Как найти катет через синус в прямоугольном треугольнике. Как через синус найти гипотенузу


4 способа поиска ответа :: SYL.ru

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

с = √ (а2 + в2), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

с = а / cos α.

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция - синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

с = а / sin β.

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о противолежащем угле, то нужно использовать синус, если — о прилежащем, то косинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о.

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

с = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Решение.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

(2у)2 + х2 = (√52)2

и

(у)2 + (2х)2 = (√73)2.

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

4у2 + х2 = 52

и

у2 + 4х2 = 73.

Из второго уравнения видно, что у2 = 73 - 4х2. Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 - 4х2) + х2 = 52.

После преобразования:

292 - 16 х2 + х2 = 52 или 15х2 = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у2 = 73 - 4(4)2 = 73 - 64 = 9.

у = 3.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

Решение.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

90º = 3 α.

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Ответ: гипотенуза равна 82.

www.syl.ru

Как найти гипотенузу, зная катет и угол

Знаменито много видов треугольников: положительный, равнобедренный, остроугольный и так дальше. Все они владеют классическими лишь для них свойствами и у всякого свои правила нахождения величин, будь это сторона либо угол при основании. Но из каждого многообразия этих геометрических фигур в отдельную группу дозволено выделить треугольник с прямым углом.

Вам понадобится

  • Чистый лист, карандаш и линейка для схематического изображения треугольника.

Инструкция

1. Треугольник именуется прямоугольным, если один из его углов равен 90 градусов. Он состоит из 2-х катетов и гипотенузы. Гипотенузой называют крупную сторону этого треугольника. Она лежит вопреки прямого угла. Катетами, соответственно, называют меньшие его стороны. Они могут быть как равны между собой, так и иметь различную величину. Равенство катетов обозначает, что вы трудитесь с равнобедренным прямоугольным треугольником. Прелесть его в том, что он объединяет в себе свойства 2-х фигур: прямоугольного и равнобедренного треугольника. Если катеты не равны, то треугольник произвольный и подчиняется основному закону: чем огромнее угол, тем огромнее лежащий наоборот него катит.

2. Существует несколько методов нахождения гипотенузы по катету и углу. Но раньше чем воспользоваться одним из них, следует определить, какой катет и угол знамениты. Если дан угол и прилежащий к нему катет, то гипотенузу легче все обнаружить по косинусу угла. Косинусом острого угла (cos a) в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Отсель вытекает, что гипотенуза (с) будет равна отношению прилежащего катета (b) к косинуса угла a (cos a). Это дозволено записать так: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Если дан угол и противолежащий катет, то следует трудиться с синусом. Синус острого угла (sin a) в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета (a) к гипотенузе (c). Тут работает тезис, что и в предыдущем примере, только взамен функции косинуса берется синус. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Также дозволено воспользоваться такой тригонометрической функцией, как тангенс. Но нахождение желанной величины слегка усложнится. Тангенсом острого угла (tg a) в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета (а) к прилежащему (b). Обнаружив оба катета, примените теорему Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) и огромная сторона треугольника будет обнаружена.

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При вестимом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см.AB = BC/sin30 = 8 см.

Слово «катет » происходит от греческих слов «перпендикуляр» либо «отвесный» — это поясняет, отчего именно так назвали обе стороны прямоугольного треугольника, составляющие его девяностоградусный угол. Обнаружить длину всякого из катет ов несложно, если знаменита величина прилегающего к нему угла и еще какой-нибудь из параметров, потому что в этом случае реально станут знамениты величины всех 3 углов.

Инструкция

1. Если помимо величины прилегающего угла (β) вестима длина второго катет а (b), то длину катет а (a) дозволено определить как частное от деления длины знаменитого катет а на тангенс вестимого угла: a=b/tg(β). Это вытекает из определения этой тригонометрической функции. Дозволено обойтись без тангенса, если воспользоваться теоремой синусов. Из нее следует, что отношение длины желанной стороны к синусу противолежащего угла равно отношению длины вестимого катет а к синусу знаменитого угла. Противолежащий желанному катет у острый угол дозволено выразить через знаменитый угол как 180°-90°-β = 90°-β, потому что сумма всех углов всякого треугольника должна составлять 180°, а по определению прямоугольного треугольника один из его углов равен 90°. Значит, желанную длину катет а дозволено вычислить по формуле a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Если вестимы величина прилегающего угла (β) и длина гипотенузы (c), то длину катет а (a) дозволено вычислить как произведение длины гипотенузы на косинус знаменитого угла: a=c∗cos(β). Это вытекает из определения косинуса, как тригонометрической функции. Но дозволено воспользоваться, как и в предыдущем шаге, теоремой синусов и тогда длина желанного катет а будет равняться произведению синуса разницы между 90° и вестимым углом на отношение длины гипотенузы к синусу прямого угла. А от того что синус 90° равен единице, то формулу дозволено записать так: a=sin(90°-β)∗c.

