Как найти область определения функции??? Как найти область определения функции 10 класс с корнем и дробью

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Область определения функции, в которой есть дробь

Итак, нам надо найти все допустимые значения икса для какой-то конкретной функции. Самый широкий набор значений, как правило - это все действительные числа. От -∞ до+∞. Перебирать все возможные числа мы не будем, да...) В математике поступают по-другому. Работаем в два этапа.

На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. Т.е. ищем потенциально опасные операции.

На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.

Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет.

Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете). Перечисляю:

До 9-го класса включительно:

1. Деление. Нельзя делить на ноль.

2. Извлечение корня. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел.

В выпускных классах и ВУЗах:

3. Логарифмы. Ограничения в логарифмах: если logab = c, то а>0, a≠1, b>0.

4. Тригонометрия. Ограничения в тригонометрии: значения углов, для которых тангенс и котангенс не существуют, ограничения на выражения под знаком арксинуса, арккосинуса.

 

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:

Полученное уравнение имеет два корня: . Данные значения не входят в область определения функции. Действительно, подставьте или в функцию и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.

Ответ: область определения:

Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений ». Напоминаю, что значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание, а фигурные скобки – множество. Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов: .

Пример 3

Найти область определения функции

Решение: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.

Ответ: область определения:

 

Определение.

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .

Пример.

Определите множество значений функции на интервале (-2; 2).

Решение.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2):

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.

есть соответствующий максимум функции.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при xстремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:

Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .

 

Как найти область значения функции y=3x(квадрат)-6x +1

1 способ.

Найдем x0. x0=-b/(2a)=-(-6)/(2*3)=1

Найдем значение y при x=1.

y=3*1^2-6*1+1=3-6+1=-2.

Т.к. y=3x^2-6x+1 - это парабола, ветви направлены вверх, то область значений: [-2;+бесконечности)

2 способ.

Найдем производную функции. y'=6x-6. Приравним производную функции к нулю.

6x-6=0. Найдем точки экстремума. 6x=6, x=1. Т.к. y=3x^2-6x+1 - это парабола, ветви направлены вверх, то x=1- это точка минимума. Найдем значение функции наданной точке. y=3*1^2-6*1+1=3-6+1=-2. Т.к. y=3x^2-6x+1 - это парабола, ветви направлены вверх, то область значений: [-2;+бесконечности)

 

P.S. Если вы ещё не прошли производную, воспользуйтесь первым способом.

 

studopedya.ru

Как найти область определения функции???

При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним.

И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует.

Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:

  • Во-первых, когда есть дробь, в этом случае знаменатель дроби, недолжен быть равным нулю, потому, что такая дробь не может существовать. То есть, если ваша функция — дробь и в знаменателе есть переменная (потому, что если там только число, то оно никогда не станет нулём) то вам надо всё то выражение, что в знаменателе прировнять к нулю. И решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной x, которые необходимо исключить с области определения.
  • Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля.
  • В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля.
  • В-четвёртых, не надо забыть о таких обратных тригонометрических функциях, как арксинус и арккосинус, которые определены, только на промежутке [-1;1]. Соответственно вам надо следить, что бы выражение, которое будет под этими функциями, также попадало в этот промежуток и исключить все значения переменной, которые туда не попадают.
  • И в-пятых, в одном примере может быть несколько этих случаев. Надо разбирать всё, до мельчайших подробностей. Например, в знаменателе дроби, может быть корень из арксинуса :), поэтому вам надо отобрать, только те значения переменной, при которых существует арксинус, при чём значение этого арксинуса должно не должно быть равное нулю (так как оно в знаменателе) и также не должно быть отрицательным (так как есть корень).

Я постарался собрать самые основные случаи, когда область определения функции – это не все вещественные числа. Конечно, примеры могут быть на много сложнее, потому что даже эти четыре варианты можно так скомбинировать, что на то что бы разобраться, что там и от чего зависит, пойдёт не мало времени. И ещё, я даже не все перечислил.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

как найти область определения функции и область значения??? приведите пример и опишите подробнее пожалуйста

