Примеры вычисления производных. Как найти производные функции примеры решения


Примеры решений производных

  • Попробуйте найти производные от приведенных ниже функций.
  • Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Примеры решений производных от явных функций

Найдите производные    следующих функций, зависящих от переменной x:   Решение > > >   Решение > > >   Решение > > >   > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >   > > > Здесь , , , – постоянные.   > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >         > > >

Примеры решений производных высших порядков от явных функций

Найти производные первого и второго порядка следующей функции: .Решение > > >

Найти производную третьего порядка: .Решение > > >

Найти производную шестого порядка следующей функции: .Решение > > >

Вычислить n-ю производную функции .Решение > > >

Найти n-ю производную следующей функции:,где и – постоянные.Решение > > >

Примеры решения производных от функций, заданных параметрическим способом

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом: Решение > > >

Найдите производную , где и выражены через параметр : Решение > > >

Найдите производные второго    и третьего    порядка от функции, заданной параметрическим способом: Решение > > >

Примеры решений производных от неявных функций

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением: .Решение > > >

Найти производную второго порядка от неявно заданной функции: .Решение > > >

Найти производную третьего порядка при от функции, заданной уравнением: .Решение > > >

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-02-2017   Изменено: 10-04-2017

1cov-edu.ru

Примеры производных | Математика

Изучить конкретные примеры нахождения производных с подробными пояснениями — лучший способ научиться находить производную самостоятельно.

После разбора производной степени, производной суммы и разности, производной произведения, производной частного и производной сложной функции настал черед рассмотреть примеры производных, в которых используются сразу несколько правил дифференцирования.

1) y=4x²cos(11-x²).

Данная функция представляет собой  произведение функций, где u=4x², v=cos(11-x²). По правилу дифференцирования произведения:

y’=(4x²)’· cos(11-x²)+(cos(11-x²))’·4x²=

первая из функций — степенная, вторая — сложная функция, где внешняя функция f=cos u, внутренняя u=11-x². Применяя соответствующие правила, имеем:

=4·2x·cos(11-x²)+(-sin(11-x²))·(11-x²)’·4x²=8x·cos(11-x²)-sin(11-x²)·(-2x)·4x²=8x·cos(11-x²)+8x³sin(11-x²).

   

Эта функция — частное. u=2sin3x-1, v=√x. По правилу дифференцирования частного:

   

В свою очередь, числитель представляет собой разность двух функций, первая из которых, sin3x — сложная (f=sin u, u=3x, а число выносим за знак производной). Применяем правила для дифференцирования разности и сложной функции, имеем:

   

   

Теперь выражениz в числителе приводим к общему знаменателю 2√x:

   

3) y=(lnx-tg7x)³

Это — сложная функция, внешняя функция f=u³, внутренняя u=lnx-tg7x. По правилу дифференцирования сложной функции: y’=3(lnx-tg7x)²·(lnx-tg7x)’=

в свою очередь, внутренняя функция представляет собой разность двух функций, где вторая — сложная функция (f=tgu, u=7x). Применяя правила для нахождения производной разности и сложной функции, получаем:

   

   

   

   

Это — сложная функция. Внешняя функция f — корень четвертой степени из u, внутренняя u=arctg10x. Преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем, затем дифференцируем:

   

   

В свою очередь, arctg10x — также сложная функция. Здесь внешняя функция f=arctgu, внутренняя u=10x:

   

Степень с дробным отрицательным показателем нужно преобразовать:

   

   

Это — пример производной частного:

   

свою очередь, числитель представляет собой производную произведения:

   

Первый множитель, в свою очередь — сложная функция. Внешняя функция — показательная, 4 в степени u, внутренняя — u=cos8x:

   

Внешняя функция f=cos u, внутренняя u=8x:

   

   

   

Это — пример производной, где сначала нужно применить правило дифференцирования суммы:

   

Первое слагаемое — произведение функций, второе — сложная функция (f=lnu, u=cosx), третье слагаемое — также сложная функция (f- е в степени u, u=5x):

   

   

   

   

Эта функция — сложная. Однако здесь можно применить свойства логарифмов, после чего дифференцировать функцию станет гораздо проще:

   

   

   

   

Примеры производных для самопроверки:

   

   

   

   

Показать решение

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

www.matematika.uznateshe.ru

Производная сложной функции, примеры решений

Достаточно часто студентам в контрольных работах по математике нужна производная сложной функции, примеры решений которой будут рассмотрены на практике в данном материале. Но сначала краткая теория.