3. Фактические вычисления дозволено изготавливать, скажем, при помощи имеющегося в составе ОС Windows программного калькулятора. Для его запуска дозволено в основном меню на кнопке «Пуск» предпочесть пункт «Исполнить», набрать команду calc и нажать кнопку «OK». В открывающемся по умолчанию простейшем варианте интерфейса этой программы тригонометрические функции не предусмотрены, следственно позже его запуска нужно щелкнуть в меню раздел «Вид» и предпочесть строку «Ученый» либо «Инженерный» (зависит от применяемой версии операционной системы).

Видео по теме

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно обозначает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами именуются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона именуется гипотенузой. Термин «катет» используется также в архитектуре и спецтехнологии сварочных работ.

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника связаны между собой определенными отношениями. Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе именуется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус — это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения именуются секансом и косекансом.Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее дозволено по формуле secCAB=1/cosSAB. Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCABОба катета связаны между собой тангенсом и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a. Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий математик Пифагор. Теоремой, названной его именем, люди пользуются до сего времени. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, всякий катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и иного катета. Эту формулу дозволено записать как b=?(с2-а2). Длину катета дозволено выразить и через знаменитые вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Дозволено его выразить и через тангенс либо котангенс. Катет а дозволено обнаружить, скажем, по формуле a = b*tan CAB. Верно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса либо котангенса, определяется и 2-й катет.В архитектуре также применяется термин «катет». Он используется по отношению к ионической капители и обозначает отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином обозначается перпендикуляр к заданной линии. В спецтехнологии сварочных работ есть представление «катет углового шва». Как и в иных случаях, это самое короткое расстояние. Тут речь идет о интервале между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности иной детали.

Видео по теме

Обратите внимание! Работая с теоремой Пифагора, не забывайте, что вы имеете дело со степенью. Обнаружив сумму квадратов катетов, для приобретения окончательного результата следует извлечь квадратный корень.

jprosto.ru

Как найти гипотенузу если известен катет и синус угла

ГДЗ к 596 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен ?. Выразите второй острый угол и катеты через с и ? и найдите их значения, если с=24 см, а ?=35°. (решение и ответ)

Совет 1: Как обнаружить гипотенузу если вестим катет и угол

В прямоугольном треугольнике катетом называют сторону, смежную с прямым углом, а гипотенузой — сторону, противолежащую прямому углу. Все стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, и именно эти постоянные соотношения помогут нам обнаружить гипотенузу всякого прямоугольного треугольника по знаменитым катету и углу.

    Бумага, ручка, таблица синусов (есть в интернете)

Инструкция

1. Обозначим стороны прямоугольного треугольника малыми буквами а, b и c, а противолежащие им углы, соответственно, А, И и С. Представим, вестимы катет а и противолежащий ему угол А.

Совет 2: Как обнаружить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую наоборот прямого угла. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Остальные стороны в прямоугольном треугольнике именуются катетами.

Инструкция

1. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, дабы обнаружить квадрат длины гипотенузы, нужно построить в квадрат длины катетов и сложить.

Длина гипотенузы величина позитивная, следственно при извлечении корня, подкоренное выражение должно быть огромнее нуля.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длину гипотенузы дозволено вычислить умножив катет на корень из 2-х.

Совет 3: Как обнаружить гипотенузу по катету и углам

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При вестимом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.

Совет 4: Как обнаружить угол, если знамениты стороны

МногоУгольником именуется фигура на плоскости, состоящая из трёх и больше сторон, которые пересекаются в трёх и больше точках. Многоугольник именуется выпуклым, если весь его угол поменьше 180?. Традиционно, в качестве многоугольников рассматривают именно выпуклые многоугольники. Для нахождения углов многоугольника необходимо иметь минимально нужный комплект начальных данных. Пускай для многоугольника вестимы длины всех его сторон.

Инструкция

1. Многоугольник именуется положительным, если его Стороны равны между собой, а так же все углы равны между собой. Если предварительно вестимо, что многоугольник является положительным, то углы дозволено высчитать по формуле?? = 180? * (n — 2)/n, где n – число сторон многоугольника. Скажем, в случае положительного восьмиугольника?? = 180? * (8 — 2)/8 = 135?

Совет 5: Как рассчитать катет

Катетами называют две короткие стороны прямоугольного треугольника, составляющие ту его вершину, величина которой равна 90°. Третью сторону в таком треугольнике называют гипотенузой. Все эти стороны и углы треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые разрешают вычислить длину катета, если вестимы несколько других параметров.

