Как найти синус, косинус и тангенс. Как найти косинус через синус и тангенс


Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1
(2) Основное тождество через тангенс и косинус 1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3) Основное тождество через котангенс и синус 1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1
(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7) Тангенс двойного угла
tg(2α) =   2tg(α) 1 – tg2(α)
(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg2(α) – 1   2ctg(α)
(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13) Тангенс суммы/разности tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14) Котангенс суммы/разности ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16) Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21) Сумма/разность тангенсов tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)  Сумма/разность синуса и косинуса sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2

scolaire.ru

Как найти тангенс через косинус

Косинус, как и синус, относят к «прямым» тригонометрическим функциям. Тангенс (вместе с котангенсом) причисляют к другой паре, называемой «производными». Существует несколько определений этих функций, которые делают возможным нахождение тангенса заданного угла по известному значению косинуса от этой же величины.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти тангенс через косинус" Как найти косинус альфа Что такое тангенс угла Как посчитать котангенс

Инструкция

1

Вычтите из единицы частное от деления единицы на возведенное в квадрат значение косинуса заданного угла, а из результата извлеките квадратный корень - это и будет значение тангенса от угла, выраженное через его косинус: tg(?)=v(1-1/(cos(?))?). При этом обратите внимание на то, что в формуле косинус стоит в знаменателе дроби. Невозможность деления на ноль исключает использование этого выражения для углов, равных 90°, а также отличающихся от этой величины на числа, кратные 180° (270°, 450°, -90° и т.д.).

2

Существует и альтернативный способ вычисления тангенса по известному значению косинуса. Его можно применять, если не установлено ограничение на использование других тригонометрических функций. Для реализации этого способа сначала определите величину угла по известному значению косинуса - это можно сделать с помощью функции арккосинус. Затем просто рассчитайте тангенс для угла полученной величины. В общем виде этот алгоритм можно записать так: tg(?)=tg(arccos(cos(?))).

3

Есть и еще более экзотический вариант с использованием определения косинуса и тангенса через острые углы прямоугольного треугольника. Косинусу в таком определении соответствует отношение длины прилежащего к рассматриваемому углу катета к длине гипотенузы. Зная значение косинуса можно подобрать соответствующие ему длины этих двух сторон. Например, если cos(?)=0,5, то прилежащий катет можно принять равным 10см, а гипотенузу - 20см. Конкретные числа здесь значения не имеют - одинаковое и правильное решение вы получите с любыми значениями, имеющими такое же соотношение. Затем по теореме Пифагора определите длину недостающей стороны - противолежащего катета. Она будет равна квадратному корню из разницы между длинами возведенных в квадрат гипотенузы и известного катета: v(20?-10?)=v300. Тангенсу по определению соответствует отношение длин противолежащего и прилежащего катетов (v300/10) - рассчитайте его и получите значение тангенса, найденное с использованием классического определения косинуса. Как просто

masterotvetov.com

Основные формулы тригонометрии | umath.ru

1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Синус угла  (обозначается ) – ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .

Косинус угла (обозначается ) – абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .

Тангенс угла (обозначается ) – отношение синуса угла к его косинусу, т.е.

Котангенс угла (обозначается ) – отношение косинуса угла к его синусу, т.е. 2. Основное тригонометрическое тождество: 3. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом: 4. Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.

Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента :

Синус и косинус – периодические с периодом 2\pi функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом функции:Число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число – наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса. Для любого целого справедливы равенства 5. Формулы сложения: 6. Формулы двойного и тройного аргумента: 7. Формулы понижения степени: 8. Формулы приведения: 9. Формулы суммы и разности синусов: 10. Формулы суммы и разности косинусов: 11. Формулы суммы и разности тангенсов: 12. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность): 13. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента:

umath.ru

Как найти синус, косинус и тангенс

Синус, косинус и тангенс являются тригонометрическими функциями. Исторически они появились как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, следственно комфортнее каждого и вычислять их через прямоугольный треугольник. Впрочем через него дозволено выразить только тригонометрические функции острых углов. Для тупых углов придется вводить окружность.

Вам понадобится

  • окружность, прямоугольный треугольник

Инструкция

1. Пускай в прямоугольном треугольнике угол B — прямой. AC будет являться гипотенузой этого треугольника, стороны AB и BC — его катетами. Синусом острого угла BAC будет именоваться отношение противолежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть sin(BAC) = BC/AC.Косинусом острого угла BAC будет именоваться отношение прилежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть cos(BAC) = AB/AC. Косинус угла дозволено также выразить через синус угла с подмогой основного тригонометрического тождества: ((sin(ABC))^2)+((cos(ABC))^2) = 1. Тогда cos(ABC) = sqrt(1-(sin(ABC))^2).Тангенсом острого угла BAC будет именоваться отношение противолежащего к этому углу катета BC к прилежащему к этому углу катету AB. То есть tg(BAC) = BC/AB. Тангенс угла также дозволено выразить через его синус и косинус по формуле: tg(BAC) = sin(BAC)/cos(BAC).

2. В прямоугольных треугольниках дозволено рассматривать только острые углы. Для рассмотрения прямых углов нужно вводить окружность.Пускай O — центр декартовой системы координат с осями X (ось абцисс) и Y (ось ординат), а также центр окружности радиуса R. Отрезок OB будет являться радиусом этой окружности. Углы дозволено измерить как повороты от позитивного направления оси абсцисс до луча OB. Направление супротив часовой стрелки считается позитивным, по часовой стрелке негативным. Абсциссу точки В обозначьте за xB, ординату — за yB.Тогда синус угла определяется как yB/R, косинус угла — xB/R, тангенс угла tg(x) = sin(x)/cos(x) = yB/xB.

