7. Учет погрешности в записи окончательного результата измерения. Измерение с учетом погрешности


Лабораторная работа №1 «Расчет погрешности и определение точности измерений»

РЕКОМЕНДОВАНО

Методическим советом

Протокол заседания

от_­­­­­_______20__ №____

 

Зам. директора по УМНР

____________О.Б. Кузнецова

Аннотация

В соответствии с отведенными, учебным планом ППССЗ по специальности 090201 Компьютерные системы и комплексы, часами (10 часов) и рабочей программы учебной дисциплины ОП.06 «Метрология, стандартизация и сертификация» методическое пособие содержит пять лабораторных работ. Обучающиеся, в процессе выполнения и защиты лабораторных работ приобретают умения и знания в области метрологии, стандартизации и сертификации, а также осваивают общие и профессиональные компетенции в соответствии с требованиями ФГОС СПО.

 

 

Автор: Давыдова А.И.

Рецензенты:

(Фамилия И. О.)

(подпись)

 

 

Лабораторная работа №1 «Расчет погрешности и определение точности измерений»

 

1. В соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ОП.06 «Метрология, стандартизация и сертификация» работа рассчитана на 2 часа.

2.Цель работы:

2.1 Ознакомится с сущностью, понятием погрешностей и порядком обработки результатов измерений.

2.2 Определить наиболее достоверное значение измеренных физических величин, с учетом обнаружения и исключения промахов из результата измерений.

2.3 Совершенствование навыков работы на ПК с использованием различных программных средств.

3. Теоретические сведения

3.1 Точность и погрешность измерений.

Точность измерения – это степень приближения результатов измерения к некоторому действительному значению физической величины. Чем меньше точность, тем выше погрешность и чем меньше погрешность, тем выше точность.

Измерение можно считать законченным, если найден не только результат измерения, но и проведена оценка его погрешности. Понятие “погрешность” содержит в себе понятия “погрешность результата измерения” и “погрешность средства измерения”.

Погрешностью результата измерения называют отклонение найденного значения от истинного значения измеряемой величины. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то при количественной оценки погрешности пользуются действительным значением физической величины.

Это значение находят экспериментально и настолько близко к истинному значению, что может быть использовано вместо него.

Абсолютной погрешностью Δ, выражаемой в единицах измеряемой величины, называют отклонение результата измерения Х от истинного значения. Δ = Х - Хи

Относительной погрешностью δ, называют отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:δ = Δ / Хи

Относительную погрешность часто выражают в процентах: δ = Δ / Хи 100%

Приведенной погрешностью γ, выражающей потенциальную точность измерений, называют отношение абсолютной погрешности Δ к некоторому нормирующему значению ХN (например к конечному значению шкалы): γ = Δ / ХN 100%

По характеру (закономерности) проявления погрешности делятся на: систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематические погрешности Δс – составляющие погрешности измерений, сохраняющиеся постоянными или закономерно изменяющимися при многократных измерениях величины в одних и тех же условиях. Такие погрешности выявляют анализом их источников и уменьшают применением более точных приборов и калибровкой приборов с помощью рабочих мер и др.

Случайные погрешности Δсл – составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом по значению и знаку при повторных измерениях одной и той же физической величины в одних и тех же условиях. Случайная погрешность уменьшается при увеличении количества измерений.

Грубые погрешности (промахи) – погрешности, существенно превышающие ожидаемые результаты при данных условиях измерения. Они возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних воздействий. При однократном измерении грубую погрешность обнаружить нельзя. Её можно выявить только при многократных измерениях и исключают в процессе обработки измерений.

В метрологии при анализе погрешностей часто используют закон распределения погрешностей – нормальный закон распределения – закон Гаусса.

1 - Δ2 /2σ2

Для нормального закона распределения: р (Δ) = е

σ √2 π , где

р (Δ) – плотность вероятности случайной погрешности Δ = Х - Хи или Δ = Х – Хд

σ – среднеквадратическое отклонение погрешности характеризует точность измерения, чем меньше σ, тем выше точность измерения.

При нормальном законе распределения случайной погрешности за истинную величину Хи удобно применять среднее арифметическое значение (оно относится к дискретным случайным величинам, реально получаемых при n измерениях). Хср = Х1+ Х2 + Х3 +····+ Хn/n, где n-число измерений. В отличие от относительной и приведенной погрешностей абсолютная погрешность всегда имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Если выполнить к серий измерений в каждой серии проводилось n отдельных измерений и вычислить среднеарифметическое значение для каждой серии, то полученные для каждой серии среднеарифметические значения Хср1 , Хср2 , Хср3 ,…, Хсрn будут несколько различаться между собой. Эти средние значения будут отличаться от истинного значения Хи измеряемой величины на случайные величины и, следовательно, будут распределяться около Хи по закону Гаусса. Для получения представления о случайном разбросе среднего арифметического относительно точного значения Хи измеряемой величины нужно вычислить среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического. В теории погрешностей доказывается, что это отклонение в √n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения, т.е.

