Как вычислить определитель 4 порядка. Как найти определитель четвертого порядка матрицы


Определитель 4 порядка. Калькулятор

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются - выделено красным)

В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников

Найденные значения подставляем в выходной детерминант

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников

Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений. В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций. Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.

yukhym.com

Вычисление определителей 2 - 4-го порядка

Научиться вычислять определители, обратные матрицы и т.д. - одно из основных заданий для первокурсников, которые получают образование на факультетах с математическим уклоном в обучении. Многие сервисы в интернете предлагают онлайн нахождения определителей и всего что касается матриц, однако мало программ - математических калькуляторов которые показывают ход решения. В конце статьи Вашему вниманию предлагается такой калькулятор, но об этом позже, а сейчас давайте рассмотрим несколько примеров нахождение определителя матрицы.

За справочник возьмем сборник задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика". Позже будут добавлены примеры вычисления определителя матрицы из других источников.

--------------------------------------------

Примеры.

1) (1.4)

Применим правило вычисления определителя для матрицы второго порядка.

2) (1.6)

Выполним вычисления согласно правилу

3) (1.8)

Данный пример выглядит сложным но со знанием следующих правил логарифма

решается на удивление быстро.

4) (1.14)

Вычислим данный определитель двумя способами: по правилу треугольников и через алгебраические дополнения.

А сейчас разложим по элементам первого рядка, поскольку в нем больше нулей

В этом примере специально выписаны дополнение у нулевых множителей, так как не все понимают откуда берутся дополнения. По правилу они равны определителю, который образуется вычеркиванием строки и столбца того элемента для которого ищутся, умноженному на минус единицу в степени

.

Схематически на примере матрицы четвертого порядка это выглядит так:

Внимательно посмотрите, какие элементы в определителе выписаны для дополнений и Вам все станет понятно.

Суть метода алгебраических дополнений заключается в том, что когда мы матрицу с нулевыми элементами может разложив ее по по строке или столбцу в котором больше нулей нам остается вычислить столько определителей на порядок меньших основной матрицы, сколько ненулевых элементов. Это значительно упрощает вычисления.

6) (1.19)

Если вычисления проводить по правилу треугольников, то получим много нулевых произведений. В такого рода примерах целесообразно использовать алгебраические дополнения.

7) (1.21)

Вычислим определитель через алгебраические дополнения третьей строки

Как можно убедиться, решение с помощью алгебраических дополнений в случаях разреженных матриц можно получить быстро и без большого количества вычислений.

8) (1.58)

Выполним элементарные преобразования. От другого рядка вычтем первый, а от четвертого - третий. Получим разреженную матрицу

Определитель найдем через алгебраические дополнения к четвертой строке

Вычислим каждый из слагаемых

Подставляем в определитель

9) (1.72)

Найдем определитель через расписание по строкам и столбцам, содержащие нули (выделены черным).

Таким методом нахождения определителя пятого порядка свелось к простым вычислениям. Практикуйте и изучайте правила и через некоторое время у Вас будет выходить не хуже. До встречи в следующих уроках!

----------------------------------------------

yukhym.com

Определитель матрицы онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет определитель матрицы. Дается подробное решение. Для вычисления определителя матрицы выбирайте порядок (размер) квадратной матрицы. Введите данные в ячейки. Выберите метод решения и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите на странице определитель матрицы.

Порядок матрицы:1234567891011121314151617181920

Метод решения:

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Примеры вычисления определителя матрицы

Пример 1. Найти определитель матрицы

.

Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого меняем местами строки 1 и 2. При этом меняется знак определителя на "−":

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/78,-2/78 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -5928/9048:

.

Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали (учитывая знак определителя):

.

Пример 2. Найти определитель матрицы A, разложением определителя по первой строке:

.

