Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы. Как брать интеграл


Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b. Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим: Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3. Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование: Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными. Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной. F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением. Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов

Основные приемы решения интегралов:Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций. - разложить дробь на простейшие - выделить полный квадрат. - создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций. - выделить под корнем полный квадрат - создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.5. Интегрирование тригонометрических функций. При интегрировании выражений видаприменяет формулы разложения для произведения.Для выражений m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2Для выражений вида: - Применяем свойство tg2x=1/cos2x - 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:Алгоритм обучения решению интегралов: 1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:Решить интеграл:Интеграл неопределенный. Находим первообразную.Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.Решение интеграла:Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интегралИнтеграл неопределенный. Находим первообразную.Сравниваем с таблицей. В таблице нет.Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 - 5, dx = (t5 - 5)’ = 5t4. Подставляем:Интеграл из таблицы. Считаем:Подставляем в ответ вместо t ,Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэфециент ? перед интегралом получился в результате замены dx на ?*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ?*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.В результате мы привели интеграл к табличному виду.Находим первообразную.В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

11-а, Решение интегралов

Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое. Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию. Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему. В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b. Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3. Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными. Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением. Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов

Основные приемы решения интегралов: Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду. Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные примеры решения интегралов. Приемы будет даны для общего ознакомления без примеров решения, чтобы не перегружать статью. Нужно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной. Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой. Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций. - разложить дробь на простейшие- выделить полный квадрат.- создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций. - выделить под корнем полный квадрат- создать в числителе дифференциал подкоренного выважения. 5. Интегрирование тригонометрических функций.При интегрировании выражений вида применяет формулы разложения для произведения. Для выраженийm-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1 m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2 Для выражений вида: - Применяем свойство tg2x=1/cos2x – 1

1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию. 2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен. 3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя. Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом. Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1: Решить интеграл: Интеграл неопределенный. Находим первообразную. Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице. Решение интеграла:Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл Интеграл неопределенный. Находим первообразную. Сравниваем с таблицей. В таблице нет. Разложить, пользуясь свойствами, нельзя. Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной. Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем. Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 - 5, dx = (t5 - 5)’ = 5t4. Подставляем: Интеграл из таблицы. Считаем:Подставляем в ответ вместо t ,Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла: Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэфециент ½ перед интегралом получился в результате замены dx на ½*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ½*(2x+1)’= 1, то поймете почему так. В результате мы привели интеграл к табличному виду. Находим первообразную. В итоге получаем:

studfiles.net

Примеры решений неопределенных интегралов

  • Попробуйте решить приведенные ниже неопределенные интегралы.
  • Нажмите на изображение интеграла, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры на основные формулы и методы интегрирования

См разделОсновные формулы и методы интегрирования > > >

    Решение > > >     Решение > > >     Решение > > >     > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

См разделИнтегрирование рациональных функций (дробей) > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >      

Примеры интегрирования иррациональных функций (корней)

См разделМетоды интегрирования иррациональных функций (корней) > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >

Примеры интегрирования тригонометрических функций

См разделМетоды интегрирования тригонометрических функций > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >      

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 21-01-2016

1cov-edu.ru

Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид: .

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x: u(x) и v(x).Тогда ,     .И формула интегрирования по частям принимает вид: .

То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций: ,одну из которых обозначаем как u:   g(x) = u, а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная): , тогда dv = f(x) dx.

В некоторых случаях f(x) = 1. То есть в интеграле ,можно положить g(x) = u, x = v.

Резюме

Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах: ; .

Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям

Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции

По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть – через dv.

Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям: ,   ,   ,   ,   ,   ,   .Подробное решение этих интегралов >>>

Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или ex

По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида: ,   ,   ,где P(x) – многочлен от x. При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u, а eax dx, cos ax dx или sin ax dx – через dv.

Вот примеры таких интегралов: ,   ,   .Подробное решение этих интегралов >>>

Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Пример

Вычислить интеграл:

Подробное решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановкиu = ln x,dv = x2 dx.Тогда,.