σ(хср) =√ Σ Δi2 / n (n - 1) ( Δi= Хi – Хиили Δi = Хi – Хд )

Для оценки рассеяния отдельных результатов измерения (Хi) относительно среднего арифметического значения результата измерения (Хср) среднеквадратическое отклонение (σ), определяют:

σ = √ Σ Δi2 / n , при n ≥ 20 ; σ = √ Σ Δi2 n - 1, при n < 20 .

Закон Стьюдента описывает плотность распределения вероятности среднего арифметического (р(tх)) и применяют при обработке небольшого числа результатов (n<20) и, он справедлив, когда плотность вероятности случайных погрешностей распределена по нормальному закону. tx- принято называть коэффициентом Стьюдента. tx = Δх/σср = (х - хи) / σ. При расчетах погрешностей задают некоторую доверительную вероятность ρд и число проводимых наблюдений n. Поэтому данный коэффициент обозначают через t(ρд, n).

Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности, не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интервалом, а характеризующую его вероятность – доверительной вероятностью.

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность надо умножить на коэффициент Стьюдента. Окончательный результат можно записать так:

Хизм = Хср + tх σХср

Значение коэффициента tх приведены в таблице 3.1

 

 

Таблица 3.1 Результаты коэффициента Стьюдента для разного количества измерений

  n ρ
0,5 0,8 0,95 0,98 0,99
1,0, 3,1 12,7 31,8 63,7
0,82 1,9 4,3 7,0 9,9
0,77 1,6 3,2 4,5 5,8
0,74 1,5 2,8 3,7 4,6
0,73 1,4 2,6 3,4 4,0
0,72 1,4 2,4 3,1 3,7
0,71 1,4 2,4 3,0 3,.5
0,71 1,4 2,3 2,9 3,4
0,70 1,4 2,3 2,8 3,3

 

Грубые погрешности измерений могут сильно исказить Хср, σ и доверительный интервал, поэтому исключение грубых погрешностей обязательно. Существует ряд критериев для оценки промахов.

Критерий 3σ (трех сигм). В этом случае уровень значимости критерия ошибки q = 0,003, маловероятен и его относят к грубым погрешностям, т.е. сомнительный результат хi отбрасывается, если |хср – хi| > 3 σ. Величины Хср и σ вычисляют без учета экспериментальных значений Хi . Данный критерий надежен при n ≥ 20.

При n < 20 применяют критерий Романовского, уровень значимостиβ = |Хср – Хi|/ σ. Полученное значение сравнивают со значением, полученным теоретически (βт) в зависимости от числа измерений (n) и выбираемой вероятности (Р) (см. табл. 3.2).

Таблица 3.2 Результаты вероятности для разного количества измерений

Р   n
0,01 1,73 2,16 2,43 2,62 2,75 2,90 3,08
0,02 1,72 2,13 2,37 2,54 2,66 2,80 2,96
0,05 1,71 2,1 2,27 2,41 2,52 2,64 2,78
0,1 1,69 2,17 2,29 2,39 2,49 2,62

 

Обычно Р находится в пределах 0,01 – 0,05, и если β ≥ βт , то результат отбрасывают.

При n < 10 используют критерий Шовине. В этом случае промахом считается результат Хi , при котором разность |Хср – Хi| в зависимости от числа измерений (n) превышает значения κ٠σ:

1,6 ٠σ при n = 3;

1,7 ٠σ при n = 6;

1,9 ٠σ при n = 8;

2 ٠σ при n = 10;

3.2 Правила округления результатов и погрешностей измерений.

Результат измерений выражается числом, содержащим значащие цифры, значащими считаются все цифры в числовом результате, в том числе и нуль, если он стоит в середине или в конце числа. Например, результат измерения напряжения (125 и 0,00125 В) содержит три значащих цифры, а (126,05 и 12 500 В) – пять значащих цифр.

Результат измерений, являясь приближенным значением, содержит некоторое количество верных знаков. Верными считаются те знаки, которые не вызывают сомнения в достоверности. Погрешность измерений позволяет определить те цифры, которые являются достоверными. Поэтому в результате измерений удерживать излишне большое число цифр, которые могут оказаться не достоверными нецелесообразно. Результат измерения, содержащий большое число цифр требуется округлять и соблюдать следующие правила округления.

1. В выражении погрешности удерживается не более двух значащих цифр, причем последняя цифра округляется до нуля или пяти.

Пример. Погрешность измерения тока составила 0,125 А., удерживая один знак, значение погрешности округляется до ± 0,1 А.

Погрешность измерения напряжения составила 0,152 В., удерживая два знака, значение погрешности округляется до ± 0,15 В.

2. Числовое значение результата измерения измерений должно оканчиваться цифрой или нулем того же десятичного знака, что и значение погрешности.

Пример. (125, 823 ± 0,15) В округляется до (125, 82 ± 0,15) В, где 125, 823 – результат измерения, а ± 0,15 В – погрешность измерения.

3. Если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя удерживаемая цифра не изменяется. Пример. (125, 721 ± 0,2) В округляется до (125, 7 ± 0,2) В.

4. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, то последняя удерживаемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. 25, 268 ± 0,4 округляется до 25,3 ± 0,4;

25, 253 ± 0,3 округляется до 25,3 ± 0,3 .

5. Если первая отбрасываемая цифра равна пяти и за ней не следует значащих цифр (или следуют только нули), то округление производится до ближайшего четного.

Пример. 26, 35 ± 0,3 округляется до 26,4 ± 0,3;

26, 45 ± 0,3 округляется до 26,4 ± 0,3;

26, 55 ± 0,3 округляется до 26,6 ± 0,3;

10, 550 ± 0,3 округляется до 10,6 ± 0,3;

10, 650 ± 0,3 округляется до 10,6 ± 0,3;

6. Округление результатов измерений производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления производят с одним – двумя лишними знаками.

 

3.3 Пример последовательности расчетов при обработке результатов многократных наблюдений.

Для определения наиболее достоверного значения измеряемого напряжения и уменьшения влияния случайных погрешностей выполнен в одинаковых условиях и одним и тем же прибором ряд повторных измерений (n = 10) напряжения (табл.3.3). Определить:

  1. Действительное значение величины измеряемого напряжения;
  2. Имеются ли в результатах измерений грубые ошибки (промахи).

3. Определить среднеквадратическое отклонение среднего арифметического, т.е. среднеквадратическую погрешность результата измерения σрез , доверительный интервал и записать результат измерения, используя вышеизложенные правила округления результата измерения и погрешности измерения.

 

Таблица 3.3 Результат достоверного значения измеряемого напряжения

Номер измерения
Показания единичного измерения (U, В) 149,52 150,48 152,13 151,36 150,25 150,64 149,87 150,75 153,32 152,08
Абсолютная погрешность единичного измерения - 1,52 - 0,56 +1,09 +0,32 - 0,79 - 0,40 - 1, 17 - 0,29 2,28 1,04

 

Решение.

1.Вычисляем среднее значение измеряемого напряжения, которое наиболее достоверно, принимаемое за действительное:

Uср.=∑Ui / n, где i – номер единичного измерения

Uср.149,52+150,48+152,13+151,36+150,25+150,64+149,87+150,75+153,32+153,32/10=151,04В

2.Находим абсолютную погрешность каждого измерения: ΔUi = Ui – Uср (алгебраически)

ΔU1 = U1 – Uср = 149,52 - 151,04 = - 1,52 В

ΔU2 = U2 – Uср = 150,48 - 151,04 = - 0,56 В

ΔU2 = U3 – Uср = + 1,09 В

ΔU2 = U4 – Uср = + 0,32 В

ΔU2 = U5 – Uср = - 0,79 В

ΔU2 = U6 – Uср = - 0,40 В

ΔU2 = U7 – Uср = - 1,17 В

ΔU2 = U8 – Uср = - 0,29 В

ΔU2 = U9 – Uср = + 2,28 В

ΔU2 = U10 – Uср = + 1,04 В

3. Проверяем правильность вычислений: для этого определяем сумму абсолютных погрешностей всех единичных измерений, которая должна быть равна нулю:

– (1,52 + 0,56 + 0,79 + 0,40 + 1,17 + 0,29) + ( 1,09 + 0,32 + 2,28 + 1,04) = 0

Проверка показала, что вычисления выполнены правильно.

4. Вычисляем среднеквадратическое отклонение погрешности σ, которое характеризует случайную погрешность единичного измерения:

 

σ = √ Σ ΔUi2 / n - 1 =

= √ ( 2,31+0,3136+1,188+0,1024+0,6241+0,160=1,369+0,084+5,198+1,082) / 10 - 1=1,166 В

С помощью критерия 3σ оценим отклонения единичного измерения Ui от среднего Uср. Если результаты измерений отклоняются от Uср больше чем на 3σ, то эти результаты не учитываются. В нашем примере 3σ = 3 ·1,166 = 3,5 и, как следует из табл. 1.4 ни одно из ряда измерений не отклоняется от Uср. = 151,04 В. Следовательно, грубых ошибок (промахов) в полученном ряде измерений нет.

5. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического (среднеквадратическую погрешность результата измерения σрез)

6. σрез =σ/√ n = 1,16/√10 = 0,366 В

Для количества измерений 2 < n < 20 при нормальном законе распределения для определения доверительного интервала нужно пользоваться коэффициентами Стьюдента t(ρ,n), который зависит от количества измерений n и задаваемой доверительной вероятностью ρ (табл. 3.1).

Для определения доверительного интервала среднеквадратическую погрешность σрез надо умножить на коэффициент Стьюдента t(ρ,n). Для рассматриваемого примера зададим доверительную вероятность ρ=0,95; n=10. Из табл. 3.1 находим t(ρ, n)=2.3, тогда доверительный интервал равен ± 2,3 σрез. Результат измерения можно записать так: Хизм = Хср ± 2,3хσрез.

Хизм = 151,04 ± (2,3х0,366) В =151,04 ± 0,84 В

 

4.Оснащение.Персональные компьютеры. Интернет ресурсы.