3. Косинус угла дозволено рассчитать и в любом треугольнике, если вестимы длины всех его сторон. По теореме косинусов AB^2 = ((AC)^2)+((BC)^2)-2*AC*BC*cos(ACB). Отсель, cos(ACB) = ((AC^2)+(BC^2)-(AB^2))/(2*AC*BC).Синус и тангенс этого угла дозволено вычислить из приведенных выше определения тангенса угла и основного тригонометрического тождества.

jprosto.ru

Как найти синус, косинус и тангенс

Синус, косинус и тангенс являются тригонометрическими функциями. Исторически они возникли как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому удобнее всего и вычислять их через прямоугольный треугольник. Однако через него можно выразить только тригонометрические функции острых углов. Для тупых углов придется вводить окружность.

Вам понадобится

  • окружность, прямоугольный треугольник

Инструкция

  • Пусть в прямоугольном треугольнике угол B - прямой. AC будет являться гипотенузой этого треугольника, стороны AB и BC - его катетами. Синусом острого угла BAC будет называться отношение противолежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть sin(BAC) = BC/AC.Косинусом острого угла BAC будет называться отношение прилежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть cos(BAC) = AB/AC. Косинус угла можно также выразить через синус угла с помощью основного тригонометрического тождества: ((sin(ABC))^2)+((cos(ABC))^2) = 1. Тогда cos(ABC) = sqrt(1-(sin(ABC))^2).Тангенсом острого угла BAC будет называться отношение противолежащего к этому углу катета BC к прилежащему к этому углу катету AB. То есть tg(BAC) = BC/AB. Тангенс угла также можно выразить через его синус и косинус по формуле: tg(BAC) = sin(BAC)/cos(BAC).
  • В прямоугольных треугольниках можно рассматривать только острые углы. Для рассмотрения прямых углов необходимо вводить окружность.Пусть O - центр декартовой системы координат с осями X (ось абцисс) и Y (ось ординат), а также центр окружности радиуса R. Отрезок OB будет являться радиусом этой окружности. Углы можно измерить как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначьте за xB, ординату - за yB.Тогда синус угла определяется как yB/R, косинус угла - xB/R, тангенс угла tg(x) = sin(x)/cos(x) = yB/xB.
  • Косинус угла можно рассчитать и в любом треугольнике, если известны длины всех его сторон. По теореме косинусов AB^2 = ((AC)^2)+((BC)^2)-2*AC*BC*cos(ACB). Отсюда, cos(ACB) = ((AC^2)+(BC^2)-(AB^2))/(2*AC*BC).Синус и тангенс этого угла можно вычислить из приведенных выше определения тангенса угла и основного тригонометрического тождества.

completerepair.ru

Как найти синус, косинус и тангенс

Синус, косинус и тангенс являются тригонометрическими функциями. Исторически они возникли как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому удобнее всего и вычислять их через прямоугольный треугольник. Однако через него можно выразить только тригонометрические функции острых углов. Для тупых углов придется вводить окружность.

Вам понадобится

окружность, прямоугольный треугольник

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти синус, косинус и тангенс" Как решать тригонометрические функции Как вычислить сторону треугольника Как найти тангенс, если известен косинус

Инструкция

1

Пусть в прямоугольном треугольнике угол B - прямой. AC будет являться гипотенузой этого треугольника, стороны AB и BC - его катетами. Синусом острого угла BAC будет называться отношение противолежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть sin(BAC) = BC/AC.

Косинусом острого угла BAC будет называться отношение прилежащего к этому углу катета BC к гипотенузе AC. То есть cos(BAC) = AB/AC. Косинус угла можно также выразить через синус угла с помощью основного тригонометрического тождества: ((sin(ABC))^2)+((cos(ABC))^2) = 1. Тогда cos(ABC) = sqrt(1-(sin(ABC))^2).

Тангенсом острого угла BAC будет называться отношение противолежащего к этому углу катета BC к прилежащему к этому углу катету AB. То есть tg(BAC) = BC/AB. Тангенс угла также можно выразить через его синус и косинус по формуле: tg(BAC) = sin(BAC)/cos(BAC).

2

В прямоугольных треугольниках можно рассматривать только острые углы. Для рассмотрения прямых углов необходимо вводить окружность.

Пусть O - центр декартовой системы координат с осями X (ось абцисс) и Y (ось ординат), а также центр окружности радиуса R. Отрезок OB будет являться радиусом этой окружности. Углы можно измерить как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначьте за xB, ординату - за yB.

Тогда синус угла определяется как yB/R, косинус угла - xB/R, тангенс угла tg(x) = sin(x)/cos(x) = yB/xB.

3

Косинус угла можно рассчитать и в любом треугольнике, если известны длины всех его сторон. По теореме косинусов AB^2 = ((AC)^2)+((BC)^2)-2*AC*BC*cos(ACB). Отсюда, cos(ACB) = ((AC^2)+(BC^2)-(AB^2))/(2*AC*BC).

Синус и тангенс этого угла можно вычислить из приведенных выше определения тангенса угла и основного тригонометрического тождества.

Как просто

masterotvetov.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"