3. Построение графика квадратичной функции. Как определить направление ветвей параболы


Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.Итак.

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с  - свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:

 

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  - в этом уравнении - координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент - четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

 

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.Подвигайте движки.Исследуйте зависимость- ширины графика функции от значения коэффициента ,- сдвига графика функции вдоль оси от значения  ,

- сдвига графика функции вдоль оси от значения  - направления ветвей параболы от знака коэффициента - координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры

 

Квадратичной функцией называется функция вида: y=a*(x^2)+b*x+c,где а – коэффициент при старшей степени неизвестной х,b – коэффициент при неизвестной х,а с - свободный член.Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Рис.1 Общий вид параболы.

Есть несколько различных способов построения графика квадратичной функции. Мы рассмотрим основной и самый общий из них.

Алгоритм построения графика квадратичной функции y=a*(x^2)+b*x+c

1. Построить систему координат, отметить единичный отрезок и подписать координатные оси.

2. Определить направление ветвей параболы (вверх или вниз).Для этого надо посмотреть на знак коэффициента a. Если плюс - то ветви направлены вверх, если минус - то ветви направлены вниз.

3. Определить координату х вершины параболы.Для этого нужно использовать формулу Хвершины = -b/2*a.

4. Определить координату у вершины параболы.Для этого подставить в уравнение Увершины = a*(x^2)+b*x+c вместо х, найденное в предыдущем шаге значение Хвершины.

5. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Оу.

6. Найти точки пересечения графика с осью Ох.Для этого требуется решить квадратное уравнение a*(x^2)+b*x+c = 0 одним из известных способов. Если в уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не пересекает ось Ох.

7. Найти координаты точки пересечения графика с осью Оу.Для этого подставляем в уравнение значение х=0 и вычисляем значение у. Отмечаем эту и симметричную ей точку на графике.

8. Находим координаты произвольной точки А(х,у) Для этого выбираем произвольное значение координаты х, и подставляем его в наше уравнение. Получаем значение у в этой точке. Нанести точку на график. А также отметить на графике точку, симметричную точке А(х,у).

9. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси. Подписать график либо на выноске, либо, если позволяет место, вдоль самого графика.

Пример построения графика

В качестве примера, построим график квадратичной функции заданной уравнением y=x^2+4*x-11. Рисуем координатные оси, подписываем их и отмечаем единичный отрезок.2. Значения коэффициентов а=1, b=4, c= -1. Так как а=1, что больше нуля ветви параболы направлены вверх.3. Определяем координату Х вершины параболы Хвершины = -b/2*a = -4/2*1 = -2.4. Определяем координату У вершины параболы Увершины = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) – 1 = -5.5. Отмечаем вершину и проводим ось симметрии.6. Находим точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох. Решаем квадратное уравнение x^2+4*x-1=0.х1=-2-√3 х2 = -2+√3. Отмечаем полученные значения на графике. 7. Находим точки пересечения графика с осью Оу. х=0; у=-18. Выбираем произвольную точку B. Пусть она имеет координату х=1. Тогда у=(1)^2 + 4*(1)-1= 4. 9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

В результате получится такой график.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Графики функции: от чего зависит вид графика функции Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение неравенств второй степени с одной переменной: приводим примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Репетитор по математике и физике » Как построить график квадратичной функции

Автор Сергей

Четверг, Декабрь 10, 2015

Построение графика квадратичной функции всегда было проблемой для многих школьников. Проблема в том, что на уроках в школе этому важнейшему материалу зачастую уделяют не достаточно внимания. В результате, когда появляется необходимость, ученику очень трудно отыскать в школьном учебнике или интернете чёткий алгоритм построения графика квадратичной функции (параболы), а вместо этого приходится по крупицам выискивать необходимую информацию из множества различных источников. Решим эту проблему раз и навсегда! В данной статье репетитором по математике и физике представлен алгоритм построения параболы.

Алгоритм построения графика функции y=ax²+bx+c

Данный алгоритм продемонстрируем на примере построения графика квадратичной функции . В этом случае: , и .

1. Определим, куда направлены ветви соответствующей параболы. Если , то ветви параболы направлены вверх, если , то ветви параболы направлены вниз.

В нашем примере . Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы определяется по формуле:

   

Ордината вершины параболы определяется путем подстановки в уравнение квадратичной функции и вычисления соответствующего значения.

В нашем случае абсцисса вершины параболы равна:

   

Тогда ордината вершины параболы равна:

   

3. Определим еще несколько точек вблизи вершины, принадлежащих параболе. Удобнее всего оформить эти точки в виде таблицы.

В нашем случае получаем следующую таблицу значений:

-2 -1 0 1 2 3
-8 0 4 4 0 -8

4. Отметить полученные точки и вершину параболы на координатной плоскости и соединить их плавной линией. В результате получится требуемый график квадратичной функции.

В нашем случае получается следующая парабола:

Репетитор по математике и физикеСергей Валерьевич

Квадрат — зародыш всех возможностей. (Казимир Малевич)

 

yourtutor.info

Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

Функция вида y=ax2+bx+c,  где \(a\), \(b\), \(c\) реальные числа, \(a\)≠\(0\), называется квадратичной функцией.

  Графиком квадратичной функции является парабола.  Область определения функции \(D(f)\)  - все действительные числа.

Область значений функции \(E(f)\) считывается с графика, она зависит от координаты \(y\) вершины параболы и направления ветвей параболы.    1 пример - E(f)=[−2;+∞)    2 пример - E(f)=(−∞;2] 

Параметр \(a\) определяет направление ветвей параболы:   если \(a > 0\), то ветви направлены вверх (см. пример 1)   если \(a < 0\), то ветви направлены вниз (см. пример 2)

  

Параметр \(c\) указывает, в какой точке парабола пересекает ось \(Oy\).

