Нахождение длины вектора по координатам. Как найти длину вектора и координаты


Как найти длину вектора

Понятие длины вектора

Для того, чтобы разобраться с понятием длины вектора, прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.

Определение 3

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.

Определение 4

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).

Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.

Определение 5

Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:

$\overline{c}={m,n}$

Как найти длину вектора?

Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.

Решение.

Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).

Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит

$[OA_1 ]=x$, $[ OA_2]=y$

Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим

$|\overline{α}|^2=[OA_1]^2+[OA_2]^2$

$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$

$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.

Пример задач

Пример 2

Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.

Решение.

Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что

$\overline{XY}=(7+1,3-5)=(8,-2)$

Теперь, найдя длину этого вектора по формуле, выведенной выше, мы и получим искомую длину. Получим:

$d=\sqrt{8^2+(-2)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Ответ: $2\sqrt{17}$.

Замечание 1

Из этой задачи можно вывести формулу для вычисления такого расстояния. Пусть две точки имеют координаты ${(x',y')}$ и ${(x'',y'')}$. Тогда длину между такими точками можно найти по следующей формуле:

$d=\sqrt{(x'-x'')^2+(y'-y'')^2}$

Пример 3

Пусть нам дан треугольник своими координатами вершин $(5,-9)$, $(12,-2)$ и $(4,0)$. Найдем его периметр.

Решение.

Найдем для начала длины всех его сторон по формуле из замечания к задаче 2.

Первая сторона равняется:

$\sqrt{(5-12)^2+(-9+2)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$

Вторая сторона равняется:

$\sqrt{(5-4)^2+(-9-0)^2}=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$

Третья сторона равняется:

$\sqrt{(12-4)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{8^2+(-2)^2 }=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Складывая, получим

Ответ: $7\sqrt{2}+\sqrt{82}+2\sqrt{17}$

spravochnick.ru

Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL. Примеры и методы

Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).

Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

1. Вычисление длины вектора по его координатам

Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны ax и ay, то длину вектора можно найти по формуле

В случае вектора в пространстве добавляется третья координата

В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9, см. файл примера).

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9.

В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.

Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)).

2. Нахождение длины вектора через координаты точек

Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))

В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.

Функция СУММКВРАЗН() возвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.

По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.

3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).

Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 - угол между ними в радианах (в долях числа ПИ()).

Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))

Примечание: для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить пользовательский формат, см. например, статью Отображение широты и долготы в MS EXCEL

4. Нахождение длины вектора через координаты точек треугольника

Пусть заданы 3 точки треугольника, образованного векторами.

Найдем длину вектора ВС через координаты соответствующих точек (аналогично 2-й задаче, рассмотренной выше) по формуле =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C54:C55;D54:D55)).

Зная координаты точек можно найти все длины сторон (длины векторов) и углы треугольника (по теореме косинусов).

5. Нахождение координат вектора через координаты точек

Сделаем в MS EXCEL удобную форму для вычисления координат вектора и его длины через координаты точек. Также отобразим как сами точки, так и сам вектор.

excel2.ru

Как найти длину вектора?

Здравствуйте! Не понимаю, почему же эти векторы вызывают такие трудности. Но мы поможем разобраться! Давайте начнём!Сначала разберёмся с тем, что такое длина. Длина — числовая характеристика того, какую протяжённость имеет данная линия, а длина вектора  — неотрицательное число, которое будет равно длине AB. Так же следует правильно обозначать длину вектора:  ||.Хорошо, с этим разобрались. У нас существует конкретная формула на то, как находить длину вектора (для плоских задач): (формула 1).А для решения задач в пространстве:   (формула 2).

В этих формулах  обозначают соответствующие значения, что подробней разбиралось в теме сумма векторов.У нас вектор  задан в пространстве, по-этому будем решать по второй формуле. И так, приступим к более подробному вопросу как найти длину вектора  :И так, мы получили Ответ:  Надеюсь, Вам это поможет!

ru.solverbook.com

Нахождение длины вектора по координатам. — КиберПедия

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Ответ:

.

Прямая на плоскости

Общее уравнение

 

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках

 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

 

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.

 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Ответ:

.

cyberpedia.su

Как найти длину вектора по его координатам

Вопрос «Как найти длину вектора по его координатам» будем рассматривать в двух вариантах. 