Формула

Пусть есть функция , тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

Примеры решений

Пример 1
Найти производную сложной функции:
Решение

Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: 

Ответ
Пример 2
Найти производную сложной функции:
Решение

Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента:

Ответ
Пример 3
Найти производную сложной функции:
Решение

Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции:

Ответ
Пример 4
Найти производную сложной функции:
Решение

Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем:

Ответ
Пример 5
Найти производную от сложной функции:
Решение

Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем:

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

Первая функция  - это производная от сложной функции:

Вторая функция  - это производная сложной функции:

Продолжаем нахождение производной исходной функции:

Ответ

В статье: «Производная сложной функции: примеры решений» была приведена формула и её словесное толкование. Также разобрано решение задач по данной теме. 

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Вычисление производных | Высшая математика

Пример. Производная суммы функций.

Дано: сумма функций .Найти:Вычислить производную суммы функций

Решение:Исходя из того, что производная алгебраической суммы (разности) функций, имеющих производную, равна такой же сумме (разности) производных этих функций: используя формулы производных (ссылка), вычислим производную, заданной в условии задачи суммы функций:

Ответ: производная суммы функций равна

Пример. Производная произведения функций.

Дано: произведение функций .Найти:Вычислить производную произведения функций

Решение:Исходя из того, что производная двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: найдем производную, заданного в условии задачи произведения функций:

Ответ: производная произведения функций равна

Пример. Производная отношения функций.

Дано: отношение функций .Найти:Вычислить производную отношения функций

Решение:Исходя из того, что производная отношения двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: определим производную, заданного в условии задачи отношения функций:

Ответ: производная отношения функций равна

Пример. Производная сложной функций.

Дано: сложная функция .Найти:Вычислить производную сложной функции

Решение:Исходя из того, что функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке причем сложная функция будет иметь производную в точке и в нашем случае получаем следующее а Тогда а значит

Ответ: производная сложной функции равна

Пример. Производная функции заданной параметрически.

Дано: функция заданная параметрически .Найти:Вычислить производную функции заданной параметрически.

Решение:Исходя из того, что производная функции, заданной параметрически, то есть в виде соотношения где изменяется в пределах некоторого множества, определяется по формуле вычислим производную, заданной в задаче функции:

Производная параметрически заданной функции будет тоже функция, заданная параметрически:

Ответ: производная параметрически заданной функции равна

matematika.electrichelp.ru

Как найти производную?

Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.

Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.

Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.

Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g' означает, что мы будем находить производную функции g.

Таблица производных

Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.

  1. С'=0
  2. (sin x)'=cos x
  3. (cos x)'= –sin x
  4. (xn)'=n xn-1
  5. (ex)'=ex
  6. (ln x)'=1/x
  7. (ax)'=axln a
  8. (logax)'=1/x ln a
  9. (tg x)'=1/cos2x
  10. (ctg x)'= – 1/sin2x
  11. (arcsin x)'= 1/√(1-x2)
  12. (arccos x)'= - 1/√(1-x2)
  13. (arctg x)'= 1/(1+x2)
  14. (arcctg x)'= - 1/(1+x2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.

Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).

(500)' = 0

Пример 2. Найдите производную функции y=x100.

Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).

(x100)'=100 x99

Пример 3. Найдите производную функции y=5x

Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.

(5x)'= 5xln5

Пример 4. Найдите производную функции y= log4x

Производную логарифма найдем по формуле 7.

(log4x)'=1/x ln 4

Правила дифференцирования

Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также

elhow.ru

Производная функции одной переменной

В этой статье мы будем учиться находить производную от функции одной переменной. Дадим ее определение, вскользь затронем геометрический смысл. Разберемся с вопросом нахождения производной от сложной функции.

Итак, дадим определение производной: пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции в точке называется предел, если он существует,

   

Из школы можно вспомнить формулу для нахождения касательной к функции в точке:  . То есть если говорить о геометрическом смысле производной, то обозначим производную функции в точке как угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной прямой к графику функции в этой точке.