 

5. Задания.

Рассчитайте наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и уменьшения влияния случайных погрешностей выполненых в одинаковых условиях и одним и тем же прибором ряд повторных измерений (n = 10) (Таблица 5.1).

 

Таблица 5.1 Варианты заданий выполнения лабораторной работы

Вариант Единицы измерения Номер и результат измерения ρ
В 54,21 69,21 56,41 59,05 57,12 58,11 60,02 57,09 58,37 59,67 0,95
Гц 999,11 1001,07 998,12 1000,09 999,14 977,16 1003,09 993,18 998,04 998,17 0,99
нФ 450,80 497,40 490,71 492,24 495,32 501,12 498,17 500,34 493,14 489,08 0,8
мВт 49,52 50,61 48,75 50,06 52,16 48,18 50,22 49,09 47,31 38,82 0,95
мВ 59,01 63,03 57,37 60,03 59,04 58,11 62,51 61,11 50,06 60,02 0,95
Ом 283.02 240,65 238,78 242,54 238,72 241,12 243,17 241,21 239,57 238,92 0,8
пФ 82,12 78,26 79,31 80,27 79,36 83,14 80,23 79,37 80,41 70,89 0,98
мА 28,0 36,3 37,5 36,0 37,4 33,6 37,5 34,4 37,5 33,6 0,8

 

6. Порядок выполнения работы.

6.1 Приведите таблицу 5.2 с данными Вашего варианта.

 

Таблица 5.2 Результаты выполнения лабораторной работы.

Вариант Единицы измерения Номер и результат измерения ρ
                         

 

6.2 В соответствии с пунктом 3.3 рассчитайте:

· Действительное значение физической величины Вашего варианта.

· Определите абсолютную погрешность каждого измерения и наличие в результатах измерений грубых ошибок (промахи).

· Рассчитайте среднеквадратическое отклонение среднего арифметического, т.е. среднеквадратическую погрешность результата измерения σрез, запишите результат измерения с учетом доверительного интервала и коэффициента Стьюдента, используя вышеизложенные правила округления результата измерения и погрешности измерения.

6.3 Сделайте вывод по работе

 

7. Контрольные вопросы

7.1 Что такое погрешность?

7.2 Перечислите причины появления погрешностей.

7.3 Чем отличаются абсолютная, приведенная погрешность?

7.4 Чем отличаются систематические, случайные и грубые погрешности?

7.5 Назовите основные законы распределения случайных погрешностей.

7.6 Когда используется распределение Стьюдента?

7.7 Назовите правила округления результатов измерений.

 

8. Литература

ОИ - Основные источники учебной литературы:

1. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник / А.С., Сигов В.И., Нефедов, В.К. Битюков и др; под ред. А.С. Сигова. – 3-е изд, – М.: ФОРУМ, 2013. – 336 с.

2. Шишмарев В.Ю., Метрология, стандартизация, сертификация и техническое регулирование: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В.Ю. Шишмарев, - 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.

ДИ -Дополнительные источники (печатные издания, электронные ресурсы):

1. Архипова, А.М. Метрология. Стандартизация. Сертификация [Электронный ресурс].: Профессиональный учебник – М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2013. – 495 с.

2.www. rostest.ru/termins/ (ФБУ РОСТЕСТ-МОСКВА- официальный сайт, метрология, стандартизация, сертификация).

3.www. metrob. ru/ (Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности).

 

 

 

stydopedia.ru

Точность и погрешность измерений — урок. Физика, 7 класс.

Измерить какую-нибудь величину — это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу.

Всякое измерение может быть выполнено с большей или меньшей точностью.

В качестве примера рассмотрим измерение длины бруска линейкой с сантиметровыми делениями.

 

 

Вначале определим цену деления линейки. Она будет равна \(1\) см. Если левый конец бруска совместить с нулевым штрихом, то правый будет находиться между \(9\) и \(10\) штрихами, но ближе к \(10\). Какое же из этих двух значений следует принять за длину бруска? Очевидно, то, которое ближе к истинному значению, т.е. \(10\) см. Считая, что длина бруска \(10\) см, мы допустим неточность, так как брусок чуть короче \(10\) см.

В физике допускаемую при измерении неточность называют погрешностью измерений.

Погрешность измерения не может быть больше цены деления измерительного прибора. В нашем случае погрешность измерения бруска не превышает \(1\) см. Если такая точность измерений нас не устраивает, то можно произвести измерения с большей точностью. Но тогда придётся взять масштабную линейку с миллиметровыми делениями, т.е. с ценой деления \(1\) мм. В этом случае длина бруска окажется равной \(9,8\) см.

 

 

Для более точных измерений можно воспользоваться штангенциркулем с ценой деления \(0,1\) мм или \(0,05\) мм.

 

 

Из этого примера видно, что точность измерений зависит от цены деления шкалы прибора.

Чем меньше цена деления, тем больше точность измерения.

Точность измерения зависит от правильного применения измерительного прибора, расположения глаз при отсчёте по прибору.

