расположенную правее оси ординат, сохраняем, и её же отображаем симметрично относительно оси Oy.

Точка, лежащая на оси Oy, при таком преобразовании остаётся на месте.

Примеры.

1) Построить график функции y= -x²+2|x|+8.

Решение:

Так как x²=|x|², запишем формулу функции в виде y= —|x|²+2|x|+8.

График функции y= —|x|²+2|x|+8 можно получить из графика функции y= -x²+2x+8. Для этого часть графика, лежащую слева от оси Oy, отбрасываем. Правее оси ординат график сохраняем и это же часть отображаем симметрично относительно оси Oy:

(1; 9) → (-1; 9),

(2; 8) → (-2; 8),

(3; 5) → (-3; 5),

(4; 0) → (-4; 0).

График y= -|x|²+2|x|+8 из графика y= -x²+2x+8.

2) График функции

   

получен из графика функции y=-4/(x-2).

Всё, что лежит левее оси Oy, отбрасываем, всё, что правее — отображаем симметрично относительно оси ординат:

 

3) График функции

   

получен из графика y=√x.

Отбрасывать здесь нечего, поскольку график полностью расположен правее оси ординат. Весь график сохраняем, и его же отображаем симметрично относительно оси Oy:

Геометрические преобразования — быстрый и удобный способ построения графиков на основе графиков элементарных функций. Поскольку в алгебре строить графики приходится достаточно часто, важно вовремя научиться пользоваться этим инструментом.

www.algebraclass.ru

Построение графиков функций геометрическими методами / math5school.ru

 

График функции y=f(x)+a

График функции y=f(x–a)

График функции y=kf(x), k>0

График функции y=f(kx), k>0

График функции y=–f(x)

График функции y=f(–x)

График функции y=|f(x)|

График функции y=f(|x|)

 

График функции y=f(x)+a

Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Oy на а единиц вверх, если a>0, и на |a| единиц вниз, если a<0.

 

       

       

 

 

График функции y=f(x–a)

Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Ox на а единиц вправо, если a>0, и на |a| единиц влево, если a<0.

 

       

       

 

График функции y=kf(x), k>0

Способ построения: растяжение графика функции y=f(x) вдоль оси Oy относительно оси Ox в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.

 

       

       

       

  

 

График функции y=f(kx), k>0

Способ построения: сжатие графика функции y=f(x) вдоль оси Ox относительно оси Oy в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.

 

       

       

        

 

 

График функции y=–f(x)

Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Ox.

 

       

       

 

 

График функции y=f(–x)

Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Oy.

 

       

       

 

 

График функции y=|f(x)|

Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остаётся без изменения.

 

       

       

 

 

График функции y=f(|x|)

Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси Oy и на ней, остаётся без изменения, а остальная его часть заменяется симметричным отображением относительно оси Oy части графика, расположенной правее оси Oy.

 

       

       

 

      Смотрите также:

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

math4school.ru

График функции y=f(x)+b | Алгебра

График функции y=f(x)+b  (b>0) можно получить из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на b единиц вверх.

При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; y+b) графика функции y=f(x)+b (то есть абсцисса (координата x) каждой точки остается без изменения, а ордината (координата y ) увеличивается на b.

Один из вариантов преобразования — осуществить параллельный перенос начала отсчёта, точки O(0;0), в точку O1(0;b) и построить график y=f(x) с началом отсчёта от точки O1.

Примеры.

1) График функции y=x²+3 может быть получен из графика функции y=x² с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на 3 единицы вверх.

Строим параболу y=x². Затем переносим каждую из основных точек на 3 единицы вверх.

y=x²+3 из y=x²

Можно перенести только вершину параболы, точку (0; 0), на 3 единицы вверх, в точку (0; 3), и от новой вершины строить параболу y=x² (1 единица вправо, 1 — вверх; 1 единица влево, 1 — вверх; 2 единицы вправо, 2 — вверх и т.д.). (Фактически, в этом случае осуществляется параллельный перенос начала отсчёта из точки O(0; 0) в точку O1(0; 3), и строится график y=x² с новым началом отсчёта от точки O1).

1) График функции y=x³+2 может быть получен из графика функции y=x³ с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на 2 единицы вверх.

Можно обойтись без построения начального графика y=x³, достаточно обозначить его основные точки, и выполнить параллельный перенос каждой из них на 2 единицы вверх.

y=x³+2 из y=x³

3) График функции y=√x+4 может быть получен из графика функции y=√x параллельным переносом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Строим график функции y=√x по основным точкам. Затем переносим каждую из этих точек вверх на 4 единицы.

Через полученные точки проводим ветвь параболы:

В следующих раз рассмотрим рассмотрим построение графиков вида y=f(x)-b.