Инструкция

1. Используйте теорему Пифагора для вычисления длины катета (A), если вестима длина 2-х других сторон (B и C) прямоугольного треугольника. Эта теорема заявляет, что сумма возведенных в квадрат длин катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого вытекает, что длина всего из катетов равна квадратному корню из разности квадратов длин гипотенузы и второго катета: A=√(C?-B?).

Совет 6: Что такое катет

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно обозначает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами именуются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона именуется гипотенузой. Термин «катет» используется также в архитектуре и спецтехнологии сварочных работ.

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника связаны между собой определенными отношениями. Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе именуется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус — это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения именуются секансом и косекансом. Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее дозволено по формуле secCAB=1/cosSAB. Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCABОба катета связаны между собой тангенсом и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a. Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий математик Пифагор. Теоремой, названной его именем, люди пользуются до сего времени. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, весь катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и иного катета. Эту формулу дозволено записать как b=?(с2-а2). Длину катета дозволено выразить и через вестимые вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Дозволено его выразить и через тангенс либо котангенс. Катет а дозволено обнаружить, скажем, по формуле a = b*tan CAB. Верно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса либо котангенса, определяется и 2-й катет. В архитектуре также применяется термин «катет». Он используется по отношению к ионической капители и обозначает отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином обозначается перпендикуляр к заданной линии. В спецтехнологии сварочных работ есть представление «катет углового шва». Как и в иных случаях, это самое короткое расстояние. Тут речь идет о интервале между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности иной детали.

Совет 7: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, дозволено вычислять другие. Для этого применяются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.

Инструкция

1. Из самого наименования прямоугольного треугольника ясно, что один из его углов является прямым. Самостоятельно от того, является прямоугольный треугольник равнобедренным либо нет, в нем неизменно имеется один угол, равный 90 градусам. Если дан прямоугольный треугольник, являющийся единовременно и равнобедренным, то, исходя из того, что в фигуре имеется прямой угол, обнаружьте два угла при его основании. Эти углы равны между собой, следственно весь из них имеет значение, равное:?=180°- 90°/2=45°

Совет 8: Как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Если один из углов в треугольнике равен 90°, значит, две прилегающие к нему стороны дозволено называть катетами, а сам треугольник — прямоугольным. Третью сторону в такой фигуре называют гипотенузой, и с ее длиной связан самый, вероятно, знаменитый на нашей планете математический постулат — теорема Пифагора. Впрочем для вычисления длины этой стороны дозволено применять не только ее.

Инструкция

1. Теорему Пифагора используйте для нахождения длины гипотенузы (с) треугольника с знаменитыми величинами обоих катетов (a и b). Вам надобно построить их размеры в квадрат и сложить, а из получившегося итога извлеките квадратный корень: c = ?(a?+b?).

Совет 9: Как обнаружить синус, зная угол

Одной из фундаментальных основ точных наук является представление о тригонометрических функциях. Они определяют примитивные отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Обнаружить его, зная угол, дозволено огромным числом методов, включающих экспериментальные, вычислительные способы, а также применение справочной информации.

Инструкция

1. Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для приобретения надобных значений на основании познания угла. Сходственный функционал сегодня имеют даже самые примитивные устройства. При этом вычисления производятся с дюже высокой степенью точности (как водится, до восьми и больше знаков позже запятой).

Если в прямоугольном треугольнике есть острый угол в 30 градусов, то наоборот него лежит катет, длина которого в 2 раза поменьше длины гипотенузы.

Как найти гипотенузу если известен катет и синус угла

Совет 1: Как обнаружить гипотенузу если вестим катет и угол

В прямоугольном треугольнике катетом называют сторону, смежную с прямым углом, а гипотенузой — сторону, противолежащую прямому углу. Все стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, и именно эти постоянные соотношения помогут нам обнаружить гипотенузу всякого прямоугольного треугольника по знаменитым катету и углу.

    Бумага, ручка, таблица синусов (есть в интернете)

Инструкция

1. Обозначим стороны прямоугольного треугольника малыми буквами а, b и c, а противолежащие им углы, соответственно, А, И и С. Представим, вестимы катет а и противолежащий ему угол А.

Совет 2: Как обнаружить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют сторону в прямоугольном треугольнике, лежащую наоборот прямого угла. Гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Остальные стороны в прямоугольном треугольнике именуются катетами.

Инструкция

1. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, дабы обнаружить квадрат длины гипотенузы, нужно построить в квадрат длины катетов и сложить.

Длина гипотенузы величина позитивная, следственно при извлечении корня, подкоренное выражение должно быть огромнее нуля.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длину гипотенузы дозволено вычислить умножив катет на корень из 2-х.

