Длина вектора. Угол между векторами. Как найти угол между векторами зная их координаты


Угол между векторами, формулы и примеры

Определение и формула угла между векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Угол между двумя векторами и , имеющими общее начало, – это наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг точки приложения до положения, когда он станет сонаправленным с другим вектором (рис. 1).

Косинус угла между векторами и равен скалярному произведению векторов , деленному на произведение модулей (длин) этих векторов, то есть

   

Если векторы сонаправлены, то величина угла между ними равна (на рисунке 2 угол между векторами и ). Угол между противоположно направленными векторами равен (если совместить начала векторов и , изображенных на рисунке 2, то они будут сторонами развернутого угла).

Примеры нахождения углов между векторами

ПРИМЕР
Задание Найти угол между векторами и
Решение Вначале вычислим скалярное произведение заданных векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов-сомножителей:

   

Модули заданных векторов равны корню квадратному из суммы квадратов координат:

   

   

Тогда косинус искомого угла

   

А тогда сам угол

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти угол между векторами

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Определение 1

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{δ}\overline{β}=|\overline{δ}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

Обозначение: $overline{δ}\cdot \overline{β}$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\overline{δ}\cdot \overline{β}}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Из теоремы 1 мы знаем, что $\overline{δ}\cdot \overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{|\overline{δ}||\overline{β}|}$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$ и $|\overline{β}|$, окончательно получим

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{\sqrt{δ_1^2+β_1^2+γ_1^2 } \sqrt{δ_2^2+β_2^2+γ_2^2}}$

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Пример 1

Найти косинус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$\overline{δ}\cdot \overline{β}=1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$cos⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{11}{3\cdot 5}=\frac{11}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15}$.

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, что называется векторным произведением и каким образом его можно находить.

Определение 3

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{δ}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

  1. $|\overline{δ}х\overline{β}|=|\overline{δ}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{δ},\overline{β})$
  2. $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{δ}$, $\overline{δ}х\overline{β}⊥\overline{β}$
  3. $(\overline{δ}х\overline{β},\overline{δ},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $\overline{δ}$ и $\overline{β}$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\δ_1&δ_2&δ_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|\overline{δ}|$, $|\overline{β}|$ и $|\overline{δ}х\overline{β}|$, окончательно получим

$sin⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{\sqrt{(δ_2 β_3-δ_3 β_2)^2+(δ_3 β_1-δ_1 β_3)^2+(δ_1 β_2-δ_2 β_1)^2}}{\sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}\sqrt{β_1^2+β_2^2+β_3^2}}$

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Пример 2

Найти синус угла между векторами $\overline{δ}$ и $\overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:

$\overline{δ}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&-2&2\\3&0&4\end{vmatrix}=-8\overline{i}+2\overline{j}+6\overline{k}=(-8,1,6)$

Найдем длины этих векторов:

$|\overline{δ}х\overline{β}|=\sqrt{(-8)^2+2^2+6^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$

$|\overline{δ}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overline{β}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

В результате, получим

$sin⁡∠(\overline{δ},\overline{β})=\frac{2\sqrt{26}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{26}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{26}}{15}$.

spravochnick.ru

Длина вектора. Угол между векторами

Заголовок статьи дает много информации о материале который будет изложен далее. Он достаточно прост для понимания, однако важный и нужный в дальнейшем обучении. На его основе будут формулироваться все следующие понятия и решаться различные задачи на плоскости, осуществляться вычисления.

Координаты вектора равны разнице соответствующих координат конца и начала вектора. Если и - соответственно начало и конец вектора, то

Длиной или нормой вектора (обозначают ) называют неотрицательное значение квадратного корня из суммы квадратов координат вектора

Например, если то

.

Углом между ненулевыми векторами

и

называется значение угла , которое определяется из равенства

---------------------------------------------------------------

Задача 1.

Найти длину векторов и , если их начала и концы заданные вершинами

Решение.

Найдем векторы и

Вычислим длину векторов

Найдем скалярное произведение векторов

Найденные значения подставляем в формулу для вычисления угла между векторами

Отсюда окончательно находим значение угла

-----------------------------------------------------

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Как вычислить углы между векторами? :: SYL.ru

При изучении геометрии немало вопросов возникает по теме векторов. Особенные трудности обучающийся испытывает при необходимости найти углы между векторами.

Основные термины

Перед тем как рассматривать углы между векторами, необходимо ознакомиться с определением вектора и понятием угла между векторами.

Вектором называют отрезок, имеющий направление, то есть отрезок, для которого определено его начало и конец.

Углом между двумя векторами на плоскости, имеющих общее начало, называют меньший из углов, на величину которого требуется переместить один из векторов вокруг общей точки, до положения, когда их направления совпадут.

Формула для решения

Поняв, что собой представляет вектор и как определяется его угол, можно вычислить угол между векторами. Формула решения для этого достаточно проста, и результатом её применения будет значение косинуса угла. Согласно определению, он равен частному скалярного произведения векторов и произведения их длин.

Скалярное произведение векторов считается как сумма помноженных друг на друга соответствующих координат векторов-сомножителей. Длина вектора, или его модуль, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Получив значение косинуса угла, вычислить величину самого угла можно с помощью калькулятора или воспользовавшись тригонометрической таблицей.

Пример

После того как вы разберетесь с тем, как вычислить угол между векторами, решение соответствующей задачи станет простым и понятным. В качестве примера стоит рассмотреть несложную задачу о нахождении величины угла.