Для вычисления определителя матрицы методом разложения по первой строке, вычисляем произведение каждого элемента первой строки на соответствующее алгебраическое дополнение и суммируем полученные результаты:

matworld.ru

Вычисление определителя матрицы на Kak-Legko.ru

Матрицы и определители являются важными элементами линейной алгебры. Матрица представляет собой прямоугольную таблицу, которая состоит из чисел, функций или других математических объектов, которые являются ее элементами. Определитель, который так же называется детерминантом – это число, величина которого показывает, существует ли для данной матрицы обратная (обратная таблица не существует, в случае, если определитель меньше 0). Обычно определитель обозначают как det A. Его можно вычислить исключительно для квадратной матрицы, число строк в которой должно быть равно числу столбцов.

Инструкция:

  • Нахождение определителя матрицы 2 порядка производится по довольно простой формуле: det A = a11 * a22 — a21* a12. Таким образом, из произведения элементов, располагающихся на главной диагонали необходимо вычесть произведение элементов, находящихся на побочной диагонали. Чтобы найти главную диагональ, нужно провести линию из верхнего левого угла в правый нижний, побочная диагональ проводится из верхнего правого в левый нижний угол.

  • Определитель 3 порядка можно посчитать для матрицы 3×3. При этом используются два метода: правило треугольников или правило Саррюса. Если вы используете правило треугольников, то можно посчитать по следующей формуле: det A = а11 * а22 * а33 + а21 * а13 * а32 + а31 *а12 * а23 – а13 * а22 * а31 – а32* а11 * а23 – а21 * а12 * а33. Расчет по правилу Саррюса выглядит так: det A = а11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 — a13 * a22 * a31 — a12 * a21 * a33 -a11 * a23 * a32.

  • Вычисление определителя матрицы 4 порядка производится для фигуры 4×4 по методу Гаусса. Суть этого метода в том, чтобы привести ее в треугольный вид, перед тем как находить определитель. Матрица называется треугольной, если у нее все элементы, которые располагаются ниже главной диагонали, равны 0. После этого, все элементы, образующие главную диагональ, необходимо перемножить: det A = а11 * a22 * a33 * a44.
  • Свойства определителя. Первое свойство – он не изменяется при транспонировании. При умножении или делении строки или столбца на какое-либо число, определитель так же умножается или делится на это число. Он равен 0, если одна из строк (или один из столбцов) состоит из 0. Определитель фигуры, которая содержит две одинаковые строки (столбцы) равен 0.
  • Зная, как вычислить детерминант, вы можете проверить свое решение. Существует большое количество сайтов, которые вычисляют определитель матрицы онлайн.

Похожие инструкции

Сколько километров в миле

На территории нашей страны достаточно давно используется метрическая система исчисления. Она признана на...

Как перевести радианы в градусы

Перед тем, как перевести радианы в градусы, нужно разобраться, что они собой представляют. Радианом называют...

Тангенс угла

Тангенс — это одна из тригонометрических функций. Изначально тригонометрические функции выражают...

Найти процент от числа

Процент – это одна сотая любого значения. Благодаря столь простому определению несложно понять, что целая...

kak-legko.ru

Найти определитель матрицы онлайн

Определитель (детерминант) матрицы

Понятие "определитель" применимо только к квадратным матрицам. Квадратная матрица размером 2 х 2 также называется матрицей 2-го порядка. А в общем случаем квадратная матрица размером n x n называется матрицей n-го порядка. В соответствии с этим есть определители 2-го порядка, определители 3-го порядка, определители 4-го порядка и так далее.

Допустим дана квадратная матрица A, тогда определитель матрицы A обозначается |A|, либо det(A), либо ΔA.

Определитель 1-го порядка

Определитель матрицы первого порядка (когда матрица состоит всего из одного элемента a11) равен её единственному элементу:

Определитель 2-го порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка нужно взять произведение элементов главной диагонали матрицы (диагонали, идущий из верхнего левого угла в нижний правый) и вычесть из него произвдение элементов, расположенных на второй диагонали.