Вследствие несовершенства измерительных приборов и несовершенства в развитии наших органов чувств, при любом измерении получаются лишь приближённые значения, несколько бóльшие или меньшие истинного значения измеряемой величины.

Во время выполнения лабораторных работ или просто измерений следует считать, что:

Погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.

При записи величин (с учётом погрешности) следует пользоваться формулой: A=a&PlusMinus;Δa, где \(A\) — измеряемая величина, \(a\) — результат измерений, Δa  — погрешность измерений (Δ — греческая буква «дельта»).

Источники:

Пёрышкин А.В. Физика. 7 кл. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010.

 

www.yaklass.ru

Погрешность измерений | КИПиА Портал

Неотъемлемой частью любого измерения является погрешность измерений. С развитием приборостроения и методик измерений человечество стремиться снизить влияние данного явления на конечный результат измерений. Предлагаю более детально разобраться в вопросе, что же это такое погрешность измерений.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму погрешностей, каждая из которых имеет свою причину.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяются на абсолютные и относительные

Абсолютная погрешность – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. Она определяется выражением.

 (1.2), где X — результат измерения; Х0 — истинное значение этой величины.

Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике пользуются лишь приближенной оценкой абсолютной погрешности измерения, определяемой выражением

(1.3), где Хд — действительное значение этой измеряемой величины, которое с погрешностью ее определения принимают за истинное значение.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:

(1.4)

По закономерности появления погрешности измерения подразделяются на систематические, прогрессирующие, и случайные.

Систематическая погрешность – это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессирующая погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.

Систематические и прогрессирующие погрешности средств измерений вызываются:

  • первые — погрешностью градуировки шкалы или ее небольшим сдвигом;
  • вторые — старением элементов средства измерения.

Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяющейся при многократных измерениях одной и той же величины. Особенность систематической погрешности состоит в том, что она может быть полностью устранена введением поправок. Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы только в данный момент времени. Они требуют непрерывной коррекции.

Случайная погрешность – это погрешность измерения изменяется случайным образом. При повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях. В отличии от систематических погрешностей случайные нельзя устранить из результатов измерений.

По происхождению различают инструментальные и методические погрешности средств измерений.

Инструментальные погрешности — это погрешности, вызываемые особенностями свойств средств измерений. Они возникают вследствие недостаточно высокого качества элементов средств измерений. К данным погрешностям можно отнести изготовление и сборку элементов средств измерений; погрешности из-за трения в механизме прибора, недостаточной жесткости его элементов и деталей и др. Подчеркнем, что инструментальная погрешность индивидуальна для каждого средства измерений.

Методическая погрешность — это погрешность средства измерения, возникающая из-за несовершенства метода измерения, неточности соотношения, используемого для оценки измеряемой величины.

Погрешности средств измерений.

Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным ее значением и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины:

(1.5), где Xн – номинальное значение меры; Хд – действительное значение меры

Абсолютная погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины:

(1.6), где Xп – показания прибора; Хд – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность меры или измерительного прибора – это отношение абсолютной погрешности меры или измерительного прибора к истинному

(действительному) значению воспроизводимой или измеряемой величины. Относительная погрешность меры или измерительного прибора может быть выражена в ( % ).

(1.7)

Приведенная погрешность измерительного прибора – отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующие значение XN – это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы. Приведенная погрешность обычно выражается в ( % ).

(1.8)

Предел допускаемой погрешности средств измерений – наибольшая без учета знака погрешность средства измерений, при которой оно может быть признано и допущено к применению. Данное определение применяют к основной и дополнительной погрешности, а также к вариации показаний. Поскольку свойства средств измерений зависят от внешних условий, их погрешности также зависят от этих условий, поэтому погрешности средств измерений принято делить на основные и дополнительные.

Основная – это погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях, которые обычно определены в нормативно-технических документах на данное средство измерений.

Дополнительная – это изменение погрешности средства измерений вследствии отклонения влияющих величин от нормальных значений.

Погрешности средств измерений подразделяются также на статические и динамические.

Статическая – это погрешность средства измерений, используемого для измерения постоянной величины. Если измеряемая величина является функцией времени, то вследствие инерционности средств измерений возникает составляющая общей погрешности, называется динамической погрешностью средств измерений.

Также существуют систематические и случайные погрешности средств измерений они аналогичны с такими же погрешностями измерений.

Факторы влияющие на погрешность измерений.

Погрешности возникают по разным причинам: это могут быть ошибки экспериментатора или ошибки из-за применения прибора не по назначению и т.д. Существует ряд понятий которые определяют факторы влияющие на погрешность измерений

Вариация показаний прибора – это наибольшая разность показаний полученных при прямом и обратном ходе при одном и том же действительном значении измеряемой величины и неизменных внешних условиях.

Класс точности прибора – это обобщенная характеристика средств измерений (прибора), определяемая пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность, значение которой устанавливаются на отдельные виды средств измерений.

Классы точности прибора устанавливают при выпуске, градуируя его по образцовому прибору в нормальных условиях.