Правила дифференцирования:

  1. Производная суммы равна сумме производных, то есть:  
  2. Производная произведения:  
  3. Вынесение константы за знак производной:  
  4. Производная частного:

Прежде чем перейти к задачам, необходимо обзавестись таблицей производных. В идеале вы должны ее знать наизусть, как таблицу умножения 🙂

Таблица производных

[свернуть]

Правилами дифференцирования и таблицей вооружились, двигаемся дальше.

Рассмотрим некоторую функцию . Как видим, функция зависит не просто от переменной , а от другой функции . Будем называть такую функцию сложной. Производная сложной функции вычисляется следующим образом:

Теперь всей необходимой теорией для решения стандартных задач на нахождение производной мы обладаем, а именно: правилами дифференцирования, таблицей производных и формулой производной от сложной функции. Давайте на примерах подробно разберемся с тем, как это работает.

Задачи на применение правила дифференцирования суммы

Пример 1. Найти производную функции

Решение:   Применяем правило дифференцирования суммы функций:

Заглядываем в таблицу производных и ищем там производную от и от

Всё, производная найдена. В ответ запишем

Пример 2. Найти производную функции , где

Решение:   Применяем правило дифференцирования суммы функций:

Открываем таблицу производных и находим производные от и

Производная найдена, в ответе записываем

Пример 3. Найти производную функции

Решение:

[свернуть]

Задачи на применение правила дифференцирования произведения

Пример 4. Найти производную функции

Решение:   Применим правило дифференцирования произведения:

Обращаемся к таблице производных и ищем там производные тангенса и

    или    

Производная найдена.

Пример 5. Найти производную функции

Решение:   Применим правило дифференцирования произведения:

Производная найдена.

Пример 6. Найти производную функции

Решение:

 

Производная найдена.

[свернуть]

Задачи с вынесением константы за знак производной

Это правило дифференцирования самое простое для понимания (редко у кого можно встретить здесь ошибки): мы просто выносим константу за знак производной и находим производную от оставшегося выражения.

Пример 7. Найти производную функции

Решение:   Видим константу , поэтому поступаем в соответствии с нашим правилом:

Всё, задача решена 🙂 Давайте, на всякий случай, рассмотрим еще одну такую задачу.

Пример 8. Найти производную функции

Решение:   Видим дробь. Производную от дроби находить пока не умеем, но может без проблем преобразовать выражение следующим образом:

Теперь константа очевидна, выносим и находим производную:

Производная найдена.

[свернуть]

Задачи на применения правила дифференцирования частного (дроби)

Ничего сложно в дифференцировании дробей нет, но на практике именно здесь чаще всего возникают ошибки, поэтому остановимся на этом моменте подробнее.

Пример 9. Найти производную функции

Решение:  Видим дробь. Мысленно повторяем для себя: «Производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и всё это деленное на квадрат знаменателя«.

Числителем здесь является , а знаменателем — . Тогда, в соответствии с формулой, напишем:

Всё, производная успешно найдена.

Пример 10. Найти производную функции

Решение:  Рассматриваем выражение. Числителем служит , знаменателем — . По формуле получим:

В принципе, на этом этапе можно остановиться, производная найдена. Но, взглянув на числитель, несложно заметить и применить основное тригонометрическое тождество :

.

Вспомнив, что отношение синуса к косинусу есть тангенс, легко проверить получившийся ответ по таблице производных.

Пример 11. Найти производную функции

Решение:   Числитель здесь , знаменатель . По формуле производной для дроби запишем:

Производная найдена, но можно упростить полученное выражение, сделаем это:

Пример 12. Найти производную функции

Решение:   Числитель и знаменатель . Получаем:

Заметим, что здесь необязательно было пользоваться именно формулой для дроби, так как знаменатель представляет собой константу. Эту константу можно было вынести по предыдущему правилу дифференцирования.

[свернуть]

С правилами дифференцирования ознакомились. Переходим к дифференцированию сложной функции. Пока еще нет достаточного опыта, рекомендую на каждом шаге повторять для себя: «Производная сложной функции равна производной внешней функции на производную внутренней функции«.

Пример 13

Найти производную функции .

Решение:   Видим обыкновенный косинус, но воспользоваться таблицей производных сразу не можем, потому что зависит косинус не просто от , а от . Применяем формулу для сложной функции.