  1. Вектор задан на плоскости

Если век-р задан на пл-сти, то он будет иметь две коорд-ты — по оси Ох и оси Оу. Чтобы найти его длину, необходимо вычислить квадр-й корень из суммы квадратов этих коорд-т. Рассмотрим век-р на пл-сти, заданный двумя коорд-ми .Ф-ла длины век-ра на пл-сти:

   

 Задание.Вычислить длину вектора . Решение.Используем ф-лу длины век-ра, заданного на пл-сти:

   

Подставим в эту ф-лу известные значения коорд-т век-ра и вычислим искомое значение:

   

 Ответ. . 

  1. Вектор задан в пространстве

Если век-р задан в пр-стве, то он будет иметь три коорд-ты — по оси Ох, оси Оу и оси Oz. Чтобы найти его длину, необходимо вычислить квадр-ный корень из суммы квадратов этих коорд-т. Рассмотрим век-р в пр-стве, заданный тремя коорд-ми .Ф-ла длины век-ра в пр-стве:

   

 Задание.Вычислить длину вектора . Решение.Используем ф-лу длины век-ра, который задан в прост-стве:

   

Подставим в эту ф-лу известные значения коорд-т век-ра и вычислим искомое значение:

   

 Ответ. .

ru.solverbook.com

[Зачет 70] Определение ортонормированного базиса и прямоугольной декартовой системы координат (ПДСК). Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками.

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Вывод формул для вычисления длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, расстояния между двумя точками. 

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора  будем обозначать . Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как  и  соответственно и рассмотрим прямоугольник  с диагональю ОА. Таким образом, формула для нахождения длины вектора  по его координатам на плоскости имеет вид .

Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат. Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам : . Теперь получим формулу для нахождения длины вектора  по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве. В этом случае  (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, . Таким образом, длина вектора  в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Рассмотрим решения примеров.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов.

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов ,  и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора  или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы или , по координатам точек начала и конца вектора - или , в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Расстояние между двумя точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) в прямоугольной системе координат выражается формулой:

Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным. поэтому корень берется с одним знаком (плюс).

Расстояние между двумя точками

fizmatinf.blogspot.com

Как найти длину вектора

Как найти длинну вектораЧтобы определить вектор в пространстве, используется система координат. При этом нужно учитывать, что кроме длины (модуля) он характеризуется еще и направлением. Длину вектора можно просто измерить или найти при помощи формул. Вам понадобится - линейка; - транспортир. Спонсор размещения P&G Статьи Как найти проекции на осиЧтобы найти проекцию вектора или отрезка на координатные оси, нужно опустить перпендикуляры с крайних точек на каждую из осей. Если же известны координаты вектора или отрезка, его проекцию на оси можно вычислить. То же можно сделать, если известна длина вектора и угол между ним и осью. Вам Как определить длину вектораВектор характеризуется не только абсолютной длиной, но и направлением. Поэтому для того, чтобы «закрепить» его в пространстве используются различные системы координат. Именно зная координаты вектора можно определить его длину с помощью специальных математических формул. Вам понадобится - система Как найти середину вектораВектор – это величина, характеризуемая своим численным значением и направлением. Другими словами, вектор – это направленный отрезок. Положение вектора AB в пространстве задается координатами точки начала вектора A и точки конца вектора B. Рассмотрим, как определить координаты середины вектора. Как вычислить длину вектораВектор — отрезок, у которого есть не только длина, но и направление. Векторы играют большую роль в математике, но особенно в физике, поскольку физика очень часто имеет дело с величинами, которые удобно представлять в виде векторов. Поэтому в математических и физических расчетах может возникнуть Как найти косинус угла между векторамиВектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства. Длиной вектора — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Вам понадобится Базовые знания по геометрии и алгебре. Спонсор размещения P&G Как найти орт вектораВектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства. Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице. Вам понадобится Знания по геометрии. Спонсор размещения P&G Как вычислить векторВектор, как направленный отрезок, зависит не только от абсолютной величины (модуля), которая равна его длине. Еще одна важная характеристика – направление вектора. Оно может определяться как координатами, так и углом между вектором и осью координат. Вычисление вектора также производится при Как найти длину вектора, если есть его координатыВектор - это направленный отрезок, характеристикой которого является упорядоченная пара или тройка точек евклидова пространства. Под длиной вектора понимают скалярную величину, равную арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат вектора. Вам понадобится Базовые знания по Как найти координаты вектораВектором в математике и в геометрии в частности называют направленный отрезок. Одной из характеристик вектора является его координаты. Координатами вектора как правило является упорядоченный набор чисел. Вам понадобится Знания по математике и геометрии. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как

masterotvetov.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"