Прецизионность — показывает, как точно или отчетливо можно произвести отсчет. Она определяется, тем насколько близки друг к другу результаты двух идентичных измерений.

Разрешение прибора — это наименьшее изменение измеряемого значения, на которое прибор будет реагировать.

Диапазон прибора — определяется минимальным и максимальным значением входного сигнала, для которого он предназначен.

Полоса пропускания прибора — это разность между минимальной и максимальной частотой, для которых он предназначен.

Чувствительность прибора — определяется, как отношение выходного сигнала или показания прибора к входному сигналу или измеряемой величине.

Шумы — любой сигнал не несущий полезной информации.

kipia-portal.ru

Измерения и их погрешности

ПРЯМЫЕ ОДНОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ.

1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИЧИН ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

В соответствии с причиной их возникновения погрешности измерений физических величин классифицируются:

- случайные

- систематические

- промахи

1.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ.

Результаты измерения одной и той же физической величины, проведённые в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, всегда несколько отличаются друг от друга. Причины этих различий могут быть самыми разнообразными, но главное - нельзя обеспечить полную одинаковость условий при повторных испытаниях.

В теории погрешностей показано, что при повторении опытов наиболее близким к неизвестному истинному значению величины будет среднее арифметическое измерений, полученных в неизменных условиях.

При использовании одного и того же прибора можно получить разные результаты измерений, а тем более, когда используется поочерёдно два однотипных прибора.

ПРИМЕР. При взвешивании одного и того же тела на одних и тех же весах обычно получают несколько отличающихся друг от друга значений массы, т.к. нельзя устранить трение в осях, влияния воздушных потоков, горизонтальность коромысла определяется визуально и т.д.

Погрешности, возникающие из-за случайных факторов, называют случайными.

1.2. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ.

Погрешности, возникающие из-за влияния измерительных приборов на исследуемые процессы или неверного анализа процессов при теоретическом рассмотрении явлений, называются систематическими.

Систематические погрешности бывают разных видов. К ним относят, например, погрешности, причины которых неизвестны экспериментатору. Часто причиной систематических погрешностей является отклонение равновесного положения указателя прибора от нулевой отметки шкалы. К систематическим можно отнести и неизбежные погрешности средств измерения. У каждого прибора эту погрешность можно найти, но на заводе-изготовителе определяют максимальную погрешность для всех приборов данного типа и обозначают её ∆пр.

ПРИМЕР. В электрической цепи измеряют амперметром силу тока. Амперметр не является идеальным прибором и обладает собственным сопротивлением. Понятно, что до включения амперметра в цепь сила тока была несколько больше. Разница между силой тока в цепи до включения амперметра и его показаниями и есть систематическая погрешность. Она практически неустранима.

1.3. ПРОМАХИ.

Погрешности, которые существенно превышают систематические и случайные погрешности, называют промахами.

Причиной промахов являются ошибки экспериментатора при снятии показаний прибора, неисправность средств измерения, эксплуатация прибора не по инструкции.

Промах обычно возникает при проведении первого опыта. Для избежания промахов следует тщательно готовиться к измерениям, внимательно считывать и записывать показания. Если условия проведения опытов позволяют, никогда не следует ограничиваться одним измерением.

2. ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ.

2.1 . ПОВЕРКА.

Погрешность прямых измерений (инструментальная погрешность) связана прежде всего с основными погрешностями мер и измерительных приборов. Процедура определения её называется поверкой. Поверка состоит в сравнении показаний рабочего прибора с показаниями образцового прибора на заводе – изготовителе.

ПРИМЕР. На заводе – изготовителе можно определить массу гирь с помощью точных весов и гарантировать, что истинное значение массы гири отличается от номинального значения m н не более, чем на ∆m. Это значение ∆m и называется погрешностью меры. Истинное значение массы гирь находится в интервале:

[ m - ∆m; m + ∆m]

2.2. КЛАСС ТОЧНОСТИ.

Класс точности – это число, которое показывает в процентах соотношение основной погрешности и предела измерения.

Класс точности показывается на шкале прибора число в кружке. Зная класс точности прибора, легко найти границу абсолютной основной погрешности прибора ∆пр.

предел измерения · класс точности

∆ пр = ------------------------------------------------- (1)

100

 

ПРИМЕР № 1. На шкале прибора в кружке проставлено число 2,5. Это и есть класс точности. Число показывает: основная погрешность прибора не превышает 2,5 % предела измерения.

ПРИМЕР № 2.

Название позиции \ прибор

Амперметр

Вольтметр

Предел измерения

2 А

6 В

Класс точности

2,5

4

Граница абсолютной основной               погрешности прибора

 

 

          2 А ·2,5

∆ А = ------------ = 0,05 А

             100

          6 В · 4%

∆ В = ---------- = 0,24 В

              100

 

3. СЧИТЫВАНИЕ ПОКАЗАНИЙ ПО ШКАЛЕ ПРИБОРА.

Считывание показаний по шкале прибора осуществляется с учетом цены деления шкалы. Обязательным является эксплуатация прибора согласно инструкции.