Преобразование графиков позволяет на основе графиков элементарных функций получать графики сложных функций. Умение преобразовывать графики в алгебре пригодится не только при изучении функций, но и при решении уравнений и неравенств, в частности, при решении заданий с параметрами.

www.algebraclass.ru

Как построить график функции y=f(x+m)+l, если известен график функции y=f(x)

Разделы: Математика

Цель урока:

  • выяснить как можно выполнять построение графиков не используя при этом больших табличных данных;
  • уметь строить графики функций в прямоугольной системе координат; развивать способности чтения графиков;
  • способствовать формированию у учащихся добросовестно относиться к выполняемой работе.

Оборудование: таблицы, шаблоны графиков функций, кодоскоп с пленками.

Ход урока

I. Организационно-психологический момент

Проверить готовность учащихся к уроку. Наличие чертежных принадлежностей.

II. Устная работа

1. Соотнесите данным функциям соответствующие построенные графики.

У=Х2

У=К/Х

У=|X|

У=√Х

2. Предложите (построить) кривую линию из данных линий и придумайте свое название данной кривой. Можно использовать различную терминологию и язык.

3. Индивидуальная работа по карточкам

 карточка №1 Построить графики функций в одной системе координат

у=4х2, у=4(х-1)2, у=4х2-1

 карточка №2 Построить графики функций в одной системе координат

у=4х2, у=4х2-5, у=4(х+2)2

 карточка №3 Построить графики функций в одной системе координат

у=4/(х+2), у=4/х, у=4/х -1

 карточка №4 Построить графики функций в одной системе коррдинат

у=4/х, у=4/х +2, у=4/(х+3)

II. Работа по теме

1) Класс делитcя на три группы.

Каждая группа получает свое задание:

1 группа. Построить график функции У=Х2

2 группа. Построить график функции У=3Х2

3 группа. Построить график функции У=(Х-2)2

4 группа. Построить график функции У=Х2-4

Можно ли совместить все эти преобразования в одно целое?

Постарайтесь сами проговорить все эти преобразования и сделайте схематическое построение графика. Сделаем вывод.

Теперь посмотрим через кодоскоп на экране данные преобразования графика. Проговорим и запишем правило построения графика У=К(Х+M)+L:

1. Определить график функции

2. Построить график основной функции

3. Выполнить преобразования У=Кf(X)

4. Выполнить преобразование У=Кf(X+M)

5. Выполнить преобразование У=Кf(X+M)+L

Проверим его правильность, сверив с записью в учебнике.

2) Работа в группах. Построить графики функций

у= -3/(х+2) -5

у=2/(х-3) -4

у=4/(х-1) +3

у=-2/(х+4)-1

После построения каждая группа показывает всем остальным свои графики, а те в свою очередь читают график – описывают, какие преобразования были выполнены.

III. Отработка навыков и умений

Выполнение заданий из учебника №29.3, 29.10,29.16,29.18(во всех номерах только а и б)

IV. Задания на повторение

Повторить формулы сокращенного умножения, выписать на доску формулы квадрата суммы и разности.

Заменить звездочки числами таким образом, чтобы равенства стали верными:

а2-2а * +b2=(a-*)2

x2+6x+*=(x+*)2

4u2-8uv+*=(2u-*)2

9- 2y*+*=(3-*)2

Выделить полный квадрат из трехчлена

х2-8х+14=(х2-2 4х+16)-16+14=(х-4)2-2

х2+6х+10=(х2+2 3х+9)-9+10=(х+3)2=1

V. Подведение итогов урока

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)

Дополнительные сочинения

На этом уроке мы обсудим построение модификаций графиков вида у = mf(x). Вначале мы вспомним, как строятся ранее изучаемые модификации графиков вида у = f(x±k) и у = f(x)±k. Далее мы рассмотрим построение графика функции вида у = mf(x) на примере функции синуса и сформулируем общее правило для подобных преобразований. В конце урока мы решим несколько примеров на построение схематического графика.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Как построить график функции y=m∙f(x), если известен график функции y=f(x)

1. Преобразование графиков: напоминание

Вспомним известные нам правила преобразования графиков.

1) Построить графики функций

Например:

получаем сдвигом кривой на 1 вправо по оси x;

получаем сдвигом кривой на 1 влево по оси x.

2) Построить графики функций

Например:

получаем сдвигом кривой на 1 вверх по оси y;

получаем сдвигом кривой на 1 вниз по оси y.

2. Построение графика функции y=m∙f(x) по известному графику y=f(x)

3) Построить график функции

Например:

Поместим значения функций в основных точках в таблицу.

И построим графики функций (рис. 3).

Исходную кривую необходимо растянуть или сжать в m раз. При точки графика остаются без изменения.

Рассмотрим значения функций в основных точках при

       

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

И построим графики функций

График функции симметричен графику функции относительно оси x.

3. Правило получения кривой y=m∙f(x)

Правило получения кривой из кривой

1. Точки пересечения кривой c осью x сохраняются без изменений.

2. В остальных точках области определения ордината изменяется в m раз (рис. 5).

4. Примеры

Используя правило, построим графики функций:

1)

2)

5. Вывод, заключение

Мы вспомнили известные ранее правила преобразования графиков функций и вывели новое правило, по которому из графика функции можно получить график функции , привели несколько примеров.