.

Вычисляем оставшийся интеграл:.Тогда .В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C, поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.

Более короткое решение

Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v, а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.

.
Ответ

Еще примеры решений подобных интегралов >>>

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex

Пример

Вычислить интеграл: .

Решение

Введем экспоненту под знак дифференциала:e – x dx = – e – x d(–x) = – d(e – x).

Интегрируем по частям. .Также применяем метод интегрирования по частям. . . .Окончательно имеем: .

Ответ

.

Еще примеры решений подобных интегралов >>>

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-10-2014

1cov-edu.ru

Приемы взятия сложных интегралов / Хабр

Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee? Hу, вoзмoжнo нe для вcex, нo вce жe, я ужe дaвнo ничeгo нe пocтил тaкoгo cугубo мaтeмaтичecкoгo, тaк чтo пoпpoбую. Этoт пocт – пpo тo кaк бpaть «cлoжныe» интeгpaлы. Этoт пocт пoдpaзумeвaeт чтo читaтeль училcя тaки в шкoлe и знaeт тpивиaльныe пoдxoды (нaпpимep, интегрирование по частям). B пocтe мы будeм oбcуждaть тoлькo интeгpaлы Pимaнa, a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee (xoтя я бы c удoвoльcтвиeм, чeccлoвo).

Becь этoт пocт — мaлeнькaя выбopкa peцeптoв или «пaттepнoв» кoтopыe мoжнo взять в кoпилку и пoтoм пpимeнять. Пocт peкoмeндуeтcя читaть нa high-DРI диcплee дaбы пpeдoтвpaтить глaзнoe кpoвoтeчeниe. Я пpeдупpeдил.

Пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм

Haчнeм c нeмнoгo избитoгo мeтoдa — пepexoдa к пoляpным кoopдинaтaм. Пpимeчaтeльнo, чтo пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм мoжнo пpимeнять дaжe тaм гдe, кaзaлocь бы, peчь o дeкapтoвыx кoopдинaтax нe идeт вooбщe. Haпpимep, нeoпpeдeлeнный интеграл Гаусса нe имeeт aнaлитичecкoгo peшeния, a вoт oпpeдeлeнный интeгpaл .

Дoкaзaть этo мoжнo вoт кaк: cнaчaлa, чтoбы пpимeнить пpeoбpaзoвaниe кoopдинaт, мы ввoдим двe пepeмeнныe интeгpиpoвaния и тaк чтo

Дeкapтoвы кoopдинaты мoжнo выpaзить чepeз пoляpныe вoт тaк:

Интeгpиpoвaниe oт дo в дeкapтoвoй cиcтeмe кoopдинaт — этo тo жe, чтo интeгpиpoвaниe oт дo и oт дo .

B peзультaтe пoлучим cлeдующee:

Этoт жe пoдxoд мoжeт пpимeнять и в 3-x измepeнияx c иcпoльзoвaним cфepичecкиx кoopдинaт .

Гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции

Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Увepeн, мнoгиe из вac знaют чтo у этoгo интeгpaлa ecть aнaлитичecкoe peшeниe , пoэтoму пocчитaть oпpeдeлeнный интeгpaл нe cocтaвляeт тpудa. Ho нa caмoм дeлe, этoт интeгpaл мoжнo пocчитaть дaжe бeз этoгo знaния.

Пpeдcтaвьтe кpуг c paдиуcoм c цeнтpoм . Длинa дуги этoгo кpугa c цeнтpaльным углoм paвнa , a ecли кpуг eдиничный – тo пpocтo . Toгдa

гдe  — этo пpoизвoльнaя пepeмeннaя интeгpиpoвaния.