3.1. СОВПАДЕНИЕ УКАЗАТЕЛЯ СО ШТРИХОМ ШКАЛЫ.

В этом случае наиболее просто находится граница погрешности прямого измерения: она не превосходит основную погрешность прибора ∆ пр.

3.2. НЕСОВПАДЕНИЕ УКАЗАТЕЛЯ СО ШТРИХОМ ШКАЛЫ.

Граница погрешности прямого измерения возрастает, если указатель не совпадает со штрихом шкалы, потому что визуально невозможно точно определить расстояние от штриха до указателя. Это и есть так называемая погрешность отсчета. Специальные исследования показали, что при ширине деления не менее 1 – 2 мм границу погрешности отсчета можно принять равной половине деления. Принято считать, что граница погрешности отсчета не превосходит половины цены деления:

Цена деления

∆ отсчета = ----------------------- (2)

2

В соответствии с арифметическим сложением погрешностей можно утверждать, что при несовпадении указателя со штрихом шкалы граница абсолютной погрешности прямого измерения ∆ не превосходит значение суммы основной погрешности прибора и границы погрешности отсчета:

∆ = ∆ прибора + ∆ отсчета (3)

 

3.3. ПАРАЛЛАКС.

Параллакс – кажущееся смещение объекта, вызванное изменением точки наблюдения.

Отсчет всегда надо проводить тщательно:

- располагать глаз наблюдателя на прямой, перпендикулярной шкале,

- располагать предмет как можно ближе к шкале прибора,

Крайне важно, что бы стрелка прибора имела малую толщину и

перекрывала как можно меньшую часть шкалы.

Для уменьшения параллакса шкала прибора может быть зеркальной.

 

3.4. СОВМЕСТНЫЙ УЧЕТ ∆ прибора И ∆ отсчета

Совместный учет границы абсолютной основной погрешности прибора ∆ пр. и границы погрешности отсчета ∆ отсчета целесообразен, если половина цены деления близка к основной погрешности прибора.

В случае, когда погрешность прибора превышает половину цены деления прибора в 4 и более раз (∆ пр. > 4 · С/2), то погрешностью отсчета можно пренебречь.

Если же выполняется неравенство (4 ∆ пр. < С/2), то можно пренебречь основной погрешностью прибора.

 

4. ВЫБОР СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ.

При планировании прямых измерений очень важно правильно выбрать средства измерения. Не всегда прибором с меньшей инструментальной погрешностью можно получить более точный результат.

ПРИМЕР. Для измерения расстояния 6 м используют рулетку с пределом 10 м и с основной погрешностью ∆ р = 1,0 см, а затем линейку длиной 30 см и основной погрешностью ∆ л = 1 мм. Длина рулетки сравнима с измеряемым расстоянием, а линейка значительно короче: для измерения расстояния рулетку нужно приложить один раз, а линейку – двадцать раз. Прикладывание линейки требует в данном случае нанесение меток, ширина которых больше или сравнима с шириной штриха и ценой деления. Это приведет к увеличению погрешности. Она станет много больше суммы (∆ л + С/ 2 ) и больше основной погрешности рулетки.

 

5. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВЕСОВ.

Несколько сложнее определить погрешность при использовании весов. Для них необходимо учитывать основную погрешность весов, основную погрешность гирь и основную погрешность подбора гирь. При прямом измерении массы на весах граница погрешности измерений равна:

∆ = ∆ весов + ∆ подбора гирь + ∆ всех гирь. (5)

5.1. ПОГРЕШНОСТЬ ВЕСОВ

5.3. ПОГРЕШНОСТЬ ГИРЬ

Зависимость погрешности весов ВТ – 200 от нагрузки представляется графически.

Границы погрешности гирь набора Г4 – 210 приведены в таблице.

5.2. ПОГРЕШНОСТЬ ПОДБОРА ГИРЬ

Она аналогична погрешности отсчета и равна половине значения массы наименьшей гири, выводящей весы из равновесия.

Номинальное значение массы гири

мг г

Граница погрешности

 

мг

10; 20; 50; 100

1

200

2

500

3

1

4

2

6

5

8

10

12

20

20

50

30

100

40

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Онлайн калькулятор: Оценка погрешности прямых измерений

Измеряя линей­ные размеры предметов измерительными инстру­ментами : линейкой, штангенциркулем, микрометром, проводя измерения времени секундомером или силы электрического тока или величины напряжения соответствующими электроизмерительными приборами Вы проводите прямые измерения.

Погрешность измерений

Любое измерение проводится с определенной точностью, при этом измеренное значение всегда отличается от истинного, так как инструменты измерения, методики и органы чувств человека несовершенны. Поэтому важную роль играет оценка погрешности измерений, результат измерений с учетом погрешности записывается в виде: X ± ΔX, где ΔX — абсолютная погрешность измерений.