  

Чтобы построить график квадратичной функции необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b2aиy0, которую находят, подставив значение x0  в формулу функции,

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,

3) определить направление ветвей параболы,

4) отметить точку пересечения параболы с осью \(Oy\),

5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента \(x\).

 

Решив квадратное уравнение ax2&plus;bx&plus;c=0,  получаем точки пересечения параболы с осью \(Ox\) или корни функции (если дискриминант \(D > 0\))

если \(D < 0\), то точек пересечения параболы с осью \(Ox\) не существует,

если \(D = 0\), то вершина параболы находится на оси \(Ox\).

 

Но не всегда точки пересечения с осью \(Ox\) являются рациональными числами, если невозможно точно вычислить корень из \(D\), то такие точки не используют для построения графика.

 

1.  Построй график функции y=x2−2x−1

 x0=−b2a=22=1y0=12−2⋅1−1=−2

 

 Ветви параболы направлены вверх, т.к.

 \(a = 1 > 0\)

 

 Парабола пересекает ось \(Oy\) в точке \((0; -1)\)

 

\(x\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(y\) \(-1\) \(2\) \(7\)

Симметрично строим левую сторону параболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Построй график функции y=−2x2+4x.

 

В данном случае легко вычислить корни.

−2x2&plus;4x=0x(−2x&plus;4)=0x=0или−2x&plus;4=0x=2x1=0x2=2

Координаты вершины параболы:

x0=−42⋅−2=1y0=−2⋅12&plus;4⋅1=2

 

В таблице достаточно одного значения:

если\( x = 3\), то

y=−2⋅32+4⋅3=−18+12=−6

 

Симметрично, если \(x = -1\),

то \(y = -6\)

 

www.yaklass.ru

Алгебра, 8 класс, построение параболы. (график квадратичной функции)

Общий вид функции у=a*x^2+bx+c. Если a&gt;0, то "ветви" параболы направлены вверх. Если a&lt;0, то вниз. Координаты вершины х=-в/(2a).Это абсцисса, ординату найдете, когда х подставите в функцию. Теперь точки пересечения графика с осью Х. Приравняйте а*x^2+bx+c=0 и решите квадратное уравнение. Получите точки, в которых график пересекает ось Х. Если дискриминант отрицательный, то точек пересечения нет. В таком случае при а&gt;0 график весь находится над осью Х. При a&lt;0 график весь находится под осью Х. В таких случаях нужны дополнительные точки. Составьте небольшую табличку.

Набери в инете: лекции по математике и там все прочтешь

Парабола это совокупность точек, равноудаленных от прямой и не лежащей на ней точки. (такая прямая называется директрисой, точка - фокусом (см. рисунок)) . <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/a4777d8ad98d85e356be4b8279463200_i-114.jpg" > Координаты вершины определяются по формуам <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/a4777d8ad98d85e356be4b8279463200_i-113.jpg" > Где a,b,c - коэфициенты в уравнении параболы y = ax^2+bx+c После того как найдена вершина, определяется направление ветвей если a&gt;0 - вверх, в противном случае вниз. Далее ищется значение двух-трех точек чтобы оценить степенть расширения ветвей и по ним на глаз строятся ветви. Парабола всегда симметрична относительно оси проходящей через её вершину перпендикулярно директрисе.

смотри, кооридант вершины: х вершины = -в\2а, чтоб найти у вершин - подставь икс вершин в уравнение парабол. Если коэффициент а = 1, то лальше строишь ее как обчную параболу, елси нет, то просто подставь различне икс и получи разли чне игрики - это координат точек разнх будут, по ним и строй. Можешь дополнить до поного квадрата, и тогда икс верин - это чисо, обратное тому, что является вчитаемм в квадрате, а игрек - числоЮ которое т вчитаешь из квадрата. Тоеетсь если вид у тебя (х-9)^2 - 6, то икс = 9, игрек = -6. Вот, надеюсь т умеешь доводить то поного квадрата. Проще всего по точкам.

Насколько помню.. . Вершины: x0= -b/2a а y0..ну там уже подставишь.. . потом надо найти нули ф-ции короче всё что помню..

touch.otvet.mail.ru

Построение параболы, с примерами

Алгоритм построения графика параболы

Если парабола задана уравнением , то чтобы построить ее график, понадобится:

  1. Выяснить направление ветвей параболы: если коэффициент , то ветви направлены вверх, а если – вниз.
  2. Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой

       

    Для определения ординаты вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо найденное в предыдущем шаге значение :

       

  3. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси .
  4. Найти точки пересечения с осями координат:
  5. – с осью – найти корни уравнения , если уравнение не имеет действительных корней, то график не пересекает ось абсцисс,

    – с осью – подставить в уравнение значение и вычислить значение .

  6. Найти координаты произвольной точки , которая принадлежит параболе. Для этого возьмем произвольное значение и подставим его в уравнение параболы.
  7. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Квадратичная функция

•Квадратичной функцией называется функция вида y=ax2+bx+c, где a,b,c - числа, причем a≠0. •Графиком квадратичной функции является парабола.

Чтобы построить график функции y=x2 составим таблицу значений

и построим график, используя полученные точки:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x2 при любых значениях остальных коэффициентов. График функции y=-x2 имеет вид:

Итак: •Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх. •Если старший коэффициент a

Второй этап построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) - это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax2+bx+c нужно решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b2-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая: 1. Если D2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ.Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax2+bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c имеет одну точку пересечения с осью ОХ.Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

3.Если D>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c имеет две точки пересечения с осью ОХ: , Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

Значит, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный этап построения графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один этап построения графика функции – точка пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные моменты построения графика квадратичной функции показаны на рисунке:

www.tofmal.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"