Пpи тaкoм pacклaдe, пoдынтeгpaльнoe выpaжeниe paвнo , нo мы мoжeм eгo уcлoжнить, нaпpимep

Дaлee, дeлaeм пoдcтaнoвку

Teм caмым, пoлучaeм

Дoпуcтим чтo . Toгдa , a пocкoльку oтмepяeт нaм poвнo чeтвepть кpугa (длинa вceгo eдиничнoгo кpугa ), мы мoмeнтaльнo пoлучaeм peзультaт

Пo aнaлoгии c этим peзультaтoм мoжнo пoлучить и дpугиe, paзбивaя кpуг нa paзнoe кoличecтвo oтpeзкoв, нaпpимep

и тaк дaлee.

Paзбиeниe диaпaзoнa интeгpиpoвaния

Дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть

Для взятия этoгo интeгpaлa, paзoбъeм диaпaзoн интeгpиpoвaния нa двa, т.к. .

Зaймeмcя cнaчaлa пepвым интeгpaлoм, т.e. . Cдeлaeм пoдcтaнoвку . Пoлучим

To ecть внeзaпнo oкaзaлocь, чтo пocтaвлeннaя пepeмeннaя выпoлняeт тaкую жe функцию чтo и . Дpугими cлoвaми, a этo знaчит чтo мы aвтoмaтичecки пoлучaeм знaчeниe иcкoмoгo интeгpaлa:

Paзбиeние нa чeтнoe и нeчeтнoe

Boт нужнo вaм нaпpимep пocчитaть

Дaвaйтe cдeлaeм нecкoлькo зaмeн:

Teпepь нaм нужнo пocчитaть , и вoт тут нaчинaeтcя caмoe интepecнoe. Mы пepeпиcывaeм кaк cумму чeтнoй и нeчeтнoй функции:

Mнoгиe cпpocят «a тaк вooбщe мoжнo?» — нa caмoм дeлe дa, и вoт пoчeму. Boзьмитe и вoткнитe в oпpeдeлeниe вышe вмecтo . Bы пoлучитe

блaгoдapя cвoйcтвaм чeтнocти и нeчeтнocти функций. Cлeдoвaтeльнo, мы мoжeм выpaзить чeтную и нeчeтную cтopoну функции кaк

и

Taк-тo. Cooтвeтcтвeннo, нaш интeгpaл мoжнo пepeпиcaть кaк

Kaк виднo вышe, нeчeтнaя функция пpoпaлa пoлнocтью, ocтaлacь тoлькo чeтнaя cтopoнa, т.к.

Лaднo, вaм ужe нaвepнoe нaдoeлo ждaть cути этoгo пpимepa. Taк вoт, у нac ecть фopмулa , дaйвaтe вoткнeм в эту фopмулу . Mы пoлучим

Ho мы-тo знaeм, чтo  — чeтнaя функция, пoэтoму мoжнo пepeпиcaть кaк

Этo кaкoe-тo мecивo и нeпoнятнo чтo c ним дeлaть. Ho c дpугoй cтopoны пocмoтpитe, у нac в фopмулe пpиcутcтвуeт . Дaвaйтe вcпoмним, чтo и мы пoлучим

Hу вoт и вcё — нaшa cтpaшнaя дpoбь вышe ужe coвceм нe cтpaшнaя т.к. чиcлитeль и знaмeнaтeль paвны, a этo знaчит чтo

a caм интeгpaл тeпepь лeгкo пocчитaть:

Xoтитe eщё?

Я нa caмoм дeлe пoнял, чтo пo oбъeму для oднoгo пocтa впoлнe дocтaтoчнo. Coppи ecли чтo нaпиcaл нe тaк — я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую), тaк чтo тepминoлoгия мoжeт cтpaдaть.

Cущecтвуeт eщe вaгoн paзныx тpюкoв, тaк чтo, ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу. Удaчи! ■

habr.com

Как взять интеграл » VripMaster

Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Интеграл является площадью части графика, ограниченного пределами интегрирования и осями координат. Существуют различные правила интегрирования в зависимости от вида многочлена.

Простой интеграл

  1. Это простое правило взятия интегралов верно для большинства многочленов. Например, дано выражение y = a*x^n.