Случайные и систематичес­кие погрешности

Погрешности подразделяются на случайные и систематичес­кие.Систематические погрешности остаются постоянными или закономерно меняются в процессе измерения. Например неточность прибора, неправильная его регулировка ведет к систематической погрешности. Если причина систематической погрешности известна, то чаще всего такую погрешность можно исключить.Случайные погрешности вызваны различными случайными факторами, влияющими на точность измерений. Например, при измерении секундомером отрезков времени, случайные погрешности связаны с различным (случайным) временем реакции экспериментатора на события запускающие и останавливающие секундомер. Чтобы уменьшить влияние случайной погрешности необходимо проводить многократное измерение физической величины.Калькулятор ниже вычисляет случайную погрешность выборки прямых измерений для заданного доверительного интервала. Немного теории можно найти сразу за калькулятором.

addimport_exportmode_editdelete
Измерения
Размер страницы: 5102050100chevron_leftchevron_rightТочность вычисления

Знаков после запятой: 3

Среднее значение

 

Абсолютная погрешность

 

Относительная погрешность в %

 

Коэффициент Стьюдента

 

Сохранить share extension

В большинстве случаев результат измерения подчиняется нормальному закону распределения, поэтому истинное значение измерения будет равно пределу:В случае ограниченного количества измерений, наиболее близким к истинному будет среднее арифметическое:

Согласно элементарной теории ошибок Гаусса случайную погрешность отдельного измерения характеризует так называемое среднеквадратическое отклонение:, квадрат этой величины называется дисперсией. При увеличении этой величины возрастает разброс результатов измерений, т. е. увеличивается погрешность.

Для оценки погрешности всей серии измерений, вместо отдельного измерения надо найти среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического, характеризующую отклонение от истинного значения искомой величины .По закону сложения ошибок среднее арифметическое имеет меньшую ошибку, чем результат каждого отдельного измерения. Cред­няя квадратичная погрешность среднего арифметического равна:Стандартная случайная погрешность Δх равна:, где — коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности и числа степеней свободы k = n-1.Коэффициент Стьюдента можно получить по таблице или воспользоваться нашим калькулятором для вычисления квантилей распределения Стьюдента: Квантильная функция распределения Стьюдента. Следует иметь в виду, что квантильная функция выдает значения одностороннего критерия Стьюдента. Значение двустороннего квантиля для заданной доверительно вероятности соответствует значению одностороннего квантиля для вероятности:

planetcalc.ru

7. Учет погрешности в записи окончательного результата измерения

Завершением обработки данных многократного прямого измерения при заданной доверительной вероятности являются два числа: среднее значение измеренной величины и его погрешность (полуширина доверительного интервала). Оба числа есть окончательный результат многократного измерения и должны быть совместно записаны в стандартной

форме

которая содержит только достоверные, т.е. надежно измеренные, цифры этих чисел.

Порядок выполнения округления

1.Выполнить предварительную запись окончательного результата измерения в виде

x= x ± x и вынести за общую скобку одинаковые порядки среднего и

погрешности, т.е. множитель вида 10k, гдеk – целое число. Числа в скобках переписать в десятичном виде с использованием запятой, убрав тем самым оставшиеся порядковые множители.

2.Округлить в скобках число, соответствующее погрешности: до одной значащей (ненулевой) цифры слева, если эта цифра больше 2, или до двух первых цифр в противном случае. При округлении используют правило: если цифра, расположенная за оставляемой, меньше 5, то ее просто отбрасывают, иначе оставляемую цифру увеличивают на единицу. Если же отбрасываемая цифра равна 5, то наименьшая ошибка достигается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего четного числа. К примеру, 4,5 округляют до 4, в то время как 3,5 также округляют до 4.

3.Округлить в скобках число, соответствующее среднему значению: последними справа оставляют цифры тех разрядов, которые сохранились в погрешности после ее округления.

Окончательно записать x = x ± x с учетом выполненных округлений. Общий

порядок и единицы измерения величины приводят за скобками – получена стандартная форма записи.

8. Линеаризация данных

Физические величины, определяющие результаты эксперимента, выступают в роли переменных и параметров некоторой функциональной зависимости, теоретически получаемой в рамках модели. После экспериментальной регистрации зависимости ее сравнивают с теоретической. Путем сравнения можно не только численно определить, т.е. измерить, значения физических величин, не измеряемых другим способом, но и вывести заключение об адекватности применения модели к эксперименту.

Проще всего проверить линейную зависимость:

где x,y – измеряемые величины,a,b – параметры зависимости. Если зависимость нелинейная, в некоторых случаях ее можно преобразовать в линейную (Таблица №4).

studfiles.net

Погрешности измерений - это... Что такое Погрешности измерений?

Погре́шность измере́ния — оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

  • Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:
  • Средняя квадратическая погрешность:
  • Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

  • Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины Xmeas. При этом равенство:

ΔX = | Xtrue − Xmeas | ,

где Xtrue — истинное значение, а Xmeas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина Xmeas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

  • Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

,

где Xn - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

- если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

  • Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
  • Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
  • Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

  • Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
  • Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
  • Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
  • Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

  • Погрешность прямых измерений
  • Погрешность косвенных измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F(x1,x2...xn), где xi — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δxi, тогда:

См. также

Литература

  • Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.
  • Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. — М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. — 704 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"