Совет 3: Как обнаружить гипотенузу по катету и углам

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При вестимом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.

Совет 4: Как обнаружить угол, если знамениты стороны

МногоУгольником именуется фигура на плоскости, состоящая из трёх и больше сторон, которые пересекаются в трёх и больше точках. Многоугольник именуется выпуклым, если весь его угол поменьше 180?. Традиционно, в качестве многоугольников рассматривают именно выпуклые многоугольники. Для нахождения углов многоугольника необходимо иметь минимально нужный комплект начальных данных. Пускай для многоугольника вестимы длины всех его сторон.

Инструкция

1. Многоугольник именуется положительным, если его Стороны равны между собой, а так же все углы равны между собой. Если предварительно вестимо, что многоугольник является положительным, то углы дозволено высчитать по формуле?? = 180? * (n — 2)/n, где n – число сторон многоугольника. Скажем, в случае положительного восьмиугольника?? = 180? * (8 — 2)/8 = 135?

Совет 5: Как рассчитать катет

Катетами называют две короткие стороны прямоугольного треугольника, составляющие ту его вершину, величина которой равна 90°. Третью сторону в таком треугольнике называют гипотенузой. Все эти стороны и углы треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые разрешают вычислить длину катета, если вестимы несколько других параметров.

Инструкция

1. Используйте теорему Пифагора для вычисления длины катета (A), если вестима длина 2-х других сторон (B и C) прямоугольного треугольника. Эта теорема заявляет, что сумма возведенных в квадрат длин катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого вытекает, что длина всего из катетов равна квадратному корню из разности квадратов длин гипотенузы и второго катета: A=√(C?-B?).

Совет 6: Что такое катет

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно обозначает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами именуются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона именуется гипотенузой. Термин «катет» используется также в архитектуре и спецтехнологии сварочных работ.

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника связаны между собой определенными отношениями. Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе именуется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус — это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения именуются секансом и косекансом. Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее дозволено по формуле secCAB=1/cosSAB. Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCABОба катета связаны между собой тангенсом и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a. Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий математик Пифагор. Теоремой, названной его именем, люди пользуются до сего времени. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, весь катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и иного катета. Эту формулу дозволено записать как b=?(с2-а2). Длину катета дозволено выразить и через вестимые вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Дозволено его выразить и через тангенс либо котангенс. Катет а дозволено обнаружить, скажем, по формуле a = b*tan CAB. Верно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса либо котангенса, определяется и 2-й катет. В архитектуре также применяется термин «катет». Он используется по отношению к ионической капители и обозначает отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином обозначается перпендикуляр к заданной линии. В спецтехнологии сварочных работ есть представление «катет углового шва». Как и в иных случаях, это самое короткое расстояние. Тут речь идет о интервале между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности иной детали.

Совет 7: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, дозволено вычислять другие. Для этого применяются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.

Инструкция

1. Из самого наименования прямоугольного треугольника ясно, что один из его углов является прямым. Самостоятельно от того, является прямоугольный треугольник равнобедренным либо нет, в нем неизменно имеется один угол, равный 90 градусам. Если дан прямоугольный треугольник, являющийся единовременно и равнобедренным, то, исходя из того, что в фигуре имеется прямой угол, обнаружьте два угла при его основании. Эти углы равны между собой, следственно весь из них имеет значение, равное:?=180°- 90°/2=45°

Совет 8: Как вычислить гипотенузу в прямоугольном треугольнике

Если один из углов в треугольнике равен 90°, значит, две прилегающие к нему стороны дозволено называть катетами, а сам треугольник — прямоугольным. Третью сторону в такой фигуре называют гипотенузой, и с ее длиной связан самый, вероятно, знаменитый на нашей планете математический постулат — теорема Пифагора. Впрочем для вычисления длины этой стороны дозволено применять не только ее.

Инструкция

1. Теорему Пифагора используйте для нахождения длины гипотенузы (с) треугольника с знаменитыми величинами обоих катетов (a и b). Вам надобно построить их размеры в квадрат и сложить, а из получившегося итога извлеките квадратный корень: c = ?(a?+b?).

Совет 9: Как обнаружить синус, зная угол

Одной из фундаментальных основ точных наук является представление о тригонометрических функциях. Они определяют примитивные отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Обнаружить его, зная угол, дозволено огромным числом методов, включающих экспериментальные, вычислительные способы, а также применение справочной информации.

Инструкция

1. Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для приобретения надобных значений на основании познания угла. Сходственный функционал сегодня имеют даже самые примитивные устройства. При этом вычисления производятся с дюже высокой степенью точности (как водится, до восьми и больше знаков позже запятой).

Если в прямоугольном треугольнике есть острый угол в 30 градусов, то наоборот него лежит катет, длина которого в 2 раза поменьше длины гипотенузы.