Правило будет использоваться и в дальнейшем, в частности, при исследовании гармонических колебаний.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер.-К.: А. С.К., 1997.

7. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 17.1 – 17.6.

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика .

2. Интернет-портал Problems. ru .

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам .

dp-adilet.kz

Как построить график функции y = f (x+l) и y = f (x)+m, если известен график функции y = f(x). 8-й класс

Разделы: Математика

Цели:

  • повторить правила построения и свойства графиков функций у = x2, , , у =| x |;
  • выяснить правила построения графиков функций у = f (x + l) и у = f (x) + m;
  • развить умение строить графики функций;
  • развивать познавательную активность учащихся.

Оборудование: интерактивная доска,  проектор, презентация к уроку.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Устная работа (Приложение. Слайды 2-8.)

Задание: Графики каких функций изображены на рисунках? (у = x2, у = – x2, , , , , у =| x |, у = – | x |). Для каждой из функций сформулировать ее свойства и правила построения графика функции.

3. Изучение нового материала (Приложение)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = x2 +1.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу вверх. (Слайд 10.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = x2– 1.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу вниз. (Слайд 11.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = (x – 1)2.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу вправо. (Слайд 12.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = (x + 1)2.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу влево. (Слайд 13.)

С помощью учителя учащиеся формулируют правило построения графика функции у = f (x + l) и графика функции  у = f (x) + m  с помощью сдвига графика функции   у = f (x).  (Слайды 14-18.  Анимация сдвигов графиков на слайдах помогает лучшему восприятию правила.)

Затем рассматривается вариант построения графика функции у = f (x + l) и графика функции  у = f (x) + m  с помощью сдвига графика функции   у = f (x), если известен график функции   у = f (x) с помощью сдвига осей координат.  (Слайды 19-23.  Анимация сдвигов осей координат на слайдах помогает лучшему восприятию правила построения графиков.)

Правила построения графиков функций у = f (x + l) и у = f (x) + m записываются в тетрадь.

4. Закрепление материала

№ 19.6, № 20.6, № 19.11(в), № 19.12(в), № 19.13(в), № 19.14(в), № 20.11(в), № 20.12(в), № 20.13(в), № 20.14(в).

5. Домашнее задание

Параграф 19, 20 учебника, № 19.5, № 20.5, № 19.11–19.14(а), № 20.11–20.14(а).

6. Подведение итогов урока

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как построить график функции y = f(x+l), если известен график функции y = f(x)

Разделы: Математика

Цели:

: формирование знаний и умений строить график функции y=f(x+L), определять свойства функции по графику, применять шаблоны.
  • Развивающая
  • : Развитие кругозора, мышления, любознательности, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики.
  • Воспитывающая
  • : Воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля. Оборудование: компьютер, проектор, шаблоны.

    Инструменты: линейка, карандаш, цветные карандаши.

    План урока

    1. Устная работа (повторение свойств функции у=х2, у=к/х, у= | х | ,у = )
    2. Изучение нового материала
    3. Закрепление
    4. Проверка знаний: самостоятельная работа
    5. Подведение итогов, домашнее задание.

    Ход урока

    1. Устная работа

    На доске вывешены на листочках графики функций

    у = х2,у =к/х, у = | х |, у = у .

    4 ученика подходят и записывают уравнения, соответствующие графикам. Следующие 4 ученика перечисляют свойства этих функций

    2. Изучение нового материала

    1) На доске и в тетрадях чертится по точкам график функции у=2х2 и у=2(х+3)2. Делается вывод по взаимному расположению построенных парабол.

    2) На примере графика функции у=(х+3) учитель формулирует правило: чтобы построить график функции у=f(х+L),нужно сдвинуть (параллельно перенести)график функции y=f(x) на |L| единиц влево вдоль оси ОХ, если L>0.

    3) На примере графика функции у=к/(х-2) учитель формулирует правило: чтобы построить график функции y=f(x+L), нужно сдвинуть (параллельно перенести) график функции y=f(x) на |L| единиц вправо вдоль оси ОХ, если L<0.

    3. Закрепление

    Работа с учебником №19.5 (устно по цепочке), №19.7 (а, б), №№19.11 (а, б) 19.12(а, б), 19.13(а, б), 19.14(а, б) – письменно с объяснением у доски.

    4. Рефлексия

    Каждому ученику раздаётся листок с нарисованной системой координат и шаблоны функций. За 5 минут учащиеся должны начертить на них графики функцийи сдать на проверку учителю.

    5. Подведение итогов

    Что надо делать, чтобы построить график функции y=f(x+l), если известен график функции у=f(x)? Какими свойствами обладают “новые функции?”

    6. Домашнее задание

    1) №19.6;

    2) №19.7(в),19.11(в)-19.13(в) – 1 вариант;

        №19.7(г)Д9.11(г)-19.13(г) – 2 вариант.

    Литература:

    Учебник и задачник “Алгебра-8” под ред. Мордковича А.Г.

    Поделиться страницей:

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai



    О сайте

    Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"