Определитель 3-го, 4-го и более высоких порядков

Для вычисления определителя матрицы 3-го и более высокого порядка применяется формула: где j - номер столбца матрицы,Mj1 - определитель матрицы, получившейся из исходной вычеркиванием 1-ой строки и j-го столбца.
Вы также можете

в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)). Полный список доступных функций можно найти в справке.

www.yotx.ru

Как вычислить определитель 4 порядка

Определитель (детерминант) матрицы - одно из важнейших понятий линейной алгебры. Определитель матрицы представляет собой многочлен от элементов квадратной матрицы. Чтобы вычислить определитель четвертого порядка, нужно пользоваться общим правилом вычисления определителя.

Вам понадобится

  • Правило треугольников

Инструкция

  • Квадратная матрица четвертого порядка представляет из себя таблицу чисел из четырех строк и четырех столбцов. Ее определитель считается по общей рекурсивной формуле, приведенной на рисунке. M с индексами является дополнительным минором этой матрицы. Минор квадратной матрицы порядка n M с индексом 1 вверху и индексами от 1 до n внизу, - это определитель матрицы, который получается из исходной вычеркиванием первой строки и j1...jn столбцов (j1...j4 столбцов в случае квадратной матрицы четвертого порядка).
  • Из этой формулы следует, что в результате выражение для определителя квадратной матрицы четвертого порядка представит из себя сумму из четырех слагаемых. Каждое слагаемой будет являться произведением ((-1)^(1+j))aij, то есть одного из членов перовой строки матрицы, взятого с положительным или отрицательным знаком, на квадратную матрицу третьего порядка (минор квадратной матрицы).
  • Получившиеся миноры, которые представляют из себя квадратные матрицы третьего порядка, можно уже считать по известной частной формуле, без использования новых миноров. Определители квадратной матрицы третьего порядка можно рассчитать по так называемому «правилу треугольника». Формулу для расчета определителя в этом случае выводить не нужно, а можно запомнить ее геометрическую схему. Эта схема изображена на приведенном рисунке. В результате |А| = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a11*a23*a32-a12*a21*a33-a13*a22*a31.Следовательно, миноры вычислены и определитель квадратной матрицы четвертого порядка может быть посчитан.

completerepair.ru

Как вычислить определитель 4 порядка

Определитель (детерминант) матрицы - одно из важнейших понятий линейной алгебры. Определитель матрицы представляет собой многочлен от элементов квадратной матрицы. Чтобы вычислить определитель четвертого порядка, нужно пользоваться общим правилом вычисления определителя.

Вам понадобится

Правило треугольников

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычислить определитель 4 порядка" Как найти определитель матрицы 3 порядка Как найти ранг матрицы Как вычислить определитель второго порядка

Инструкция

1

Квадратная матрица четвертого порядка представляет из себя таблицу чисел из четырех строк и четырех столбцов. Ее определитель считается по общей рекурсивной формуле, приведенной на рисунке. M с индексами является дополнительным минором этой матрицы. Минор квадратной матрицы порядка n M с индексом 1 вверху и индексами от 1 до n внизу, - это определитель матрицы, который получается из исходной вычеркиванием первой строки и j1...jn столбцов (j1...j4 столбцов в случае квадратной матрицы четвертого порядка).

2

Из этой формулы следует, что в результате выражение для определителя квадратной матрицы четвертого порядка представит из себя сумму из четырех слагаемых. Каждое слагаемой будет являться произведением ((-1)^(1+j))aij, то есть одного из членов перовой строки матрицы, взятого с положительным или отрицательным знаком, на квадратную матрицу третьего порядка (минор квадратной матрицы).

3

Получившиеся миноры, которые представляют из себя квадратные матрицы третьего порядка, можно уже считать по известной частной формуле, без использования новых миноров. Определители квадратной матрицы третьего порядка можно рассчитать по так называемому «правилу треугольника». Формулу для расчета определителя в этом случае выводить не нужно, а можно запомнить ее геометрическую схему. Эта схема изображена на приведенном рисунке. В результате |А| = a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a11*a23*a32-a12*a21*a33-a13*a22*a31.

Следовательно, миноры вычислены и определитель квадратной матрицы четвертого порядка может быть посчитан.

Как просто

masterotvetov.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"