Первым делом удобнее будет вычислить необходимые для решения значения длин векторов и их скалярного произведения. Воспользовавшись описанием, представленным выше, получим:

Подставив полученные значения в формулу, вычислим значение косинуса искомого угла:

Это число не является одним из пяти распространённых значений косинуса, поэтому для получения величины угла, придётся воспользоваться калькулятором или тригонометрической таблицей Брадиса. Но перед тем, как получить угол между векторами, формула может быть упрощена, чтобы избавиться от лишнего отрицательного знака:

Итоговый ответ для сохранения точности можно оставить в таком виде, а можно вычислить значение угла в градусах. По таблице Брадиса его величина составит примерно 116 градусов и 70 минут, а калькулятор покажет значение 116,57 градуса.

Вычисление угла в n-мерном пространстве

При рассмотрении двух векторов в трёхмерном пространстве, понять, о каком угле идёт речь гораздо сложнее, если они не лежат в одной плоскости. Для упрощения восприятия можно начертить два пересекающихся отрезка, которые образуют наименьший угол между ними, он и будет искомым. Несмотря на наличие третьей координаты в векторе, процесс того, как вычисляются углы между векторами, не изменится. Вычислите скалярное произведение и модули векторов, арккосинус их частного и будет являться ответом на данную задачу.

В геометрии нередко встречаются задачи и с пространствами, имеющими больше трёх измерений. Но и для них алгоритм нахождения ответа выглядит аналогично.

Разница между 0 и 180 градусами

Одна из распространённых ошибок при написании ответа на задачу, рассчитанную на то чтобы вычислить угол между векторами, - решение записать, что векторы параллельны, то есть искомый угол получился равен 0 или 180 градусам. Этот ответ является неверным.

Получив по итогам решения значение угла 0 градусов, правильным ответом будет обозначение векторов как сонаправленных, то есть у векторов будет совпадать направление. В случае получения 180 градусов векторы будут носить характер противоположно направленных.

Специфические векторы

Найдя углы между векторами, можно встретить один из особых типов, помимо описанных выше сонаправленных и противоположно направленных.

  • Несколько векторов параллельных одной плоскости называются компланарными.
  • Векторы, одинаковые по длине и направлению, называются равными.
  • Векторы, лежащие на одной прямой, независимо от направления, именуются коллинеарными.
  • Если длина вектора равна нулю, то есть его начало и конец совпадают, то его называют нулевым, а если единице, то единичным.

www.syl.ru

СРОЧНО Как найти угол между векторами (-1;-1) (2;0) Как найти угол между векторами (-1;-1) (2;0)

бросай эту херь, пошли по пивку

Вспомните, чему равно скалярное произведение векторов.. . оттуда вытекает формула для косинуса угла между векторами **** в вашем случае его использовать как скалярное произведение деленное на произведение модулей векторов. . а скалярное произведение выразить через сумму произведений соответствующих координат векторов ну (вектор1, вектор2) = х1*х2 + у1*у2... если это поделить на произведение модулей векторов будет косинус угла между векторами. . потом взять арккосинус, если требуется *** эх. . надо было в течение учебного года учить. . это элементарные вещи. . скалярное произведение двух векторов это (вектор1, вектор2) = |вектор1| * |вектор2| * косинус угла между векторами, так? отсюда выражай косинус, это будет (вектор1, вектор2) / (|вектор1| * |вектор2|) с другой сторону, (вектор1, вектор2) это х1*х2+у1*у2, где х1,у1 и х2,у2 - координаты 1 и 2 векторов, соответственно. модуль вектора вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Для второго аналогично. Ну и остается подставить все в формулу.. . Но считать за вас не буду, извините...

ну если не знаем о произведении векторов, то рисуем рисунок. находим по теореме Пифагора вектора, и через тангенс находим угол

touch.otvet.mail.ru

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 11 класс.

Угол между векторами

Два вектора a→ и b→ всегда образуют угол.

Угол между векторами может принимать значения от 0° до 180° включительно.

Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.

 

Векторы могут образовать:

 

1. Острый угол

 

2. Тупой угол

 

3. Прямой угол (векторы перпендикулярны)

 

Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:

 

4. Угол величиной 0° (векторы сонаправлены)

 

5. Угол величиной 180° (векторы противоположно направлены)

 

Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0°.

 

Угол между векторами записывают так:

a→b→ˆ=α

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ

Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число, соответственно, их произведение также будет являться числом.

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число). 

Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 0°, а косинус равен \(1\), скалярное произведение также будет положительным.

 

2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число). 

Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180°. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен \(-1\).

 

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

 

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Особенный третий случай:

Обрати внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен \(0\).

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату длины данного вектора и обозначается как a→2.

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1. a→2≥0, к тому же a→2>0 если a→≠0→.

 

2. Переместительный или коммутативный закон скалярного произведения: a→⋅b→=b→⋅a→.

 

3. Распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения: a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→.

 

4. Сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения: k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→.

Использование скалярного произведения

Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.

  

Угол между прямыми

 

Ознакомимся с ещё одним определением.

Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.

 

Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.

Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.

Если a→x1;y1;z1, b→x2;y2;z2, то a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2.

Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.

Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что cosα=a→⋅b→a→⋅b→, то

cosα=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2x12+y12+z12 ⋅x22+y22+z22.

  

Угол между прямой и плоскостью

  

Введём понятие о нормальном векторе плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

 

Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла β между нормальным вектором n→ данной плоскости и неким вектором b→ равен синусу угла α между прямой и плоскостью, так как α и β вместе образуют угол в 90°.

 

 

При нахождении косинуса угла между n→ и b→ можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор b→, и плоскостью.

www.yaklass.ru

Угол между векторами, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогает найти угол и косинус угла между векторами всего за несколько минут. Для нахождения угла между двумя векторами выберите их размерность, введите все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст подробный ход решения и ответ! Калькулятор сам посчитает скалярное произведение векторов, вычислит косинус угла и сам угол. Каждый шаг будет детально расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Введите данные для вычисления угла между векторами  

Размерность вектора:

2 3

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"