Необходимо очень чётко уяснить вопрос с тем, что является в некотором выражении внешней функцией, а что внутренней. Для этого нужно посмотреть на функцию как бы в целом (это может быть нечто очень громоздкое), понять, что это прежде всего: произведение, степень, дробь или что-то другое.

В данной задаче всё просто. Прежде всего наше выражение — это косинус. То есть косинус является внешней функцией. Внутренней функцией будет являться аргумент косинуса . Тогда по формуле запишем:

.

[свернуть]

В 13 и 14 примерах для нахождения производной достаточно было применить формулу для сложной функции всего один раз. Однако на практике чаще всего имеются выражения вида «функция от функции, зависящей от еще одной функции, которая зависит функции и т.д.». В этих случаях принцип нахождения производной не изменяется — мы просто используем формулу несколько раз.

Пример 15

Найти производную функции

Решение:    Имеем натуральный логарифм, который зависит от синуса, который зависит от некоторого выражения. Внешняя функция здесь сам логарифм, то есть , внутренняя — выражение под логарифмом, т.е. .

Производную первого множителя уже можем написать из таблицы производных (сделаем это позже, чтобы не возникло путаницы). Для нахождения производной второго множителя вновь используем формулу, полагая, что внешней функцией является синус, а внутренней — выражение :

Давайте для наглядности покажем на картинке процесс работы с выражением:

Функция слева от стрелки внешняя, справа внутренняя. Количество стрелок равно количеству применений формулы для сложной функции.

[свернуть]

Пример 16

Найти производную функции

Решение:   Нарисуем такую же картинку, как и в предыдущем примере:

Имеем три стрелки, то есть формулу для сложной функции будем последовательно применять именно три раза. На каждом шаге функция слева от стрелки — внешняя, справа — внутренняя.

Ответ получился некрасивым, но это нестрашно, потому что задания придумывал сам 🙂 Здесь все производные мы высчитываем на последнем шаге, чтобы не запутаться. На практике же чаще всего будет удобнее это делать после каждого применения формулы (для внешних функций).

[свернуть]

В первое время будет нелишним рисовать на черновике картинки из примеров 15 и 16 (понятно, применительно к своей задаче). Далее разберем пару примеров на комбинирование правил дифференцирования и формулы дифференцирования сложной функции.

Пример 17

Найти производную функции

Решение:   Видим произведение, поэтому по формуле дифференцирования произведения функций запишем:

Обе полученные функции под знаком производной сложные, поэтому дифференцируем их по соответствующему правилу:

[свернуть]

Пример 18

Найти производную функции

Решение:   Видим дробь, поэтому по формуле дифференцирования дробей запишем:

Обе полученные функции под знаком производной сложные, поэтому дифференцируем их по соответствующему правилу:

Опять получился не очень красивый ответ, но зато правильный 🙂

Здесь стоит заметить, что мы могли избавиться от дроби и перейти к произведению функций с помощью перенесения арксинуса в числитель (арксинус в этом случае получает степень ).

[свернуть]

На этом всё, спасибо за внимание!

higher-math.ru

Примеры вычисления производных

Для практического ознакомления с таблицей основных формул дифференцирования рассмотрим примеры.

Пример 1.

Вычислить производные

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Решение.

1) По формулам дифференцирования (1), (3), (9) получим

2) Вводим дробные и отрицательные степени и превращаем заданную функцию к виду

Используя формулы (3), (4), (9) находим

3) Данный пример вычисляем по правилу (6)

4) Производную функции ищем по правилу сложной функции (7)

5) Производные от функции

находим по правилу производной от произведения функций, и правилом производной от сложной функции

6) По правилу производной от сложной функции будем иметь

7) Много студентов которые еще толком не знают правил, сначала подносят к квадрату выражение в скобках

а затем проводят дифференцировки. Это неправильно, долго и трудно. Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции получим

Если Вы будете подносить к квадрату, а затем дифференцировать то получите многочлен, который еще предстоит свести к компактному виду. Результат будет правильный, но зачем идти сложным путем, если за нас уже давно придумали правила дифференцирования, которые упрощают вычисления.

Изучайте их и пользуйтесь на практике.

yukhym.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"