Как найти гипотенузу если известен катет и синус угла

Как найти гипотенузу: 4 способа поиска ответа

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

С = √ (а 2 + в 2 ), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция — синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о прОТиволежащем угле, то нужно использовать сИНус, если — о прИЛежащем, то кОСинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары О-и или И-о.

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

С = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

Из второго уравнения видно, что у 2 = 73 — 4х 2 . Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 — 4х 2 ) + х 2 = 52.

292 — 16 х 2 + х 2 = 52 или 15х 2 = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

У 2 = 73 — 4(4) 2 = 73 — 64 = 9.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

Ответ: гипотенуза равна 10.

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

как найти гипотенузу если известен катет и синус угла

poiskvstavropole.ru

Как найти катет через синус в прямоугольном треугольнике

Функции государства — это основные направления деятельности государства по решению стоящих перед ним целей и задач. Именно в функциях проявляется сущность конкретного государства, его природа и социальное назначение. Содержание функций показывает, что делает данное государство, чем.

Как найти катет в прямоугольном треугольнике?

Это смотря какие данные нам даны для решения.

Например есть теорема Пифагора:

Отсюда можно найти катет, зная длину гипотенузы и второго катета:

Также находим и b:

Ещё можно найти катет через тригонометрические функции, то есть зная угол через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы и т. д.

Если представить треугольник как вписанный в круг, то зная угол и размер гипотенузы можно найти катеты.

В рассматриваемом треугольнике, вписанном в круг, гипотенуза будет радиусом круга и приравнивается к 1 (к единице). А катеты — это синус и косинус, они меньше единицы.

Допустим зная угол α можно вычислить sin(α) и cos(α).

Синус соответствует вертикальному катету, а косинус горизонтальному.

Теперь, чтобы найти длины этих катетов, нужно перевести их из коэффициентов, которые меньше единицы, в реальные длины. Для этого их нужно домножить на длину гипотенузы:

Y — вертикальный катет, а X — горизонтальный катет (см. картинку) a Z — гипотенуза, то:

Можно найти катет и зная лишь длину второго катета, а также угол.

Допустим знаем Y и угол α.

Тогда запросто находим гипотенузу, выражая её из предыдущей формулы:

А затем уже находим второй катет: X=Z*cos(α)

Если же наоборот знаем только X катет (горизонтальный, относительно приведённого рисунка), то находим гипотенузу так:

А затем уже находим катет Y: Y=Z*sin(α)

Обозначим неизвестный искомый катет как a. Рассмотрим несколько вариантов.

А) Если известны гипотенуза (c) и другой катет (b), то искомый катет находится по теореме Пифагора:

Sqrt — это квадратный корень

^ — знак возведения в степень.

Б) Если известны гипотенуза (c) и острый угол, противолежащий нашему искомому катету (угол A), то искомый катет находится по формуле:

В) Если известны гипотенуза (c) и острый угол, прилежащий к нашему искомому катету (угол B), то искомый катет находится по формуле:

Г) Если известны другой катет (b) и острый угол, противолежащий нашему искомому катету (угол A), то искомый катет находится по формуле:

Д) Если известны другой катет (b) и острый угол, прилежащий к нашему искомому катету (угол B), то искомый катет находится по формуле:

Е) Если известны другой катет (b) и площадь треугольника (S), то искомый катет находится по формуле:

Найти катет в прямоугольном треугольнике можно различными способами (все зависит от исходных данных).

Получаем, что a²+b²=c², отсюда a=√(c²-b²) и, наоборот, b=√(c²-a²)

    Если известны углы (или один из углов) между катетами a и c, b и c, то с помощью тригонометрии (по определению синуса, косинуса, тангенса) можно определить и требуемый катет в треугольнике. Очень запоминающаяся теорема для прямоугольных треугольников гласит, что

Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Как найти катет через синус в прямоугольном треугольнике

Совет 1: Как обнаружить гипотенузу, зная катет и угол

Знаменито много видов треугольников: положительный, равнобедренный, остроугольный и так дальше. Все они владеют классическими лишь для них свойствами и у всякого свои правила нахождения величин, будь это сторона либо угол при основании. Но из каждого многообразия этих геометрических фигур в отдельную группу дозволено выделить треугольник с прямым углом.

    Чистый лист, карандаш и линейка для схематического изображения треугольника.

Инструкция

1. Треугольник именуется прямоугольным, если один из его углов равен 90 градусов. Он состоит из 2-х катетов и гипотенузы. Гипотенузой называют крупную сторону этого треугольника. Она лежит вопреки прямого угла. Катетами, соответственно, называют меньшие его стороны. Они могут быть как равны между собой, так и иметь различную величину. Равенство катетов обозначает, что вы трудитесь с равнобедренным прямоугольным треугольником. Прелесть его в том, что он объединяет в себе свойства 2-х фигур: прямоугольного и равнобедренного треугольника. Если катеты не равны, то треугольник произвольный и подчиняется основному закону: чем огромнее угол, тем огромнее лежащий наоборот него катит.