Каждая функция содержит два типа переменных: независимую переменную и зависимую переменную. Например, в функции y = f(x) = 2x + y «х» является независимой переменной, а «у» - зависимой переменной. Область определения функции - это множество чисел, на котором задается функция (другими словами, это те значения «х», которые можно подставить в данное уравнение). Область значений функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения (другими словами, это те значения «у», которые вы получаете при подста Если функция задана дробным выражением, найдите корни выражения, стоящего в знаменателе. Для этого приравняйте выражение, стоящее в знаменателе, к нулю и найдите «х». 1,Пример: дана функция е (х) = х + 5 / х - 2. Эта функция задана дробным выражением. Найдите корни выражения в знаменателе: х – 2 = 0; х = 2.новке всех возможных значений «х»). 2. Запишите область определения функции. После нахождения корней выражения в знаменателе запишите область определения функции в математической форме. В нашем примере знаменатель равен 0 при х = 2, следовательно х не может принимать значение 2 (так как на 0 делить нельзя). Область определения запишется в следующем виде: (-∞; 2)U(2; +∞). Читается так: от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности. 3.Нарисуйте координатную плоскость: проведите ось Х (горизонтально) и ось Y (вертикально). 4. На осях координат нанесите числовые отметки (через равные промежутки). 5.Найдите точки графика. Для этого подставьте в данную функцию значения «х» (из области определения функции) и найдите значения «у». В нашем примере подставьте любые значения «х», кроме 2, так как 2 исключена из области определения. 6.Отложите точки на координатной плоскости. Затем соедините их плавной линией. 7. Найдите область значений функции. Для этого на координатной плоскости найдите такую горизонтальную прямую, которая не пересекается с графиком функции. Точка пересечения этой прямой и оси Y будет исключена из области значений функции. В нашем примере прямая, заданная функцией у = 1, не пересекает график исходной функции. Следовательно «у» не принимает значение 1 и оно исключается из области значений функции. Математически область значений записывается так: (-∞,1)U(1,+∞) Читается так: от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности.

Область определения функции это то множество значений, которые может принимать аргумент функции. Например, для y(x)=x/x-1 ООФ будет интервал от минус бесконечности до 1 и от 1 до плюс бесконечности (х не равно 1). Область значения функции это то множество значений, которое может принимать функция. Например, для y(x)=sin(x) ОЗФ это отрезок от -1 до 1.

touch.otvet.mail.ru

как найти область определения функции??

1) Если в функции есть корень чётной степени, то подкореное выражение должно быть больше нуля. 2) Если в фунцкии есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю. 3) Если в функции содержитсявыражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю. 4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то область определения исходной функции не шире их области определения. (Например, обратные тригонометрические функции или функции tg(x), ctg(x) и т. д. ) Например, функция <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/1fe828ce4a5ed3283860bd523359a68b_i-163.jpg" > имеет область определения: а) arcsin имеет область определения от -1 до 1; б) x&gt;=0 (т. к. x подкоренное выражение) ; в) arcsin(x) не равен нулю, т. е. x не равно нулю (т. к. arcsin(x) выражение в знаменателе) . Таким образом, область определения функции x принадлежит (0,1]. Напишите функцию.

узнать при каких Х она имеет смысл

Пара простейших примеров. 1. Y=1/X Область определения - все X, кроме нуля. 2. Y=1 при X&gt;0. Область определения - X&gt;0. Её значение при X&lt; или =0 - не определено. Но не всегда так просто находится область определения функции: ведь функцию можно задать весьма замысловато. Универсального рецепта не существует. Ну, например, такая функция. Y=1, если в десятичном представлении числа пи есть сто подряд идущих пятёрок. Трудно вообще сказать, определена ли эта ф-ция...

ООФ это горизонт ОХ, где фенкция имеет смысл ( на ноль делить нельзя и т. п. ) Например cos,sin - растянуты по всей ОХ (оо; оо)

touch.otvet.mail.ru

Как найти область определения функции?

Очень часто при выполнении задач возникает проблема, как найти область определения функции? Без этого никак не обойтись при построении графиков и при дальнейшем исследовании значений функции.

Понятие об области определения функции

Область определения функции это множество значений переменной функции Х, при которых функция f(Х) имеет смысл. А точнее будет сказать значение переменной функции Х, при которых f(X) может существовать в реальности. Для примера предлагается рассмотреть случай, когда функция вообще не может существовать. Первый случай, который мы рассмотрим, когда в выражении. В варианте, когда имеет место дробь, знаменатель должен быть не равен нулю, по простой причине, что подобных дробных выражений просто не существует, так как они в итоге приводят к значение ноль, да и одно из золотых правил арифметики - нельзя делить на ноль.