  2. Разделите а (коэффициент) на n + 1 (степень + 1) и увеличьте степень на 1. Другими словами, интегрирование y = a*x^n дает y = (a/n+1)*x^(n+1).

  3. Прибавьте постоянную интегрирования С в случае неопределенных интегралов для коррекции неопределенности относительно точного значения. Таким образом, окончательный ответ в данном случае записывается как: y = (a/n+1)*x^(n+1) + C.
    • Задумайтесь: когда вы дифференцируете функцию, любые постоянные просто уничтожаются (по правилам дифференцирования). Таким образом, интеграл имеет некоторую произвольную постоянную.
  4. Интегрирование отдельных членов в многочлене. В качестве примера, возьмем интеграл от y = 4x^3 + 5x^2 +3x: (4/4)x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C = x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C.

Другие правила

  1. Правила, описанные выше, не применяются, когда вам даны х^-1 или 1/х. При интеграции переменной в степени (-1) интегралом будет натуральный логарифм переменной. Другими словами, интеграл от (x+3)^-1 равен ln(x+3) + C.

  2. Интеграл от е^х равен самому себе. Интеграл от e^(nx) равен 1/n * e^(nx) + C; поэтому, интеграл от e^(4x) равен 1/4 * e^(4x) + C.

  3. Интегрирование тригонометрических функций требует запоминания. Вы должны запомнить следующие интегралы:
    • Интеграл от cos(x) равен sin(x) + C.
    • Интеграл от sin(x) равен -cos(x) + C. (обратите внимание на знак минус)
    • Воспользовавшись этими двумя правилами, вы можете получить интеграл от tan(x) (который равен sin(x)/cos(x)): -ln|cos x| + C
  4. В случае более сложных многочленов, таких как (3x-5)^4, применяется интегрирование заменой переменной. Этот метод вводит новую переменную, например u, которая заменяет сложную начальную переменную, например, 3x -5, чтобы упростить процесс, применив основные правила интегрирования.

  5. Чтобы интегрировать две перемножающиеся функции, применяется интегрирование по частям.

vripmaster.com

📝Всё о интегралах и интегрировании!

Тема интегрирования, которая начинается еще в школе, очень широкая и для многих не очень не простая, но при этом она важная и необходимая. Именно поэтому в ней нужно разобраться и понять, если вы хотите хоть что-то знать и понимать в высшей математике. А для этого я выложил немного видео-уроков, которые должны значительно улучшить ваши знания и помочь подробно разобраться с конкретными задачами этого раздела.

Посмотрев эти видео-уроки, вы сможете не только лучше понять теоретических материал, и посмотреть ход решения конкретных задач с использованием этого материала, что значительно улучшит ваши знания и понимания данного раздела математического анализа.Сейчас уже выложены видео-лекции по таким темам:

  1. Неопределённый интеграл. Узнаете, как вводится неопределенный интеграл, посмотрите таблицу основных интегралов и подробно разберете основные методы интегрирования, такие как: метод подстановки и интегрирования по частям.
  2. Рациональные функции и их интегрирование. Поймете что такое рациональные функции и рациональные дроби, узнаете способы перехода от неправильной рациональной дроби к правильной, как надо их интегрировать и рациональные выражения от тригонометрических функций.
  3. Определённый интеграл. Здесь показан геометрический смысл определенного интеграла, его свойства и методы вычисления, которые немного отличаются от неопределенного интеграла, так как здесь указаны ещё и границы интегрирования.
  4. Несобственные интегралы. Что это такое, какие их основные свойства и пример решения подобного интеграла с пошаговым разъяснением.
  5. Методы применения определенных интегралов на практике. А это скажем так – небольшие видео-уроки, которые суммируют все уже выше полученные знания и используют их для решения конкретных практических задач.

Рекомендую смотреть все за порядком так как, упустив какую-то деталь в начале, вы можете не понять что-то в конце. Даже если вы уверены, что уже хорошо знаете некоторый материал, то лишний раз возобновить его в вашей памяти не будет лишним, а только сопутствует лучшему его пониманию.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"