Совет 2: Как обнаружить гипотенузу по катету и углам

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При вестимом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.

Совет 3: Как обнаружить прилежащий катет

Слово «Катет » происходит от греческих слов «перпендикуляр» либо «отвесный» — это поясняет, отчего именно так назвали обе стороны прямоугольного треугольника, составляющие его девяностоградусный угол. Обнаружить длину всякого из Катет ов несложно, если знаменита величина прилегающего к нему угла и еще какой-нибудь из параметров, потому что в этом случае реально станут знамениты величины всех 3 углов.

Инструкция

1. Если помимо величины прилегающего угла (β) вестима длина второго Катет а (b), то длину Катет а (a) дозволено определить как частное от деления длины знаменитого Катет а на тангенс вестимого угла: a=b/tg(β). Это вытекает из определения этой тригонометрической функции. Дозволено обойтись без тангенса, если воспользоваться теоремой синусов. Из нее следует, что отношение длины желанной стороны к синусу противолежащего угла равно отношению длины вестимого Катет а к синусу знаменитого угла. Противолежащий желанному Катет у острый угол дозволено выразить через знаменитый угол как 180°-90°-β = 90°-β, потому что сумма всех углов всякого треугольника должна составлять 180°, а по определению прямоугольного треугольника один из его углов равен 90°. Значит, желанную длину Катет а дозволено вычислить по формуле a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Совет 4: Что такое катет

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно обозначает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами именуются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона именуется гипотенузой. Термин «катет» используется также в архитектуре и спецтехнологии сварочных работ.

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника связаны между собой определенными отношениями. Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе именуется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус — это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения именуются секансом и косекансом. Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее дозволено по формуле secCAB=1/cosSAB. Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCABОба катета связаны между собой тангенсом и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a. Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий математик Пифагор. Теоремой, названной его именем, люди пользуются до сего времени. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, всякий катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и иного катета. Эту формулу дозволено записать как b=?(с2-а2). Длину катета дозволено выразить и через знаменитые вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Дозволено его выразить и через тангенс либо котангенс. Катет а дозволено обнаружить, скажем, по формуле a = b*tan CAB. Верно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса либо котангенса, определяется и 2-й катет. В архитектуре также применяется термин «катет». Он используется по отношению к ионической капители и обозначает отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином обозначается перпендикуляр к заданной линии. В спецтехнологии сварочных работ есть представление «катет углового шва». Как и в иных случаях, это самое короткое расстояние. Тут речь идет о интервале между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности иной детали.

Работая с теоремой Пифагора, не забывайте, что вы имеете дело со степенью. Обнаружив сумму квадратов катетов, для приобретения окончательного результата следует извлечь квадратный корень.

Как найти катет через синус в прямоугольном треугольнике

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие Равенства:

Значит Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение Гипотенузы и Синуса угла, Противолежащего этому катету, либо и Косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить Гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, Гипотенуза будет Частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус Прилежащего к катету Угла.

Значит, Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на Тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на Котангенс угла, прилежащего к первому катету.

как найти катет через синус в прямоугольном треугольнике

poiskvstavropole.ru

самые простые и запоминающиеся формулы для учеников

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?Как известно, геометрия – непростая наука, требующая особой аккуратности и точности в решении задач. Многие выражения и формулы, которые мы впоследствии используем в более сложных вычислениях, изложены в учебниках по математике 6-7 класса. Чтобы сделать процесс изучения тригонометрических функций более простым и приятным, в этой статье мы рассмотрим несколько коротких способ вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника.

Как найти гипотенузу по катетам?

Реклама

Вспомним немного теории: прямоугольным треугольником называют плоскую фигуру, у которой есть три угла. Один из них имеет величину 90º, а стороны называют катетами и гипотенузой. Та сторона, которая противолежит прямому углу, и есть гипотенуза, а остальные две – это прилежащие катеты. Главная игра сторон проявляется в теореме Пифагора, согласно которой гипотенуза равняется сумме квадратов катетов. Однако это лишь кажется запутанным, ведь на самом деле все гораздо проще.

Свойства геометрической фигуры

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?

Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:

  1. В прямоугольном треугольнике оба острых угла в сумме будут равны 90º.
  2. Катет, лежащий против угла в 30º, будет равен ½ от величины гипотенузы.
  3. Если катет равен ½ от значения гипотенузы, тогда второй угол будет иметь такую же величину – 30º.

Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В. Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза. Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?

Например, если катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тогда вычисление будет иметь следующий вид:

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?

Как найти гипотенузу через угол?

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?

Еще одним способом, который поможет узнать, чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, является вычисление через заданный угол. Для этого нам потребуется вывести величину через формулу синуса. Допустим, нам известна величина катета (А) и значение противолежащего угла (α). Тогда все решение заключается в одной формуле: С=А/sin(α).

Например, если длина катета 40 см, а угол составляет 45°, тогда длину гипотенузы можно вывести следующим образом:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?

Определить искомую величину можно также через косинус заданного угла. Допустим, нам известно значение одного катета (В) и острого прилежащего угла (α). Тогда для решения задачи понадобится одна формула: С=В/ cos(α).

К примеру, если длина катета имеет значение 50 см, а угол составляет 45°, тогда гипотенузу можно вычислить следующим образом:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике?

Таким образом, мы рассмотрели основные способы как узнать гипотенузу в треугольнике. В ходе решения задания важно сконцентрировать внимание на имеющихся данных, тогда найти неизвестную величину будет достаточно просто. Необходимо знать всего пару формул и процесс решения задач станет простым и приятным.

otvetkak.ru

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

Как найти,

гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.

Формулы для прямоугольного треугольника

 

a, b - катеты

c - гипотенуза

α, β - острые углы

 

Формулы для катета, (a):

Формулы катета прямоугольного треугольника

 

Формулы для катета, (b):

Формулы катета прямоугольного треугольника

 

 

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы гипотенузы прямоугольного треугольника

формула гипотенузы прямоугольного треугольника

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

Формула стороны по теореме Пифагора

 

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b - сторона (основание)

a - равные стороны

α - углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

 

Формулы длины равных сторон , (a):

Формулы длины равных сторон

Формулы длины равных сторон

 

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как найти неизвестную сторону треугольника

 

 

a, b, c - стороны произвольного треугольника

α, β, γ - противоположные углы

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

Формула стороны треугольника по теореме косинусов

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

 

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Формула стороны по теореме синусов

 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольникеH - высота из прямого угла

a, b - катеты

с - гипотенуза

c1 , c2 - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β - углы при гипотенузе

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через стороны

 

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через катет и угол

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется - ортоцентр.

 

Найти длину высоты треугольникаH - высота треугольника

a - сторона, основание

b, c - стороны

β, γ - углы при основании

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

R - радиус описанной окружности

S - площадь треугольника

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через стороны

 

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус

 

 

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

 

Длина медианы прямоугольного треугольника

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы

 

 

Формула длины через катеты, (M):

Формула медианы через катеты

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Формула медианы через катет и острый угол

 

 

Медиана - отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

Найти длину медианы треугольника по формулам

 

M - медиана, отрезок |AO|

c - сторона на которую ложится медиана

a, b - стороны треугольника

γ - угол CAB

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через три стороны

 

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

Найти медиану биссектрису высоту равностороннего треугольника

 

L - высота=биссектриса=медиана

a - сторона треугольника

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника

 

 

Калькулятор - вычислить, найти медиану, биссектрису, высоту

 

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

L - высота = биссектриса = медиана

a - одинаковые стороны треугольника

b - основание

α - равные углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника

 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через катеты

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

Биссектриса из острого угла прямоугольного треугольника

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и угол

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и угол

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

Формула биссектрисы из острого угла прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

 

Найти длину биссектрисы в треугольнике

L- биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b - стороны треугольника

с - сторона на которую опущена биссектриса

d, e - отрезки полученные делением биссектрисы

γ - угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через две стороны и угол

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

 

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

www-formula.ru

Как найти гипотенузу - Pronto

Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а противоположная ему сторона называется гипотенузой. Гипотенузу можно найти различными способами. Эта статья расскажет вам, как найти гипотенузу по теореме Пифагора, по теореме синусов и в некоторых частных случаях.

1-й способ Теорема Пифагора

Как найти гипотенузу

Теорема Пифагора связывает все стороны прямоугольного треугольника. Она утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» и гипотенузой «с»: a2 + b2 = c2.

Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.

Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата.

Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты – стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу – как «с» (гипотенуза – самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла). Затем подставьте данные вам значения в формулу.

Например, катеты треугольника равны 3 и 4. В этом случае а = 3, b = 4, а формула выглядит так: 32 + 42 = c2.

Возведите в квадрат значения катетов («a» и «b»). Для этого просто умножьте число само на себя:Если a = 3, то a2 = 3 x 3 = 9. Если b = 4, то b2 = 4 x 4 = 16.

Подставьте эти значения в формулу: 9 + 16 = с2.