С нулем разобрались, давайте разбираться с самой дробью. Что найти область определения функции, примеры с той же дробью, и определить значение переменной Х нам нужно прировнять дробь к нулю, и, решив данное уравнение, мы получим значение переменной Х, которое и будет исключено из области решения. Второй пример, когда наша функция содержит корень четной степени. Тут у нас полная свобода действия, так как при решении такой функции мы при любом варианте подкоренного числа получаем положительный ответ, который и будет далее удален из области определения функции. Чего нельзя сказать о корне нечетной степени, когда нас устроит только положительно подкоренное число.

Примеры решений

Еще пример, когда надо найти область определения данных функции, заданной логарифмом. Тут уж совершенно просто, область определения логарифма - все положительные числа. И для нахождения значений переменной, надо решать неравенство для данного логарифма. Где подлагорифмическое выражение будет отрицательным. Надо учитывать и обратные тригонометрические функции, а именно арксинус и арккосинус, которые определяются на промежутке [-1:1]. Для этого надо проследить, чтоб значение выражения, обозначенное этими функциями попадало в заранее нам известный промежуток, а все остальное смело исключаем из значений переменной.

Один пример, как найти область определения функции, если функция содержит, к примеру, сложносоставленную дробь. Где, к примеру, знаменатель будет выглядеть как корень из арксинуса. В таком случае надо выделить только те значения переменной, при которых арксинус может существовать,

elhow.ru

Как найти область определения функции и что это вообще такое???

область определения функции это допустимые значения х. те вопрос можно сформулировать - при каких значениях х выполнимы все действия. записанные в формуле функции. разберем на примерах: у=кх+в линейная функция. действия: умножение К*х и сложение ( вычитания. все действия выполнимы. в общем случае Д (Х) от минус до плюс бесконечности. у=к\х деление на ноль не допускается. тч Д (х) х не равен нулю для у=Vx, где буква V как знак квадратного корня Д (х) х больше или равен нулю. Для у=ах"2+вх+с и у =ах"3 область определения от минус до плюс бесконечности. тк все действия выполнимы.

Область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. ) Если в функции есть корень чётной степени, то подкоренное выражение должно быть больше нуля. 2) Если в функции есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю. 3) Если в функции содержится выражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю. 4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то область определения исходной функции не шире их области определения. (Например, обратные тригонометрические функции или функции tg(x), ctg(x) и т. д.)

А книжку открыть слабО? Для школы достаточно такого "определения": это множество тех значений аргумента "х", которые он может принимать. Например: у=1/х. Значение х=1 входит в область определения, а х=0 - не входит, потому что деление на 0 запрещено. Ясно, что ООФ этой фуекции будет "х - любое число, кроме нуля".

touch.otvet.mail.ru

Область определения функции с корнем

Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когдаподкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: , правда, корень уже 4-ой степени в исследованиях функций не припоминаю.

Пример 5

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.

Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то … есть для нас существует только одна размерность по оси . Пожалуйста, не путайте снеравенствами двух переменных, где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:

1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.

2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.

3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».

В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):

Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):

Умножим обе части неравенства на (правило №2):

Ответ: область определения:

Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .

В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки.

Пример 6

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения.

Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:

Пример 7

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:Дискриминант положителен, ищем корни:Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).

Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :! Примечание: если вам не до конца понятны объяснения, пожалуйста, начертите вторую ось и параболу целиком! Целесообразно вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций и методичке Горячие формулы школьного курса математики.

Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.

Ответ: область определения:

Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальнымметодом интервалов, известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . А основной способ – метод интервалов мы детально разберём в статье Нули функции. Интервалы знакопостоянства.

Пример 8

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. В образце подробно закомментирована логика рассуждений + второй способ решения и ещё одно важное преобразование неравенства, без знания которого студент будет хромать на одну ногу…, …хмм… на счёт ноги, пожалуй, погорячился, скорее – на один палец. Большой палец.

Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Знакомые всё лица: . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому подАвно и .

А вот менее очевидный пример: . Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно, и область определения: .

Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой? Да, и сразу напрашивается примитивный пример , где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения: (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).

загрузка…

С нечётными корнями и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным. Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции исключаются точки .

Некоторым посетителям сайта рассматриваемые примеры покажутся элементарными и примитивными, но в этом нет случайности – во-первых, я стараюсь «заточить» материал для нубов, а во-вторых, подбираю реалистичные вещи под грядущие задачи: полное исследование функции, нахождение области определения функции двух переменныхи некоторые другие. Всё в математике цепляется друг за дружку. Хотя любители трудностей тоже не останутся обделёнными, более солидные задания встретятся и здесь, и на урокео методе интервалов.

 

refac.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"