Сложите найденные квадраты катетов (a2 и b2), чтобы вычислить квадрат значения гипотенузы (с2).

В нашем примере 9 + 16 = 25, поэтому с2 = 25.

Используйте калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень из найденного значения. Так вы вычислите гипотенузу треугольника.

В нашем примере с2 = 25. Квадратный корень из 25 равен 5 (так как 5 х 5 = 25, поэтому √25 = 5). Это означает, что гипотенуза с = 5.

2-й способ Частные случаи

Как найти гипотенузу

Определение пифагоровой тройки. Пифагорова тройка – это три числа (длины трех сторон), которые удовлетворяют теореме Пифагора. Очень часто треугольники с такими сторонами приводятся в учебниках и на тестах. Если вы запомните первые несколько пифагоровых троек, вы сэкономите много времени на тестах или экзаменах, потому что сможете вычислить гипотенузу, просто взглянув на длины катетов.

Первая пифагорова тройка: 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Если дан треугольник с катетами 3 и 4, то вы можете с уверенностью заявить, что гипотенуза равна 5 (без необходимости делать какие-либо расчеты).

Пифагоровы тройки работают даже в том случае, когда числа умножены или разделены на один коэффициент. Например, если катеты равны 6 и 8, гипотенуза равна 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). То же самое верно для 9-12-15 и даже для 1,5-2-2,5.

Вторая пифагорова тройка: 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Также к этой тройке относятся, например, числа 10-24-26 и 2,5-6-6,5.

Равнобедренный прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, углы которого равны 45,45 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:1:√2. Это означает, что гипотенуза в таком треугольнике равна произведению катета и квадратного корня из 2.

Чтобы вычислить гипотенузу такого треугольника, просто умножьте длину любого катета на √2.

Это соотношение особенно удобно, когда в задачах вместо числовых значений даются переменные.

Половина равностороннего прямоугольного треугольника. Это такой треугольник, углы которого равны 30,60 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:√3:2 или х:х√3:2х. Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике выполните одно из следующих действий:

Если вам дан короткий катет (противолежащий углу в 30 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 8.

Если вам дан длинный катет (противолежащий углу в 60 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2/√3, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 4,62.

3-й способ Теорема синусов

Как найти гипотенузу

Синус, косинус и тангенс угла – это основные тригонометрические функции, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Синус угла (sin) равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе.

Чтобы вычислить синус, на калькуляторе найдите клавишу «sin», нажмите ее, а затем введите значение угла. В некоторых калькуляторах сначала нужно нажать клавишу перехода к работе с функциями, а затем нажать клавишу «sin». Поэтому поэкспериментируйте с калькулятором или проверьте его документацию.

Чтобы найти синус угла в 80 градусов, нажмите «sin», «8», «0», «=» или нажмите «8», «0», «sin», «=» (ответ: -0,9939).

Вы также можете найти онлайн-калькулятор, введя в поисковике «вычисление синуса».

Теорема синусов является полезным инструментом для вычисления углов и сторон любого треугольника. В частности, она поможет вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам дан катет и угол, отличный от прямого. Терема синусов утверждает, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c и углами A, B, C верно равенство a / sin A = b / sin B = c / sin С.

Закон синусов применяется к любым треугольникам, а не только к прямоугольным (но только в прямоугольном треугольнике есть гипотенуза).

Обозначьте стороны треугольника через «а» (известный катет), «b» (неизвестный катет), «с» (гипотенуза). Затем обозначьте углы треугольника через «А» (напротив катета «а»), «В» (напротив катета «b»), «С» (напротив гипотенузы).

Найдите третий угол. Если вам дан один из острых углов прямоугольного треугольника (А или В), а второй угол всегда равен 90 градусам (С = 90), то третий угол вычисляется по формуле 180 — (90 + А) = B (помните, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам).

Например, если угол A = 40 градусам, то B = 180 — (90 + 40) = 180 – 130 = 50 градусов.

На данном этапе вам известны значения всех трех углов и длина катета «а». Теперь вы можете подставить эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти две другие стороны.

В нашем примере допустим, что катет а = 10, а углы равны C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.

Подставьте данные и найденные значения в теорему синусов, чтобы найти гипотенузу: катет «а»/синус угла «A» = гипотенуза «с»/синус угла «С». При этом sin 90˚ = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: а/sinA = с/1 или с = а/sinA.

Разделите длину катета «а» на синус угла «А», чтобы найти длину гипотенузы. Для этого сначала найдите синус угла, а затем выполните деление. Или вы можете воспользоваться калькулятором, введя 10/(sin40) или 10/(40sin) (не забудьте про скобки).

В нашем примере sin 40 = 0,64278761, а с = 10/0,64278761 = 15,6.

pronto-costo.info



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"